Apostila completa de_lógica_-_204_páginas

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Apostila completa de_lógica_-_204_páginas

  1. 1. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1LógicaExistem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não érelevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos devista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis dopensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento ématéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). SegundoIrving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, poisa sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende daestrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formasou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades dasrelações formais entre as proposições. Veremos nas próximas linhas a definição do quevenha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos aonosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos deproposições denominadas premissas ou conclusões.1 - DEFINIÇÃO:1.1 - Proposição:Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos.1) Exemplo:a) O Professor Joselias é bonito.b) O Brasil é um País da América do Sul.c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.Evidente que você já percebeu que as proposições devem assumir os valores falsos ouverdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos queuma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode serexpressa por distintas orações, tais como: “Pedro é maior que Carlos”, ou podemosexpressar também por “Carlos é menor que Pedro”.Observe ainda que as proposições receberão os valores lógicos como sendo verdadeiro(V)ou falso(F).2) Exemplo:Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é verdadeira entãorepresentaremos o valor lógico da proposição p por VAL(p) = V.Se a proposição p = “O Brasil é um País da América do Sul” é falsa então representaremoso valor lógico da proposição p por VAL(p) = F.Sendo assim a frase “Bom dia!” não é uma proposição, pois não admite o atributoverdadeiro ou falso.
  2. 2. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org2Portanto não serão proposições as seguintes expressões:Exclamações: “Que belo dia!”, “Boa sorte!”.Interrogações: “Joselias é um bom professor?”, “Que horas são?”, “ O jogo terminouempatado?”.Imperativos: “Faça seu trabalho corretamente.”, “ Estude e limpe o quarto.”.Paradoxos: “Esta proposição é falsa”.Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições:1 – Princípio da não-contradição:Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.2 – Princípio do Terceiro Excluído:Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F),não podendo ter outro valor.Logo, voltando ao exemplo anterior temos:a) “O Professor Joselias é bonito” é uma proposição verdadeira.b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.As proposições serão representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . . .As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através deoperadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas).Os conectivos serão representados da seguinte forma:¬ corresponde a “não”∧ corresponde a “e” (conjunção)∨ corresponde a “ou” (disjunção)→ corresponde a “então” (condicional)↔ corresponde a “se e somente se” (bi-condicional)Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente coma sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)Exemplo:3) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a ∧ b = “Chove e faz frio”• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b, ou também ou a ou b)Exemplo:4) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a ∨ b = “Chove ou faz frio”• Condicionais: a → b (lê-se: Se a então b)
  3. 3. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org3Exemplo:5) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a → b = “Se chove então faz frio”• Bi-condicionais: a ↔ b (lê-se: a se e somente se b)Exemplo:6) Sejam a e b proposições tal que: a = “Chove” b = “Faz frio”, então temos que:a ↔ b = “Chove se e somente se faz frio”Exemplo:7) Seja a sentença: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no concurso”Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no concurso”Então poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q ( ou p → q ).1.2 - TABELA VERDADERepresentaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivoatravés da tabela verdade.a. Valor verdade de ¬PP ¬PV FF VA negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ¬P éfalso, e vice-versa.b. Valor verdade de P∧QP Q P∧QV V VV F FF V FF F FO valor verdade da molécula P∧Q é tal que VAL (P∧Q) é verdade se e somente se VAL (P)e VAL (Q) são verdades.c. Valor verdade de P∨QP Q P∨Q
  4. 4. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org4V V VV F VF V VF F FO valor verdade da molécula P∨Q é tal que VAL(P∨Q) é falso se e somente se VAL(P) eVAL (Q) são falsos.d. Valor verdade de P → QP Q P → QV V VV F FF V VF F VO valor verdade da molécula P → Q é tal que VAL(P → Q) = F se e somente se VAL(P) =V e VAL (Q) = Fe. Valor verdade de P ↔ QO valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que VAL( P↔Q ) = V se e somente se VAL (P) eVAL (Q) tem os mesmos valores verdade.Então, para α e β sendo moléculas, teremos a tabela verdade completa da seguinteforma:Exemplo:8) Sejam as proposições p e q, tal que:p = ”Está calor”q = ”Está chovendo”P Q P ↔ QV V VV F FF V FF F Vα β ¬α α ∧ β α ∨ β α → β α ↔ βV V F V V V VV F F F V F FF V V F V V FF F V F F V V
  5. 5. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org5Descrever as seguintes proposições abaixo:a) ¬pb) p ∨ qc) p ∧ qd) p → qe) p ↔ qSolução:a) ¬p = “Não está calor”b) p ∨ q = “Está calor ou está chovendo”c) p ∧ q = “Está calor e está chovendo”d) p → q = “Se está calor, então está chovendo”e) p ↔ q = “Está calor se e somente se está chovendo”9) Seja p = “Joselias é magro” e q = “ Joselias é bonito”. Represente cada uma dasseguintes afirmações em função de p e q:a) “Joselias é magro ou bonito”b) “Joselias é magro e bonito”c) “Se Joselias é magro, então é bonito”d) “Joselias não é magro, nem bonito”Solução:a) “Joselias é magro ou bonito” = p ∨ qb) “Joselias é magro e bonito” = p ∧ qc) “Se Joselias é magro, então é bonito” = p → qd) “ Joselias não é magro, nem bonito” = ¬p ∧ ¬q10) Se p é uma proposição verdadeira, então:a) (p → q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.b) (p ∧ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.c) (p ↔ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.d) (p ∨ q) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.e) (¬p) é uma proposição verdadeira, para qualquer que seja a proposição q.Soluçãoa) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos aproposição (p → q) falsa.b) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição (p ∧ q) falsa.c) A opção é incorreta, pois se q é uma proposição falsa e p verdadeira teremos aproposição (p ↔ q) falsa.d) A opção é correta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (p∨q)sempre verdadeira.e) A Opção é incorreta, pois se p é uma proposição verdadeira teremos a proposição (¬p)sempre falsa.Opção correta: D.
  6. 6. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org611) Se (p → q) é uma proposição verdadeira então podemos afirmar que:a) p é uma proposição verdadeira.b) q é uma proposição verdadeira.c) Se p é uma proposição falsa, então q é uma proposição verdadeira.d) se q é uma proposição verdadeira então p é uma proposição verdadeira.e) se q é uma proposição falsa então p é uma proposição falsa.Soluçãoa) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)verdadeira.b) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)verdadeira.c) A opção é incorreta, pois se p e q são proposições falsas teremos a proposição (p → q)verdadeira.d) A opção é incorreta, pois podemos ter a proposição q verdadeira e a proposição p falsa.e) A opção é correta, pois se q é uma proposição falsa teremos a proposição pnecessariamente falsa.Opção correta: E.12) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixoSoluçãoDesenvolvendo a tabela verdade teremos:p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ qV V F F V VV F F V V FF V V F V FF F V V F F13) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixop q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ qV V VV F F FF V FF F Vp q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ qV V FV F VF V V FF F V
  7. 7. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org7SoluçãoDesenvolvendo a tabela verdade teremos:p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ qV V F F V V VV F F V F V FF V V F V F FF F V V V V V14) Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixop q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬qV V F V V FV F FF V V V FF F V V VSoluçãoDesenvolvendo a tabela verdade teremos:p q ¬p ¬q p ∨ q p ∧ q ¬p ∧ ¬q ¬p ∨ ¬qV V F F V V F FV F F V V F F VF V V F V F F VF F V V F F V V15) Determinar o valor verdade da proposição (P ∧ Q) →R, sabendo-se que VAL (P) =V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F.SoluçãoP Q R p ∧ q (P ∧ Q) →RV V V V VV V F V FV F V F VF V V F VV F F F VF V F F VF F V F VF F F F VLogo o VAL(P ∧ Q) →R) = F
  8. 8. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org81.3 - Exercícios PropostosTexto para os itens de 01 a 05. (CESPE)Considere as sentenças abaixo.I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, entãofumar deve ser proibido.V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve serproibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam.Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto,julgue os itens seguintes.1) A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).2) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).3) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.4) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.5) A sentença V pode ser corretamente representada por T→((¬ R) ∧ (¬ P)).Texto para os itens de 06 a 10. (CESPE)Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬ , ∧ ,∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e,ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume umúnico valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nuncaambos.Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.6) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q)também é verdadeira.
  9. 9. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org97) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faça seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.8) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T)é falsa.9) A proposição simbólica ( )P Q R∧ ∨ possui, no máximo, 4 avaliações V.10) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição(P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.11) Determine o valor verdade da sentença[A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)].Sabendo-se que: VAL (A) = V, VAL (B) = F e VAL (C) = VResposta: {[ A ∧ (B → C)] ↔ [¬ A ∧ (B ∨ C)]} = FObs.:Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.12) Determinar o valor da sentença A → [(¬ B ↔C) ∧ (C ∨ D)], sabendo-se que:VAL (A) = V, VAL (B) = F, VAL (C) = F e VAL (D) = VResposta: VAL {A → [(¬ B ↔ C) ∧ (C ∨ D)]} = FTAUTOLOGIASão moléculas que possuem o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dosvalores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. Para verificar se umaproposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição. Se todos os valoresda proposição forem verdadeiros teremos uma tautologia.Exemplo:16) Assinale quais das proposições abaixo são tautologias.a) (p ∨ ¬p)b) (p → p)c) ¬(¬p) ↔ pSoluçãoa) (p ∨ ¬p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:p ¬p p ∨ ¬pV F VF V V
  10. 10. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org10b) (p → p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:p p → pV VF Vc) ¬(¬p) ↔ p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira. Veja a tabela verdade:p (¬p) ¬(¬p) ¬(¬p) ↔ pV F V VF V F VCONTRADIÇÕESSão moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições(átomos) as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer atabela verdade da proposição. Se todos os valores da proposição forem falsos teremos umacontradição.Exemplo:17) Assinale quais das proposições abaixo são contradições.a) (p ∧ ¬p) b) (p ↔ ¬p)Soluçãoa) (p ∧ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:p ¬p p ∧ ¬pV F FF V Fb) (p ↔ ¬p) é uma contradição, pois é sempre falsa. Veja a tabela verdade:p ¬p p ↔ ¬pV F FF V FCONTINGÊNCIASão moléculas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições (átomos).Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela verdade daproposição. Se os valores da proposição forem alguns verdadeiros e outros falsos teremosuma contingência.
  11. 11. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org11Exemplo:18) Assinale quais das proposições abaixo são contingências.a) ¬p ∨ ¬q b) ¬p ∨ qSoluçãoa) ¬p ∨¬q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabelaverdade:b) ¬p∨q é uma contingência, pois pode ser falsa ou verdadeira. Veja a tabela verdade:EQUIVALÊNCIA LÓGICADuas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. Para verificarse duas proposições são equivalentes basta calcular a tabela verdade de cada uma, se astabelas forem iguais elas são equivalentes.Exemplo:19) Assinale se as proposições abaixo são equivalentes.a) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)Soluçãoa) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬qV V F F FV F F V VF V V F VF F V V Vp q ¬p ¬p ∨ qV V F VV F F FF V V VF F V Vp q (p∧q) ¬(p∧q) ¬p ¬q (¬p∨ ¬q)V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V
  12. 12. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org12b) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.c) (p→q) é equivalente a (¬p∨q). Veja que as tabelas-verdade são iguais.d) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p). Veja que as tabelas-verdade são iguais.p q (p→q) ¬q ¬p (¬q → ¬p)V V V F F VV F F V F FF V V F V VF F V V V VObservações:Sobre o emprego dos parênteses é importante convencionar que o ¬ afeta aproposição mais próxima à sua direita. Deste modo a proposição (¬p ∨ q) é uma disjunção,pois o não(¬) só afeta a proposição p. Por outro lado ¬(p ∨ q) é uma negação pois onão(¬) só afeta a proposição (p ∨ q). Vale a pena ressaltar que os conectivos ∨, ∧ e o ∨têm prioridade sobre o → e o ↔.É conveniente que o aluno tenha conhecimento de algumas equivalênciasimportantes. Abaixo fornecemos uma tabela de equivalências:EQUIVALÊNCIAS IMPORTANTES:a) (p∨q) é equivalente a (q∨p)b) (p∧q) é equivalente a (q∧p)c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p)d) (p→q) é equivalente a (¬p∨q)e) (p→q) é equivalente a (¬q → ¬p)p q (p∨q) ¬(p∨q) ¬p ¬q (¬p ∧ ¬q)V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V Vp q (p→q) ¬p (¬p∨q)V V V F VV F F F FF V V V VF F V V V
  13. 13. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org13f) ¬(p∧q) é equivalente a (¬p∨ ¬q)g) ¬(p∨q) é equivalente a (¬p ∧ ¬q)h) ¬(¬p) é equivalente a pi) ¬ (¬(¬p)) é equivalente a (¬p)j) ¬ (p→q) é equivalente a (p ∧ ¬q)l) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔ ¬q)Sabemos que duas proposições são equivalentes se e somente se elas possuem amesma tabela verdade. Sendo assim se relacionarmos duas proposições equivalentesatravés do conectivo ↔(bi-condicional) teremos uma tautologia. Abaixo fornecemos umatabela das principais tautologias para os concursos públicos:TAUTOLOGIAS IMPORTANTES:a) (p ∨ ¬p)b) (p → p)c) (p ↔ p)c) ¬(¬p) ↔ pd) (p→q) ↔ (¬p∨q)e) (p→q) ↔ (¬q → ¬p) (Contra-positiva)f) ¬(p∧q) ↔ (¬p∨ ¬q) (Morgan)g) ¬(p∨q) ↔ (¬p ∧ ¬q) (Morgan)h) ¬(¬p) ↔ pi) ¬ (p→q) ↔ (p ∧ ¬q)j) ¬ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q)Exercícios Propostos13) Assinale quais das sentenças abaixo são proposições:a) O Professor Joselias é bonito.b) O Brasil é um País da América do Sul.c) A Receita Federal pertence ao Poder Judiciário.d) Que belo dia!e) Boa sorte!f) Joselias é um bom professor?g) Que horas são?h) O jogo terminou empatado?i) Faça seu trabalho corretamente.j) Estude e limpe o quarto.l) Esta frase é falsa
  14. 14. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org14m) 2 + 3 > 5n) x + y > 5o) A terra é um planeta.p) x é um planeta.14) (FGV) A proposição ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A15) (FGV) A proposição ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A16) A proposição (¬p ∨ q) ↔ (p → q) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A17) A proposição (p → q) ↔ (¬q → ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A18) A proposição (p ∨ ¬p) representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A19) A proposição (p ∧ ¬p) representa um:a. Contradição
  15. 15. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org15b. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A20) A proposição ¬ (¬p) ↔ p representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A21) A proposição ¬ (¬ (¬p)) ↔ ¬p representa um:a. Contradiçãob. Contingênciac. Tautologiad. Paradoxoe. N.R.A22) (FGV) – Quando se afirma que P → Q (P implica Q) então:a. Q é condição suficiente para P.b. P é condição necessária para Q.c. Q não é condição necessária para Pd. P é condição suficiente para Q.e. P não é condição suficiente nem necessária para Q.23) Uma sentença lógica equivalente a “Se Pedro é economista, então Luisa ésolteira.” é:a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira.c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista.d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira.e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista.24) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamenteequivalente a dizer que:a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheirod) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
  16. 16. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org1625) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico,o mesmo que dizer que:a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulistab) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiroc) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulistad) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulistae) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista26) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuvab) não está chovendo e eu levo o guarda-chuvac) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuvad) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuvae) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva27) (FCC-ICMS-SP)Se p e q são proposições, então a proposição éequivalente a28) (FCC-ICMS-SP)Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente aé29) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p∧~q) éa) ~(p ∨ q)b) (~p ∧ q)c) (p ∨ q)d) (p ∧ ~q)e) (~p ∨ q)IMPLICAÇÕES
  17. 17. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org17(p → q)Condições necessárias e suficientes:Na proposição condicional (p → q) denotamos a proposição p como antecedente ea proposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condiçãosuficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q é chamada decondição necessária para p.Exemplo:19) Sejam as proposições:p = “ Joselias é carioca”.q = “Joselias é brasileiro”.Temos que a proposição p → q representa a seguinte sentença: “Se Joselias é cariocaentão Joselias é brasileiro”.Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição suficiente para asentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias é brasileiro” écondição necessária para a sentença “Joselias é carioca”.A proposição (p → q) é lida de várias maneira distintas, como segue:a) Se p, então q.b) Se p, q.c) q, se pd) p implica q.e) p acarreta q.f) p é suficiente para q.g) q é necessário para p.h) p somente se q.i) p apenas se q.Exemplo:20) A proposição “Se ele me ama, então casa comigo” pode ser enunciada também dasseguintes maneiras:a) “Se ele me ama, então casa comigo”.b) “Se ele me ama, casa comigo”.c) “Ele casa comigo, se ele me ama”.d) “Ele me ama implica em casa comigo”.e) “Ele me ama carreta casa comigo”.f) “Ele me amar é suficiente para casar comigo”.g) “ Casar comigo é necessário para me amar”.h) “Ele me ama somente se casa comigo”.i) “Ele me ama apenas se casa comigo”.Recíproca contrária e contra-positiva:Se p e q são proposições então:
  18. 18. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org18a) Chamamos de recíproca de (p → q) a proposição (q → p).b) Chamamos de contrária de (p → q) a proposição (¬p → ¬q).c) Chamamos de contra-positiva de (p → q) a proposição (¬q → ¬p).Exemplo:21) Considere a sentença condicional “Se Joselias é carioca então Joselias ébrasileiro”. Temos então:a) A recíproca é “Se Joselias é brasileiro então Joselias é carioca”.b) A contrária é “Se Joselias não é carioca então Joselias não é brasileiro”.c) A contra-positiva é “Se Joselias não é brasileiro então Joselias não é carioca”.Equivalência de (p → q):Entre as equivalências da proposição (p → q) destacamos algumas das maisfreqüentes:a) (p → q) é equivalente a (¬p ∨ q).Isto quer dizer que “(Se p então q) é equivalente a (não p ou q)”. Podemos entãoafirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Ele não meama ou casa comigo”.b) (p → q) é equivalente a (¬q → ¬p) (contra-positiva)Isto quer dizer que “(Se p, então q) é equivalente a (Se não q, então não p)”.Podemos então afirmar que a sentença “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalentea “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”.c) ¬ (p → q) é equivalente a (p ∧ ¬q)Isto quer dizer que a negação de (Se p, então q) é equivalente a (p e não q).Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama, então casa comigo” éequivalente a “Ele me ama e não casa comigo”BI-CONDICIONAL(IMPLICAÇÃO DUPLA)(p ↔ q)Na proposição bicondicional (p ↔ q) denotamos a proposição p como antecedente e aproposição q como conseqüente . A proposição antecedente p é chamada de condiçãonecessária e suficiente para a proposição conseqüente q, e a proposição conseqüente q échamada de condição necessária e suficiente para p.Exemplo:22) Sejam as proposições:p = “ Joselias é carioca”.q = “Joselias é brasileiro”.
  19. 19. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org19Temos que a proposição (p ↔ q) representa a seguinte sentença: “Joselias é carioca se esomente se Joselias é brasileiro”.Podemos dizer que a sentença “Joselias é carioca” é condição necessária esuficiente para a sentença “Joselias é brasileiro”. Por outro lado a sentença “Joselias ébrasileiro” é condição necessária e suficiente para a sentença “Joselias é carioca”.A proposição (p ↔ q) é lida de várias maneira distintas, como segue:a) p se e somente se q.b) p se e só se q.c) p é condição necessária e suficiente para qe p é equivalente a qExemplo:23) A proposição “Se ele me ama se e somente se casa comigo” pode ser enunciadatambém das seguintes maneiras:a) “Se ele me ama se e somente se casa comigo”.b) “Se ele me ama se e só se casa comigo”.c) “Ele me ama é condição necessária e suficiente para ele casa comigo”.d) “Ele me ama é equivalente a ele casa comigo”.Equivalência de (p ↔ q):Entre as equivalências da proposição (p ↔ q) destacamos algumas das maisfreqüentes:a) (p ↔ q) é equivalente a (p → q) ∧(q → p).Isto quer dizer que “(p se e somente se q ) é equivalente a (Se p então q) e (Se qentão p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casacomigo” é equivalente a “Se ele me ama então casa comigo, e se ele casa comigo entãoele me ama”.b) (p ↔ q) é equivalente a (¬q ↔ ¬p) (contra-positiva)Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (não q se e somente senão p)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casacomigo” é equivalente a “Ele não casa comigo se e somente se ele não me ama”.c) (p ↔ q) é equivalente a (q ↔ p) (recíproca)Isto quer dizer que “(p se somente se q) é equivalente a (q se somente se p)”.Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” éequivalente a “Ele casa comigo se e somente se ele me ama”.d) (p ↔ q) é equivalente a (¬p ↔ ¬q) (contrária)Isto quer dizer que (p se somente se q) é equivalente a (não p se e somente se nãoq)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama se e somente se casa comigo” éequivalente a “Ele não me ama se e somente se ele não casa comigo”
  20. 20. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org20d) ¬ (p ↔ q) é equivalente a (p ↔¬q)Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p sesomente se não q) Podemos então afirmar que a negação da sentença “Se ele me ama se esomente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama se somente se não casa comigo”.OU EXCLUSIVOp∨ q(ou p ou q mas não ambos)A proposição p∨ q representará a disjunção exclusiva(ou exclusivo), e significaou p ou q mas não ambos. A tabela verdade desta proposição composta será F quandoambos p e que forem verdadeiros ou ambos falsos, caso contrário será verdadeira. Assimteremos a seguinte tabela verdade:p q p∨ qV V FV F VF V VF F FExemplo:24) Sejam as proposições:p = “Eu trabalho”q = “Eu estudo”A proposição p∨ q significa “Ou eu trabalho ou estudo, mas não ambos”.Equivalência de p∨ q:Entre as equivalências da proposição p∨ q destacamos algumas das maisfreqüentes:a) p ∨ q é equivalente a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).Isto quer dizer que (p ou q, mas não ambos) é equivalente a (p e não q) ou (não pe q)”. Podemos então afirmar que a sentença “Ele me ama ou casa comigo, mas nãoambos” é equivalente a “Ele me ama e não casa comigo, ou ele não me ama e casacomigo”.b) ¬(p ↔ q) é equivalente a p ∨ q.Isto quer dizer que a negação de (p se e somente se q) é equivalente a (p ou q,mas não ambos). Podemos então afirmar que a negação da sentença “Ele me ama se e
  21. 21. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org21somente se casa comigo” é equivalente a “Ele me ama ou casa comigo, mas nãoambos”.NEGAÇÃO(¬, ~)A proposição ¬p representa a negação da proposição p. Se a proposição p éverdadeira então a proposição ¬p é falsa. Se a proposição p é falsa então a proposição¬p é verdadeira. Sendo assim a negação da sentença p= “Eu estudo” é ¬p = “Eu nãoestudo”.Conforme as equivalências podemos negar as proposições compostas conforme oquadro abaixo:PROPOSIÇÃO NEGAÇÃOp ¬p(¬p) p(p ∨ q) (¬p ∧ ¬q)(p ∧ q) (¬p ∨ ¬q)( p→ q) ( p ∧ ¬q )(p ↔ q) (p ↔ ¬q)(p ↔ q) p ∨ q.Exemplos:25) Conforme o quadro acima podemos negar as sentenças da seguinte forma:a) A negação da sentença “ Eu trabalho” é “Eu não trabalho”b) A negação da sentença “ Eu trabalho ou estudo” é “Eu não trabalho e não estudo”c) A negação da sentença “ Eu trabalho e estudo” é “Eu não trabalho ou não estudo”.d) A negação da sentença “ Se eu trabalho então estudo” é “Eu trabalho e nãoestudo”.e) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Eu trabalho sesomente se não estudo”.f) A negação da sentença “ Eu trabalho se e somente se estudo” é “Ou trabalho ouestudo, mas não ambos”.26) (CESGRANRIO)Uma proposição logicamente equivalente a “Se eu me chamoAndré, então eu passo no vestibular.” é:(A) Se eu não me chamo André, então eu não passo no vestibular.(B) Se eu passo no vestibular, então me chamo André.(C) Se eu não passo no vestibular, então me chamo André..(D) Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André.(E) Eu passo no vestibular e não me chamo André.
  22. 22. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org22SoluçãoSejam as proposições:p = “Eu me chamo André”.q = “Eu passo no vestibular”.Sendo assim a sentença:“Se eu me chamo André, então eu passo no vestibular.”( p → q)é equivalente a(¬q → ¬p)(Se eu não passo no vestibular, então não me chamo André).Resposta: D27) (CESGRANRIO) A negação de “se hoje chove então fico em casa” é:(A) hoje não chove e fico em casa..(B) hoje chove e não fico em casa.(C) hoje chove ou não fico em casa.(D) hoje não chove ou fico em casa.(E) se hoje chove então não fico em casa.SoluçãoSejam as proposições:p = “Hoje chove”.q = “Fico em casa”.Sendo assim a negação da sentença sentença:¬ (Se hoje chove então fico em casa)¬ ( p → q)é equivalente a( p ∧ ¬q )(Hoje chove e não fico em casa)Resposta: B28) (CESGRANRIO) Considere as fórmulas:I - (p ∧ q) → pII - (p ∨ q) → pIII - (p ∧ q) → (p ∨ q)É(São) tautologia(s) a(s) fórmula(s):(A) I, somente.(B) II, somente.(C) III, somente.(D) I e III, somente.
  23. 23. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org23(E) I, II e III.SoluçãoConsidere a tabela verdade abaixo:p q (p ∧ q) (p ∨ q) (p ∧ q) → p (p ∨ q) → p (p ∧ q) → (p ∨ q)V V V V V V VV F F V V V VF V F V V F VF F F F V V VObserve que somente I e III são tautologias.Resposta: DExercícios Propostos30) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a (~p ∨ ~q) éa) ~(p ∨ q)b) ~ (p ∧ q)c) (p ∨ q)d) (p ∧ ~q)e) (~p ∨ q)31) Assinale qual das alternativas abaixo representa uma contradição.a) (p ∨ q) → (p ∧ q)b) (p ∨ q) → qc) (~p ∨ p) → (~p ∧ p)d) p→ (p ∧ q)e) p→ (p ∨ q)32)Assinale qual das alternativas abaixo representa uma tautologia.a) (~p ∨ p) → qb) (p ∨ q) → (p ∧ q)c) (p ∨ q) → qd) p→ (p ∧ q)e) p→ (p ∨ q)33) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V FV F FF V VF F F
  24. 24. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org24A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∧ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)34) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.p q ?V V FV F FF V FF F VA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∧ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)35) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V FV V F VV F V VF V V FV F F FF V F FF F V FF F F FUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c. [p∧ q ∧ (~r)] ∨ [p ∧ (~q) ∧ r]d. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]e. ~ [p ∧ q ∧ r]36) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
  25. 25. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org25p q ?V V VV F VF V VF F FA proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação éa) (p ∨ q)b) (~p ∧ ~q)c) (p ∧ ~q)d) (~p ∧ q)e) (p → q)37) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V VV V F VV F V FF V V FV F F VF V F VF F V VF F F VUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa. [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b. [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c. [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]d. [p ∨ q ∨ r]e. ~ [p ∧ q ∧ r]38) Considere as afirmações abaixo.I – Se p e q são proposições então ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ é uma tautologia.II - Se p e q são proposições então ( ) )p q q→ ∨ ∼ é uma tautologia.III – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .É verdade o que se afirma APENAS ema. I.b. II e IIIc. I e III.d. I e II.
  26. 26. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org26e. I, II e III.39) Considere as afirmações abaixo.I – Se p e q são proposições então a recíproca de ( )p q→ é ( )q p→ .II - Se p e q são proposições então a contrária de ( )p q→ é ( )p q→∼ ∼ .III – Se p e q são proposições então a contra-positiva de ( )p q→ é ( )q p→∼ ∼ .É verdade o que se afirma APENAS ema. I.b. II e IIIc. I e III.d. I e II.e. I, II e III.40) A proposição ( ) [( ) ( )]p q p q p q↔ ↔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼ representaum:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência41) A proposição ( ) ( )p q p q↔ ↔ ↔∼ ∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência42) Considere a seguinte declaração:Ou o presidente não sabia, ou houve desacato a autoridade, mas não ambos.Assinale a alternativa que apresenta a negação formal desta declaração.a. Para que tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que o presidentesabia.b. Ou o presidente sabia, ou não houve desacato a autoridade, mas não ambos.c. Para que não tenha havido desacato a autoridade é necessário e suficiente que opresidente sabia.d. Se não houve desacato a autoridade então o presidente sabia.e. Se o presidente sabia então houve desacato a autoridade.43) A proposição ( ) [( ) ]p q p r q→ ↔ ∧ → representa um:(A) Contradição
  27. 27. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org27(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência44) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos osaldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente paraque a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinteproposição:(A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.(B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.(C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.(D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.(E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.45) A proposição ( )p p p→ ↔∼ representa um:(A) Contradição(B) Contingência(C) Tautologia(D) Dilema(E) Inconsistência46) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está emParis” é logicamente equivalente à afirmação:(A) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.(B) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.(C) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.(D) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.(E) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.Sentenças Abertas e Sentenças GeraisConforme vimos nas páginas anteriores, as proposições são declarações que podemreceber o atributo verdadeiro ou falso. Sendo assim as sentenças abaixo são proposições:a) Joselias é um professor.b) 2 é um número natural.c) 4 + 6 > 10Podemos pensar nas seguintes sentenças abertas, que não podem receber o atributoverdadeiro ou falso:1) X é um professor.2) n é um número natural.3) x + y >10
  28. 28. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org28Concluímos que se atribuirmos um valor para as variáveis X, n, x e y, nas sentençasabertas acima, poderíamos ter, por exemplo, as proposições dos casos anteriores a, b e crespectivamente. Existe outra maneira de transformarmos as sentenças abertas emproposições, que consiste no uso do quantificador universal e do quantificador existencial.Quantificador universal:∀ - Significa “Para todo ...”, “Qualquer que seja ...”.Quantificador Existencial:∃ - Significa “Existe ...”, “Há um ...”.Utilizando-se os quantificadores podemos transformar as sentenças abertas emproposições falsas ou verdadeira, por exemplo:a) A sentença “ n∃ ∈ , n é um número natural” é uma proposição verdadeira.b) A sentença “( )( )( )10x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + > ” é uma proposição falsa.As proposições que iniciam com os quantificadores são chamadas de sentenças gerais.As negações das sentenças gerais podem ser feitas da seguinte maneira:Sejam Px, Qx, Rx,... sentenças abertas de variável x.Então temos:( )( )x Px¬ ∀ é equivalente a ( )( )x Px∃ ¬( )( )x Px¬ ∃ é equivalente a ( )( )x Px∀ ¬( )( )x Px Qx¬ ∀ → é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ∧ ¬( )( )x Px Qx¬ ∀ ∨ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∧ ¬( )( )x Px Qx¬ ∀ ∧ é equivalente a ( )( )x Px Qx∃ ¬ ∨ ¬Número de linha da tabela verdadeÈ comum questões de concursos perguntarem sobre o número de linhas da tabelaverdade. No momento vamos apenas deixar algumas fórmulas, que serão demonstradas nocapítulo de análise combinatória:O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta de nproposições simples é 2n.Aproveitamos também para esclarecer que o número de proposições nãoequivalentes a uma proposição composta de n proposições simples é22n.Exemplos:29) (ICMS_SP_VUNESP)Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
  29. 29. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org29II.5x y+é um número inteiro.III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.É verdade que APENAS(A)) I e II são sentenças abertas.(B) I e III são sentenças abertas.(C) II e III são sentenças abertas.(D) I é uma sentença aberta.(E) II é uma sentença aberta.SoluçãoI é uma sentença aberta definida no conjunto de jogadores do mundo.II é uma sentença aberta, pois pode apresentar várias soluções inteiras ou não.Logo apenas I e II são sentenças abertas e III é uma proposição.Opção correta A30) Escreva as sentenças a seguir na linguagem usual:a) ( )( )( )2x y x y∀ ∈ ∃ ∈ + <b) ( )( )( )2 20x y x y∀ ∈ ∀ ∈ + ≥Soluçãoa) Para todo número x pertencente ao conjunto do números reais existe um número ytambém pertencente ao conjunto dos reais tal que x + y <2.b) Para qualquer números x e y pertencentes ao conjunto dos números reais temos que2 20x y+ ≥ .31) (CESGRANRIO) Sendo A e B conjuntos, considere a afirmação:“para todo x∈ A, existe y ∈B tal que x<y”.Negar tal afirmação equivale a afirmar que:(A) para todo x∈A, existe y∈B tal que x > y.(B) para todo x∈A, existe y∈B tal que x≥ y.(C) existe x∈A tal que, para todo y∈B, x > y.(D) existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y.(E) existem x∈A e y∈B tais que x≥ y.Solução( )para todo x A, existe y B tal que x<y¬ ∈ ∈( )( x A)( y B)(x<y)¬ ∀ ∈ ∃ ∈( x A)( ( y B)(x<y))∃ ∈ ¬ ∃ ∈( x A)(( y B) (x<y))∃ ∈ ∀ ∈ ¬( x A)(( y B)(x y))∃ ∈ ∀ ∈ ≥
  30. 30. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org30“existe x∈A tal que, para todo y ∈B, x ≥ y”Opção correta: DExercícios Propostos47) Sendo " "x∈ a proposição “x é um número real” e " "x∈ a proposição “x éum número natural”, podemos afirmar que a negação da sentença “ todos os númerosreais são naturais” e:a) ( )( )x x x∀ ∉ → ∉b) ( )( )x x x∀ ∈ ∨ ∉c) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∈d) ( )( )x x x∃ ∈ ∧ ∉e) ( )( )x x x∃ ∉ ∧ ∉48)Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposiçõescompostas de três átomos é:a) 3b) 4c) 6d) 8e) 949) Podemos afirmar que o número de linhas da tabela-verdade para proposiçõescompostas de n átomos é:a) 2b) 2nc) 2nd) 3ne) 3n50) A negação da proposição ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∀ + < → ≥ ∨ < é:a) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∀ + ≥ → < ∨ ≥b) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < → < ∧ ≥c) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + < ∧ < ∧ ≥d) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∀ ∃ + ≥ → ≥ ∧ ≥e) ( )( )( 2 ( 0 0))x y x y x y∃ ∃ + ≥ ∧ < ∨ ≥51) Assinale a opção correta:a) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sejapositivo.b) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele sejapositivo.
  31. 31. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org31c) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que eleseja positivo.d) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente paraque seja maior que 2.e) Nenhuma das opções anteriores.52) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de um átomo é:a) 3b) 4c) 6d) 8e) 953) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de dois átomos é:a) 4b)8c) 9d) 16e) 2054) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de três átomos é:a) 16b) 32c) 64d) 128e) 25655) Considerando a tabela-verdade, podemos afirmar que o número de proposiçõesnão equivalentes de n átomos é:a) nb) 2nc) 2nd) 22ne) 22 n56) Sabe-se que se 4>x então 2=y . Podemos daí concluir que:a) Se 4<x então 2≠y .b) Se 4≤x então 2≠y .c) Se 2=y então 4>x .
  32. 32. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org32d) Se 2≠y então 4≤x .e) Se 2≠y então 4<x .57) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Suatabela-verdade ép q r sV V V VV V F VV F V VF V V VV F F VF V F VF F V VF F F FUsando a conjunção (∧), a disjunção(∨) e a negação(~), pode-se construir sentençasequivalentes a s. Uma dessas sentenças éa) [(~p) ∨ q ∨ (~r)] ∧ [p ∨ (~q) ∨ ( ~r)]b) [(~p) ∧ q ∧ (~r)] ∧ [p ∧ (~q) ∧ ( ~r)]c) [p ∨ q ∨ r] ∧ [p ∧ q ∧ r]d) [p ∨ q ∨ r]e) ~ [p ∧ q ∧ r]58) A negação da proposição " 3 2"x y≠ ∧ < é:a) " 3 2"x y= ∧ ≥b) " 3 2"x y= ∧ >c) " 3 2"x y= ∨ ≥d) " 2 3"x y≠ ∧ <e) " 3 2"x y≠ ∨ <59) Duas grandezas x e y são tais que “se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que:a) se 3x ≠ então 7y ≠b) se 7y = então 3x =c) se 7y ≠ então 3x ≠d) se 7y > então 3x =e) 3x ≠ ou 7y ≠60) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ouRodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa:(A) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei.(B) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete.(C) é necessário que Marcela passe a jogar basquete.
  33. 33. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org33(D) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete.(E) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei.61) (CESGRANRIO) A negação de “João sempre vai de carro para o trabalho” é:(A) “João sempre vai a pé para o trabalho”.(B) “João nunca vai de carro para o trabalho”.(C) “João, às vezes, não vai de carro para o trabalho”.(D) “João, às vezes, vai a pé para o trabalho”.(E) “João nunca vai a pé para o trabalho”.62) (CESGRANRIO) A negação de “não sabe matemática ou sabe português” é:(A) não sabe matemática e sabe português.(B) não sabe matemática e não sabe português.(C) sabe matemática ou sabe português.(D) sabe matemática e não sabe português.(E) sabe matemática ou não sabe português.A expressão ( )( )( )( , )x y P x y∃ ∀ é uma fórmula sintaticamente correta da lógica depredicados clássica. Diz-se que uma tal fórmula é semanticamente válida quando assuas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação que os verifique.Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.63) ( CESPE) Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e opredicado P(x, y) é interpretado como x < y, então a fórmula é semanticamente válida.ARGUMENTOSArgumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal quealgumas delas acarretam ou tem como conseqüência outra proposição. Isto é, o conjunto deproposições p1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q.Chamaremos as proposições p1, p2, p3, . . . , pn de premissas do argumento, e a proposiçãoq de conclusão do argumento.Podemos representar por:p1p2p3...pn∴qExemplos:32) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.Passei no concurso
  34. 34. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org34∴ Irei Trabalhar33) Se ele me ama então casa comigo.Ele me ama∴ Ele casa comigo34) Todos os brasileiros são humanos.Todos os paulistas são brasileiros.∴Todos os paulistas são humanos35) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho .∴Todos os jogadores receberão o bichoNOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas eseparando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes.Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.Todos os sabões são sais de sódioConclusão: ∴Todos os sabões são substâncias solúveis em água.VALIDADE DE UM ARGUMENTOConforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de umargumento diremos que ele é válido ou não válido.A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura)lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendoassim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.Exemplo:36)Todos os apartamentos são pequenos. ( V )Todos os apartamentos são residências. ( V )∴ Algumas residências são pequenas. ( V )b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.Exemplo:37)
  35. 35. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org35Todos os peixes têm asas. ( F )Todos os pássaros são peixes. ( F )∴ Todos os pássaros têm asas. ( V )c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.Exemplo:38)Todos os peixes têm asas. ( F )Todos os cães são peixes. ( F )∴ Todos os cães têm asas. ( F )Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então asconclusões também as seriam.Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas sãoverdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento seránão válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusãofalsa.Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.Exemplo:39)Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.∴ Todas as princesas são bonitas.Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto paraconcluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesaspor A, B e C respectivamente e teremos:Todos os A são B.Todos os C são A.∴ Todos os C são B.Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, istoé, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é conseqüênciada forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOSOs argumentos são divididos em dois grupos:• dedutivos• indutivosO argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva daveracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão écompletamente derivada das premissas.
  36. 36. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org36Exemplo:40)Todo ser humano têm mãe.Todos os homens são humanos.∴Todos os homens têm mãe.O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo pararatificar as conclusões.Exemplo:41)O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.∴Todos os times brasileiros de futebol são bons.Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam asfornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentosválidos ou não válidos para argumentos indutivos.ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOSVimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aosargumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento enão dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos terum argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguirexemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.AFIRMAÇÃO DO ANTECEDENTEO primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação doantecedente” , (também conhecido como modus ponens).Então vejamos:Exemplo:42)Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.José foi reprovado no concurso.∴ José será demitido do serviço.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:Se p, então q.
  37. 37. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org37p.∴ q.oup q→p∴ qNEGAÇÃO DO CONSEQUENTEOutro argumento dedutivo válido é a “negação do conseqüente” (também conhecido comomodus tollens).Obs.: Vimos nas páginas anteriores que ( )p q→ é equivalente a ( )q p¬ → ¬ . Estaequivalência é chamada de contra-positiva.Exemplo:43)“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, entãoele não me ama”.Então vejamos o exemplo do modus tollens.Exemplo:44)• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação.• Não há inflação∴Não aumentamos os meios de pagamentos.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:Se p, então q.Não q.∴ Não p.oup q→q¬∴ p¬
  38. 38. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org38Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmenteeste argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativasindesejáveis.Exemplo:45)João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seuscolegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João:• Ou João passa ou não passa no concurso.– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.∴Ou joão vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas detrabalho.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:p ou q.Se p então r.Se q então s.∴ r ou soup q∨p r→q s→∴ r s∨ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOSOs argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissasde qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, porexemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém aspremissas não sustentam a conclusão.Exemplo:46)Todos os mamíferos são mortais. ( V )Todos os gatos são mortais. ( V )∴Todos os gatos são mamíferos. ( V )Este argumento tem a forma:Todos os A são B
  39. 39. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org39Todos os C são B∴Todos os C são APodemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas nãosustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e aconclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C porcobra.Todos os mamíferos são mortais. ( V )Todos os as cobras são mortais. ( V )∴ Todas as cobras são mamiferas. ( F )FALÁCIA DA AFIRMAÇÃO DO CONSEQUENTECom as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido,então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias. Aseguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita freqüência. Oprimeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de“falácia da afirmação do conseqüente”.Exemplo:47)Se ele me ama então ele casa comigo.Ele casa comigo.∴Ele me ama.Podemos escrever este argumento como:Se p, então q.q.∴ p.oup q→q∴ pEste argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.FALÁCIA DA NEGAÇÃO DO ANTECEDENTEOutra falácia que ocorre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação doantecedente”.
  40. 40. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org40Exemplo:48)Se João parar de fumar ele engordará.João não parou de fumar.∴João não engordará.Observe que temos a forma:Se p, então q.Não p.∴ Não q.oup q→p¬∴ q¬Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusãofalsa.PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARESAs proposições serão classificadas em:• universais• particularesAs proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade doconjunto.Exemplo:49) “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.Exemplo:50)“O cão é mamífero”.As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma partedo conjunto.Exemplo:51) “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVASAs proposições também se classificam em:• afirmativas
  41. 41. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org41• negativasNo caso de negativa podemos ter:1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum Sé P”.2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por“algum S não é P”.No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos então de proposiçãocategórica na forma típica as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algumS não é P” e “nenhum S é P”.Então teremos a tabela:SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICAChamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumentoformado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidassão categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).Teremos também três termos:• Termo menor – sujeito da conclusão.• Termo maior – predicado da conclusão.• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece naconclusão.Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a quecontém o termo menor.Exemplo:52)Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.∴ Todas as princesas são bonitas.Termo menor: as princesasTermo maior: bonitasTermo médio: mulheresPremissa menor: todas as princesas são mulheres.Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.
  42. 42. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org42ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO:1. Todo silogismo deve conter somente três termos;2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez;3. O termo médio não pode constar na conclusão;4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas éválido.5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão;6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular;7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.DIAGRAMA DE EULERPara analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.
  43. 43. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org43Exemplo:53) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:Todos os A são BTodos os C são A∴Todos os C são BSoluçãoSe as duas premissas são verdadeiras teremos:Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.Portanto o argumento é válido.Exemplo:54) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:Todo A é BTodo C é B∴Todo C é ASoluçãoObserve que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Logo o argumentonão é válido.Exemplo:55) Diga se o argumento abaixo é válido ou não válido:Algum A é BTodo B é C∴Algum A é CSolução
  44. 44. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org44Vemos que se as premissas forem verdadeira a conclusão será necessariamente verdadeira.Portanto o argumento é válido.Exemplo:55) (FGV) – Considere as seguintes proposições:I. “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come”.II. “Ser ou não ser, eis a questão”.III. “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é maisbelo que o rio que corre pela minha aldeia”.É correto então afirmar-se que:a)Em I está presente uma tautologia.b)Em II está presente uma contradição.c)Em III está presente um dilema.d) I e II são contradições.e) Nenhuma da opções anterioresSoluçãoObserve que:I - “O ministro está numa enrascada: se correr, o bicho pega; se ficar, o bicho come” é umdilema.II - “Ser ou não ser, eis a questão” é uma tautologia.III - “ O Tejo é mais belo que o rio que corre pela minha aldeia; mas o Tejo não é mais beloque o rio que corre pela minha aldeia” é uma contradição.Resposta: EExemplo:56) Sejam as declarações:Se o governo é bom então não há desemprego.Se não há desemprego então não há inflação.Ora, se há inflação podemos concluir que:a. A inflação não afeta o desemprego.b. Pode haver inflação independente do governo.c. O governo é bom e há desemprego.d. O governo é bom e não há desemprego.e. O governo não é bom e há desemprego.SoluçãoSuponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:
  45. 45. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org45O governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Como a terceira premissa é verdadeira temos:FVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há inflação) é falso,sendo assim temos que o antecedente(Não há desemprego) tem que ser falso. Logo temos:FFVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Conseqüentemente obtemos:FFFVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não há desemprego) éfalso, sendo assim temos que o antecedente(O governo é bom) tem que ser falso. Logotemos:F FFFVO governo é bom não há desemprego (V)Não há desemprego não há inflação (V)Há inflação (V)→→Como o argumento é válido, as conclusões são as proposições verdadeiras:Há inflação.(V)Há desemprego.(V)O governo não é bom.(V)Resposta: E
  46. 46. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org46Exemplo:57) Sejam as declarações:Se ele me ama então ele casa comigo.Se ele casa comigo então não vou trabalhar.Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:a. Ele é pobre mas me ama.b. Ele é rico mas é pão duro.c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar.e. Ele não me ama e não casa comigo.SoluçãoSuponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos:Ele me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Como a terceira premissa é verdadeira temos:FVEle me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu conseqüente(não vou trabalhar) é falso,sendo assim temos que o antecedente(Ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos:FFVEle me ama ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Conseqüentemente obtemos:FFFVEle me ama Ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(Ele casa comigo) é falso,sendo assim temos que o antecedente(Ele me ama) tem que ser falso. Logo temos:
  47. 47. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org47F FFFVEle me ama Ele casa comigo (V)Ele casa comigo não vou trabalhar (V)Vou trabalhar (V)→→Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serãoas conclusões:Vou trabalhar.(V)Ele não casa comigo.(V)Ele não me ama.(V)Resposta: EExemplo:58) (ESAF) – Das premissas:A: “Nenhum herói é covarde”.B: “Alguns soldados são covardes”.Pode-se corretamente concluir que:a)Alguns heróis são soldadosb)Alguns soldados não são heróisc)Nenhum herói é soldadod)Alguns soldados são heróise)Nenhum soldado é heróiSoluçãoVamos representar o conjunto de heróis, covardes e soldados pelas letras H, C e Srespectivamente. Temos então o seguinte diagrama:Observamos então que sempre teremos alguns soldados que não serão heróis.Vale a pena ressaltar que quando temos, em um silogismo, exatamente uma proposiçãoparticular a conclusão será particular.Resposta: BExemplo:59) (FGV) – Analise o seguinte argumento:Todas as proteínas são compostos orgânicos; em conseqüência, todas as enzimas sãoproteínas, uma vez que todas as enzimas são compostos orgânicos.a) O argumento é válido, uma vez que suas premissas são verdadeiras, bem como suaconclusão.
  48. 48. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org48b) argumento é válido apesar de conter uma premissa falsa.c) Mesmo sem saber se as premissas são verdadeiras ou falsas, podemos garantir que oargumento não é válido.d) NDA.SoluçãoTemos o seguinte argumento:Todas as proteínas são compostos orgânicosTodas as enzimas são compostos orgânicosTodas as enzimas são proteínas∴Representado proteínas, compostos orgânicos e enzimas por A, B e C respectivamentetemos:A BC BC ATodas as proteínas são compostos orgânicosTodas as enzimas são compostos orgânicosTodas as enzimas são as proteínas∴O nosso argumento tem a seguinte estrutura não válida.:Todo A é BTodo C é B∴Todo C é AResposta: CExemplo:60) (ESAF)Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se nãoestou furioso, não bebo. Logo,a) não durmo, estou furioso e não bebob) durmo, estou furioso e não beboc) não durmo, estou furioso e bebod) durmo, não estou furioso e não beboe) não durmo, não estou furioso e beboSoluçãoTemos o seguinte argumento:
  49. 49. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org49Se não durmo, beboSe estou furioso, durmoSe durmo, não estou furiosoSe não estou furioso, não bebo.Podemos escreve as premissas do argumento da seguinte maneira:Não durmo beboEstou furioso durmoDurmo não estou furiosoNão estou furioso não bebo.→→→→Vamos supor que todas as premissas são verdadeiras:Não durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Observamos que todas as premissas são proposições compostas condicionais e nesse casonão temos inicialmente informações sobre as proposições simples. Quando ocorrer essasituação devemos supor (“chutar”) um valor verdade para uma das proposições simplescontida nas premissas. Se o nosso “chute” estiver correto encontraremos a resposta, mas seo chute estiver errado encontraremos um absurdo e nesse caso trocamos o chute eencontramos a resposta correta.Vamos supor então que a proposição “Não durmo” é verdadeira(chute). Teremosentão a seguinte situação nas premissas:VFFNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Analisando a tabela verdade na primeira e segunda premissa temos:VVF FFNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→
  50. 50. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org50Na quarta premissa temos que a proposição “Não bebo” é falsa.VVF FFFNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Assim na quarta premissa a proposição “Não estou furioso” tem que ser falsa.VVF FFF FNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Encontramos um absurdo na segunda premissa e na quarta premissa, pois nãopodemos ter simultaneamente as proposições “Estou furioso” falsa e a proposição“Não estou furioso” falsa.Portanto o nosso chute inicial estava errado. Vamos trocar o chute pois sabemos agora quea proposição “Não durmo” é falsa.FVVNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Como todas as premissas são verdadeiras, pela tabela verdade, temos:FVV VVNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Pela quarta premissa temos que a proposição “não bebo” tem que ser verdadeira, logo:
  51. 51. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org51FFF VV VV VNão durmo bebo (V)Estou furioso durmo (V)Durmo não estou furioso (V)Não estou furioso não bebo (V)→→→→Podemos deduzir as conclusões através das proposições verdadeiras:Durmo. Não bebo. Não estou furioso.Resposta: DExercícios PropostosTexto para os itens de 64 a 67. (TRT - CESPE):Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ourespectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor(valor verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.64) ¬ P ∨ Q é verdadeira.65) ¬ [(¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.66) [P ∧ (Q ∨ S) ] ∧ (¬ [(R ∧ Q) ∨ (P ∧ S)] ) é verdadeira.67) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ (¬ R)) é verdadeira.ARGUMENTO PREMISSAS CONCLUSÃOI p q⇒ , p qII p q⇒ , q∼ p∼III p q∨ , p∼ qIV p q⇒ , r s⇒ , p r∨ q s∨68) Considerando os argumento acima podemos dizer que(A) Todos são não válidos.(B) Apenas um é válido.(C) Apenas dois são válidos.(D) Apenas três são válidos.(E) Todos são válidos.
  52. 52. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org5269) (TRT-FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é corretoconcluir que(A) quem não é corrupto é honesto.(B) existem corruptos honestos.(C) alguns honestos podem ser corruptos.(D) existem mais corruptos do que desonestos.(E)) existem desonestos que são corruptos.70) Todo matemático é estudioso. Existem músicos que são estudiosos. Pedro ématemático e Ivo é estudioso. Pode-se concluir que(A) Pedro é estudioso e Ivo é matemático.(B) Pedro é estudioso e Ivo é músico.(C) Pedro é também músico e Ivo é matemático.(D) Pedro é estudioso e Ivo pode não ser matemático nem músico.(E) Pedro é também músico e Ivo pode não ser matemático nem músico.71) Em uma cidade, é verdade que "algum físico é esportista" e que "nenhumaposentado é esportista". Portanto, nessa cidade,(A) nenhum aposentado é físico.(B) nenhum físico é aposentado.(C) algum aposentado não é físico.(D) algum físico é aposentado.(E) algum físico não é aposentado.72) Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que(A) Angélica é loira.(B) Angélica não é loira.(C) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica.(D) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira.(E) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica.(CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F),mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmentesimbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A → B, lida, entreoutras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando Aé V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬A, lidacomo “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoraçãoF quando A é V. A expressão da forma A∧ B, lida como “A e B”, é uma proposiçãoque tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.Uma expressão da forma A∨ B, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem
  53. 53. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org53valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessasdefinições, julgue os itens que se seguem.73) Uma expressão da forma ¬(A∧ ¬B) é uma proposição que tem exatamente asmesmas valorações V ou F da proposição A→B.74) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e“Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizandoadequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficourica” é também verdadeira.75) A proposição simbolizada por (A→B) → (B→A) possui uma única valoração F.76) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” sejaverdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” éverdadeira.(CESPE) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada comoverdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições sãousualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, porexemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pelapreposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então obtém-se a formaP Q∧ , lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário,é F. Se a conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por∨ , então obtém-se a forma P Q∨ , lida como “P ou Q” e avaliada como F se Pe Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição ésimbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V.Um argumento é uma seqüência de proposições P1, P2, ..., Pn,chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Umargumento é válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, casocontrário, não é argumento válido.A partir desses conceitos, julgue o próximo item.77) Considere as seguintes proposições:P: “Mara trabalha” e Q: “Mara ganha dinheiro”Nessa situação, é válido o argumento em que as premissas são “Mara não trabalha ouMara ganha dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é “Mara não ganhadinheiro”.78) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos.Logo
  54. 54. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org54(A) todos os momorrengos são torminodoros.(B) alguns torminodoros são momorrengos.(C) todos os torminodoros são macerontes.(D) alguns momorrengos são pássaros.(E) todos os momorrengos são macerontes.79) (CESPE) Abaixo, uma tabela com esquemas de estruturas lógicas para quatrotipos diferentes de deduções e uma tabela verdade. As letras P e Q representamsentenças. Os símbolos ¬, → e ∨ são conectivos lógicos usuais de negação, implicaçãoe disjunção, respectivamente.Considerando as informações acima e o cálculo proposicional, assinale a alternativacorreta.a) Se um delegado é um profissional do direito, então ele não desconhece leis. Delegadosdesconhecem leis. Portanto, delegados não são profissionais do direito. Esta é uma deduçãodo tipo III.b) Uma pessoa ou pode ser culpada ou inocente de uma acusação. Esta pessoa é culpada.Portanto, ela não é inocente. Essa é uma dedução do tipo I.c) Um supervisor ou sempre mente ou sempre fala a verdade, em relação a um determinadoacontecimento. Se ele não fala a verdade então ele mente. Está é uma dedução do tipo IV.d) As tabelas verdade das proposições P∨Q e P→Q são iguais.*e) Da forma de dedução do tipo II, tem-se que a conclusão será verdadeira se ambas aspremissas forem verdadeiras.80) (FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas:_ Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a sersuperada._ Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serãofantasiosos._ Os superávits serão fantasiosos.Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser:(A) A crise econômica não demorará a ser superada.(B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos.(C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos.(D) Os superávits econômicos serão fantasiosos.(E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada.81) (ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio éjusto, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ouHomero é honesto. Logo,
  55. 55. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org55a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.82) (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidênciasque o convenceram da verdade das seguintes afirmações:1) Se Homero é culpado, então João é culpado.2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:a) Homero, João e Adolfo são inocentes.b) Homero, João e Adolfo são culpados.c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.83) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos os Matemáticos são pessoasalegres”, então necessariamente,a) Toda pessoa alegre é matemático.b) Todo matemático é professor.c) Algum professor é uma pessoa alegre.d) Nenhuma pessoa alegre é professor.e) Nenhum professor não é alegre.84) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, énecessário que:a) todas as mulheres sejam cozinheiras.b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras.c) Nenhum homem seja bom cozinheiro.d) Todos os homens sejam maus cozinheiros.e) Pelo menos um homem seja mau cozinheiro.85) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que:a) todo matemático seja louco.b) todo louco seja matemático.c) Algum louco não seja matemático.d) Algum matemático seja louco.e) Algum matemático não seja louco.
  56. 56. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org5686) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.Segue-se, portanto, necessariamente quea) todo C é Bb) todo C é Ac) algum A é Cd) nada que não seja C é Ae) algum A não é CAnálise CombinatóriaPROBLEMA DA CONTAGEMExemplosOs candidatos a um concurso podem inscrever-se em 4 áreas (Auditoria, Julgamento,Aduana e Administração) e em 8 regiões para cada área. Quantas opções são oferecidaspara os candidatos?As chapas dos automóveis são constituídas por três letras e quatro algarismos. Quantoscarros podem ser licenciados?Os exemplos acima mostram que para se obter o número de possibilidades poderíamoscomeçar descrevendo todos e contando, porém, este processo seria trabalhoso. Daí surge aanálise combinatória, que permite criar regras para agrupamentos de objetos facilitandoassim a contagem.PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMEste princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado:Sejam dois acontecimentos A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras distintas e,para cada uma das m maneiras distintas, outro acontecimento B pode ocorrer de nmaneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrer A seguido daocorrência de B é m x n.Exemplos:1. O candidato a um concurso tem 8 regiões possíveis e 4 áreas possíveis parconcorrer. De quantos modos ele pode fazer a inscrição?SoluçãoTemos neste caso dois acontecimentosA - Escolher a região (8 possibilidades)B - Escolher a área (4 possibilidades)Logo pelo princípio da multiplicação existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrição
  57. 57. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org572. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode sevestir?SoluçãoEvidentemente que o princípio da multiplicação não está limitado apenas a 2acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos.Acontecimentos:A - Escolher a blusa (10 possibilidades)B - Escolher a saia (8 possibilidades)C - Escolher o sapato (4 possibilidades)Pelo princípio da multiplicação temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir.3. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal?SoluçãoObserve que temos três posições para preencherPosição A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Posição B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Posição C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)Pelo princípio da multiplicação temos: 9 x 10 x 10 = 900 números.4. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos1, 3, 5, 6, 8, 9 ?SoluçãoSeja o esquema:Observamos que os números têm que ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamosprimeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares.Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la emprimeiro lugar” Sendo assim, temos:Posição C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8)Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9)Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números.5. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com osalgarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.SoluçãoSeja o esquema:
  58. 58. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org58Na posição A: 6 possibilidadesNa posição B, após ter preenchido a posição A: 5 possibilidadesNa posição C, após ter preenchido as posições A e B: 4 possibilidadesLogo, pelo princípio da multiplicação temos: 6 x 5 x 4 = 120 números.6. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com osalgarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9SoluçãoPrimeiramente vamos satisfazer a condição do número ser parLogo, na posição C, temos 2 possibilidades.Agora, vamos para a posição A, após ter preenchido a posição C.Agora, vamos para a posição B, após ter preenchido as posições C e ALogo pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 x 2 = 40 números7. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linhas ligando acidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantaslinhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duasvezes a mesma linha?SoluçãoIda de A para B - 3 possibilidadesIda de B para C - 4 possibilidadesVolta de C para B - 3 possibilidades (porque?)Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?)Pelo princípio da multiplicação temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de ônibus
  59. 59. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org598. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por umaporta diferente é:a. 5b. 10c. 15d. 20e. 30SoluçãoNúmero de maneiras de entrar - 5Número de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4Pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 = 20 númerosResposta D9. Um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “bits”é:a. inferior a 100b. 100c. um número entre 100 e 500d. um número entre 500 e 1000e. um número superior a 1000SoluçãoConsidere o esquema:Resposta E10. Quantos divisores tem o número 72?SoluçãoDecompondo o número 72 obtemos 72 = 23. 32, observe que os divisores de 72 são daforma 2x. 3yonde x∈ {0, 1, 2, 3} e y∈ {0, 1, 2}. Portanto para achar o número de divisoresde 72 basta calcular o número possível de formar os pares (x, y) tal que x∈{0, 1, 2, 3} ey∈ {0, 1, 2}, sendo assim temos:Número de maneiras de escolher o x: 4 possibilidadesNúmero de maneiras de escolher o y: 3 possibilidadespelo princípio da multiplicação temos 4 x 3 = 12 divisores.
  60. 60. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org6011. 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando os 5 degraus de umaescada, de modo que em cada degrau fique um casal. De quantas maneiras diferentespodemos dispor esse grupo?a. 70.400b. 128.000c. 460.800d. 332.000e. 625SoluçãoVamos preencher os degraus consecutivamenteLogo, pelo princípio da multiplicação temos:(5x5x2) x (4x4x2) x (3x3x2) x (2x2x2) x (1x1x2) = 460.800 maneiras.OUTRA SOLUÇÃOOutra resolução poderia ser feita supondo que (M1, M2, M3, M4, M5, R1, R2, R3, R4, R5) sãoas moças e os rapazes. Vamos escolher os lugares para colocar essas 10 pessoas. Comosomos cavalheiros vamos colocar primeiro as moças.
  61. 61. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org61Pelo princípio da multiplicação temos:10 x 8 x 6 x 4 x 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 460.800 maneirasResposta C12. Seja um barco com 8 lugares, numerados conforme o diagrama abaixo. Há 8remadores possíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: os remadores A e Bsó podem ocupar as posições ímpares e o remador C posição par. Os remadores D, E,F, G e H podem ocupar quaisquer posições. Quantas configurações podem ser obtidascom o barco totalmente guarnecido?SoluçãoVamos satisfazer às restrições conforme a ordemResposta: 5760 configurações.13. Quantos números de quatro algarismos existem, tendo pelo menos dois algarismosiguais?SoluçãoSão números da forma:1135, 4779, 3336, ... 9999
  62. 62. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org62Vamos calcular a diferença entre a quantidade de números de quatro algarismos e aquantidade de números de quatro algarismos diferentes.Quantidade de números de quatro algarismos:Possibilidades: 9 x10 x10 x10 = 9000Quantidade de números de quatro algarismos diferentes:Possibilidades: 9 x9 x8 x7 = 4.536Logo temos: 9.000 - 4536 = 4.464 números.14. Cada linha telefônica é formada por sete algarismos divididos em dois grupos: umformado pelos primeiros três algarismos, que distingue os centros telefônicos, e ooutro, com quatro algarismos, que distingue as linhas de um mesmo centro. Suponhaque só os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicascomeçando com o algarismo 2, poderiam ser lançadas?SoluçãoFATORIALSeja n um número natural maior que 1.Chamamos de n fatorial e denotamos por n! a:Exemplos15. Calcule:a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6b. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24c. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24
  63. 63. NOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.orgNOTAS DE AULAS DE LÓGICAProfessor Joselias – joselias@uol.com.brwww.concurseiros.org63d. n! = n (n-1)!16. Simplificar:6!5!Solução6! 6 5!65! 5!×= =17. Simplificar:9!8!Solução9! 9 8!98! 8!×= =18. Simplificar:10!7!Solução10! 10 9 8 7!10 9 8 7207! 7!× × ×= = × × =19. Simplificar:8! 9!7!+Solução8! 9! 8 7! 9 8 7! 8 7! 72 7! 80 7!807! 7! 7! 7!+ × + × × × + × ×= = = =20. Simplificar:!( 1)!nn −Solução! ( 1)!( 1)! ( 1)!n n nnn n× −= =− −21. Simplificar:!( 2)!nn −Solução

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