Ejercicios predicados
- 1. Ejercicios de lógica de primer Orden
Alfonso Cabanzo
I. Realizar las siguientes deducciones usando reglas básicas o derivadas de
deducción natural para lógica de proposiciones, pero usando sólo reglas
primitivas de lógica de predicados (,∀ܧ ,∀ܫ ,∃ܧ :)∃ܫ
1)
–1. ∀ݔ൫ܲݔ ∧ ሺܴݔ ∧ ܵݔሻ൯
–2. ∀ݔܶݔ ⊢ ܵܽ ∧ ܶܽ
2)
–1. ∀ݔሺܳݔ ∧ ܴݔሻ
–2. ∀ݔሺܵݔ ∧ ܶݔሻ ⊢ ܴܽ ∧ ܾܵ
3)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∧ ܳݔሻ
–2. ∀ݔሺܴݔ ∧ ܵݔሻ ⊢ ܳܽ ∧ ܾܵ
4)
–1. ∀ݕݔሺܲݕݔ ∧ ܳݔሻ ⊢ ܲܽܽ
5)
–1. ∀ݔܴݔ ∧ ∀ݕሺܶܽݕ → ܵܽݕሻ ⊢ ܾܶܽ → ܾܵܽ
6)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∧ ܴݔሻ ∧ ∀ݕܵݕ
–2. ∀ݔሺݔܯ ∧ ܶݔሻ ∧ ∀ݔܳݔ ⊢ ∃ݔሺܲݔ ∧ ݔܯሻ ∧ ∃ݕሺܴݕ ∧ ܳݕሻ
7)
–1. ∀ݕݔሺܲݔ ∧ ݕܯሻ ⊢ ∃ݔሺݔܯ ∧ ܲݔሻ
8)
–1. ∀ݕݔ൫ሺܲݔ ∧ ܶݔሻ ∧ ܵݕ൯ ⊢ ∃ݔሺܵݔ ∧ ܶݔሻ ∨ ∀ݕݔܲݕ∃ݔ
9)
–1. ∀ݕݔሺܲݔ ∧ ܶݕሻ
–2. ∀ݔܯݔ ⊢ ∃ݔܲݔ ∧ ∀ݔܯݔ
10)
–1. ∀ݔ൫ሺݔܯ → ܶݔሻ ∧ ሺܴݔ ↔ ܳݔሻ൯
–2. ∀ݔ൫ሺܵݔ ∨ ܼݔሻ ∧ ሺݔܤ → ܶݔሻ൯ ⊢ ∃ݓݖݕݔ൫ሺݔܯ → ܶݕሻ ∧ ሺݖܤ → ܶݓሻ൯
- 2. Alfonso Cabanzo
2
11)
–1. ∀ݔ൫ሺݔܯ ∨ ܵݔሻ ∧ ሺܶݔ ∨ ܹݔሻ൯
–2. ∀ݔ൫ሺܲݔ → ܳݔሻ ∧ ሺܴݔ → ܶݔሻ൯ ⊢ ∃ݕݔሺݔܯ ∨ ܵݕሻ ∧ ∃ݕሺܴݕ → ܶݕሻ
12)
–1. ∀ݔ ሺݔܯ ∨ ܵݔሻ ∧ ∀ݕሺܶݕ → ܳݕሻ
–2. ∀ݔ൫ܵݔ ∨ ሺܲݔ → ܶݔሻ൯ ⊢ ∃ݔሺܶݔ → ܳݔሻ ∨ ∃ݔ൫ܵݔ ∨ ሺܲݔ → ܶݔሻ൯
13)
–1. ∀ݔ ቀ൫ሺܲݔ → ܴݔሻ → ܳݔ൯ ∧ ൫ሺܲݔ → ܱݔሻ ↔ ሺܰݔ ∨ ݔܯሻ൯ቁ
⊢ ∃ݕݔ൫ሺܲݔ → ܴݔሻ → ܳݕ൯
14)
–1. ∀ݔ൫ሺݔܯ ∧ ܶݔሻ ∧ ሺݔܣ → ݔܤሻ൯
–2. ∀ݔሺሺܲݔ → ܳݔሻ ∧ ܵݔሻ ⊢ ∃ݖݔ൫ሺݔܯ ∧ ܶݔሻ ∧ ሺܲݖ → ܳݖሻ൯
15)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∧ ܳݔሻ ⊢ ∀ݔሺܲݔ ∨ ܴݔሻ
16)
–1. ∀ݔሺܵݔ ∧ ܶݔሻ ⊢ ∀ݔሺܵݔ ∨ ܶݔሻ
17)
–1. ∀ݔ൫ሺܲݔ ∧ ܳݔሻ ∨ ܴݔ൯ ⊢ ∀ݔܲݔ ∨ ∀ݕܴݕ
18)
–1. ∀ݔ൫ሺܲݔ → ܳݔሻ ∧ ሺܴݔ → ܵݔሻ൯ ⊢ ∀ݔሺܲݔ → ܳݔሻ ∨ ∃ݔሺܴݔ → ܵݔሻ
19)
–1. ∀ݕݔܲݕݔ ⊢ ∀ݕݔܲݕ∃ݔ ∨ ∀ݔ൫ܴݔ → ሺܵݔ → ܶݔሻ൯
20)
–1. ∀ݔ൫ሺܲݔ ∨ ܴݔ → ܶݔሻ ∧ ሺܶݔ → ܵݔሻ൯
⊢ ∀ݔሺܶݔ → ܵݔሻ ∨ ∃ݕݔሺܲݕݔ ∧ ܴݔݕ ↔ ܶݕݔሻ
21)
–1. ∀ݔ൫ሺݔܣ ∧ ݔܤሻ ∧ ሺݔܥ ∧ ݔܦሻ൯
–2. ∃ݔ ൫ሺݔܧ → ݔܨሻ ∧ ሺݔܩ ↔ ݔܪሻ൯
⊢ ∃ݔ൫ሺݔܣ ∧ ݔܥሻ ∧ ሺݔܧ → ݔܨሻ൯ ∨ ∀ݔሺݔܭ ∨ ܴݔሻ
22)
–1. ∀ݔ ൫ሺݔܫ → ݔܬሻ ∨ ሺݔܭ → ݔܮሻ൯ ∨ ∃ݔ൫ሺݔܯ ∨ ܵݔሻ ∧ ሺܶݔ ∨ ܹݔሻ൯
⊢ ∃ݔ൫ሺݔܭ → ݔܮሻ ∨ ሺܶݔ ∨ ܹݔሻ൯ ∨ ∀ݔ∃ݕሺݕܩ ∧ ݔܨ → ݔܣሻ
- 3. Alfonso Cabanzo
3
23)
–1. ∃ݔ൫ሺܲݔ ∨ ܳݔሻ ∨ ܴݔ൯
–2. ∀ݔሺܵݔ → ܶݔሻ
⊢ ∃ݔ ቀ൫ሺܲݔ ∨ ܳݔሻ ∨ ܴݔ൯ ∧ ሺܵݔ → ܶݔሻቁ ∨ ∀ݔ൫ሺܲݔ ∧ ܳݔሻ ∧ ܶݔ൯
24)
–1. ∀ݔሺݔܦ → ݔܧሻ ⊢ ∃ݔሺݔܦ → ݔܧሻ ∨ ∀ݔሺݔܧ → ݔܦሻ
25)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∨ ܳݔ → ܴݔ ∧ ܵݔሻ
–2. ∃ݔሺܶݔ ∧ ܲݔሻ ⊢ ∃ݔሺܴݔ ∨ ܵݔሻ
26)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∨ ܴݔ → ܵݔ ∧ ݔܭሻ
–2. ∃ݔ ሺݔܯ ∧ ܲݔሻ ⊢ ∃ݔሺܵݔ ∨ ݔܭሻ
27)
–1. ∀ݔሺݔܣ → ݔܤሻ
–2. ∃ݔሺݔܯ ∧ ݔܣሻ
–3. ∀ݔሺݔܯ ∧ ݔܤ → ܵݔሻ ⊢ ∃ݔ൫ܵݔ ∨ ሺܳݔ ↔ ܴݔሻ൯
28)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∧ ܳݔሻ
–2. ∀ݔሺܳݔ → ܴݔሻ
–3. ∀ݔሺܴݔ ∨ ܶݔ → ܵݔሻ
–4. ∀ݔሺܵݔ ∨ ܶݔ → ܷݔሻ ⊢ ∀ݔ൫ܷݔ ∨ ሺܹݔ ∨ ݕܩሻ൯
29)
–1. ∀ݔܲݔ ∧ ∀ݔܳݔ
–2. ∀ݔܴݔ ∧ ∀ݔܵݔ
–3. ∀ݔ൫ሺܳݔ ∧ ܵݔሻ ∨ ܶݔ → ܷݔ ∧ ܴݔ൯
–4. ∀ݔሺܷݔ ∨ ܸݔ → ܹݔሻ ⊢ ∀ݔ ቀܹݔ ∧ ൫ܲݔ ∨ ሺܳݔ ↔ ܴݔሻ൯ቁ
30)
–1. ∃ݔሺݔܯ ∧ ܵݔሻ
–2. ∀ݔሺݔܯ ∨ ܶݔ → ܴݔሻ
–3. ∀ݔሺܴݔ ∨ ሺNx ∧ ܲݔሻ → ܷݔ ∧ ܴݔሻ
–4. ∀ݔሺܷݔ ∨ ܸݔ → ܳݔሻ ⊢ ∃ݔܳݔ ∨ ∀ݕݔሺܼݕ ↔ ݔܪሻ
31)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∧ ܳݔሻ ∧ ∀ݕሺܴݕ ∨ ܵݕሻ
–2. ∀ݔሺܲݔ ∨ ܶݔ → ܵݔሻ
–3. ∀ݔሺܴݔ ∨ ܵݔ → ܷݔሻ ⊢ ∀ݔሺܵݔ ∧ ܷݔሻ ∨ ∃ݔሺܹݔ ↔ ܼݔሻ
- 4. Alfonso Cabanzo
4
32)
–1. ∀ݔሺܲݔ → ܳݔሻ
–2. ∀ݔሺܳݔ ∨ ݔܯ → ܶݔሻ
–3. ∃ݕሺݕܯ ∧ ܲݕሻ ⊢ ∃ݔሺܶݔ ∧ ݔܯሻ
33)
–1. ∀ݔሺݔܥ → ݔܪሻ
–2. ∀ݔሺݔܪ ∨ ܶݔ → ݔܨሻ
–3. ∃ ݖܥݖ ⊢ ∃ݔܨݔ ∨ ∀ݔሺݔܯ ∧ ݔܩሻ
34)
–1. ∀ݔܯ(ݔ ∨ ܵݔ → ܶݔ ∧ ܳ)ݔ
–2. ∀ݔሺܶݔ ∨ ܴݔ → ܵݔ ∧ ݔܬሻ
–3. ∀ݔሺܵݔ ∨ ܹݔ → ݔܭ ∧ ݔܮሻ
–4. ∃ݔܯݔ ∧ ∀ݔሺܲݔ → ܳݔሻ ⊢ ∃ݔܭݔ ∨ ∀ݔሺܼݔ ↔ ܹݔሻ
35)
–1. ∀ݔሺܲݔ ∧ ܳݔሻ ⊢ ∀ݔሺܴݔ → ܳݔ ∨ ܵݔሻ
36) ⊢ ∀ݔሺܲݔ → ܲݔ ∨ ܳݔሻ
37) ⊢ ∀ݔሺܲݔ ∧ ܳݔ → ܲݔሻ
38)
–1. ∀ݔ൫ሺݔܯ → ܵݔሻ → ܶݔ൯
–2. ∃ݔሺܵݔ ∧ ܴݔሻ ⊢ ∃ݔሺܶݔ ∧ ܴݔሻ
39)
–1. ∃ݔሺܵݔ ∧ ܶݔሻ → ∀ݔܯݔ
–2. ∃ݖܯݖ ∨ ∀ݔܵݔ → ∃ݔܪݔ ⊢ ∀ݔሺܵݔ ∧ ܶݔሻ → ∃ ݕܪݕ
40)
–1. ∀ݔሺݔܯ ∧ ሺܶݔ ∨ ݔܪሻ → ܵݔሻ ⊢ ∀ݔ ቀݔܯ → ൫ܶݔ → ሺܵݔ ∨ ܹݔሻ൯ቁ
41)
–1. ∀ݔሺݔܯ ∧ ሺܶݔ ∧ ܵݔሻ → ݔܭሻ ⊢ ∀ݔ ቀݔܯ → ൫ܶݔ → ሺܵݔ → ݔܭ ∨ ܼݔሻ൯ቁ
42)
–1. ∀ݔ൫ܱݔ → ሺݔܪ → ݔܭሻ൯ → ∃ݕݔሺݕݔܬ ∧ ܵܽݔሻ
–2. ∀ݔሺܱݔ ∧ ݔܪ → ݔܭሻ ⊢ ∀ݔܶݔ → ∃ݖݔݕሺݔݕܬ ∧ ܵݖݕሻ
43) ⊢ ∀ݕݔ ቀሺݕݔܣ → ݕݔܤሻ → ൫ሺݕݔܤ → ݕݔܥሻ → ሺݕݔܣ → ݕݔܥሻ൯ቁ
44)
–1. ∀ݕݔ൫ݔܪ → ሺݕݔܬ → ݔݕܭሻ൯ ⊢ ∀ݕݔ൫ݔܪ ∧ ݕݔܬ → ݕݔܭ ∨ ሺܲݔ ↔ ܴݔሻ൯
- 5. Alfonso Cabanzo
5
45)
–1. ∀ݔሺܲݔ → ܵݔሻ
–2. ∀ݔሺܵݔ ∨ ܶݔ → ݔܭሻ ⊢ ∀ݔሺܲݔ → ݔܭ ∨ ݔܬሻ
46)
–1. ∀ݕݔ൫ሺݕݔܭ ∧ ܶݕݔሻ൯
–2. ∀ݔሺݕݔܭ → ܵݔሻ
–3. ∀ݔሺܵݔ ∧ ܳݔ → ∃ݕܹݕሻ ⊢ ∀ݔሺܳݔ → ∃ݕܹݕ ∧ ܶݔሻ
47)
–1. ∀ݕݔሺܲݕݔ ∧ ܳݔݕሻ
–2. ∀ݔሺܳܽݔ ∧ ܵܽݔ → ܶݔሻ
–3. ∀ݔ൫ሺܹݔ → ܶݔሻ → ݔܯ൯ ⊢ ∃ܽݔܵݔ → ∃ݔܯݔ
48)
–1. ∀ݕݔ ቀ൫ܶݕݔ ∧ ሺܵݕݔ → ܶݕݔሻ൯ቁ
–2. ∀ݔݕ ቀ൫ሺܵݔݕ → ܶݔݕሻ ∧ ݔݕܯ൯ → ݔݕܭቁ
⊢ ∀ݕݔ൫ݕݔܯ → ሺݕݔܬ → ݕݔܭሻ൯
49)
–1. ∀ݔሺܶݔ ∧ ݔܯ → ݔܬ ∨ ܼݔሻ
–2. ∃ݔሺݔܯ ∧ ܵݔሻ
⊢ ∀ݔܶݔ → ∃ݔ൫ሺݔܬ ∨ ܼݔሻ ∨ ሺݔܤ ∧ ݔܥሻ൯
50)
–1. ∃ݔ൫ሺܵݔ ∧ ܲݔሻ ∧ ሺܼݔ ∧ ݕሻ൯
–2. ∀ݔ൫ሺܵݔ ∧ ܼݔሻ ∧ ሺݔܭ ∨ ݔܭሻ → ݔܣ ∨ ܹݔ൯ ⊢ ∃ݔ൫ሺݔܭ ∨ ݔܭሻ → ݔܣ ∨ ܹݔ൯