Erros em demonstrações ideias principais [com minha participação]

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Erros em demonstrações ideias principais [com minha participação]

  1. 1. Ideias principais dos erros nas demonstrações dos exemplos anteriores
  2. 2. Erros em demonstrações • Em vez de se demonstrar a proposição enunciada, demonstra-se apenas um caso particular dela (ligado às peculiaridades da figura utilizada na demonstração). • Por exemplo, na demonstração da existência de segmentos incomensuráveis, a sequência do raciocínio é a seguinte:
  3. 3. Definição da medida comum entre dois segmentos de reta; Explicação do método para determinar essa medida (Algoritmo de Euclides). Definição de segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis. Mas a existência deste último requer uma demonstração teórica, exibindo um par de segmentos com essa propriedade.
  4. 4. Onde está o erro? • O fato de não se achar a medida comum pelo método de Euclides não implica, por si só, que essa medida comum não exista. Há outras maneiras de chegar a esse resultado. • Para que a demonstração seja completa, é preciso estabelecer antes a seguinte proposição:
  5. 5. “Se o processo de busca da medida comum máxima de dois segmentos de reta se prolonga indefinidamente, então esses segmentos são incomensuráveis”.
  6. 6. Outro erro bastante frequente • Utilizar resultados ainda não provados, e às vezes recorre-se ao próprio teorema objeto da demonstração. Esse erro é denominado “demonstração em círculo” e frequentemente se encontra camuflado. • Exemplo: Demonstração do teorema: “Se duas bissetrizes de um triângulo são congruentes entre si, então o triângulo é isósceles”.
  7. 7. • O erro consiste no uso da congruência dos ângulos da base do triângulo. Essa congruência vem do fato que o triângulo seja isósceles e é isso o que se pretende provar.
  8. 8. • Há também casos de demonstrações que se baseiam em resultados ainda não estabelecidos mas considerados evidentes, embora não estejam no rol dos axiomas. • Exemplo: Os três casos da posição relativa de uma reta e uma circunferência coplanares.
  9. 9. Distância relativa entre reta e circunferência
  10. 10. • Enquanto os dois primeiros casos são acompanhados pelas demonstrações corretas, mas no terceiro caso diz-se apenas: “A reta passa por um ponto interior ao círculo e, portanto, é evidente que corta a circunferência”. Por trás da palavra evidente está uma proposição muito importante: “Todo ponto da reta que passa por um ponto interior a um círculo, corta a circunferência desse círculo”.
  11. 11. Condições a serem verificadas por uma demonstração para ser considerada correta a) Toda demonstração deve basear-se unicamente em proposições verdadeiras; b) Todas as conclusões que façam parte de uma demonstração deve ser estruturadas corretamente; c) É preciso não perder de vista o objetivo da demonstração.
  12. 12. Como encontrar a demonstração correta? Destacar bastante claramente a ideia principal a ser objeto de demonstração. Ressaltar também as condições dadas indispensáveis à demonstração. No ensino de Geometria, geralmente são adotadas as denominações hipótese e tese, e após isso, começa-se a demonstrar o teorema, utilizando os axiomas e teoremas já provados e as correlações essenciais fornecidas.
  13. 13. Como encontrar a sequência de raciocínios? • Como escolher, entre tantas proposições diferentes, aquelas que podem servir para a demonstração de um teorema? • Pode-se usar um método de raciocínio científico chamado análise.
  14. 14. A análise • Pode-se partir da proposição objeto de demonstração e perguntar: De que resultado pode-se obter, como consequência, a proposição a ser demonstrada?
  15. 15. Se há resultado, então ele é consequência das condições e teoremas anteriores; o problema está resolvido. Não sendo consequência direta, repete-se a pergunta, porém com relação ao novo resultado, e assim por diante. Há casos em que a análise se torna mais longa e difícil, por requerer toda uma rede de proposições auxiliares.
  16. 16. Um exemplo complexo de análise • Teorema: Circunscrevendo a um triângulo uma circunferência e baixando por um ponto qualquer desta as perpendiculares aos três lados do triângulo, então os pés dessas perpendiculares estão numa mesma reta (reta Simson do triângulo).
  17. 17. A síntese • Se tivéssemos de expor a sequência dos raciocínios, seríamos obrigado a seguir o caminho inverso. Esse método, inverso do analítico, é chamado de síntese, é o que em geral se usa nos livros-texto e nas aulas de geometria para demonstração de teoremas. • Por esse método, a demonstração é mais fácil e natural, mas para busca da demonstração é preciso recorrer à análise.
  18. 18. Análise e Síntese • São duas fases indissoluvelmente ligadas entre si, de um mesmo processo na demonstração de um teorema. • Usa-se a análise para buscar uma demonstração e a síntese para expor a demonstração.
  19. 19. Dificuldades • Nem sempre é fácil achar a sequência de conclusões, sendo necessário abandonar uma estratégia escolhida e tentar outra. • A habilidade na aplicação do método analítico, facilitando a descoberta de, por meios próprio, dos caminhos de uma demonstração, exige bastante treinamento. É preciso fazer muitos exercícios envolvendo demonstrações.
  20. 20. Métodos de demonstração • Todo teorema pode ser demonstrado por dois métodos: o direto e o inverso (indireto). Demonstração direta: Aquela em que se estabelece a veracidade da proposição a ser demonstrada mediante uma ligação direta entre ela e as que foram demonstradas anteriormente. Os exemplos demonstrações até aqui são pelo método direto.
  21. 21. Demonstração indireta: Aquela em que se põe em dúvida a verdade da proposição a ser demonstrada, supondo-a falsa, e se chega a alguma contradição com as condições constantes do enunciado ou com alguma proposição já demonstrada anteriormente. É também conhecida como demonstrações por redução ao absurdo.
  22. 22. Exemplo de demonstração indireta • O caso LLL (lado-lado-lado) de congruência de triângulos, cuja demonstração se dá por superposição dos triângulos.

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