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<ul><li>Como nasceu e floresceu  </li></ul><ul><li>O processo </li></ul>Alunos, professores e pesquisadora <ul><li>Os resu...
Concurso do AMM2000 - Portugal Tema: Poliedros População alvo: professores da Escola Básica do 1º ciclo <ul><li>COMO NASCE...
Que condições são necessárias para que isto aconteça? Os professores são capazes de promover a descoberta de conceitos na ...
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Matemática realista? Consiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a  nós  especialistas/pesquisadores promover isto.
Que a Matemática euclideana não é um objeto ideal para se pensar dedutivamente. Prof. Freudenthal defendia: (meus pressupo...
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“ As descobertas sendo feitas com os próprios olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes” (Freudenthal,1983) Inst...
Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto imp...
Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o jovem que aprende tem o direito de recapitular, de c...
Buscando um elo entre a teoria e a cultura popular/prática – a bola de futebol Tendo um olhar de observador Sendo corajoso...
Investigação Matemática <ul><li>E o Método? </li></ul>
Qual o papel do ALUNO/investigador? Descobrir e construir conceitos (os poliedros)  e considerar este trabalho: <ul><li>Si...
E o professor?Qual o papel? Elaborar e (re)elaborar atividades  identificando elos  que permitam que o aluno trabalhe conh...
Como fazer isto? Eis o grande desafio ??? (para  nós  professores -pesquisadores)
Por etapas <ul><li>Convite para construir uma bola de futebol  </li></ul><ul><li>Investigação do objeto de estudo (a bola ...
Aceita a proposta  Identificar regularidades e padrões Investigação do objeto PARA QUE?
O que descobrimos??? É formada por  hexágonos  e  pentágonos O pentágono é arrodeado por hexágonos A  aresta  tem a mesma ...
<ul><li>Porque é que a bola de futebol é formada por hexágonos e pentágonos? </li></ul><ul><li>Quantos pentágonos e hexágo...
S e g u i n d o P A D R Õ E S Regularidades Investigação dos poliedros....
Classificando e... Eis os poliedros!!!
Registrando ...Formalizando
Nasce a tabela Polígonos  (com lados iguais) Poliedros formados por polígonos Elementos do poliedro (quantidade) Faces Are...
brota os “certinhos”, ops!, os “Poliedros de Platão” E da arrumação / classificação
Investigando o porque não fica em pé, REINVENTANDO DURO!!? Aparecem SURPRESAS!!!
balão transferidor As soluções dependem da vivência dos alunos Inventando uma solução REINVENTANDO.
Nosso objetivo, são os certinhos!!!! E a fórmula de Euler? F + V – A = 2?
Identificam o Icosaedro como a bola!!! O do aluno é a bola, então, comparando os registros e ….. Poliedros Elementos F V A...
<ul><li>As faces (F) crescem de 2 em 2 </li></ul><ul><li>Arestas (A) – crescem de 3 em 3 </li></ul><ul><li>Vértices (V) – ...
Platão e o que significava? É hora da História….e de pesquisa Curiosidade!!! Surge a razão Tetraedro Hexaedro/ Cubo Octaed...
Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º) A Bola de futebol construída por
Ensino Fundamental (3º e 4º) Alunos O professor influencia… A Bola de futebol construída por
I C O S A E D R O Professores do Ensino Fundamental  1ª a 4ª A bola vista como o Icosaedro
Professores do Ensino Fundamental  1ª a 4ª A BOLA !!! Triângulos  sem bicos , Por que?
Por que é formada de hexágonos e pentágonos? Quantos ? O triângulo equilátero se transforma no hexágono – face da bola
Professores Fundamental Ensino Médio Bola de futebol construída por
Rigidez - ângulos <ul><li>Unidade de medidas </li></ul><ul><li>ângulo </li></ul><ul><li>comprimento </li></ul>com hexágono...
A consolidação e a transferência dos conhecimentos trabalhados acontece de maneira natural. A L U N O S As REINVENÇÕES dep...
Deu trabalho mas não desistimos. Por que? Estávamos motivados. Motivação é o problema nº 1 do ensino  (professor e alunos)...
O grande prazer que é aprender, manifestado desta forma  A L U N O S <ul><li>Resultados - alunos </li></ul>
C O N E X Õ E S Geometria e aritmética N A S C E M E L O S <ul><li>Resultados –  professores/pesquisador </li></ul>
Divisores de um número natural Cria-se atividades significativas para o aluno <ul><li>Resultados –  professores/pesquisado...
Planificação dos poliedros Nasce o estudo de ângulos, com o transferidor <ul><li>Resultados –  professores/pesquisador </l...
Criação do triângulo com corte Cria-se material <ul><li>Resultados –  professores/pesquisador </li></ul>
Nascem Atividades que reorganizam o ambiente de aprendizagem (currículo) Investigando e construindo o conceito de Nós inic...
Imagens falam mais que palavras Contagiou a Escola e o Ministério de Educação. Todos querem aprender.  Considerações Finais
Problemas de disciplina? Tô fora. Considerações Finais
“ Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de naturez...
Respondemos as  perguntas Fizemos uma investigação matemática? E mais… Por que os jogadores estao estranhando a Jobulani? ...
Agradecimentos http://www.fi.ru.nl Matemática realista
Referências NCTM. Princípios e Normas para  a Matemática Escolar.  Trad. Associação de Professores de Matemática (APM). Li...
TRAMM, Elda.  O prazer da Geometria.  1º lugar nas  comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM 2000).   Disponível em ...
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Bola de futebol shiam

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  • Este artigo é uma versão revisada do meu trabalho publicado no livro Actividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Organização: João Pedro da Ponte, Conceição Costa, Ana Isabel, Ema Maia, Nisa Figueiredo, Ana Filipa Dionísio. Editor: Secção de Educação e Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências de Educação – ( SPCE) com o apoio da Fundação Calouste Gulbenkian. Capítulo 11. pág.: 159 – 168.Lisboa – Portugal. 2002 Este artigo é uma versão revisada do meu trabalho publicado no livro Actividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Organização: João Pedro da Ponte, Conceição Costa, Ana Isabel, Ema Maia, Nisa Figueiredo, Ana Filipa Dionísio. Editor: Secção de Educação e Matemática da Sociedade Portuguesa de Ciências de Educação – ( SPCE) com o apoio da Fundação Calouste Gulbenkian. Capítulo 11. pág.: 159 – 168.Lisboa – Portugal. 2002 No ensino fundamental e médio, tal como no ensino superior, cada vez mais, existem profissionais que empreendem pesquisas sobre a sua própria prática profissional. Fazem-no porque sentem necessidade de compreender melhor a natureza dos problemas com que se defrontam, para poder transformar sua prática e as suas condições de trabalho. Esta comunicação nasce de um trabalho realizado com alunos do ensino fundamental (3ª e 4ª série) no intuito de responder as questões: Os alunos conseguem investigar questões matemáticas? Os professores são capazes de promover este tipo de trabalho nas suas aulas? Que condições são necessárias para que isso aconteça? De seguida, descreve a intervenção pedagógica, cujo objectivo era explorar e investigar os poliedros, nomeadamente os de Platão, tendo como meta a construção de uma bola de futebol, sendo esta o elemento do desejo e da cultura do educando. E finalmente o artigo analisa o que esse trabalho representou para os diversos participantes envolvidos. Palavras-chave: investigação matemática, desenvolvimento profissional do professor, conhecimento coletivo.
  • Do desejo de participar no concurso do AMM2000 promovido pela Assoc Prof Mat, pela Soc Port de Mat e o Jornal Expresso de Portugal
  • Existe um elemento na cultura dos alunos que nos sirva de ponte (elo) para o estudo dos poliedros regulares ou de Platão?
  • Prof Hans Freudenthal, é conhecido mundialmente pelo seu papel decisivo nos rumos na Ed. Matemática. Eu fui aluna de doutorado , 3 anos, quando eles iniciaram este trab de pesquisa. Surgindo dai o nome de matemática realista. Actualmente, o centro de pesquisa sobre o ensino da Matemática, transformou-se em Instituto Freudenthal em sua homenagem, chama-se Institute Freudenthal. http :www.fi.ru.nl
  • E ao mesmo tempo trabalhar os conhecimentos matemáticos
  • Na sua opinião, COM TRÊS SEGMENTOS DE RETA CONSTRUÍMOS SEMPRE UM TRIÂNGULO?
  • Bola de futebol shiam

    1. 1. ou… Elda Vieira Tramm EMFoco/UFBA [email_address] www.grupoemfoco.com.br A construção de um Objeto de desejo do aluno?
    2. 2. <ul><li>Como nasceu e floresceu </li></ul><ul><li>O processo </li></ul>Alunos, professores e pesquisadora <ul><li>Os resultados </li></ul><ul><li>O método </li></ul>Uma Investigação Matemática: a bola de futebol
    3. 3. Concurso do AMM2000 - Portugal Tema: Poliedros População alvo: professores da Escola Básica do 1º ciclo <ul><li>COMO NASCEU e FLORESCEU </li></ul>
    4. 4. Que condições são necessárias para que isto aconteça? Os professores são capazes de promover a descoberta de conceitos na sua sala de aula utilizando a investigação? Os alunos conseguem investigar ideias matemáticas avançadas?
    5. 5. Matemática realista Instituto Freudenthal - www.fi.ru.nl No domínio do conhecimento Matemático sobre poliedros Onde busquei o elo e o apoio para Ousar Investigar ?
    6. 6. Matemática realista? Consiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a nós especialistas/pesquisadores promover isto.
    7. 7. Que a Matemática euclideana não é um objeto ideal para se pensar dedutivamente. Prof. Freudenthal defendia: (meus pressupostos) A inclusão da geometria, o mais cedo possível, na aprendizagem da Matemática. A Matemática é uma atividade humana e a melhor forma de aprender uma atividade é executá-la , reinventa-la, recriá-la. (...)
    8. 8. A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de experimentar a organização local (espaço), se locomove no plano e com “boas” experiências descobre idéias matemáticas (Tramm, 2000) O que se conclui que:
    9. 9. “ As descobertas sendo feitas com os próprios olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes” (Freudenthal,1983) Instituto Freudenthal (FI) trabalha para abrir a Matemática para todos mas nunca para diminuir a exigência de um intelectual, de um pensador científico (htpp://www.fi.ru.nl) COMO?
    10. 10. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de &quot;Reinventar&quot;.
    11. 11. Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o jovem que aprende tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)
    12. 12. Buscando um elo entre a teoria e a cultura popular/prática – a bola de futebol Tendo um olhar de observador Sendo corajoso e criativo Investigando Sendo um pesquisador da prática COMO? A bola de futebol (Icosaedro truncado)
    13. 13. Investigação Matemática <ul><li>E o Método? </li></ul>
    14. 14. Qual o papel do ALUNO/investigador? Descobrir e construir conceitos (os poliedros) e considerar este trabalho: <ul><li>Significativo, </li></ul><ul><li>Útil, </li></ul><ul><li>Instigante, </li></ul><ul><li>Uma fonte de desejo </li></ul><ul><li>Do mundo do adulto/ do currículo </li></ul><ul><li>Lúdico </li></ul>
    15. 15. E o professor?Qual o papel? Elaborar e (re)elaborar atividades identificando elos que permitam que o aluno trabalhe conhecimentos matemáticos no contexto do aluno. Ter um olhar de observador Ser um professor/pesquisador
    16. 16. Como fazer isto? Eis o grande desafio ??? (para nós professores -pesquisadores)
    17. 17. Por etapas <ul><li>Convite para construir uma bola de futebol </li></ul><ul><li>Investigação do objeto de estudo (a bola de futebol) </li></ul><ul><li>Construção dos poliedros segundo regras/limites pré-estabelecidos </li></ul><ul><li>E como foi o processo? </li></ul>
    18. 18. Aceita a proposta Identificar regularidades e padrões Investigação do objeto PARA QUE?
    19. 19. O que descobrimos??? É formada por hexágonos e pentágonos O pentágono é arrodeado por hexágonos A aresta tem a mesma medida.
    20. 20. <ul><li>Porque é que a bola de futebol é formada por hexágonos e pentágonos? </li></ul><ul><li>Quantos pentágonos e hexágonos são usados na bola de futebol? </li></ul>Criando hipóteses de trabalho ou simplesmente alimentando desafios.... Para responder partimos para a investigação matemática dos poliedros com regras/limites.
    21. 21. S e g u i n d o P A D R Õ E S Regularidades Investigação dos poliedros....
    22. 22. Classificando e... Eis os poliedros!!!
    23. 23. Registrando ...Formalizando
    24. 24. Nasce a tabela Polígonos (com lados iguais) Poliedros formados por polígonos Elementos do poliedro (quantidade) Faces Arestas Vértices Triângulos (3 lados) Tenda 4 6 4 Triângulos Diamante 6 9 5 Triângulos Abajour 12 24 10 Triângulos Balão 8 12 6 Triângulos Pião 10 15 7 Triângulos Bola 20 30 12 Quadrados(4 lados) Cubo 6 12 8 Pentágono (5 lados) Invenção 12 30 20 Hexágonos (6 lados) Não forma - - -
    25. 25. brota os “certinhos”, ops!, os “Poliedros de Platão” E da arrumação / classificação
    26. 26. Investigando o porque não fica em pé, REINVENTANDO DURO!!? Aparecem SURPRESAS!!!
    27. 27. balão transferidor As soluções dependem da vivência dos alunos Inventando uma solução REINVENTANDO.
    28. 28. Nosso objetivo, são os certinhos!!!! E a fórmula de Euler? F + V – A = 2?
    29. 29. Identificam o Icosaedro como a bola!!! O do aluno é a bola, então, comparando os registros e ….. Poliedros Elementos F V A OCA 4 4 6 BOLA 20 12 30 É hora de Formalizar
    30. 30. <ul><li>As faces (F) crescem de 2 em 2 </li></ul><ul><li>Arestas (A) – crescem de 3 em 3 </li></ul><ul><li>Vértices (V) – crescem de 1 em 1 </li></ul><ul><li>Alguns poliedros tem a seguinte propriedade: de cada vértice parte o mesmo número de arestas </li></ul><ul><li>Estes poliedros formam um grupo onde existe uma lei que relaciona os elementos (F, A e V) deste poliedros que é F + V – A = 2 (Euler) </li></ul>Estes poliedros foram chamados pelos alunos de “certinhos” e....pelos matemáticos de… Descobrem regularidades na tabela
    31. 31. Platão e o que significava? É hora da História….e de pesquisa Curiosidade!!! Surge a razão Tetraedro Hexaedro/ Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
    32. 32. Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º) A Bola de futebol construída por
    33. 33. Ensino Fundamental (3º e 4º) Alunos O professor influencia… A Bola de futebol construída por
    34. 34. I C O S A E D R O Professores do Ensino Fundamental 1ª a 4ª A bola vista como o Icosaedro
    35. 35. Professores do Ensino Fundamental 1ª a 4ª A BOLA !!! Triângulos sem bicos , Por que?
    36. 36. Por que é formada de hexágonos e pentágonos? Quantos ? O triângulo equilátero se transforma no hexágono – face da bola
    37. 37. Professores Fundamental Ensino Médio Bola de futebol construída por
    38. 38. Rigidez - ângulos <ul><li>Unidade de medidas </li></ul><ul><li>ângulo </li></ul><ul><li>comprimento </li></ul>com hexágonos não é possível construir poliedros Descoberta de propriedades como se fosse uma brincadeira <ul><li>Resultados - alunos </li></ul>
    39. 39. A consolidação e a transferência dos conhecimentos trabalhados acontece de maneira natural. A L U N O S As REINVENÇÕES dependem dos desejos e vivência dos alunos <ul><li>Resultados - alunos </li></ul>
    40. 40. Deu trabalho mas não desistimos. Por que? Estávamos motivados. Motivação é o problema nº 1 do ensino (professor e alunos). Imagens falam mais que palavras Alegria - é o que este trabalho representou para todos os participantes envolvidos Considerações Finais - alunos
    41. 41. O grande prazer que é aprender, manifestado desta forma A L U N O S <ul><li>Resultados - alunos </li></ul>
    42. 42. C O N E X Õ E S Geometria e aritmética N A S C E M E L O S <ul><li>Resultados – professores/pesquisador </li></ul>
    43. 43. Divisores de um número natural Cria-se atividades significativas para o aluno <ul><li>Resultados – professores/pesquisador </li></ul>
    44. 44. Planificação dos poliedros Nasce o estudo de ângulos, com o transferidor <ul><li>Resultados – professores/pesquisador </li></ul>
    45. 45. Criação do triângulo com corte Cria-se material <ul><li>Resultados – professores/pesquisador </li></ul>
    46. 46. Nascem Atividades que reorganizam o ambiente de aprendizagem (currículo) Investigando e construindo o conceito de Nós iniciamos um percurso de inovação, reflexão e reorganização do ambiente de aprendizagem que ultrapassam a área de matemática. Despertou a curiosidade das comunidades envolventes, especialmente a família... (prof. da EB 1 – Lisboa) quadriláteros triângulos <ul><li>Resultados – professores/pesquisador </li></ul>
    47. 47. Imagens falam mais que palavras Contagiou a Escola e o Ministério de Educação. Todos querem aprender. Considerações Finais
    48. 48. Problemas de disciplina? Tô fora. Considerações Finais
    49. 49. “ Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo... Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável à verdadeira fruição da matemática (p.98) Braumann (2002, apud Ponte, 2003)
    50. 50. Respondemos as perguntas Fizemos uma investigação matemática? E mais… Por que os jogadores estao estranhando a Jobulani? E aí?
    51. 51. Agradecimentos http://www.fi.ru.nl Matemática realista
    52. 52. Referências NCTM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Trad. Associação de Professores de Matemática (APM). Lisboa. 2007. Disponível em: http://www.apm.pt/portal/index.php?id=89310 Acesso em 14/05/2008. Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel 1976. ____. Didactical Phenomenology...p.ix. Pag. 125 - 127. in www.fi.ru.nl Ponte, J.P. da et alli.(org). Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. De Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002.
    53. 53. TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM 2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/ professores/elda/e_tra mm.htm . Acesso em 18/05/2008. TRAMM, Elda. A bola de futebol como um importante aliado na aquisição de novos conhecimentos . In Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. de Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002. pag 159 a 167. PONTE, J. P. et al. Investigar a nossa própria prática . In GTI (Org), Reflectir e Investigar sobre a prática profissional. (pp. 5 – 28). Lisboa: Associação de Professores de Matemática (APM).2002.

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