Calculo1 aula18

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Calculo1 aula18

  1. 1. Aula 18Ampliando o repert¶rio de t¶cnicas o ede integra»~o ca18.1 Completando quadradosDa nossa tabela ampliada de integrais imediatas, tabela 15.1, p¶gina 135, temos as aintegrais da tabela 18.1 abaixo. Tabela 18.1. (a > 0, ¸ 60) = Z Z ¯ ¯ dx 1 x dx 1 ¯a + x¯ = arc tg + C = ln ¯ ¯ + C. a2 + x2 a a a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯ Z Z p dx x dx p = arc sen + C p = ln jx + x2 + ¸j + C a2 ¡ x2 a x2 + ¸ Voltaremos nossa aten»~o agora ao c¶lculo das integrais ca a Z Z dx (Ax + B)dx I1 = 2 + bx + c I2 = ax ax2 + bx + c Z Z dx (Ax + B)dx I3 = p I4 = p ax2 + bx + c ax2 + bx + cnas quais, a, b, c, A e B s~o n¶meros reais, e a 60. a u = Veremos que, para calcular cada uma das integrais I1 , I2 , I3 , e I4 , tudo (ou quasetudo) que temos a fazer ¶ completar um quadrado em ax2 + bx + c, e ent~o usar a e apequena tabela de integrais 18.1. 159
  2. 2. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 160 Lembramos que completar um quadrado em ax2 + bx + c ¶ escrever este trin^mio e odo segundo grau na forma a(x + m)2 + n. Primeiramente, colocamos o coe¯ciente a em evid^ncia: e µ ¶ 2 2 b c ax + bx + c = a x + x + a a b cCompletamos ent~o o quadrado em x2 + x + : a a a µ ¶2 µ ¶ 2 ¯ ¯2 x + ¯x + ° = x + + °¡ 2 4Fazemos ent~o, para o c¶lculo de uma das integrais I1 , I2 , I3 , e I4 , a substitui»~o a a ca ¯ u= x+ ; du = dx 2e teremos x2 + ¯x + ° = u2 § k 2 ax2 + bx + c = a(u2 § k 2 ) Agora, a menos de alguns pequenos ajustes, recairemos em integrais da tabela18.1. Z dxExemplo 18.1 Calcular . 2x2 + 3x + 1Solu»~o. Come»amos fazendo ca c µ ¶ "µ ¶2 # 2 2 3 1 3 9 1 2x + 3x + 1 = 2 x + x + =2 x+ ¡ + 2 2 4 16 2 "µ ¶2 # " µ ¶2 # 3 1 2 1 = 2 x+ ¡ =2 u ¡ 4 16 4sendo u = x + 3=4. Como du = dx, Z Z Z dx du 1 du = h ¡ 1 ¢2 i = 2 ¡ ¢2 2x2 + 3x + 1 2 u2 ¡ 4 u2 ¡ 1 4 Z ¯1 ¯ 1 du 1 1 ¯ 4 + u¯ =¡ ¡ 1 ¢2 =¡ ¢ ln ¯ ¯+C (tabela 18.1) 2 ¡ u2 2 2 ¢ 1 ¯ 1 ¡ u¯ 4 4 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + 4u ¯ ¯ ¯ ¯ = ¡ ln ¯ ¯ + C = ¡ ln ¯ 1 + 4x + 3 ¯ + C 1 ¡ 4u ¯ ¯ 1 ¡ (4x + 3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4x + 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¡ ln ¯ ¯ + C = ¡ ln ¯ 2x + 2 ¯ + C = ln ¯ 2x + 1 ¯ + C 4x + 2 ¯ ¯ 2x + 1 ¯ ¯ 2x + 2 ¯
  3. 3. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 161 Z x¡1Exemplo 18.2 Calcular p dx. 1 ¡ x ¡ x2Solu»~o. Come»amos fazendo ca c "µ ¶2 # 1 1 1 ¡ x ¡ x2 = ¡(x2 + x ¡ 1) = ¡ x + ¡ ¡1 2 4 "µ # 2 3 ¶2 µ ¶2 à p !2 1 5 1 5 5 =¡ x+ ¡ = ¡4 x + ¡ 2 4 2 2 à p !2 µ ¶ 5 1 2 = ¡ x+ 2 2 Sendo, u = x + 1=2, du = dx, e x = u ¡ 1=2, Z Z x¡1 x¡1 p dx = r³ ´ dx 1 ¡ x ¡ x2 p 5 2 ¡ ¢ 1 2 2 ¡ x+ 2 Z u ¡ 3=2 = r³ ´ du p 2 5 2 ¡ u2 Z Z u 3 1 = r³ ´2 du ¡ r³ ´2 du p 5 2 p 5 2 ¡ u2 2 ¡ u2 1 =I¡ J 2 Z Z u 1sendo I = qp du, e J = qp du. ( 5=2)2 ¡ u2 ( 5=2)2 ¡ u2 p Para o c¶lculo de I, fazemos w = ( 5=2)2 ¡ u2 , e ent~o dw = ¡2u du, e temos a a Z Z u ¡ 1 dw 2 p I= r³ ´2 du = p =¡ w+C p w 5 2 ¡ u2 v uà p !2 u 5 p = ¡t ¡ u2 = ¡ 1 ¡ x ¡ x2 + C 2Por sua vez,
  4. 4. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 162 Z 1 u J= r³ du = arc sen p +C p ´2 5=2 5 2 ¡u2 2u 2x + 1 = arc sen p + C = arc sen p +C 5 5 Portanto, Z x¡1 1 p dx = I ¡ J 1 ¡ x ¡ x2 2 p 1 2x + 1 = ¡ 1 ¡ x ¡ x2 ¡ arc sen p +C 2 518.2 Algumas integrais envolvendo fun»~es co trigonom¶tricas e R18.2.1 Integrais da forma senm x cosn x dx, m e n inteiros n~o a negativosPrimeiro caso: m ou n ¶ um inteiro ¶ e ³mpar RConsideremos J = senm x cosn x dx. Sendo m e n inteiros n~o negativos, no caso em que o expoente m ¶ ¶ a e ³mpar,teremos m = 2k + 1, e ent~o a Z J = sen2k+1 x cosn x dx Z = sen2k x cosn x sen x dx Z = (sen2 x)k cosn x sen x dx Z = (1 ¡ cos2 x)k cosn x sen x dxAgora fazemos cos x = t, e ent~o dt = ¡ sen x dx, obtendo a Z Z J = (1 ¡ t ) t (¡dt) = ¡ (1 ¡ t2 )k tn dt 2 k nque ¶ uma integral de um polin^mio em t. e o Se m ¶ par, mas n ¶ ¶ e e ³mpar, transformamos a integral J em uma integral de umpolin^mio, por um procedimento an¶logo. o a
  5. 5. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 163 RExemplo 18.3 Calcular J = sen6 x cos5 x dx.Solu»~o. ca Z Z 6 5 J= sen x cos x dx = sen6 x cos4 x cos x dx Z Z = sen x(cos x) cos x dx = sen6 x(1 ¡ sen2 x)2 cos x dx 6 2 2 Z = t6 (1 ¡ t2 )2 dt, sendo t = sen x, dt = cos x dx.Teremos ent~o a Z Z 6 2 4 J= t (1 ¡ 2t + t ) dt = (t6 ¡ 2t8 + t10 ) dt t7 2t9 t11 = ¡ + +C 7 9 11 sen7 x 2 sen9 x sen11 x = ¡ + +C 7 9 11Segundo caso: m e n s~o ambos pares aNeste caso, abaixamos os graus das pot^ncias de fun»~es trigonom¶tricas, mediante as e co erela»~es co 1 + cos 2a 1 ¡ cos 2a cos2 a = sen2 a = (18.1) 2 2ou seja, fazemos Z Z J= sen x cos x dx = m n sen2k x cos2` x dx Z =(sen2 x)k (cos2 x)` dx Z µ ¶ µ ¶ 1 ¡ cos 2x k 1 + cos 2x ` = dx 2 2 RExemplo 18.4 Calcular I = sen4 x cos2 x dx. R RSolu»~o.I = sen4 x cos2 x dx = (sen2 x)2 cos2 x dx ca Fazendo uso das rela»~es trigonom¶tricas 18.1, temos co e Z µ ¶2 µ ¶ 1 + cos 2x 1 + cos 2x I= dx 2 2 Z µ ¶µ ¶ 1 ¡ 2 cos 2x + cos2 2x 1 + cos 2x = dx 4 2
  6. 6. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 164 Z 1 = (1 + cos 2x ¡ cos2 2x + cos3 2x) dx 8 Z Z Z Z 1 1 1 2 1 = dx ¡ cos 2x dx ¡ cos 2x dx + cos3 2x dx 8 8 8 8 Calculando separadamente as quatro integrais, temos: R I1 = dx = x (juntaremos adiante todas as constantes em uma s¶) o R I2 = cos 2x dx = 1 sen 2x 2 Z Z 2 1 + cos 4x I3 = cos 2x dx = dx (cos2 a = 1+cos 2a ) 2 2 Z Z 1 1 = dx + cos 4x dx 2 2 x 1 1 x 1 = + ¢ sen 4x = + sen 4x 2 2 4 2 8 Z I4 = cos3 2x dx (pot^ncia de cosseno, de expoente ¶ e ³mpar!) Z Z = cos 2x cos 2x dx = (1 ¡ sen2 2x) cos 2x dx 2 Z dt = (1 ¡ t2 ) ¢ (t = sen 2x, dt = 2 cos 2x dx, logo cos 2x dx = dt 2 ) 2 µ ¶ 1 t3 sen 2x sen3 2x = t¡ = ¡ 2 3 2 6Finalmente, Z 1 I= sen4 x cos2 x dx = (I1 ¡ I2 ¡ I3 + I4 ) 8 1 1 1 1 1 1 = x¡ sen 2x ¡ x ¡ sen 4x + sen 2x ¡ sen3 2x + C 8 16 16 64 16 48 x sen 4x sen3 2x = ¡ ¡ +C 16 64 4818.3 F¶rmulas de redu»~o (ou de recorr^ncia) o ca eAs f¶rmulas de redu»~o, ou f¶rmulas de recorr^ncia, freqÄentemente encontradas em o ca o e ut¶buas de integrais, s~o em geral obtidas atrav¶s de integra»~o por partes. a a e ca Nos exemplos abaixo, deduziremos duas delas e ilustraremos como s~o usadas. aExemplo 18.5 Sendo n ¸ 2, deduzir a f¶rmula de redu»~o o ca Z Z tg x secn¡2 x n ¡ 2 sec x dx = n + ¢ secn¡2 x dx (18.2) n¡1 n¡1
  7. 7. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 165 RSolu»~o. Seja In = ca secn x dx. Temos Z Z Z 2 In = sec x dx = sec{z x sec x dx = uv ¡ v du n | n¡2 } | {z } u dvSendo u = secn¡2 x dx, temos du = (n ¡ 2) secn¡3 x ¢ (sec x)0 dx = (n ¡ 2) secn¡3 x ¢ sec x tg x dx = (n ¡ 2) secn¡2 x tg x dxSendo dv = sec2 x dx, tomamos v = tg x. Da¶ ³ Z In = uv ¡ v du Z = tg x secn¡2 x ¡ tg x ¢ (n ¡ 2) secn¡2 x tg x dx Z = tg x secn¡2 x ¡ (n ¡ 2) secn¡2 x tg2 x dx RAgora, sendo J = secn¡2 x tg2 x dx, temos Z Z 2 J = sec n¡2 x(sec x ¡ 1)dx = (secn x ¡ secn¡2 x)dx Z Z = sec x dx ¡ secn¡2 x dx = In ¡ In¡2 nAssim sendo, In = tg x secn¡2 x ¡ (n ¡ 2)J = tg x secn¡2 x ¡ (n ¡ 2)(In ¡ In¡2 )de onde [1 + (n ¡ 2)]In = tg x secn¡2 x + (n ¡ 2)In¡2e portanto tg x secn¡2 x n ¡ 2 In = + In¡2 n¡1 n¡1ou seja, Z Z tg x secn¡2 x n ¡ 2 sec x dx = n + secn¡2 x dx n¡1 n¡1 RExemplo 18.6 Empregando a f¶rmula de redu»~o 18.2, calcule as integraisR R o ca sec3 x dx, 4 5 sec x dx, e sec x dx. Aplicando a f¶rmula 18.2, que acabamos de deduzir acima, temos, quando n = 3, o Z Z 3 tg x sec x 1 sec x dx = + sec x dx 2 2 tg x sec x 1 = + ln j sec x + tg xj + C 2 2
  8. 8. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 166Aplicando a f¶rmula 18.2, para n = 4, temos o Z Z 4 tg x sec2 x 2 sec x dx = + sec2 x dx 3 3 2 tg x sec x 2 = + tg x + C 3 3Para n = 5, temos Z tg x sec3 x 3 sec5 x dx = I5 = + I3 4 4 3 µ ¶ tg x sec x 3 tg x sec x 1 = + + I1 4 4 2 2 3 tg x sec x 3 tg x sec x 3 = + + ln j sec x + tg xj + C 4 8 8Exemplo 18.7 Deduza a f¶rmula de recorr^ncia o e Z Z 1 n¡1 cos x dx = sen x cos n n¡1 x+ cosn¡2 x dx n n R Re ent~o, usando-a, calcule cos4 x dx e cos7 x dx. aSolu»~o. ca Z Z Z cos x dx = n cos{z x cos{z dx = uv ¡ | n¡1 }| x } v du u dvSendo u = cosn¡1 x, temos du = ¡(n ¡ 1) cosn¡2 x sen x dx. Sendo dv = cos x dx, podemos tomar v = sen x. Ent~oa Z Z cosn x dx = sen x cosn¡1 x + (n ¡ 1) cosn¡2 x sen2 x dx Z = sen x cosn¡1 x + (n ¡ 1) cosn¡2 x(1 ¡ cos2 x) dx µZ Z ¶ = sen x cosn¡1 x + (n ¡ 1) cos n¡2 x dx ¡ cos x dx nLogo, Z Z Z cos x dx = sen x cos n n¡1 x + (n ¡ 1) cos n¡2 x dx ¡ (n ¡ 1) cosn x dxDa¶ ³, Z Z n cos x dx = sen x cos n n¡1 x + (n ¡ 1) cosn¡2 x dxe ent~o a Z Z 1 n¡1 cos x dx = sen x cosn¡1 x + n cosn¡2 x dx n n
  9. 9. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 167 Deixamos para o leitor a aplica»~o desta f¶rmula, para obter ca o Z 1 3 3x cos4 x dx = sen x cos3 x + sen x cos x + +C 4 8 8 Z 1 6 8 16 cos7 x dx = sen x cos6 x + sen x cos4 x + sen x cos2 x + sen x + C 7 35 35 3518.4 ProblemasIntegrais que requerem completamento de quadrados R 1 1. dx x2 +2x+5 . Resposta. 2 arc tg x+1 + C. 2 R 2. dx . Resposta. p1 arc tg 3x¡1 + C. p 3x2 ¡2x+4 11 11 R ¯ x¡5 ¯ 3. x2 ¡6x+5 . Resposta. 1 ln ¯ x¡1 ¯ + C. dx 4 R 6x¡7 4. 3x2 ¡7x+11 dx. Resposta. ln j3x2 ¡ 7x + 11j + C. R 3x¡1 5. x2 ¡x+1 dx. Resposta. 3 ln(x2 ¡ x + 1) + p3 arc tg 2x¡1 + C. 2 1 p 3 R 6. p2¡3x¡4x2 . Resposta. 1 arc sen 8x+3 + C. dx 2 p 41 R 1 p 7. p3x2 +5x . Resposta. p3 ln j6x + 5 + 12(3x2 + 5x)j + C. dx R p 8. p3+4x¡4x2 dx. Resposta. ¡ 1 3 + 4x ¡ 4x2 + 7 arc sen 2x¡1 + C. x+3 4 4 2 R 2ax+b p 9. pax2 +bx+c dx. Resposta. 2 ax2 + bx + c + C.Integrais envolvendo fun»~es trigonom¶tricas co e R 1 1. sen3 x dx. Resposta. 3 cos3 x ¡ cos x + C. R 2. sen5 x dx. Resposta. ¡ cos x + 2 cos3 x ¡ 1 cos5 x + C. 3 5 R 3. cos4 x sen3 x dx. Resposta. ¡ 1 cos5 x + 1 cos7 x + C. 5 7 R cos3 x 4. sen4 x dx. Resposta. cosec x ¡ 1 cosec3 x + C. 3 Sugest~o. Use o mesmo procedimento descrito µ pagina 162, para o c¶lculo da aR a a integral senm x cosn x dx, quando m ou n ¶ um expoente ¶ e ³mpar. R 5. sen4 x dx. Resposta. 3 x ¡ sen 2x + sen 4x + C. 8 4 32 R ³ ´ 6 1 sen3 2x 3 6. cos x dx. Resposta. 16 5x + 4 sen 2x ¡ 3 + 4 sen 4x + C.
  10. 10. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 168 R 1 ¡ sen 8x ¢ 7. sen4 x cos4 x dx. Resposta. 128 3x ¡ sen 4x + 8 + C. Sugest~o. sen x cos x = 1 sen 2x. a 2 R 3 2x 8. tg x dx. Resposta. tg2 + ln j cos xj + C. Sugest~o. tg3 x = tg x tg2 x = tg x(sec2 x ¡ 1). a R 9. sec3 x dx. Resposta. 1 sec x tg x + 1 ln j sec x + tg xj + C. 2 2 R R 2 Sugest~o. sec x dx = sec x | {z dx. Depois, use a identidade tg2 x = a 3 |{z} sec x } u dv sec2 x ¡ 1. Alternativamente, podemos fazer R R 1 R cos R cos x dx sec3 x dx = cos3 x dx = cos4x dx = (1¡sen2 x)2 , e ent~o u = sen x. x a R 10. sec4 x dx. Resposta. tg x + 1 tg3 x + C. 3 Sugest~o. sec4 x = sec2 x sec2 x = (1 + tg2 x) sec2 x. a R sen3 x 11. p 3 dx. Resposta. 3 cos5=3 x + 3 cos¡1=3 x + C. 5 cos4 x R ¯ x ¯ ¯ tg ¡2 ¯ 12. 4¡5dx x . Resposta. 1 ln ¯ 2 tg2x ¡1 ¯ + C. sen 3 2 2 tg x 2 1¡tg2 x Sugest~o. Use a identidade sen x = a (temos tamb¶m cos x = e 1+tg2 2 x ). 1 + tg2 x 2 2 2 Fa»a tg x = u, com c 2 = arc tg u e ent~o dx = 1+u2 du. x 2 a R 2 p ³ ´ 13. sen x2dx . Resposta. 2 arc tg tg 2 ¡ x + C. 1+cos x px 1 Sugest~o. Como 1 + tg2 x = sec2 x, deduzimos cos2 x = a 1+tg2 x e tg2 sen2 x = cos2 x tg2 x = x 1+tg2 x . Fa»a t = tg x, x = arc tg t. c R 14. sen ax cos bx dx (a 6b). Resposta. ¡ cos(a+b)x ¡ = 2(a+b) cos(a¡b)x 2(a¡b) + C. Sugest~o. Considere as f¶rmulas abaixo, e some-as membro a membro. a o sen(a + b)x = sen ax cos bx + sen bx cos ax sen(a ¡ b)x = sen ax cos bx ¡ sen bx cos ax R sen(a¡b)x sen(a+b)x 15. sen ax sen bx dx (a 6b). Resposta. = 2(a¡b) ¡ 2(a+b) +C Sugest~o. Desenvolva cos(a + b)x e cos(a ¡ b)x, e subtraia, membro a membro, a uma f¶rmula da outra. o
  11. 11. ¶ ¶ »~Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 169F¶rmulas de redu»~o o ca 1. Deduza a f¶rmula de recorr^ncia o e Z Z tgn¡1 x tg x dx = n ¡ tgn¡2 x dx n¡1 e ent~o, usando-a, calcule a R 4 2 (a) tg5 x dx. Resposta. tg4 x ¡ tg2 x ¡ ln j cos xj + C. R 5 3 (b) tg6 x dx. Resposta. tg5 x ¡ tg3 x + tg x ¡ x + C R R R Sugest~o. tgn x dx = tgn¡2 x tg2 x dx = tgn¡2 x(sec2 x ¡ 1) dx. a 2. Deduza as f¶rmulas de recorr^ncia o e Z Z 1 n¡1 (a) sen x dx = ¡ cos x sen n n¡1 x+ senn¡2 x dx n n Z Z 1 n ax n (b) x e dx = x e ¡ n ax xn¡1 eax dx a a

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