Apostila4

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  1. 1. Capítulo 1Trigonometria1.1 Conceitos preliminaresO número πDada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é denido como a razão do comprimento C dacircunfeência pelo seu diâmetro d, isto é, C C π= = (1.1) d 2rO comprimento de uma circunferênciaPela denição do número π na equação (1.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por C = πd = 2πr (1.2)Medida de ângulosExistem 3 unidades para a medida de ângulos. 1 • Grado: 1 grado é um ângulo correspondente a 400 de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 400 grados - Figura 1.1(a). 1 • Grau: 1 grau, denotado 1o , é um ângulo correspondente a 360 de uma volta completa da circunferência. Conse- qüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360o - Figura 1.1(b). • Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da circunferência - Figura 1.1(c). 100 90o q ........................................ q ...................................... ........................................ .......... ....... ........... ....... .......... .....q. ....... ...... ....... ...... ....... ..... . .. ..... ..... ..... ..... ..... ...... ..... .... ..... .... ..... ... .... ... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... s =r .. . .. .. .. . .. .. ... ...... ... ... ... .. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . ..1 rad ... .. .. .. .. . .q . .q 0 ou . . .q . .q 0 ou . . . . . .. ..q . . 200 . . . o. . 180 . . . . . . .. . . . .. . . .. o . . . . . . . .. .. .. 400 . . . .. .. .. 360 . .. .. .. r . . . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . ... .. ... .. ... .. .... ... .... ... .... ... ..... .... ..... .... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ....... ..... ....... ..... ......... ...... ......... ...... ......... ...... ........................................... q ........................................... q o ........................................... 300 270 (a) A denição de grado (b) A denição de grau (c) A denição de radiano Figura 1.1: Medidas de ângulo 1
  2. 2. O comprimentro de um arcoEm uma circunferência de raio r a denição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco decomprimento r. Logo um ângulo de θ radianos compreende um arco de comprimento s - Figura 1.2(a). O valor s édado por 1 rad θ rad = ∴ s = rθ r sConversão grau-radianoDe modo análogo, um arco de comprimento r compreende um ângulo de 1 radiano. A circunferência completa, umarco de comprimento 2 π r, compreende um ângulo θ dado por r 2πr = ∴ θ = 2 π rad 1 rad θ radIsto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2 π radianos - Figura 1.2(b). 90o = π rad ................................................ ................q....................... . 2 ............. .......... s = r θ .......... ....... ....... .... ....... ...... ...... . ... ...... ..... ...q . ...... ... .... .... ... ... . ... .... ... ... .... ........ .......... .............. θ rad ......... ... .... ... .. .. . . .... ... .. ... .. . . .. . .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. . . 180o = π rad θ . . . o . .. ..q . .q . .q 0 = 0 rad ou 360 = 2 π rad . . . . .. . . . . o . . .. . . . . . . r .. .. . . . .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. . .. . ... .. ... .. .... ... .... ... .... ... .... ... ..... .... ..... .... ...... ..... ...... ..... ........ ...... ........ ...... ............ ................................. ........ ............ .................................. ....... q 270 = 3π rad o 2 (a) Comprimento de arco (b) Conversão grau-radiano Figura 1.2: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano Assim, dado um ângulo θ radianos, sua medida x em graus é dada por π rad θ rad 180 = ∴ x= θ 180o x πExemplo 1.1 Determine a medida do ângulo 3 π rad em graus. 4 3 π rad 4π rad 180 3 = ∴ x= π = 135o 180o x π 4Exemplo 1.2 Determine a medida do ângulo 155o em radianos. π rad x rad 155 31 = ∴ x= π= π rad 180o 155o 180 35Classicação de triângulosTriângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classicá-los de duas maneiras: • quanto aos tamanhos dos lados: equilátero - 3 lados de mesmo comprimento, isóceles - 2 lados de mesmo comprimento, escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes; 2
  3. 3. • quanto às medidas dos ângulos: acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90o graus), retângulo - 1 ângulo reto (90o graus), obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90o graus).1.2 Triângulo retângulo1.2.1 Teorema de PitágorasEm um triângulo retângulo, Figura 1.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado opostoao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teoremade Pitágoras a2 = b2 + c2 . (1.3) b c ¨¨e c ¨¨ e ¨¨ a e ¨ b ¨ ae a ¨ ¨¨ e e ¨ e c e ¨¨ b e e ¨¨ e a a ¨¨ ¨ b e ¨ c e ¨¨ e¨ c b (a) Um triângulo retângulo. (b) O Teorema de Pitágo- ras. Figura 1.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras. Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 1.3(b): a área do quadradoexterno é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é: bc a2 + 4 = (b + c)2 ∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc + c2 ∴ a2 = b2 + c2 . 21.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retânguloPara cada ângulo agudo de um triângulo retângulo dene-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno, cosseno,tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira cateto oposto cateto oposto hipotenusa • seno = hipotenusa • tangente = cateto adjacente • secante = cateto adjacente cateto adjacente cateto adjacente hipotenusa • cosseno = hipotenusa • cotangente = cateto oposto • cossecante = cateto oposto A Figura 1.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo. 3
  4. 4. c b seno: sen(α) = a sen(β) = a b c cosseno: cos(α) = cos(β) = ....¨ a a ¨¨.......... .. tangente: c b ¨¨ tg(α) = tg(β) = a β b c ¨¨ c b c ¨ ..... cotangente: ctg(α) = ctg(β) = ¨¨ .... α c b a a b secante: sec(α) = b sec(β) = c a a cossecante: csc(α) = c csc(β) = b Figura 1.4: As razões trigonométricas.Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveisNa Figura 1.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricas parao ângulo de 45o obtido: √ √ o a 1 2 o a 1 2 a cos(45 ) = √ = √ = , sen(45 ) = √ = √ = , tg(45o ) = = 1. a 2 2 2 a 2 2 2 aNa Figura 1.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razões trigonométricaspara os ângulos de 30o e 60o obtidos: √ √ √ o a 3/2 3 o a/2 1 o a/2 1 3 cos(30 ) = = , sen(30 ) = = , tg(30 ) = √ =√ = . a 2 a 2 a 3/2 3 3 √ √ √ o a/2 1 o a 3/2 3 o a 3/2 √ cos(60 ) = = , sen(60 ) = = , tg(60 ) = = 3. a 2 a 2 a/2A tabela 1.1 resume estes resutados. ângulo 30o 45o √ 60o √ sen √ 1 2 √2 2 2 3 cos 2 3 2 2 1 2 √ √ tg 3 3 1 3 Tabela 1.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o , 45o e 60o .1.3 Algumas identidades trigonométricasNa Figura 1.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades: c a sen(α) sen(α) tg(α) = = ∴ tg(α) = (1.4a) b a cos(α) cos(α) b a cos(α) cos(α) cotg(α) = = ∴ cotg(α) = (1.4b) c a sen(α) sen(α) a a 1 sec(α) = = ∴ sec(α) = (1.4c) b a cos(α) cos(α) a a 1 csc(α) = = ∴ csc(α) = (1.4d) c a sen(α) sen(α) 4
  5. 5.     ¡e ¡e ...   ¡........ e   ¡30o e √   ¡ e a 2   a ¡ √ a 3 e   a¡ 2 e c   ¡ e   ¡ e   45o ...... . ¡. ...... 60 o e .   . . . ¡ .... e a a/2 a/2 (a) Ângulo de 45o . (b) Ângulos de 30o e 60o . Figura 1.5: Ângulos notáveis.Usando o Teorema de Pitágoras obtemos b2 + c2 = a2 ∴ a2 cos2 (α) + a2 sen2 (α) = a2 ∴ a2 cos2 (α) + sen2 (α) = a2donde cos2 (α) + sen2 (α) = 1 (1.4e)A identidade (1.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de qualquerângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes identidades: cos2 (α) + sen2 (α) 1 sen2 (α) 1 = ∴ 1+ = ∴ 1 + tg 2 (α) = sec2 (α) (1.4f) cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α) + sen2 (α) 1 cos2 (α) 1 2 (α) = 2 (α) ∴ +1= ∴ cotg 2 (α) + 1 = csc2 (α) (1.4g) sen sen sen2 (α) sen2 (α)Exemplo 1.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) = 1 . Determine as outras razões trigonométricas para θ. 5 Da identidade fundamental obtemos 2 √ 1 2 2 1 24 2 6 + sen (θ) = 1 ∴ sen (θ) = 1 − ∴ sen(θ) = = . 5 25 25 5Logo: √ 2 6/5 √ 2 6 5 √ • pela identidade (1.4a): tg(θ) = 1/5 = 5 1 = 2 6; √ 1/5 1 √5 6 • pela identidade (1.4b): cotg(θ) = √ 2 6/5 = 5 2 6 = 12 ; 1 • pela identidade (1.4c): sec(θ) = 1/5 = 5; • pela identidade (1.4d): csc(θ) = √1 = 5 √ . 2 6/5 2 61.4 Triângulos quaisquer1.4.1 A Lei dos CossenosVimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Paratriângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 1.6). 5
  6. 6. Para o ângulo α: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) a ¨..¨..d ........ ...... .. .. ¨ ¨ β d c Para o ângulo β : b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β ) .. ¨ ¨.. γ ... .. α.d .. ¨¨ ... . . d . Para o ângulo γ : c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ ) b Figura 1.6: A Lei dos Cossenos. A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ pode ser obtida a partir da Figura 1.7. No triângulo retânguloda esquerda temos x cos(γ) = ∴ x = acos(γ) (1.5a) a a2 = x2 + H 2 ∴ H 2 = a2 − x2 . (1.5b)No triângulo retângulo da direita temos c2 = H 2 + (b − x)2 = H 2 + b2 − 2bx + x2 (1.5c)Substituindo (1.5a) e (1.5b) em (1.5c) obtemos c2 = a2 − x2 + b2 − 2ab cos(γ) + x2 c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ . ¨ ¨¨ d a ¨ d c ¨..¨ .. .. γ H d ¨¨ . . . . d x b Figura 1.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ .1.4.2 A Lei dos SenosOutra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura 1.8),cuja demonstração ca a cargo do leitor (Problema Teórico 1.1). ¨ ... .... ¨¨ ........dd c a .. ..... sen(β) sen(α) sen(γ) .. ¨ ¨ β b = a = c ¨.. γ ... .. α.d .. ¨¨ ... . . d . d b Figura 1.8: A Lei dos Senos.1.5 Círculo Trigonométrico e Funções CircularesCírculo trigonométrico é o circulo1 de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 1.9(a). 1 Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado naliteratura e vamos mantê-lo. 6

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