Apostila de trigonometra

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Apostila de trigonometra

  1. 1. TRIGONOMETRIA 1. Trigonometria no triângulo retânguloUm triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internosigual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado dehipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos.Para um triângulo retângulo podemos afirma sempre que: • α +β = 90º (Ângulos Complementares) • a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) 1.1 Razões trigonométricas no triângulo retânguloSenoO seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. ஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఈ ௕ Sen α = = ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔ ஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఉ ௖ Sen β = = ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔
  2. 2. CossenoO cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e ahipotenusa ஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఈ ௖ Cos α = = ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔ ஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఉ ௕ Cos β = = ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔TangenteA tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o catetoadjacente ao ângulo. ஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఈ ௕ Tg α = = ஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఈ ௖ ஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఉ ௖ Cos β = = ஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఉ ௕Exemplo 1: No triângulo retângulo ABC, conforme a figura abaixo, tem-se: ଺ ଼ Sen α = = 0,6 Cos α = = 0,8 ଵ଴ ଵ଴ ଼ ଺ Sen β = = 0,8 Cos β = = 0,6 ଵ଴ ଵ଴ ଺ ଼ Tg α = = 0,75 Tg β = = 1,333... ଼ ଺
  3. 3. Exemplo 2: No triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Obtenhaos valores de seno, cosseno e tangente do ângulo BÂC . Resolução: Para calcular o valor do seno e do cosseno precisamos do valor da hipotenusa. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calcular o valor da hipotenusa. Assim:a2 = 52 +72 = 74; logo a = √74 ଻ ଻ √଻ସ ଻√଻ସSen Ǻ = = . = √଻ସ √଻ସ √଻ସ ଻ସ ହ ହ √଻ସ ହ√଻ସCos Ǻ = = . = √଻ସ √଻ସ √଻ସ ଻ସ ଻Tg Ǻ = = 1,4 ହObservação: O seno, cosseno e a tangente são razões entre grandezas damesma espécie e por isso são números puros, não vêm acompanhados deunidades. No cálculo desses números, as medidas dos lados do triânguloprecisam estar na mesma unidade.Valores NotáveisTabela dos valores trigonométricos de ângulos notáveis.
  4. 4. Exemplo 3: Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento emuma parede, de modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A quedistância da parede devemos apoiar a escada no solo? Podemos perceber um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 8 cm, um ângulo de 60º e o lado x que queremos calcular. Como o lado x representa o cateto adjacente ao ângulo de 60º, então:Cos 600 = x/8 ; ½ = x/8, Logo x = 4mExemplo 4: Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Comonão pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinteforma: • Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D, de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a horizontal; • Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa novamente o topo do morro segundo um ângulo de 53º com a horizontal.Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura dorio? (dados: tg 530 = 1,33 e 31/2 = 1,7)
  5. 5. x – largura do rioy – altura do morroPara resolver este problema, utilizaremos dois triângulos, o ∆ACD e o∆BCD:
  6. 6. Exemplo 5: Calcular o valor de x indicado na figura abaixo.
  7. 7. 2. Ciclo TrigonométricoArcos e ÂngulosArco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferênciafica dividida por dois de seus pontos.Ângulo CentralPara cada arco existe sempre um ângulo central correspondente. A medida deum arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente. med(AB) = αUnidades de MedidasPara medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano.Grau (º)Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte é um arco de umgrau (1º). Isto significa que a circunferência possui 360º.
  8. 8. Os submúltiplos do grau são o minuto (‘) e o segundo (‘’). Um minuto é igual a 1/60 do grau. Um segundo é igual a 1/60 do minuto.Radiano (rad)É o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que ocontém. α = 1radAdmitindo o raio da circunferência como uma unidade, ou seja, raio unitário(R=1rad) e partindo que o comprimento de uma circunferência é obtido fazendoC = 2πR , temos: C = 2π R C =2π . 1rad C =2π radAssim, a medida toda da circunferência, em radianos, é 2π rad.
  9. 9. Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos:Exemplo 6. Converter 360 em radianos.Exemplo 7. Converter 5π/2 rad em graus.Exemplo 8: Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio quemarca 13 horas e 24 minutos. Resolução: Primeiro, precisamos estabelecer uma relação entre tempo e ângulo. Assim, se pensarmos que o ponteiro dos minutos leva 60 minutos para percorrer toda a circunferência e que a circunferência é dividida em 360º, então o ponteiro dos minutos move-se 6º em cada minuto. 1 min ---------- 6º. Da mesma forma estabelecemos a relação para o ponteiro das horas. 1 hora ---------- 30º 60 min ---------- 30ºPonteiro dos minutos: 1min - 60 24min – x0 portanto, x = 1440
  10. 10. Ponteiro das horas: 60 min - 300 24 min - y0 , portanto y = 120Como o ponteiro das horas partiu do ponto 1, referente a 300, somando-setemos: Z = 30 + 12 = 420 Assim, o menor ângulo entre os ponteiros é dado por: α = 144 – 42 = 1020Comprimento de um ArcoPara determinar o comprimento de um arco, podemos estabelecer uma regrade três. Comprimento Ângulo (0) Ângulo (rad) 2πR 360 2π x α βExemplo 9: Numa circunferência de raio 6 cm qual é o comprimento deum arco de 72º?Resolução: 2π.6 cm - 3600 x - 720 x = 12 π/5, x = 7,54 cmExemplo 10: As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro. a) Qual o comprimento da circunferência dessa roda? b) Quantas voltas dará cada roda num percurso de 100 m?
  11. 11. Resolução: A medida do raio é igual à metade do diâmetro, assim:a) o comprimento é dado por: C = 2 π. R = 2 . 3,1416 . 30 = 188,4 cm ou 1,884 mb) o número de voltas é determinado pela razão entre o percurso e ocomprimento de cada roda, então: ଵ଴଴ ௠ n = ଵ,଼଼ସ ௠ ≅ 53 ‫ݏܽݐ݈݋ݒ‬Exemplo 11: Numa circunferência de 32 cm de diâmetro, marca-se umarco de 8 cm de comprimento. Qual a medida desse arco em radianos?Ciclo TrigonométricoO ciclo trigonométrico (ou circunferência trigonométrica) é determinado poruma circunferência de raio unitário (R=1) fixada em um sistema decoordenadas cartesianas ortogonais, com centro na origem do sistemacartesiano.No ciclo trigonométrico podemos observar as seguintes propriedades: • Centro na origem dos eixos cartesianos; • Raio unitário; • Origem dos arcos no ponto A(1,0) que corresponde ao ângulo de 0º;
  12. 12. • Sentido anti-horário positivo (+) e horário negativo (-), a partir do ponto A; • Divide-se em quatro quadrantesObservação: Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (R=1). Amedida de qualquer arco, em radianos é numericamente igual ao comprimentodesse arco. Portanto, percorrer um arco de x rad no ciclo trigonométrico é fazerum percurso de comprimento x. Assim, ao invés de escrevermos 5π/12 rad,escrevemos, apenas 5π/12 e chamamos de imagem de x no ciclo.Exemplo 12: Marcar no ciclo a imagem do número x em cada caso. π a) x = ଶ ଶπ b) x = ଷ
  13. 13. c) x = 1 π d) x = − ଷExemplo 13: Divida o ciclo em 6 partes iguais, a partir da origem, eindique o número x, 0 ≤ x ≤ 2p , associado a cada ponto divisor.Resolução: Como a circunferência tem comprimento igual a 2π, então cadaparte equivale a 1/6 de 2π. Assim, cada parte tem comprimento igual a π/3.Arcos CôngruosVamos representar os arcos de extremidades em 30º, 390º, 750º e 1110º nomesmo ciclo trigonométrico. Percebemos que as extremidades destes arcosencontram-se na mesma posição, porém em voltas diferentes. Os arcos quetêm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras sãochamados de arcos côngruos.
  14. 14. 300 300 + 00 300 + 00 . 3600 3900 300 + 3600 300 + 1 . 3600 7500 300 + 7900 300 + 2 . 3600 11100 300 + 10800 300 + 3 . 3600 x ................... α + k . 3600Assim, podemos representar todos os arcos côngruos à 30º pela expressão: x = 30º + 360º. k, k ∈ Z (Z = números inteiros)De maneira geral: • Se o arco estiver em graus: x =α + 360º k, k ∈ Z • Se o arco estiver em radianos: x =α + 2kπ , k ∈ ZObservação: Chama-se primeira determinação positiva de um arco se omesmo encontrar- se no intervalo de 0º a 360º, ou, 0 a 2p.Exemplo 14: Um móvel, partindo do ponto A, percorreu um arco de 2396ºno ciclo trigonométrico. Quantas voltas completas foram dadas e em quequadrante parou?
  15. 15. Foram completadas 6 voltas;como o arco de 2396º é côngruo ao arco de 236ºna primeira determinação, podemos verificar que sua extremidade encontra-seno 3º quadranteExemplo 15: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos ao arco de 1845º.Resolução: Fazendo,Tem-se que: • A primeira determinação positivaé 45º; • A expressão geral é dada por: x = 45º+360º k, k ∈ Z 3. Funções CircularesAs funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circulare são importantes devido à sua periodicidade, pois elas podem representarfenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, ocomportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveisde água dos oceanos, etc. 3.1. Função SenoDenominamos função seno à função que a cada número real x fazcorresponder o número y = sen x.
  16. 16. O seno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arco noeixo vertical, denominado eixo dos senos.Domínio e ImagemO domínio da função seno é o conjunto de todos os números reais, R.Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possívelpara o seno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que oconjunto imagem da função seno é o intervalo de – 1 a 1. Vejamos: D=R Im = {-1,1}Estudo do Sinal
  17. 17. Valores NotáveisGráficoA função seno é uma função periódica de período p = 2π. O período é ocomprimento do intervalo no qual a função passa por um ciclo completo devariação.Dada a função y = sen(mx), o período da função seno pode ser determinadofazendo: 2ߨ ‫=݌‬ |݉|
  18. 18. 3.2. Função CossenoDenominamos função cosseno à função que a cada número real x fazcorresponder o número y = cos x.Interpretação GeométricaO cosseno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arcono eixo horizontal, denominado eixo dos cossenos.Domínio e ImagemO domínio da função cosseno é o conjunto de todos os números reais, R.Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possívelpara o cosseno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que oconjunto imagem da função cosseno é o intervalo de – 1 a 1.Vejamos: D=R Im = {-1,1}
  19. 19. Estudo do SinalValores NotáveisGráfico A função cosseno também é uma função periódica de período p = 2π. Dada a função y = cos(mx), o período da função cosseno pode ser determinado fazendo: 2ߨ ‫=݌‬ |݉|
  20. 20. Relação Fundamental I Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈ R. ‫݊݁ݏ‬ଶ ‫ ݏ݋ܿ + ݔ‬ଶ ‫1 = ݔ‬Exemplo 16: Determine o valor de sen x , sabendo-se que cos x = ½ e3π/2 < x < 2πExemplo 17: Calcule o valor da expressão ࢙ࢋ࢔૚૛૙૙ − ࢉ࢕࢙૚૞૙૙ ࢟= ࢉ࢕࢙૛૝૙૙ + ࢙ࢋ࢔૞ૠ૙૙Resolução: Calculando separadamente cada valor temos: √ଷsen 1200 = sen 600 = ଶ √ଷcos 1500 = -cos 300 =− ଶsen 5700 = sen 2100 = -sen 300 = -1/2Resultado: −√3Exemplo 18: determine a expressão ࢞ ࢙ࢋ࢔ − ࢉ࢕࢙૛࢞ ࣊ ૛ ࡭= ࢞ ; ࢙ࢇ࢈ࢋ࢔ࢊ࢕ − ࢙ࢋ ࢛ࢗࢋ ࢞ = ࢉ࢕࢙ ૜ − ࢙ࢋ࢔૝࢞ ૛ 3.3. Função tangenteDenominamos função tangente à função que a cada número real x fazcorresponder o número y = tg x.Interpretação Geométrica
  21. 21. A tangente de um arco x é obtida fazendo o prolongamento do raio da extremidade do arco no eixo vertical paralelo ao eixo dos senos que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto x = 0, denominado eixo das tangentes.Domínio e Imagem Nos pontos 90º e 270º, as retas geradas pelo prolongamento dos raios geram uma reta paralela ao eixo das tangentes, assim, não existirá tangente para os valores de 90º, 270º e todos os arcos côngruos a estes. D = {x ∈ R, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z} Im = REstudo do SinalValores Notáveis
  22. 22. Gráfico A função tangente também é uma função periódica de período p = π. Dada a função y = tg (mx), o período da função tangente pode ser determinado fazendo: ߨ ‫=݌‬ |݉|Relação Fundamental II Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈R / x ≠ 90º + kπ, k ∈ Z. ‫ܠܖ܍ܛ‬ ‫= ܠ܏ܜ‬ ‫ܠܛܗ܋‬Exemplo 19: Determine o valor da expressão
  23. 23. ૜ૈ ‫ ܛܗ܋‬ૠૡ૙૙ + ‫܏ܜ‬ ૝ ۳= ૝ૈ ૜. ‫ૢ ܏ܜ‬૜૙૙ . ‫ܖ܍ܛ‬ ૜Resolução: Calculando os valores para cada termo, temos: cos780º = cos60º = 1/2 tg 3π/4 = - tg π/4 = -1 √ଷ tg 930º = tg 210º = tg 30º = ଷ √ଷ Sen 4 π/3 = - sen π/3 = - ଶAssim, ૚ + (−૚) ૚ ૛ ۳= = ૜. √૜ . (− √૜ ) ૜ ૜ ૛Exemplo 20: Dado o valor de sen x = - 3/5 , com π< x < 3π/2, determine ovalor da tg x .Exemplo 21: Dado que sen x + cos x = a , calcule o valor de y = sen x ×cos x em função de a.
  24. 24. 3.4. Função CossecanteDenominamos função cossecante à função que a cada número real x fazcorresponder o número y = cossec x.Interpretação Geométrica A cossecante de um arco x é obtida através da distância da origem do eixo vertical até a intersecção da reta que tangencia o ponto que representa a extremidade do arco x. Assim, o eixo vertical passa a ser chamado, também, de eixo das cossecantes.Domínio e ImagemO domínio da função cossecante pode ser observado no gráfico a seguir:Nos pontos 0º e 180º, as retas tangentes aos arcos são paralelas ao eixo dascossecantes, assim, não existirá intersecção, logo não será possível calcular acossecante para os valores de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes. D = {x∈R ; x ≠ kπ , k ∈Z}A imagem da cossecante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico,ou seja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a – 1, assim: Im = R - ]-1;1[
  25. 25. Estudo do SinalGráficoA função cossecante também é uma função periódica de período p = 2π.Dada a função y = cossec(mx), o período da função cossecante pode serdeterminado fazendo: 2ߨ ‫=݌‬ |݉|
  26. 26. 3.5. Função SecanteDenominamos função secante à função que a cada número real x fazcorresponder o número y = sec x.Interpretação geométrica A secante de um arco x é obtida através da distância da origem do eixo horizontal até a intersecção da reta que tangencia o ponto que representa a extremidade do arco x. Assim, o eixo vertical passa a ser chamado, também, de eixo das secantes.Domínio e ImagemO domínio da função secante pode ser observado no gráfico a seguir: Nospontos 90º e 270º, as retas tangentes aos arcos são paralelas ao eixo dassecantes, assim, não existirá intersecção, logo não será possível calcular asecante para os valores de 90º, 270º e todos os arcos côngruos a estes. {D = x∈R ; x ≠ π/2 + kπ , k ∈ Z}A imagem da secante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico, ouseja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a -1, assim: Im = R - ]-1;1[
  27. 27. Estudo do SinalGráfico Período 2ߨ ‫=݌‬ |݉| 3.6. Função CotangenteDenominamos função cotangente à função que a cada número real x fazcorresponder o número y = cotg x.
  28. 28. Interpretação Geométrica A cotangente de um arco x é obtida fazendo o prolongamento do raio da extremidade do arco no eixo horizontal paralelo ao eixo dos cossenos que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto x = π/2, denominado eixo das cotangentes.Domínio e ImagemNos pontos 0º e 180º, as retas geradas pelo prolongamento dos raios geramuma reta paralela ao eixo das cotangentes, assim, não existirá cotangente paraos valores de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes. D = {x∈R / x ≠ kπ , k ∈ Z}A imagem da cotangente serão todos os valores, incluindo dentro do ciclotrigonométrico, ou seja, todos os números reais, assim: Im = R
  29. 29. Estudo do sinalGráfico Período ߨ ‫=݌‬ |݉| 3.7. Relações entre as Funções Circulares ૚ ࢉ࢕࢙࢞. ࢙ࢋࢉ࢞ = ࢙ࢋ࢔࢞ ૚ ࢙ࢋࢉ࢞ = ࢉ࢕࢙࢞ ૚ ࢉ࢕࢙࢞ ࢉ࢕࢚ࢍ࢞ = = ࢚ࢍ࢞ ࢙ࢋ࢔࢞ ࢚ࢍ૛ ࢞ + ૚ = ࢙ࢋࢉ૛ ࢞ ࢉ࢕࢚ࢍ૛ ࢞ + ૚ = ࢉ࢕࢙࢙ࢋࢉ૛ ࢞
  30. 30. Exemplo 22: Calcule, se existir, o valor numérico para:a) cossec π/6 b) sec 5 π/6 c) cotg 480 º d) cossec (-π/4)Resolução: a) Cossec π/6 = 1/sen π/6 =1/ 0,5 = 2 b) Sec 5 π/6 = 1/ cos 5 π/6 = 1/ - cos π/6 = -2/√૜ √૜ c) cotg 480 º = 1/tg 480 º = 1/ tg 120 º = 1/-tg60o = 1/-√3 = - ૜ √ଶ d) cossec (-π/4) = 1/sen(-π/4) = 1/ -sen (π/4) = 1/ - = - √૛ ଶExemplo 23: Construa o gráfico das funções: a) y = 2sen x b) f(x) = sen 2x c) y = cos x+1 d) f(x) = cos x/2Resolução: Para construir o gráfico de cada função, primeiro, vamosdeterminar o período e a imagem, e em seguida construir uma tabela paradeterminados valores. Vejamos:a) y = 2sen xPeríodo: 2ߨ 2ߨ‫=݌‬ = = 2ߨ |݉| |1|Imagem: Im = [- 2;2] X y = 2sen x y 0 Y = 2 sen 0 = 0 0 π/2 2sen π/2 = 2.1 2 π 2sen π = 2.0 0 3π/2 2sen 3π/2 = 2.(-1) -2 2π 2sen 2π=2.0 0
  31. 31. b) f (x) = sen 2x 2ߨ 2ߨ‫=݌‬ = =ߨ |݉| |2|Imagem: Im = [-1;1] x f(x) = sen 2x f(x) 0 sen 2.0 = 0 0 π/4 sen 2.π/4 = sen π/2=1 1 π/2 sen 2π/2 = sen π = 0 3π/4 sen 2.3π/4 = sen3π/2 -1 π sen 2π=0 0
  32. 32. c) f(x) = cos x +1 2ߨ 2ߨ‫=݌‬ = = 2ߨ |݉| |1|Imagem: Im = [0;2] x f(x) = cosx+1 f(x) 0 cos0+1 = 1+1 = 2 2 π/2 cosπ/2+1 = 0+1=1 1 π cosπ+1= -1+1 = 0 0 3π/2 cos3π/2+1 = 0+1 1 2π cos2π= 1+1 2 d) y = cos x/2 2ߨ 2ߨ‫=݌‬ = = 4ߨ |݉| |1/2|Imagem: Im = [-1;1]
  33. 33. x y = cos x/2 y 0 cos0/2 = cos0 = 1 1 π cos π/2 = 0 0 2π cos2π/2 =cos π=-1 -1 3π cos3π/2 = 0 0 4π Cos4π/2=cos2π=1 1 4. Equações TrigonométricasUma equação trigonométrica é uma equação que envolve as funçõestrigonométricas. 4.1. Equação do tipo sen x = sen a.Dado um número real z vamos determinar os valores de x que satisfazem àequação sen x = sen a . Observando que a condição para que exista solução é-1 ≤ z ≤ 1. Vejamos: √૛Exemplo 24: Determine o conjunto solução da equação sen x = , U = R. ૛ √2 ‫= ݔ݊݁ݏ‬ 2
  34. 34. ߨ 3ߨ ‫= ݔ݊݁ݏ‬ ݁ ‫= ݔ݊݁ݏ‬ 4 4 ߨ 3ߨ ‫=ݔ‬ + 2݇ߨ ݁ ‫= ݔ‬ + 2݇ߨ 4 4Como o domínio da função são todos osnúmeros reais, devemos considerar todos osarcos côngruos a π/4 e 3π/4. Assim:S = { x ∈ R; x = π/4 + 2k π ou x = 3π/4+ 2k π , k ∈ Z}

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