Se presenta un problema sobre el pago de un regalo de 86€ por parte de 3 personas A, B y C. Se plantea un sistema de ecuaciones lineales con las cantidades a, b y c que cada uno paga. El sistema se resuelve mediante el método de Gauss, obteniendo que A paga 64,50€, B paga 8,60€ y C paga 12,90€.

1. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B , C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

2. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Resolvemos el apartado a): Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. Llamamos a, b y c a las cantidades que aportarán las personas A, B y C, respectivamente. Traduciendo al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado, formamos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: a + b + c = 86 a = 3(b + c) 3b = 2c a + b + c = 86 a – 3b - 3c = 0 3b – 2c = 0

3. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Resolvemos el apartado b): Resolver el sistema por el método de Gauss consiste en “triangularizarlo”, de forma que la última ecuación quede con una sola incógnita, la segunda con dos incógnitas y la primera con las tres incógnitas. La resolución entonces es inmediata, utilizando un método de “sustitución escalonada”: a + b + c = 86 a – 3b - 3c = 0 3b – 2c = 0 Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss. a + b + c = 86 4b + 4c = 86 3b – 2c = 0 1ª – 2ª => 2ª Intercambiamos las ecuaciones 2ª y 3ª para “ver” la forma triangular del sistema a + b + c = 86 4b + 4c = 86 10b = 86

4. Resolución de problemas mediante el método de Gauss Encontramos los valores de las tres incógnitas de forma escalonada, empezando por la tercera ecuación: a + c + b = 86 4c + 4b = 86 10b = 86 10b = 86 => b = 86/10 = 8,6 Con este valor, sustituimos en la 2ª ecuación y calculamos “c”: 4c + 4·8,6 = 86 => => c = (86 – 34,4)/4 = 12,9 Utilizamos los dos valores calculados para encontrar la tercera incógnita en la 1ª ecuación: a + 8,6 + 12,9 = 86 => a = 86 – 8,6 – 12,9 = 64,5 Una vez resuelto el sistema solo nos queda expresar correctamente la solución del problema:

5. Resolución de problemas mediante el método de Gauss a = 64,5 b = 8,6 c = 12,9 Por lo tanto: SOLUCIÓN: La persona A aporta 64,50 euros La persona B aporta 8,60 euros La persona C aporta 12,90 euros