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3é um ramo da Química, também da Biologia etc. Então, sobre a questão "quem veio primeiro ?" será aGeometria o ovo ou a ga...
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6coordenadas, uma formulação computacional fácil, rápida e didática das operações definidas na suaálgebra e presentes nas ...
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O calculo-poliadico-para-cientistas-da-engenharia

  1. 1. OCÁLCULO POLIÁDICOPARACIENTISTAS DE ENGENHARIA(The Polyadic Calculus for engineering scientists)Elysio R. F. RuggeriEngenheiro civilRESUMODistinguindo as preocupações e as atividades do engenheiro daquelas do cientista de engenharia(mestrandos e doutorandos), o autor pondera sobre a formação destes como uma continuidade daformação daqueles; e discordando dos procedimentos atuais, aponta defeitos facilmente reparáveis.Justifica-se, apoiado por dois princípios que, eventualmente indiscutíveis, não são em geralcompreendidos nem sequer respeitados por alguns bem intencionados dirigentes de ensino. Alerta sobre econdena o conteúdo imposto e a didática de parte da Matemática hoje ensinada, sem objetivo imediato, aaltos custos, tanto em graduação quanto em pós-graduação, em prejuízo do estudo pormenorizado detemas ricos em aplicações. Propõe inserir nos programas de pós-graduação de engenharia, o ensino daMecânica dos Meios Contínuos e do Cálculo Poliádico de GIBBS em substituição ao Cálculo Tensorial(este, em geral, grosseira e inescrupulosamente despejado sobre o aluno). Entreve para muito breve, abarganha que os engenheiros naturalmente farão do tedioso e obscuro algebrismo cartesiano característicodo Cálculo Tensorial, pela agradável, elegante e transparente geometrização gibbsiana propiciada peloCálculo Poliádico.ABSTRACTAlthough engineers and scientists have distinct concerns and activities, the author reminds that lattereducation should be a deeper natural sequence of the graduation studies. In this work the author showsfaults in nowadays educational procedures and suggests solutions. As a justification the author recalls twomajor principles that generally are neither understood nor respected by well-meaning educationalmanagers. The author warns and blames the imposed subject and the didactic applied to somemathematical fields without a straight practical application, both in graduation and pos-graduationcourses; suggests the teaching of Continuum Mechanics and Gibb’s Polyadic Calculus instead ofTensorial Calculus. As the Polyadic Calculus allows an elegant, pleasant and transparent gibbsiangeometrization that exceeds the tedious and obscure Cartesian algebrism present in Tensorial Calculus,the first will be the natural choice for engineers.Artigo publicado pela Revista da Escola de Minas REM vol. 49, n° 2 Abr/Mai/Jun 96
  2. 2. 21- O cientista de engenharia e seus parceiros.Recorrendo ao "Aurélio", Ciência é o "processo pelo qual o homem se relaciona com a naturezavisando a dominação dela em seu próprio benefício "; Arte é a "capacidade que tem o homem de pôr emprática uma idéia ... "; Engenharia é a "arte de aplicar conhecimentos científicos ... ". Então o físico, oquímico, o biólogo, dentre outros cientistas, em diferentes doses, são os grandes aliados do cientista deengenharia. Como a Matemática, muito longe de ser apenas um meio de expressão, é uma das alavancasdo desenvolvimento da Física e da Química notadamente, o matemático, por transitividade, é um terceiroaliado do cientista de engenharia; e, reconheçamos, o mais forte.Tudo isso pode ser óbvio para uns, didático simplesmente para outros e totalmente errado parauns poucos1. Entretanto, nada disso é óbvio - ao contrário, até muito polêmico - se formos avaliar as"diferentes doses", atrás assinaladas, com que a ciência da engenharia vai se valer da Matemática, daFísica, da Química e outras ciências.2- Princípios básicos do cientista da engenhariaPor questão de lógica, para atender o princípio aparentemente genético da menor ação, o ensinoda ciência da engenharia deve ser orientado por dois princípios básicos, independentes masinseparáveis: o da objetividade - que postula importar o mínimo das ciências básicas de que depende paraproduzir o máximo do que se almeja (uma questão de custo, em muitos casos); e o da praticidade - quepostula a convergência de todos os esforços para a solução de um problema concreto relevante (ligadoindiretamente a uma questão comercial na maioria dos casos). Problema relevante é aquele que, resolvido,pode transformar-se em benefício imediato para a sociedade (e que na maioria dos casos gera lucro). Paracustar o mínimo, esta resolução - devendo ser aplicada repetidas vezes - será sempre desenvolvida combase numa teoria convincente e bem dosada em generalidade2.A espada da verificação experimental será sempre a chancela da "teoria convincente" com que sedesvenda o mistério de um problema; com efeito, a teoria convincente é aquela que faz previsões que seconfirmam experimentalmente, qualitativa e quantitativamente, repetidas vezes, em qualquer tempo.3- A Física, como toda ciência, gera sua própria matemática !Se dividirmos a Física entre a Clássica (anterior a 1900) e a Moderna, a Engenharia fica na quasetotal dependência da Física Clássica3. Esta é desenvolvida dentro das noções primárias e absolutas4queforam denominadas: espaço, dentro do qual se desenvolveu a geometria denominada Euclidiana; matéria,que são as coisas existentes e que adquirem formas geométricas euclidianas; e tempo.Sendo possível desenvolver logicamente a geometria euclidiana (aliás, de fato, qualquer outrageometria) a partir de postulados independentes de realidades, a Geometria é um ramo da Matemática (jáque é lógica combinada com abstração). Poderíamos dizer, sem perigo de erro, que a Geometria foi umacondição necessária para o desenvolvimento da Física. Mas se entendermos que a Física é o conhecimento(de parte) da Natureza, então poderemos também concluir, sem erro, que a Geometria é um ramo daFísica porque parece ser impossível entender a Natureza sem a Geometria. Por conseqüência, a Geometria1Não importa abrir, aqui, discussão sobre essa interessante questão. Tenho certeza que agrado a maioria dosleitores.2Em tese, é possível que todos concordem com essa assertiva. Sobre esse assunto, Bacon foi implacável, quandoafirmou: "a teoria sem a prática é míope; a prática sem a teoria é cega". O que pode ser polêmico (por serantieconômico, principalmente) é o "quão geral é a teoria".3É óbvio que devemos excluir as engenharias (como a Nuclear, a Eletrônica e outras) nascidas neste século dentroda Física Moderna.4Por absoluto estamos entendendo, aqui, tudo aquilo que é "a mesma coisa", para qualquer indivíduo,independentemente da sua posição ou do seu movimento. Em linguagem técnica, na Física, o absoluto é dito, tambémum "invariante".
  3. 3. 3é um ramo da Química, também da Biologia etc. Então, sobre a questão "quem veio primeiro ?" será aGeometria o ovo ou a galinha ?Ora, se o que importa à Ciência é a geração de conhecimento (eventualmente para tornar a vidamais suportável), a exatidão da Geometria (como Matemática que pode ser) torna-se irrelevante. Isto é, oexato, a menos de um certo erro, pode ser de grande valor prático. Assim entendo, como engenheiro emortal comum, o valor da Matemática para a Física e, por conseqüência, para a Engenharia.O desenvolvimento da Física - fruto da busca de conhecimento cada vez mais profundo daNatureza - acarretou, em muitas situações, o desenvolvimento das Matemáticas, em diferentes áreas.Citemos um primeiro exemplo. Uma das operações fundamentais da Álgebra (Elementar) dosVetores, que hoje estudamos como Matemática, foi herdada dos gregos antigos que, empiricamente,compunham forças e velocidades5. Desde cerca de 170 anos uma "teoria de vetores", parte desenvolvidacom pistas obtidas nos laboratórios de física ou nos fenômenos naturais, parte desenvolvida nas tentativasde encontrar números complexos (mais gerais que aqueles conhecidos nos cursos colegiais) para a análisedo espaço, vem se impondo como uma teoria matemática[1]. Pelas mentes argutas e criativas dematemáticos geniais, essa teoria e outras estruturalmente muito parecidas foram unificadas, generalizadase arquitetadas em abstrações para constituírem uma nova teoria, absurdamente geral, esotérica: a ÁlgebraLinear, hoje lecionada em "pretensos bons cursos de engenharia"6. A rigor, o princípio da objetividade,por outro lado, afasta-a completamente dos interesses da ciência da engenharia. Essa questão costumagerar polêmica quando levantada. Seus defensores não se apercebem de que operar com vetores (flechasou setas, como eles costumam talvez jocosamente denominá-los) determinando-lhes somas e outrosresultados (fazendo uso da Trigonometria, da Geometria Elementar etc), operar objetivamente commatrizes etc, é muito mais significativo que consumir tempo (aliás, o pouco tempo que os engenheirosdispõem) em distinguir as noções de variedades lineares e espaços vetoriais, introduzir os conceitos deisomorfismo, produto interno etc. O que entendo fantástico, entretanto, é que, debaixo de toda essa pompaintelectual, em geral só operam com bases particulares: as ortonormadas, desconhecendo que em muitassituações, na Engenharia ou na Física, bases quaisquer são extremamente relevantes.O exemplo de maior vulto, entretanto, - para ficarmos com os pés no chão sobre essa questão -pode ser apreciado nos trabalhos independentemente produzidos por Newton e Leibnitz (e, em parte,também por Fermat), que culminaram com a criação do Cálculo Infinitesimal. Causas da criação: foram asrelacionadas com os problemas de movimento (mecânica) e com a interpretação das tangentes e máximose mínimos (geometria).O exemplo mais espetacular, por outro lado, de causar êxtase, veio por via indireta, quandoEinstein juntou o generalíssimo Cálculo Tensorial dos italianos Ricci e Civita com a então esotéricaGeometria de Riemann (que generalizou as criações e descobertas de Gauss, no que hoje denominamosGeometria Diferencial7) para formular uma teoria de gravitação mais exata que a de Newton8.5"Compunham" no sentido de determinar a resultante da velocidade das águas, por onde navegavam as suasembarcações, com a velocidade dos ventos.6Que não me entendam mal os matemáticos. Digo esotérica porque, de fato, apenas depois de muito esforçointelectual, alguns poucos iniciados, na verdade privilegiados, conseguem realmente entender com plenitude os seusconceitos soberbos.7Repito que não condeno o esoterismo de alguns matemáticos; pelo contrário, aplaudo e admiro. O que eucondenaria seria a febre eufórica de, por exemplo: impor aos físicos a abrigação de entender uma geometria que nãotivesse utilidade prática na Física, ou até, a obrigação de entendê-la acima do estritamente necessário; dodesenvolvimento do Cálculo Infinitesimal pela Álgebra Linear, por irrelevante que é etc.8Com efeito, por essa teoria, Einstein explicou o movimento "anômalo" do periélio de Mercúrio, já conhecido muitosanos antes dele, mas nunca justificado. Esse ponto devia ser fixo como os seus correspondentes dos demais planetasdo sistema solar e não estar em rotação (com a velocidade muito pequena de 574 segundos de arco em 100 anos) emtorno do sol, conforme medições astronômicas. Esse foi o valor calculado por Einstein e publicado, em 1915, numaconferência na Academia Prussiana de Ciências. Pelas equações de Newton não se justificava a diferença (de 43segundos) entre o valor calculado (de 531 segundos) e o medido [8, pag. 275]. Isto, hoje entendemos, é natural, pois aMecânica Einsteiniana é mais geral que a Newtoniana. Conforme comprovou I. I. Shapiro [7, pag. 208], o mesmo sedá com o periélio de todos os planetas, apenas com efeitos bem menores por estarem estes mais distantes do Sol.
  4. 4. 4O desenvolvimento ou a busca de ferramentas matemáticas para atender as necessidades daFísica gerou o inevitável, o sublime: a possibilidade do estabelecimento de efemérides, isto é, a previsãode eventos.Dois exemplos clássicos na área da Teoria da Relatividade Geral podem ser citados [8]: 1) -pelas equações de Einstein, da gravitação, um raio de luz deveria curvar-se de 1,75" ao passar nasproximidades do Sol9, previsão essa, feita pelo próprio Einstein alguns anos após a publicação da suateoria, praticamente concordante com as medições astronômicas; 2) - outra previsão, publicada em 1917,já conhecida experimentalmente pelo astrônomo Slipher em 1912, foi o pequeno deslocamento das linhasdo espectro de um átomo situado nas proximidades do Sol, em direção ao vermelho.Um outro exemplo (forte o suficiente para comprovar que Geometria é Física) pode ser citado nocampo da Física dos Cristais: a complexa "Teoria da Simetria" - uma teoria essencialmente geométrica -,além de explicar os sistemas cristalinos, previa (teoricamente) a existência de sistemas com simetriahelicoidal, mais tarde descoberto em certos cristais.4- Cálculo Poliádico X Cálculo TensorialO estudo dos altos problemas de engenharia pelo Cálculo Tensorial é uma necessidadeimperiosa, requerida para um estudo consciente. O estudo deste cálculo, além de ferir mortalmente oprincípio de objetividade pela sua generalidade exagerada, implica um hiato na formação matemáticagradativa do cientista de engenharia; o que, evidentemente, é econômica e didaticamente indesejável.Com efeito, somente depois de uma farta e massacrante iniciação é que se vai descobrir, pelas viasesotéricas, que os gloriosos vetoresinhos da Mecânica Racional, da Mecânica dos Fluidos, doEletromagnetismo etc, são tensores de ordem um. Que caminho longo ! Que preço alto !O Cálculo Poliádico é o próprio Cálculo Tensorial filtrado pelos dois princípios enunciados.Embora assim possa ser compreendido (como um Cálculo Tensorial particularizado !), tem estruturaprópria, que pode ser montada gradativamente, mais ou menos como na álgebra colegial evoluímos, pornecessidade prática, do número inteiro ao número complexo. Com efeito, a sua unidade básica é o clássicoe o já dito glorioso vetor que, nesse cálculo, passa a se chamar monádico ou uniádico; com monádicosformam-se diádicos, com diádicos e monádicos, triádicos etc. Assim, fica fácil entender que o CálculoPoliádico é uma ampliação metódica e gradativa do Cálculo Vetorial; o tem como ponto de partida econserva, ainda, todo o seu charme [2,6,9].5-O Cálculo Poliádico para formular a FísicaConforme se aprende nos bons cursos de graduação em engenharia, os vetores podem representaras grandezas vetoriais, como: as forças, os momentos de forças, as velocidades, os campos elétricos,magnéticos etc. Apenas com os vetores, entretanto, não se consegue representar os tensores (de 2ª ordem)denominados: momento de inércia, tensão, deformação ..., nem tão pouco os de 3ª ordem como o módulopiezoelétrico e outros mais; para tal podemos usar, respectivamente, os diádicos, os triádicos e, de ummodo geral, os poliádicos. Constata-se, assim, a aptidão dos poliádicos para estudar toda a FísicaClássica, isto é, a Física de que depende a resolução dos problemas de engenharia.Não precisamos, e nem devemos, nos contentar apenas com isso. O entendimento da FísicaModerna requer o conhecimento de novas geometrias porque o espaço físico, para grandes distânciasrelativas, é curvo. Nestas condições o uso dos vetores, ainda possível, não pode ser utilizadoinadvertidamente porque a menor distância (possível) entre dois pontos é um arco de geodésica e não umsegmento de reta. Quando nas vizinhanças de um ponto do espaço curvo, o espaço (denominado tangente)é chato (ou flat) - e isso em geral acontece -, nessas vizinhanças é válida a Geometria Minkowskiana de 4dimensões e o uso dos vetores volta a ter validade (agora, em 4 dimensões e com um conceito diferente de9Pelas equações de Newton seria a metade, ou seja, 0,87".
  5. 5. 5módulo). O uso do Cálculo Poliádico nesses domínios implica, pois, em lhe acrescentar novos capítulos,novos desenvolvimentos. Esses vislumbres, já na mira do autor, estão todos em lento desenvolvimento10.6- A Mecânica do engenheiro do século XXIO Cálculo Poliádico situa-se acima do nível de graduação em engenharia pois se destina,precisamente, aos cientistas de engenharia, isto é, àqueles engenheiros que desejem uma ampliação deconhecimentos, o que requer, necessariamente, a construção de bases sólidas. Estes, então, certamente,estarão se defrontando com problemas mais complexos, para o equacionamento dos quais necessitarão deum ferramental matemático apropriado. Assim, nessas alturas, esses engenheiros estarão aptos paraestudar a mecânica, nascida neste século XX, que unifica o trato dos comportamentos de todos os corposconhecidos, sólidos (como as rochas, os aços, os concretos, as cerâmicas, os minerais etc), fluidos (comoas soluções, as emulsões, os metais fundidos etc), plásticos, polímeros, compósitos etc, homogêneos ounão, isótropos ou anisótropos, com memória ou sem memória, quando sujeitos à ação de campos de:temperatura, de força, elétrico, magnético etc; tal é a Mecânica dos Meios Contínuos, a mecânica doengenheiro do século XXI [3].Quando, nesta mecânica, ao meio contínuo se agrega "uma porosidade em cada ponto", cria-se aMecânica dos Meios Porosos. O meio poroso, uma rocha por exemplo, poderá estar saturado ou não comfluidos (gasosos ou líquidos), que por ele circulam (estabelecendo um fluxo multifásico) e entre os quais,inclusive, poderão ocorrer reações químicas. Deve-se, ainda, acrescentar a essas questões, de formulaçãomatemática complexa, a alteração da forma do meio poroso uma vez que, estando ele sujeito à ação deesforços, pode se deformar elasticamente, visco-elasticamente etc. Não é necessária muita perspicáciapara inferir que o estudo desta classe de problemas (altamente complexa do ponto de vista matemático)pode ser de alto valor na engenharia do petróleo. No Cálculo Poliádico, certamente, encontra-se um bom eadequado amparo para a abordagem e a formulação matemática desses problemas [4].Quando, nesta mesma mecânica (do contínuo), um elemento de volume é da ordem de grandezada célula cristalina, pode-se desenvolver macroscopicamente a Física dos Cristais, disciplina certamentebásica (como a Cristaloquímica) nos bons cursos de Gemologia, Ciência dos Materiais etc. No CálculoPoliádico, mais uma vez, encontra-se todo o amparo para um tal estudo, sendo necessárias, aliás, atéoperações com pentádicos (raramente necessárias, nas aplicações) se vão ser analisados efeitos nãolineares [5].Resumo e conclusãoO Cálculo Poliádico é, pois, bem dimensionado e bastante apropriado para o estudo de sistemasfísicos que envolvam grandezas físicas complexas; atua desde a formulação e o trato das inter-relações deleis naturais correspondentes (em geral, matematicamente complexas), até a obtenção da equaçãopoliádica conclusiva do problema, ponto final da atividade do engenheiro. Esta equação, em geral, sedesdobra em um sistema de equações algébricas, num sistema de equações diferenciais ordinárias ou numsistema de equações com derivadas parciais, eventualmente não lineares, cuja solução é da alçada de outroramo da Matemática. Deste ramo os engenheiros devem ter boas noções para, eles próprios, resolverem oscasos mais simples. Nos casos mais complexos - e hoje em dia essa situação é muito comum - apenas osmatemáticos especializados terão condições de abordar tais problemas; e nem sempre encontrarãosoluções exatas (analíticas), apenas numéricas, eventualmente.Particularmente, na Mecânica dos Meios Contínuos, ou seja, em todas as mecânicas do âmbito daEngenharia, as equações gerais, formuladas puntualmente com a universal conceituação poliádica, sãoválidas em qualquer sistema de coordenadas. Distinguindo conceitual e rigorosamente as entidadesmatemáticas poliádico e matriz, o Cálculo Poliádico permite, ainda, em relação a um particular sistema de10Embora o texto ainda não seja do conhecimento do autor, parte dessa tarefa já foi desenvolvida. Veja WILSON andLEWIS, Proc. Acad. of Arts and Sciences, vol 48, 1912, pp. 391 - 507.
  6. 6. 6coordenadas, uma formulação computacional fácil, rápida e didática das operações definidas na suaálgebra e presentes nas equações da Mecânica.Deste modo, o Cálculo Poliádico pode transferir para o "método dos elementos finitos", porexemplo, o problema da resolução ponto a ponto (elemento por elemento), para todo o meio, da equaçãopoliádica correspondente. Esse é o método a seguir, conceitual e didaticamente perfeito. Nodesenvolvimento didático dos elementos finitos pelos métodos poliádicos, os tensores do espaço físico(euclideano) continuam tensores até o final. Esses tensores não são "mutilados" em vetores de 6 linhas, oude 18 linhas etc como sói acontecer nos melhores tratados; as tarefas são bem separadas: teoria eequacionamento de um lado, resolução de equações e métodos numéricos de outro, exatamente comoaprendemos a fazer desde os primórdios da nossa formação.Em resumo: os métodos poliádicos sugerem economia de tempo, pensamento e dinheiro, porque:1°) - em estrita obediência aos postulados da objetividade e da praticidade, preenchem as necessidadestécnicas (fisico-matemáticas) dos estudiosos dos altos problemas de engenharia; 2°)- têm grande valordidático porque possibilitam um progresso contínuo de estudos sem prejuízo do trabalho despendido noscursos de graduação; 3°) - enxugando as expressões matemáticas, facilitam o entendimento dosfenômenos, mostram claramente a conexão das grandezas físicas e, principalmente, permitem levantarnovas questões, estimulando a pesquisa.Junte-se agora, a esses ganhos, o prazer de ver uma teoria matemática estruturalmente simples,bem arranjada, que resolve problemas concretos de física e de engenharia, que deixa pistas para esoterisarum pouco mais os matemáticos e que, principalmente, pode colocar questões teóricas geométrico-mecânicas inéditas. Essa é a chave de ouro com que se pode fechar brilhantemente essa "matemáticapoliádica" cujas idéias iniciais foram estabelecida por J. W. Gibbs [6] durante a sua longa discussãotécnica (entre 1880 e 1900) com os quaternionistas seguidores de Hamilton [1, pag. 150 e seguintes].Que os leitores dirigentes do ensino nesse país, ao lerem esse artigo, se instruam a respeito. Osmétodos poliádicos, aqui propostos, foram respaldados por Heaviside, Föppl e, principalmente, porMaxwell (embora matemático, o maior dos físicos teóricos da época); de índole essencialmentegeométrica, satisfizeram plenamente as necessidades da física-matemática, proporcionando-lhe maisharmonia, síntese e elegância. Esses ensinamentos, ainda extremamente úteis para a Física Clássica, foramdespretensiosamente soterrados pela avalanche modista provocada pela Relatividade Geral que se valeudos recém-nascidos métodos tensoriais, de índole algébrica e esfericamente cartesianos. É bem provávelque Einstein - inclusive Minkowski, o intérprete-geometra da Relatividade - nem os tenha conhecido11; docontrário teriam caminhado em outra direção, a direção em que a geometria, como física que é, predominano conhecimento da natureza ... e, quem sabe, por isso mesmo, poderiam ter ido mais longe !. Essa é atendência que vem se manifestando dos escritos dos estudiosos modernos da relatividade. Apesar dosdesenvolvimentos matemáticos desnecessariamente complicados observados nesses escritos 12, pode-seperceber o forte toque analítico-vetorial combinado com interpretações e ilustrações geométricas. O nometensorial está consagrado pelo uso, mas o estilo, que poderíamos denominar de moderno, é o poliádico.Na Física e na Engenharia, muito em breve, os métodos poliádicos, apesar de terem de suportar,eventualmente, o nome de tensoriais, comporão os textos daqueles que se preocuparem em equilibrarjudiciosamente tratamento rigoroso e objetividade com a finalidade de ensinar, desenvolver tecnologia epesquisar.... E o nome de GIBBS, esse imortal, mais uma vez será exultado !11Com efeito, somente tempos depois de ter definido as bases da Mecânica Estatística é que Einstein tomouconhecimento do nome de Gibbs que, bem antes dele, já teria executado tal proeza [7, pag. 102]. Que pensar, então,dos métodos poliádicos ?12É bem provável que o próprio Einstein os considerasse esotéricos. Ao ler uma exposição de Max von Laue sobre aRelatividade (aliás, o primeiro a publicar sobre o assunto), declarou ter tido "dificuldade em entender o trabalho deLaue", proveniente de virtuosismo e tecnicismo matemáticos empregados de forma excessiva [7, pag. 15].
  7. 7. 7BIBLIOGRAFIA[1] - CROWE, M.J., A history of Vector Analysis (The evolution of the idea of a vectorial system), DoverPublications, 1967, 270 p..[2] - RUGGERI, E. R. F.,Fundamentos de Cálculo Poliádico, em preparação, 800p..[3] - SEDOV, L. I. A course in continuum mechanics, Wolters-Noordhoff, 1971, 4 volumes, 996 p..--- Non-linear mechanics of continua, Pergamon Press, 1965, 252 p..[4] - COUSSY, O., Mécanique des milieux poreux, Editions Technip, Paris, 1991, 437 p..[5] - SIROTIN, Yu. I. e M. P. SHASKOLSKAYA, Acoustic Activity of Crystals. In: Fundamentals osCrystal Physics, Mir Publishers Moscow, 1982, 654 p., Cap. IX, sec 83.[6] - GIBBS, J. W. e E. B. WILSON, Vector Analysis, Yale University Press, New Haven, 1901, 436 p..[7] - GOLGHER, I., O universo físico e humano de Albert Einstein, Oficina de Livros, 1991, Belo Horizonte,329 p.[8] - LIEBER, L. R., The Einstein Theory of Relativity, Dennis Dobson Ltd, London., 1949, 324 p..[9] - MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata, vol. XXV n° 2 e 3,Ouro Preto, 1966, 39 p..Endereço de trabalho:Elysio R. F. RuggeriFurnas Centrais Elétricas S.A.Rodovia BR 153, km 1290, Caixa Postal 457CEP 74001-970Goiânia - GOFones: 62 239-6375Email: ruggeri@furnas.com.br

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