Artigo limites galdino

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Artigo limites galdino

  1. 1. INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE ALAGOAS – IFAL CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA FERNANDO ANTÔNIO CAVALCANTE MENDONÇACOMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA ARITMÉTICA: UMA ABORDAGEM NA ARITMÉTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA AO PARADOXO DA DICOTOMIA Maceió/AL 2012
  2. 2. FERNANDO ANTÔNIO CAVALCANTE MENDONÇACOMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA ARITMÉTICA: UMA ABORDAGEM NA ARITMÉTICA DA EDUCAÇÃO BÁSICA AO PARADOXO DA DICOTOMIA Artigo apresentado à disciplina História da Matemática, para cumprimento de atividade proposta no curso de Licenciatura em Matemática, do Instituto Federal de Alagoas – IFAL, sob orientação do Profº Msc. Luiz Galdino. Maceió/AL 2012
  3. 3. COMPREENDENDO A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DAARITMÉTICA: UMA ABORDAGEM NA EDUCAÇÃO BÁSICA AOPARADOXO DA DICOTOMIA UNDERSTANDING THE CONCEPT OF LIMITS BASED ON THE ARITHMETIC: AN APPROACH IN THE BASIC EDUCATION TO THE DICHOTOMY PARADOXFernando Antônio Cavalcante MENDONÇA1Luiz Galdino da SILVA2Resumo Este estudo realiza uma investigação da possibilidade de abordagem dasnoções de limites na Educação Básica, utilizando a aritmética, e tendo por base o Paradoxoda Dicotomia. Os alunos da Educação Básica vivenciam situações onde fazem-sepresentes noções e conceitos relacionados aos limites, mas no currículo do Ensino Básiconão há previsão para esse conhecimento. Assim, a partir da regressão e progressão depontos num intervalo unitário, o intervalo 0-1, é apresentada a possibilidade de discussãodos limites, isto é, para que valor a sequência está tendendo, utilizando conceitos relativosàs frações. Tendo como “público-alvo” dessas noções de limites alunos do 9º ano doEnsino Fundamental, e do 1º ano do Ensino Médio, aponta-se que é através de operaçõesbásicas, já bem administradas por esses discentes, que se inicia facilmente a noção delimites: quando numeradores crescem “infinitamente mais” do que denominadores, ounumeradores e denominadores crescem (ou regridem) a uma dada proporção, sãocalculados, numericamente, os valores de tendência da sequência, envolvendo os limites aessas representações, auxiliando na formação mais completa e abrangente desse alunado.Palavras-chaves: Educação Básica. Aritmética. Limites. Paradoxo da Dicotomia.Abstract This study conducts an investigation of the possibility of addressing the notionsof limits in basic education, using the arithmetic, and based on the DichotomyParadox. Students of Basic Education experience situations where they were present ideasand concepts related to limits, but the curriculum of basic education there is no provision forthat knowledge. Thus, from the regression and progression of points in the unit interval, theinterval 0-1, is shown for discussion of the limits, that is, to the sequence value istending, using concepts relating to the fractions. With the "target audience" these notionsof limits students in 9th grade in elementary school, and the 1st year of high school, pointsout that it is through basic operations, as well managed by these students, whichstarts easily the notion limits: when the numerators grow "infinitely more" thandenominators or numerators and denominators grow (or regress) to a given ratio, iscalculated numerically, the trend values of the sequence, involving the limits on theserepresentations, assisting in training most complete and comprehensive of these students.Key-words: Basic Education. Arithmetic. Limits. Dichotomy Paradox.1 Licenciando em Matemática – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas – IFAL.2 Professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas – IFAL, Mestre emEducação Matemática pela Universidade Federal de Alagoas – UFAL. 3
  4. 4. 1 - INTRODUÇÃO Os limites são elementos da área da matemática, e fazem-se presentesno cotidiano dos seres humanos em geral. Um exemplo dessa afirmação é aquestão climática: quando uma chuva forte, ou tempestade, aproxima-se, osmoradores, ainda que com a mínima instrução, conseguem perceber empiricamenteque as nuvens estão carregadas demais, e vão “rasgar”. O conhecimento por trásdeste fato envolve intimamente o conceito de limites, pois existe uma umidade talque a nuvem não suporta mais com o peso das gotículas d’água, isto é, a umidadeno interior da nuvem aumenta até alcançar (ou se aproximar, pois provavelmenteantes disso, choverá) de uma valor-limite, quando acontecerá a precipitação comalto índice pluviométrico. No entanto, a compreensão desses conceitos é legada somente aopúblico constituinte da Educação de Nível Superior: os cursos de ciências exatas,juntamente com outros cursos cujas grades curriculares prevejam noções de cálculoinfinitesimal, (como Economia e algumas Ciências Naturais, a exemplo da Geografia,Geologia, etc.), estando sem cogitação ministrar alguns conceitos nocionais delimites na Educação Básica, principalmente no Ensino Fundamental. Nesse contexto, vê-se, através desse trabalho, a possibilidade de discutira noção de limites com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental II, e aprofundá-laum pouco mais com alunos do 1º ano do Ensino Médio, tomando como fundamentosos conceitos básicos de aritmética no conjunto dos números racionais. A importância desse estudo anteriormente mencionado reside no fato deque o mesmo procura expandir a compreensão da ideia de limites para além daEducação Superior, desmistificando esse conceito considerado complexo para serabordado na Educação Básica. 2 – REVISÃO CONTEUDÍSTICA2.1 – PARADOXO DA DICOTOMIA Esse paradoxo remonta a Grécia Antiga, onde o filósofo Zenão de Eléiaargumentava existir uma inconsistência nos conceitos relacionados ao movimento. 4
  5. 5. Kirk e Raven (1977, p. 291-297) afirmam que Zenão percebeu que parapercorrer uma distância, é necessário passar por um número infinito de pontos; mascomo na prática o percurso consegue ser vencido, então o infinito passa a ter umfim, gerando o paradoxo, que é, basicamente, uma contradição. O filósofo, ainda segundo os autores, respaldou a existência de infinitospontos fazendo uma progressão “fracionária” do movimento: o móvel passa peloponto que corresponde a 1 2 do percurso, depois pelo ponto que corresponde a 2 3do percurso, etc. Vai chegar, em algum instante, a 199 200 do percurso, a 5647 5648do percurso, mas nunca vai chegar ao final (número infinito de pontos, com fraçõestendendo à unidade, mas não a alcançando “plenamente”). O paradoxo da dicotomia vem levantar a contradição que existe empercorrer infinitos pontos em um tempo finito, ou a partir de infinitos númerosconvergir para um número finito. Porém, pode-se considerar que o erro neste paradoxo é o de confundiruma distância infinita com uma distância finita infinitamente indivisível, como é ocaso, pois entre dois pontos não temos uma distância infinita, mas uma distânciaque poderíamos dividir infinitamente.2.2 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA REGRESSÃO O conceito de limite é usado para descrever o comportamento de umasituação quando a mesma tende a um determinado estado. Em outras palavras,quando uma situação se altera constantemente e vai ficando cada vez mais próximade um determinado estado, ao serem realizadas infinitas alterações, a situação teráesse determinado estado. Quando essa alteração está no sentido da diminuição, e asituação-limite é inferior às situações anteriores, dizemos que é atingido o limite apartir de uma regressão. Um exemplo de como essa ideia está presente intuitivamente no serhumano é o seguinte: supondo-se que um indivíduo dirige seu carro a uma dadavelocidade, em área urbana, em um determinado dia. Ao dobrar sempre suavelocidade no próximo dia, e assim sucessivamente, o estado limite da situação deaumento da velocidade é o acidente automobilístico. Outra situação: o congelamento 5
  6. 6. da água, cuja temperatura diminui constantemente, mas ainda é água “líquida”, até ovalor-limite de 0ºC, quando congelará. No campo da matemática, essas noções ficam ainda mais visíveis, isto é,quando a situação é numérica, como nesses casos de resfriamento (como quando écolocado um refrigerante na geladeira: sua temperatura regredirá até se aproximarmuito do valor-limite para essa situação, que é a temperatura do interior dageladeira; de fato, alcança esse valor, num dado instante).2.3 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA PROGRESSÃO Em situação similar a anteriormente descrita, se um fenômeno ou umasituação se altera, aumentando, em direção a uma situação-limite, superior àssituações anteriores, dizemos que o limite foi atingido a partir de uma progressão. Então, analogamente, tem-se o caso de fervura da água, cujatemperatura aumenta constantemente (porém inferior a 100ºC, que é o valor-limite),mas continua sendo água “líquida”. A temperatura progride, até encontrar o seulimite, de 100ºC, quando o líquido é transformado em vapor. 3 – MATERIAIS E MÉTODOS3.1 – REGRESSÃO Considerando-se o intervalo de 0 a 1, marcar-se-á nele o pontocorrespondente a 1 3 ; posteriormente, será marcado o ponto correspondente a 1 9 ,seguido de 1 27, 1 81, 1 243, e assim sucessivamente, ou seja, o novo ponto será1 3 do ponto anterior. 1 810 1 27 19 13 1 1 243 Com isso, alcançamos um limite no valor numérico de 0 a partir de umaregressão do intervalo, a partir de pontos que diminuem entre si no fator 1 3 . 6
  7. 7. A sequência de pontos é a seguinte (até a utilização do décimo ponto): Ponto Valor Valor aprox. Ponto Valor Valor aprox. 1 1/3 0,3333333333 6 1/729 0,0013717421 2 1/9 0,1111111111 7 1/2187 0,0004572474 3 1/27 0,0370370370 8 1/6561 0,0001524158 4 1/81 0,0123456790 9 1/19683 0,0000508053 5 1/243 0,0041152263 10 1/59049 0,0000169351 Observa-se que, tanto pela representação gráfica quanto pelos valores,há uma aproximação do número 0, através de uma regressão. Assim, quando 1tivermos infinitos pontos, o seu valor será 0, sendo assim representado: lim 0 n 3n3.2 – PROGRESSÃO Considerando o mesmo intervalo, marcar-se-á o ponto 1 3 ; partindodesse ponto, caminha-se 1 9 e marca-se um novo ponto, e sucessivamente,caminham-se 1 27, 1 81, e 1 243, e marcam-se novos pontos. Representando 40graficamente a situação, tem-se: 810 13 49 1/2 1 13 27 Com isso, alcançamos um limite no valor numérico de 1 2 , a partir deuma progressão do intervalo, a partir de pontos cuja distância ao ponto anterior é1 3 da distância do ponto ao anterior ao ponto anterior do anterior. Em outraspalavras, a distância de um ponto i+1 a um ponto i vale 1 3 da distância do ponto i aum ponto i-1, sendo o ponto i+1 > ponto i > ponto i-1. A sequência de pontos é a seguinte (até a utilização do décimo ponto):Ponto Valor Fração Valor aprox. Ponto Valor Fração Valor aprox. Ponto 5 1 1/3 = 1/3 0,3333333333 6 = 364/729 0,4993141289 + 1/729 Ponto 1 Ponto 6 2 = 4/9 0,4444444444 7 = 1093/2187 0,4997713763 + 1/9 + 1/2187 Ponto 2 Ponto 7 3 = 13/27 0,4814814815 8 = 3280/6561 0,4999237921 + 1/27 + 1/6561 Ponto 3 Ponto 8 4 = 40/81 0,4938271605 9 = 9841/19683 0,4999745974 + 1/81 + 1/19683 Ponto 4 Ponto 9 5 = 0,4979423868 10 = 29524/59049 0,4999915325 + 1/243 121/243 + 1/59049 7
  8. 8. Observa-se que, tanto pela representação gráfica quanto pelos valores,há uma aproximação do número 1 2 , através de uma progressão. Analisando ospontos em relação aos seus valores (as frações obtidas), tem-se: Ponto Fração Numerador*2 Ponto Fração Numerador*2 1 1/3 2 6 364/729 728 2 4/9 8 7 1093/2187 2186 3 13/27 26 8 3280/6561 6560 4 40/81 80 9 9841/19683 19682 5 121/243 242 10 29524/59049 59048 É possível perceber que o dobro do numerador é próximo dodenominador, sendo-lhe menor em uma unidade. Ou seja, o denominador é o dobro ido numerador, acrescido de 1. Então, o i-ésimo ponto teria o seguinte valor: 2i  1 . iApós muitos pontos, a posição dele será: lim . Ora, como o valor de i é muito i   2i  1grande, é razoável afirmar que o número 1, no denominador, não interfere muito novalor de 2i; então, temos a divisão de uma quantidade (grande) por outra que lhe é odobro (praticamente), resultando em 1 2 . Assim, quando tivermos infinitos pontos, o n 1 1seu valor será 1 2 , sendo assim representado: lim   . i 2 i 1 3 n  Foram apresentadas as ferramentas gráficas e numéricas; contudo, odiscente do 1º ano do Ensino Médio possui ferramenta algébrica para calcular ovalor-limite assumido pelos pontos em questão. Observe-se: Ponto Fração 1 1/3 2 1/3 + 1/9 3 1/3 + 1/9 + 1/27 4 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 5 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 Assim, sucessivamente. Então, um ponto que “deixa muitos pontos pratrás”, isto é, um ponto de posição muito grande, possuirá o seguinte valor: 1/3 + 1/9+ 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 +... Logo, percebe-se que o ponto em questão possuium valor dado pela soma de uma progressão geométrica (P.G.) decrescente infinita,de razão q=1/3, e primeiro termo a1 = 1/3. 8
  9. 9. Não sendo interesse desse estudo provar a fórmula a ser utilizada, massim mostrar noções de limites, temos que o valor desse ponto, chamado agora de P, 1 1 a 3  P  3  P  3  P  1 . Então, o valor-limitecorresponde a: P  1 P  1 q 1 2 6 2 1 3 3para os pontos em progressão adotados é de 1 2 . 4. CONCLUSÃO As noções de limites abordadas neste estudo não possuem complexidadetal que não possam ser compreendidas na Educação Básica, pois se usa mais oraciocínio e a lógica matemática, bem como boa dose de aritmética, para chegar-seaos resultados apresentados. Assim, abordar o conteúdo apresentado fornece uma maior consistênciana formação matemática básica, pois proporciona um entendimento de muitassituações simplesmente relegadas aos alunos desse nível educacional. Naturalmente, o docente que apresente essa temática aqui abordada,inclusive utilizando esses exemplos, necessita detalhar melhor algumas operações epassagens, para que possa ser assimilado pelos alunos “secundaristas”,principalmente quando não há ferramentas algébricas para confrontar os resultadosaritméticos e algébricos; claro que é intuitivo que uma fração unitária (possuinumerador igual a 1) de denominador muito alto tende a 0, ao passo que a razãoentre um número e outro que praticamente o dobra tende a 1/2, mas noconhecimento de mundo e de conteúdo do discente do Ensino Básico isso não é tãoimediato, sendo-lhes necessários maiores esclarecimentos acerca do tema. Portanto, é válida e totalmente possível a apresentação de noções delimites aos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental e aos alunos do 1º ano doEnsino Médio, uma vez que já existe uma maturidade maior que alunos de sériesanteriores, e suficiente, para que seja trabalhado o universo dos números racionais,como feito no estudo em tela. 5. REFERÊNCIA  http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxos_de_Zeno#Dicotomia  http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm25/paradoxosd.htm 9
  10. 10. ÍNDICE1 - INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 32 – REVISÃO CONTEUDÍSTICA ................................................................................................. 4 2.1 – PARADOXO DA DICOTOMIA ........................................................................................ 4 2.2 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA REGRESSÃO ................................................... 5 2.3 – A NOÇÃO DE LIMITES A PARTIR DA PROGRESSÃO ................................................ 63 – MATERIAIS E MÉTODOS...................................................................................................... 6 3.1 – REGRESSÃO .................................................................................................................... 6 3.2 – PROGRESSÃO.................................................................................................................. 74. CONCLUSÃO ............................................................................................................................ 95. REFERÊNCIA............................................................................................................................ 9

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