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  1. 1. .í Valor Médio e Integral Deñnlda Uma das aplicaçñ-: s da integral definida está n-n calcular u valor médio Jr uma função. Os raciocínius «Inscritos a seguir nos mmlrarãu como isso é possível. Vamu; considerar para now: : cálculos o valor Vdc uma ação nu dtcurr rc: dos dia; l. S. : mnus os valores dadm di¡ a dm. dnscrcramrnlr. conforme a Tabela 10.1. rrlrmhnmos que é fácil nhrcr o valor médio pda cálculo da vnédia aritm 'a simplrs: V(I¡I + Vu” o Vu. ) +, ,.+ Vu_) Valor hlñdiu = n Vülur “Hd”, I 42.50 + 44,070 + 47.00 › . ..4 5h00 a 46.40 IO Tdbnsla 10.2 Valores de uma ação negocuda na bolsa de valores Tímpo m n, n, v, r. r, x, r, v. t. n. Duas | 2 3 4 S b 7 B 9 10 VM VM) Wla) Vlh! Vlw Vlw Vlw Vlly) Vlw Mql Html Vila! 42.50 4411) 47,11) 45,50 15.00 47,50 (LU) 45,50 1511] ELG. ) Enrrcunm. n: tivermos uma íunçjn rrlaciunando o valor Vcom u Irmpo t. dcmm rrlauunar a im al ¡lrñnnla V nd: com u valor mêdro da car _ funny-Ju Vm em um íntrnalu d: Irmpn . z s 1 5/1. Pnmeimmrntr. lcmhranlus que ml inn-gnu! Jclnmda é Jada pur f" vmd¡ - ' l u'. _wap-Ar 9 m1,) › A¡ › Vu. ) ~ A¡ «No V(l, )'Al) , uu ncia. ;aula-mm nuca-r N - A¡ Vu. ) o Vup v Wq) o . no V(: ,_) 0nd: Al a mm. . tam. ; Mau. .. . _ _ vamu- ¡upnv qu: : kal valor médm é L-. nlunladxu para um mzmaln dr trmpl) : dama: .m d. : ima Jlí: ' Alarm: ¡nq1m5l, ht -. I . mod _uhuug-. .gaslsbemdafaans n . › b - b-a h-a ' n . nn . . . ..lumenuhsdrtwnmlv À' "T 'Mmdmwú' t 3' . .L-nnl-oauvnunlwdfíñ' l J _ 'MI' ' HQ¡ ' uh¡ . m0"? uumalzlmuáP-'lxxigfm Lu. " . x r w . t_ _A a: na. . Hnhn= lvan ' 'M' ' W" ' ' "m1 l h- a . › v 'u_1|~. u “b” “d”, g h i u . um¡ - ull + | r¡› + o 1 r u . .l ' ›l'u. › m . Vu. ) . .u o raw-v +--»° V<'~'°^'¡ , ur e m: *É - u - a . ~ d¡ ongrm m r khcrn. u-mm a «uma d** Kurumin qnt. na rw" 9'"" *" . d , "mnazpxknnncscrr uucgral &funda; “Nm- 5' “m” um ' (hm [run r . u o um r . u o “In ~ A¡ *m* “W “n xml. .. ' h - . u '*' ' se¡ rutntu como . um, uprnso cm (runas Jr ¡vudf-"m P** l , mim MrJm = ¡Lí KW"" T, d, m, (uma. : fu) em um Anna, ¡kukmm muunlur u ¡alo! “ uurnalu . a . z s b FL' ¡""““" l Valor Mnlm = #V b [mix - a _ L» um ¡Invnluluê dada pur Rm - h. m¡ hm ¡. A mena. rm : um na “mal-l x . r huda. Dnrnmnr n valor mnlm da -vmlr x : cruas-nu a quanndadr . nmcrua , 2 a: : x I "- Innhl para a uxncnulnuglcv d! X l . ' alnlsxi7ttll &hmm; O ulut moh-n d. : Itu-uu no mtrn , u
  2. 2. ValarMídtn . 7¡ a . [Rand, Vulnr . Màlm = l 4 ; f 2,4, 5 . Fm rxcmpkns . mtrriutrs. |: i cakuhnun n ¡nrquaL rim-ndo Elxdx . 45¡ assim Valor híédtu = 45 = 9 5 ou KÍJ. o mlnr nvédln d: recem¡ nu ¡nrcrvalax = Z ” " ' . nr x 1 r c ; lt RS 9,00_ Primítivas e Teorema Fundamenga¡ do Cálculo Primitive¡ Nlàlnfio JUÊJPÍHIÍII_ foram dich¡ a fun V* " 1” ' *'~ ^ ¡lmvin Por) = x3 umbrm é unnhnnh a nu ' ' n. J f 1_ _ I v uma prum- M " unçm P (x) ' h' u' “m "'04" RUM. a pnnnnu (uu ¡nmknvn- da) dc (cx) c' uma função que. qnundu drnvad. : rcwlu cm [u, A Hx) é uma prínmiva d: fix) se Hx) s [m, t ' 'mm' C5" Pmlhüi" WI? = r' t' sua dtn- ' u"" ¡HM-h! FUI É uma pnmmv: d: fix) em um ¡mrrulu se Hx' mr: tudo x do nnlervnln. ¡(1! x4 r'"'"pl°7 “MWM *lui* M”, = 4* t um. : pnmnuu d: ju) 1 x', Salufdo: Qucrcnun vcnfuur que Hx) a / (x)_ : mio van . dá m_ um Im ubun- . I Jcnva 4 Hx) = 34- : › Hx) = 5,4 @WM-o rm: _hu 4 HM_ x¡ l 4 e-'WW-"Ki Maua. a Admmmuçlo Economia o comml mu. Cmpdulo 1o - O Cotxrdo da ¡moça! Amm. lemos que Hx) é um¡ pnrmma de fix). hu o : xcmplo JnlHIOf. é tmntsunre : tour qu: : a pnmmu d: fu) u x' l . .m r uma. N¡ vrrdade, as Íumõcs Hu) r 54-4¡ e “X” ? i'm vunÍrIII «pras-num pnmirivas d: fix) = x' pois. ao dtm-á-lzs. obtemos h u > ' n . .. . l . u. . = 'T. |=›H¡x›= ¡x*u“'4“›¡¡u¡= ¡.Jrhonitçunnx! I n. . : ?uualm = Ex4›| o“-"-5$J-"o¡': x›= &.4r Noalír): x* Pcuclrmm qu: Hax) r ! (1) ; iu dnfumrn Jc Hx] . menu ; das comun- u 1 l r m. qu: lutam unnmhs a hr). vnmnvanmur. Iw- rrnnnr Jud qm_ 1( hr! r : mu pnmuuu dr hn_ (uma Hx! o C IJMÍYWI ser. : um. : ¡vn- muu . u J( nx). UIIJ( C é um; :unsumr qtulquev. Teorema Fundamental do Cálculo . Nm Imuo du upuulu, Íunnn sind» z Íumío pnuh-iqn Pul = x3 c su: Jrn- ndu. ou uu d: Jnlgílh nr) a Fu) x lx. e rmmnmn . I Jfllgjll mu] ¡| .lp1lnju. -|IP JI' para u ; nn-rula l s x s 7 pur meu) da mm: «Lu urupks * _ T n . h pruduçíu AF par¡ m n submlcnalm d: mnpo Ar, and: A: u d¡ u umanhn Jc ud. ) cubana-nulo: Vuuçin Tuul J: l' = nx. ) - A: o fuzil - A: o lu. ) - A: o o [um - A: Jhcmm que_ no mlrnalu 2 s x s 7, u- o numcmdc nuhdmsim aumrw ur InJrÍuuJJInrnlr_ n -o I. pulam» nem: : a Jruçin mul d; ¡vmdw ¡Jm por mau da ¡nu-gn! uma. . mu¡ . k r - [Nuit fuma fu) = Fu) = lr. a vnuviu mu! Ja ; Indução PU! u x¡ será : Luh por Vanagiu Tuul Jc P n CIMI:
  3. 3. Mnrmlhz¡ Aplicada I Àànmnlraçào, Eronomu o Comob-hdadc Ilessalramo¡ que a : armação ¡ou! da produção em um intervalo e' dada ¡Iela inlegml da ! axu de variação da produção no intervalo. A integral descrita i5 Íoi ealeulada e obtivemos l: 21d¡ = 45; assim Variação Total de F = 45 Vale ressaltar que. au'- agora. toclm m cálculos lutam realizados a par- rir da ! axa de ruríaçãn da produção. ou seia, a partir de fix) a Por) x lr. Fmretanm, se notamos que a produção é dada por Pix) = x1, podemos cal colar facilmente tal variação. !nando a subtração entre a produçao ñnal e a produção inicial, calculadas em x n 7 e x = 2, respectivamente: Variação Total de l' n ? (7) - ? (2) r 71 - 23 = 49 - 4 = 45 N: verdade, nos cálculos apresentado¡ na integral e nesta última linha. lidamov com a 1.3x. : de : variação da produção Rx) s 2x e urna prmunu Hx) = .rã ! no sugere que Variação Total de l' x glxdx = P17) - ? (2) Variação Tm¡ a: r . Em): s 7: - 22 . 45 ou. em outra¡ palavras. o calculo da integral definida de uma Íunçio ern um intervalo é obtido calculando a dilerença do¡ valores de uma primitiva nos extremos do intervalo. Costumamos generalinr tal multado, conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo, da wgunnte iomu: Duda uma funçdr¡ fix) runlímu em um ¡ntemdu . r s x 1 Í). tudo ; fama . m» - Fm onde Fix) i uma pnmrluv de [(1). ou rqtr. F11) a fix). Assim. conhecendo uma Íunçio Hx) que. quando derivada. resulta em Ilx). podemos calcular a intrgral definida de (lx) em um intervalo . r e . r s h fazendo a subtração de Fix) calculada no limite tuperror e nn limite infe- rior do intervalo. 392 como to - o Concorra o. Irrlogal Entendendo fix) como a taxa de variação de turu função Hx). Podemos . hu-r que a integral definida da uu de variado de uma ! unção em um lnlervllo ; Li a variação rota] da função no intervalo. Observamos que. com tal teorema. para o cálculo da integral definida . lr uma função. se conhecemos uma pru-oitiva da função, não e' mais ricas- unn realizar as somas como no micro do capitulo. No próximo tapimlo. nrudaremo¡ técnica¡ que permitam encontrar a; primitivas das Noções. havia; um¡ 3 funçao x14) = q' que mede a tan de variação da recti- u Inu seia. receita marginal). obtenha a variação total da rea-na no imer- ulu de q = 4 are' q = 24. &dução; Chamando F44) = fig) a q'. a variação raul da receita ter¡ KVM-LL Para unlirarrnm o “leon-ma Fundamental do (Lil-mala. prev-iamos de uma primitiva de fiq) r q'. Pelo exemplo anterior de prirojtivas. alterna¡ que F14) : É e' uma pmrutrva de R4) a q'. m. . Teorema Pumlamenlal do auto_ 1: axu: - no: - rm; maio Living, . 1124)- m) = 3:4 - 3.1 = 32.944 - u = 82.8110 Atum. a variação tutal da receita e' 82.884). Problema: O custo, em reais. para a Iahrtcaçio de x uni-lado¡ de um ¡tru- Jun¡ g anjo F¡1(. |r) u 3x1 o Ill). (lhe-nha o valor mediu do num quan- dn do pruduntlm de x x 10a z z 30 unidades. Salario: Sabemos que o valor mediu de uma Íunçio em um intervalo . r S x S h e' m. : AléJm g b _' J ¡fnxux Então. u valor mediu «lo amo no intervalo l0 S x S 30 ter¡ Valor Malu» 1 1 to ¡O- l0 ¡Waxux B? )
  4. 4. Malematiu Aplicada à Admmsuaçao. Economia e Cññlilbtlid-IIÍO Par: calcular Gxhlx pelo Teorrma Fundamental do Cálculo. prm» iamos de um¡ ¡inmitivai de Cbr) = 3x¡ o IDO. A fiinçin Fu) a x3 o 1001 é uma priitiitiva, pois Fm. :u 100:: nx; = . m4 +100 = nx; = 3:1 ç ioo Pelo Teurcmtt Fundamental do Cálculo. j: [lxldx = Hb) - Fu); então jàttliiJx = I1!()i›f| ln)= (1|)'4 Klllrítnwllu' r 100 em) . 10.001) 100041011) Logo, Lily-lili' = 13-000 que, na Íiitmul. : do ixilnr médio. resulta em .10 - IU Assim, u v-. ilur tnédiu do custo é R5 1.400,00. Valurhlédin: ' . Paim = -'-.2s. o0i› = L-uio N) . Exercícios l. Para um pruduui. a ti xa d: VJIÍJÇÃn d. : ¡muluç-. iu em rrLlçío á quan- tidade dr insumo : r e' dada por P'(x) = x3. al) Obtenha uma estimativa il: variação total il. i priiduçin no interva~ lu de x a 4 até x = H, ciintiilrrmdo par: seus cálculos n = 5 sul» tlivitñra (rt-tângulm). h) l-. içat uma representação gráfica (LI estimativa il. : Vlfl-¡ÇÍO total il. i priiiluçiti nbtiil. : iiii itcm . interior. Z. N: cnmcrcinliuiçlu ilc um prixíuto. a taxa de variação da mein em rt-Liçãti à quantirlaik x comercializada. nu iria. .i rrcrit¡ marginal, é dJilá pur R'(x) a 3x3. a) Olnenli: uma citinutiva da variação ttiul da recria quando da ciinicrtiitlirailm ck x n ll) att" x n ll), considerando par¡ teu¡ dl' cult); n u S subdivisões (tttãngulm). b) Faça urna repreirnuçlu gráfica d¡ rstinutiva il. : variação total ila train tibtiila nu item anterior. Cmíulo ! O › O Carste-n de lmeqn! | . N; fabricação d: um produto_ a uu d: i-aruçio do custo em relação . i qiunndndc q Walita-LI. ou seta. 0 msm matgimL é dada por (mp = q! o 100. Obtenha um. i estimativa da narração total do custo qiunJu são produzida» de q n l até q n Lcmuderandn para : :mal ruim n = ll) sulxliitsín (trtingiilml. 4. N: cutmerçulizaçâo de um minimo. a nu d: variação do lucrv cm ri-ltçjii . i qiunmhilr q SOHKIÇÍJlIIJJJ. ou aq). u lKl0 marginal. ê Jun po¡ ['14] = _ql o 8.¡ - 7. Obtenha uma estimam¡ tl¡ uruçin raul Jo lucro quando são cunirrguliudm Jd' q x l ati'- q = ". crimi- ilcnmlii ¡uu ; cut &Akulm n r llJ iuMnhI-IS Itrúngulusl. i. Obtenha 0 valor Ja integral girl: gniriirtrmtnicntr a partir Jii gra- Iicri de fix) = 5x. Ç b. (Jbtriih. : u valor iLi integral l¡ Il¡ v JIJ: SmmmW-¡mm" ¡ P-"m Ji¡ guitar ik [txt z 2.¡ o 4. ~i lim um¡ crriproa. na iivnirrtialiraçiii de um certo pmdiitn, a u: : de uruçiti da ltítlhl, riu n14. a teu-iu marginal, r'- ilaiLi icgumlii ri gti tico a seguir: t. ;i . o . fr p. . c , o o u i. s. tir w c Obtenha a variação da retrata cnnínrrtir cada integral uilnuih: 4' ¡: "R'L¡J4. 11143.1.; e ! Fun/ q M f: : R't. ¡›J. ¡ . a j: : ivtqidq Íl. Fm itnu ttripreu. tu (mnrriultzaçiti de uni ¡CHI! ptiidulu. l uu d( variado da lua», ou n11. u lucro marginal. é Jada u-gunilti n ; ráfr du l : quit:

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