UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA
PROGRAMA DE PÓS
MATEMÁTICAS
Ednilson Sérgio Ram...
Ednilson Sérgio Ramalho de Souza
Márcio José Cordeiro dos Santos
Conceição Lima Fonseca
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Ednilson Sérgio Ramalho de Souza
Márcio José Cordeiro dos Santos
Conceição Lima Fonseca
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Dedicamos este trabalho aos alunos e professores da segunda
turma de especialização em Educação Matemática 2007 do
IEMCI/U...
Agradecemos a Deus e a todas as pessoas de bom coração.
“Professor não é aquele que sabe tudo; porém,
sabe que tudo se aprende”
Ednilson Souza
Resumo
O objetivo desta monografia é descrever uma experiência de modelagem
matemática realizada pelos autores da mesma du...
Abstract
The aim this is monograph is to describe an experience of mathematical
modeling performed during a course mathema...
Lista de figuras
Figura 1. Tesoura de um telhado mostrando três forças (f1, f2 e f3) que convergem
para o ponto P. ..........
Sumário
Introdução...........................................................................................................
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Introdução
A modelagem matemática tem sido apontada como uma estratégia que
proporciona uma atividade interdisciplinar ...
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Capítulo 1. Referencial teórico
1.1 Aspectos gerais sobre modelagem matemática
Ao observar um artesão preparar uma peça...
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Nessa ótica, um modelo matemático é “um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que procuram traduzir, de alguma fo...
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O modelo de um motor de carro (uma planta, uma maquete, um
protótipo) deve permitir que o engenheiro o explique e tome ...
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• Validação: processo de aceitação ou não do modelo proposto;
• Modificação: reformulação dos modelos para garantir coe...
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cabem aos alunos. A ênfase está em estimular os alunos a identificar situações
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1.2 Interdisciplinaridade
Muito se tem falado nessa palavra nos últimos anos, mas parece que o
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2.3 Problematizando a situação física
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Figura 6. Infográfico referente ao desabamento do teto da ig
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Discute-se sobre a possibilidade de atitude interdisciplinar entre professores de matemática e física em ambiente de modelagem matemática.

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Atitude interdisciplinar em ambiente gerado pelo processo de modelagem matemática (2015 03 28 13_13_45 utc)

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS MATEMÁTICAS Ednilson Sérgio Ramalho de Souza Márcio José Cordeiro dos Santos ATITUDE INTERDISCIPLINAR EM AMBIENTE DE MODELAGEM MATEMÁTICA Uma atividade envolvendo UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS-ESPECIALIZAÇÃO Ednilson Sérgio Ramalho de Souza Márcio José Cordeiro dos Santos Conceição Lima Fonseca E INTERDISCIPLINAR EM AMBIENTE GERADO PELO PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA Uma atividade envolvendo professores de Matemática e Física Belém 2009 INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E GERADO PELO PROCESSO Matemática e Física
  2. 2. Ednilson Sérgio Ramalho de Souza Márcio José Cordeiro dos Santos Conceição Lima Fonseca ATITUDE INTERDISCIPLINAR EM AMBIENTE GERADO PELO PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA Uma atividade envolvendo professores de Matemática e Física Monografia apresentada ao IEMCI/UFPA como exigência parcial para a obtenção do título de Especialista em Educação Matemática, na Área de concentração em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo. Belém 2009
  3. 3. Ednilson Sérgio Ramalho de Souza Márcio José Cordeiro dos Santos Conceição Lima Fonseca ATITUDE INTERDISCIPLINAR EM AMBIENTE GERADO PELO PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA Uma atividade envolvendo professores de Matemática e Física Monografia apresentada ao IEMCI/UFPA como exigência parcial para a obtenção do título de Especialista em Educação Matemática, na Área de concentração em Educação Matemática. Prof. Dr. Adilson Oliveira do Espírito Santo/UFPA (IEMCI/UFPA) (Presidente/Orientador) Prof. Dr. Francisco Hermes da Silva/UFPA (Membro titular interno) Prof. Dr. Tadeu Oliver Gonçalves/UFPA) (Membro titular interno)
  4. 4. Dedicamos este trabalho aos alunos e professores da segunda turma de especialização em Educação Matemática 2007 do IEMCI/UFPA.
  5. 5. Agradecemos a Deus e a todas as pessoas de bom coração.
  6. 6. “Professor não é aquele que sabe tudo; porém, sabe que tudo se aprende” Ednilson Souza
  7. 7. Resumo O objetivo desta monografia é descrever uma experiência de modelagem matemática realizada pelos autores da mesma durante a disciplina Modelagem Matemática de um curso de Especialização. A finalidade dos alunos- professores foi desenvolver uma atividade interdisciplinar entre Matemática e Física. Motivados por um acontecimento de comoção nacional: o desabamento do teto de uma igreja em São-Paulo, os autores escolheram um tema de pesquisa, a saber: “reforma de telhados”. A partir de uma situação física real (forças incidentes na tesoura de um telhado) foram estudados conceitos de matemática e física de maneira significativa onde os assuntos foram abordados conforme a necessidade para se resolver o problema inicial (o que pode causar o desabamento de telhados?). Constatou-se que o ambiente de ensino- aprendizagem gerado pelo processo de modelagem matemática de uma situação física favoreceu a atitude interdisciplinar entre professores de Matemática e Física. Durante a atividade foram abordados os seguintes conteúdos: a) de Matemática: Área das figuras planas, trigonometria, unidades de medidas, regra de três simples, números decimais; b) de Física: Conceitos de massa e peso, cálculo da força peso, transformações de unidades de medidas. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Interdisciplinaridade; Matemática/Física.
  8. 8. Abstract The aim this is monograph is to describe an experience of mathematical modeling performed during a course mathematical modeling of a specialization course. The purpose of the teacher-students was to develop an interdisciplinary task between mathematics end physics. Motivated by an event of national shock: the collapse of the roof of a church in city São Paulo (Brazil), we chose a research topic: reform of roofs. From a physical situation (forces incidents in roof) were studied significantly concepts of mathematics and physics where the issues were addressed as needed to solve o initial problem (which can cause collapse of the roofs?). We observed that o environment generated by the mathematical modeling favored interdisciplinary attitude among teachers of the mathematics and physics. Addressed the following contents: area of plane figures, trigonometry, units of measure, simple rule of three, decimals, concepts of mass and weight, calculating of weight force, transformations of units of measure. Keywords: Mathematical modeling, Interdisciplinarity, Mathematics/Physics.
  9. 9. Lista de figuras Figura 1. Tesoura de um telhado mostrando três forças (f1, f2 e f3) que convergem para o ponto P. ......................................................................................................................... 20 Figura 2. Dimensões do telhado a ser coberto................................................................... 21 Figura 3. Vista frontal da tesoura do telhado da casa....................................................... 22 Figura 4. Cálculo do lado L.................................................................................................... 23 Figura 5. Dimensões de uma telha colonial (adaptado de www.ceramicaforte.com.br). ..................................................................................................................................................... 24
  10. 10. Sumário Introdução................................................................................................................................ 11 Capítulo 1. Referencial teórico.............................................................................................. 12 1.1 Aspectos gerais sobre modelagem matemática....................................................... 12 1.2 Interdisciplinaridade....................................................................................................... 17 Capítulo 2: Metodologia ......................................................................................................... 19 2.1 Situação-problema......................................................................................................... 19 2.2 Análise da situação-problema...................................................................................... 20 2.3 Problematizando a situação física .............................................................................. 21 Considerações finais............................................................................................................. 29 Referências.............................................................................................................................. 31 Anexo I: Teto de igreja desaba e mata nove pessoas....................................................... 32
  11. 11. 11 Introdução A modelagem matemática tem sido apontada como uma estratégia que proporciona uma atividade interdisciplinar e até mesmo transdisciplinar (SOUZA e ESPÍRITO SANTO, 2008; LEVY, 2003). A respeito da interdisciplinaridade, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio salientam que, Trata-se da construção de um novo saber a respeito da realidade, recorrendo-se aos saberes disciplinares e explorando ao máximo os limites e as potencialidades de cada área do conhecimento. O quanto será ultrapassado do limite de cada disciplina dependerá do projeto inicialmente elaborado. O objeto de estudo é o mesmo, mas levará a um novo saber, que não é necessariamente da Física, da Química ou da Biologia, mas um saber mais amplo sobre aquela situação, aquele fenômeno. (BRASIL, 2006, p. 51). Desse modo, o objetivo desse trabalho é desenvolver uma atividade interdisciplinar entre Matemática e Física por meio do ambiente gerado pelo processo de modelagem matemática de uma situação física. Partindo da seguinte problemática: o que pode causar o desabamento de um telhado durante sua reforma? e motivados por um acontecimento de comoção nacional que vitimou nove pessoas após o desabamento de um telhado de uma igreja na cidade de São - Paulo (Brasil), os alunos realizaram várias pesquisas na internet, livros, entrevistas com especialistas da área para buscar respostas à pergunta formulada. No decorrer da atividade foram estudados, de maneira significativa e interdisciplinar, conteúdos de Matemática e Física, possibilitando, assim, uma atitude interdisciplinar entre os discentes.
  12. 12. 12 Capítulo 1. Referencial teórico 1.1 Aspectos gerais sobre modelagem matemática Ao observar um artesão preparar uma peça de argila, podemos perceber que ele utiliza uma porção de material que inicialmente está disforme (sem forma), mas que, conforme ele vai modelando, a argila vai ganhando formas cada vez mais ricas em detalhes. Quando a peça final fica “perfeita” ela serve de modelo a ser reproduzida posteriormente. Podemos dizer que a peça final que serve de modelo representa não só um objeto a ser reproduzido, mas toda a criatividade e imaginação do artesão. Dessa forma, podemos refletir que um modelo é uma representação de algo imaginário ou real (BIEMBENGUT e HEIN, 2003, p. 12). Estendendo um pouco mais o raciocínio, podemos admitir que antes de construir o modelo físico do vaso, o artesão fez um modelo mental1 do mesmo. Caso esse modelo físico de vaso seja estudado matematicamente, provavelmente encontrar-se-ão proporções e relações matemáticas subjacentes a sua forma. Se esses dados matemáticos forem organizados, por exemplo, em uma tabela, em um gráfico ou em uma equação algébrica que permitam uma espécie de “interpretação”, estaremos construindo modelos matemáticos que servirão para representar aspectos do objeto em estudo. 1 Conforme Greca e Moreira (2002), modelos mentais são estruturas cognitivas idiossincráticas, determinadas e concretas, que acontecem na memória de trabalho do sujeito que quer compreender, explicar ou predizer uma situação ou processo específico, atuando como análogos estruturais dessa situação ou processo (32)..
  13. 13. 13 Nessa ótica, um modelo matemático é “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procuram traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação-real” (idem, p. 12). Genericamente, podemos dizer que modelagem matemática é um processo que visa à obtenção e validação de um modelo matemático (BASSANEZI, 2004, p. 24). Esse autor argumenta que ao se procurar refletir sobre uma parte da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela, o processo comum é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo. Depreende-se que, para esse autor, o termo modelo possui, necessariamente, a função de possibilitar explicações, inferências, predições, deduções. O que pode ser corroborado por Pinheiro (2001) “Os modelos, devido à sua flexibilidade, podem desempenhar diversas funções, às vezes até simultaneamente. Eles podem servir para compreender, explicar, prever, calcular, manipular, formular” (p. 38). Borges (1997) contribui ressaltando que, Um modelo pode ser definido como uma representação de um objeto ou uma idéia, de um evento ou de um processo, envolvendo analogias Portanto, da mesma forma que uma analogia, um modelo implica na existência de uma correspondência estrutural entre sistemas distintos. Se isso não fosse assim, os modelos teriam pouca utilidade. (BORGES, 1997, p. 207). Entendemos, portanto, que um modelo é uma representação de alguma coisa que possibilite explicações, inferências e predições por meio de analogias entre o modelo (representante) e a coisa modelada (representado).
  14. 14. 14 O modelo de um motor de carro (uma planta, uma maquete, um protótipo) deve permitir que o engenheiro o explique e tome decisões a partir da interpretação desse modelo. Para um leigo, essa representação de motor não será um modelo, visto que não possibilitará nenhuma explicação científica, apenas o representará em sua ausência. Considerando o exposto acima, somos levados a inferir que um modelo matemático seria uma representação matemática que possibilite algum tipo de interpretação científica sobre o objeto de conhecimento. Deste modo, a distinção entre representação matemática e modelo matemático é função do repertório cognitivo de quem tenta interpretar/utilizar tal representação. Um modelo matemático é fruto de um processo cognitivo, ou seja, é fruto da mobilização de estruturas internas de conhecimento pelo sujeito. Portanto, uma representação matemática exige um custo cognitivo apenas de identificação ou reconhecimento. Um modelo matemático exige a mobilização de estruturas cognitivas mais elaboradas. O processo ou a dinâmica da modelagem matemática pode ser realizado em etapas. Rodney Bassanezi (ibidem) propõe cinco “atividades intelectuais”, a saber: • Experimentação: onde ocorre a obtenção de dados; • Abstração: procedimento que deve levar à formulação de modelos matemáticos (seleção de variáveis, problematização, formulação de hipóteses, simplificação); • Resolução: atividade própria do matemático. Consiste em usar técnicas de resolução para tratar o modelo matemático;
  15. 15. 15 • Validação: processo de aceitação ou não do modelo proposto; • Modificação: reformulação dos modelos para garantir coerência e utilidade. Os passos acima são suficientes para efetivar o processo de modelagem matemática. Porém, só se aprende a fazer modelagem matemática, modelando. Barbosa (2001) ressalta que as atividades de modelagem matemática vêm sendo realizadas basicamente de três maneiras ou, como o próprio autor se refere, em “casos”: No caso 1 a descrição da situação, os dados reais e os problemas são trazidos pelo professor, cabendo aos alunos apenas a tarefa de resolução, No caso 1, o fato de o professor ter simplificado e formulado o problema não significa a ausência de indagação pelos alunos. Ela está presente durante o engajamento dos alunos no processo de resolução. O problema posto pelo professor é uma indagação geradora de outras. O nível de questionamento dos alunos, certamente, depende do papel estimulador do professor: “Qual o caminho?”, “Por quê?”, “Como?”, “Tem certeza? etc.” (BARBOSA, 2001, p. 39-40). No caso 2 o professor traz para a sala de aula um problema não- matemático, ou seja, cabe ao professor formular e apresentar o problema. A coleta de dados qualitativos e quantitativos necessários para resolver o problema fica a cargo dos alunos. No caso 3 são escolhidos temas para desenvolver a pesquisa, “...o levantamento de informações, a formulação de problemas e a resolução destes
  16. 16. 16 cabem aos alunos. A ênfase está em estimular os alunos a identificar situações problemáticas, formulá-las adequadamente e resolvê-las”.(ibidem, p. 39). Os “casos” de Barbosa acima apresentados não devem ser tomados como formas prescritivas rígidas de organização das atividades de modelagem. Dependendo de contexto escolar e da maturidade do professor e dos alunos com relação à modelagem, pode-se “passear” entre os casos “... de modo a se nutrirem reciprocamente” (ibidem, p. 40). Chaves e Espírito Santo (2008, p. 159), ao refletirem sobre as diversas possibilidades de uso e aplicação da modelagem matemática em sala de aula, entendem a mesma como um processo gerador de um ambiente de ensino- aprendizagem no qual os conteúdos matemáticos podem ser vistos imbricados a outros conteúdos de outras áreas do conhecimento, por exemplo, de Física; tendo-se, dessa forma uma visão holística do problema em investigação. Entendemos que um ambiente de ensino e aprendizagem é construído no espaço sala de aula, sem necessariamente se restringir a ele, a partir do momento em que, cada um de seus participantes, alunos e professores, assumem responsabilidades e obrigações pelo desenvolvimento de atividades que visem o ensino e a aprendizagem do conhecimento, aqui, em particular, o matemático. E, ao entender Modelagem Matemática como um processo gerador de um ambiente de ensino e aprendizagem que tem as atividades como mote, englobamos nesse processo várias possibilidades para o uso da Modelagem na perspectiva da Educação Matemática. (grifos dos autores) (CHAVES e ESPÍRITO SANTO, 2008, p. 159).
  17. 17. 17 1.2 Interdisciplinaridade Muito se tem falado nessa palavra nos últimos anos, mas parece que o discurso não condiz com a prática “poucos sabem o que esta vem a ser e como deve ser exercida na prática científica e, em especial, na prática docente” (SILVA, 2009, p. 37). Corroboramos com as idéias de Silva (2009) quando este reflete que a interdisciplinaridade não está na integração das ciências, mas na atitude do cientista [ou do modelador matemático] que, ciente de sua capacidade limitada pela necessidade de especialização, busca informações de outras áreas que permitam melhor compreensão do fenômeno estudado. O mesmo autor elenca, a partir de idéias de autores como: Jean Piaget, Edgar Morin, Vygotsky, David Ausubel e Gerard Vergnaud, alguns princípios para uma atitude interdisciplinar: • Reversibilidade: capacidade de executar uma mesma ação nos dois sentidos de percurso, porém não perdendo a consciência de que se trata da mesma ação. Tal capacidade é primária para o desenvolvimento de conduta interdisciplinar, pois ela permite ao sujeito compor e decompor uma ação mental na busca de um equilíbrio cognitivo necessário à compreensão do objeto de conhecimento (SILVA, 2009); • Abstração reflexiva: este princípio permite ao indivíduo entender que os conceitos podem ser relacionados na busca do entendimento mais completo de um dado fenômeno ou um novo conceito. A Biologia explica a fisiologia do globo ocular; a Física explica os fenômenos óticos e a Matemática explica, através do conceito de proporcionalidade, como é
  18. 18. 18 possível capturar uma imagem em tamanho real e convertê-la em tamanho menor (ibidem); • Aprendizagem significativa: quando a aprendizagem se apóia em organizadores prévios (que são, na realidade, “velhos” conhecimentos, isto é, conhecimentos já estabelecidos e consolidados na estrutura cognitiva do sujeito) e os utiliza como instrumento de aglutinação de novos conhecimentos, procurando diferenciá-los progressivamente e reconciliá-los em uma rede; • A idéia de campo conceitual: a fim de se refletir, explorar e tentar, é necessário articular os conhecimentos já estabelecidos, que nada mais são do que as competências que fazem parte do campo conceitual do sujeito que vislumbra uma postura interdisciplinar; • O pensamento complexo de Edgar Morin: que em linha gerais consiste em romper com a compartimentalização na direção da religação dos saberes. É preciso religar o que era considerado como separado. Ao mesmo tempo, é preciso aprender a fazer com que as certezas interajam com a incerteza. O conhecimento é, com efeito, uma navegação que se efetiva num oceano de incerteza salpicado de arquipélagos de incerteza. (MORIN, 2002, p. 61 apud SILVA, 2009). Entendemos, portanto, que a interdisciplinaridade se refere a uma atitude, comportamento ou conduta educacional que visa (re)estabelecer laços entre os diversos conhecimentos que orbitam ao objeto de estudo. Acreditamos que o ambiente gerado pelo processo de modelagem matemática no ensino possa favorecer a essa postura interdisciplinar.
  19. 19. 19 Capítulo 2: Metodologia Descreveremos abaixo os procedimentos metodológicos realizados durante uma atividade interdisciplinar entre Matemática e Física. Primeiramente os sujeitos da pesquisa (dois professores de Matemática e um de Física) discutiram qual seria a questão de pesquisa a ser investigada. Tendo chegado a um consenso, os mesmos realizaram pesquisas na internet para obter informações sobre o acidente que vitimou nove pessoas em São-Paulo. A partir dessas informações construíram um texto introdutório sobre o desabamento do telhado da igreja (anexo I). Os sujeitos elaboraram, então, uma situação- problema envolvendo o tema de pesquisa: 2.1 Situação-problema O telhado é a parte superior da construção que tem como função principal protegê-la das intempéries (sol, chuva, vento etc) e também proporcionar isolamento térmico à edificação. É composto por estrutura própria para o carregamento de forças incidentes, é coberto por telhas dispostas de maneira a canalizar as águas pluviais ao solo. As telhas são apoiadas sobre uma estrutura inclinada, e também tem função estética, quando bem desenhado embeleza a construção. A tesoura (estrutura de madeira que serve par sustentar o peso do telhado, ver figura 1) é um elemento fundamental na construção de telhados. O telhado é tão importante quanto o alicerce de uma casa, por isso devemos construir tesouras que suportem o peso de um telhado, principalmente nos dias de chuva quando as telhas ficam mais pesadas.
  20. 20. 20 Pretende-se trocar a cobertura do telhado abaixo por telhas do tipo colonial. Para isso, devemos verificar se a viga principal da tesoura suportará o peso do novo telhado. → → → → Figura 1. Tesoura de um telhado mostrando três forças (f1, f2 e f3) que convergem para o ponto P. 2.2 Análise da situação-problema Após a compreensão geral da situação e formação de um modelo mental2 da mesma, pode-se passar para a etapa de análise da situação física: para saber se a viga principal suportará o peso do novo telhado é preciso calcular o peso total dele e comparar com a carga de ruptura3 da viga. Se o peso do novo telhado for maior que a carga de ruptura é preciso reforçá-la, caso contrário o serviço de reforma poderá ser feito sem problema de desabamento do telhado. 2 Os modelos mentais são estruturas cognitivas formadas no ato da compreensão de uma situação ou de um problema, capacitam o sujeito a explicar, inferir, fazer predições. 3 Força máxima suportada pela viga na iminência de ruptura. Estamos admitindo o valor de 20.000 Newtons.
  21. 21. 2.3 Problematizando a situação física a) Qual o peso do novo telhado? Desde já é importante esclarecer a diferença entre Enquanto o primeiro é uma força que tem direção para o centro da terra e normalmente é calculada em Newtons (N), a segunda é a quantidade de matéria de um corpo, normalmente calculada em quilogramas (kg). Para saber o peso do novo telhado temos que multiplicar a massa do novo telhado pela aceleração da gravidade. A massa do novo tel calculada multiplicando- telha. A quantidade de telhas é calculada dividindo pela área de uma única telha colonial. i) calculando a área total a ser coberta. Para calcular a área total a ser coberta, vamos admitir um telhado com as seguintes dimensões, Figura .3 Problematizando a situação física a) Qual o peso do novo telhado? Desde já é importante esclarecer a diferença entre peso Enquanto o primeiro é uma força que tem direção para o centro da terra e lmente é calculada em Newtons (N), a segunda é a quantidade de matéria de um corpo, normalmente calculada em quilogramas (kg). Para saber o peso do novo telhado temos que multiplicar a massa do novo telhado pela aceleração da gravidade. A massa do novo tel se a quantidade de telhas pela massa de uma única telha. A quantidade de telhas é calculada dividindo-se a área total a ser coberta pela área de uma única telha colonial. i) calculando a área total a ser coberta. ar a área total a ser coberta, vamos admitir um telhado com as seguintes dimensões, Figura 2. Dimensões do telhado a ser coberto. 21 peso e massa. Enquanto o primeiro é uma força que tem direção para o centro da terra e lmente é calculada em Newtons (N), a segunda é a quantidade de matéria de um corpo, normalmente calculada em quilogramas (kg). Para saber o peso do novo telhado temos que multiplicar a massa do novo telhado pela aceleração da gravidade. A massa do novo telhado é se a quantidade de telhas pela massa de uma única se a área total a ser coberta ar a área total a ser coberta, vamos admitir um telhado com
  22. 22. 22 A área total consiste de dois retângulos de área 5 x L, logo a área a ser coberta é dada por, ࡹ࢕ࢊࢋ࢒࢕ ࢓ࢇ࢚ࢋ࢓á࢚࢏ࢉ࢕ = ૛ ࢞ ૞࢓ ࢞ ࡸሺ࢓ሻ Á࢘ࢋࢇ = ૚૙ࡸ Podemos calcular a medida do lado L de duas maneiras: através do ângulo β ou pelo teorema de Pitágoras. 6 m L β h Figura 3. Vista frontal da tesoura do telhado da casa. Após alguma pesquisa, por exemplo, em revistas, livros técnicos, entrevistas com profissionais da área de construção ou na internet, podemos encontrar relações que nos darão ou valor do ângulo β ou a altura h. Biembengut e Hein informam que “Experimentalmente, o caimento das tesouras deve ser de 20%, ou seja, a cada metro da horizontal corresponderá 20cm do suporte vertical” (2003, p. 63). Logo, como a casa tem 6m de comprimento, a metade tem 3m. Desta forma o suporte vertical deverá ter 1,20m.
  23. 23. 23 β 3m 1,20m 3m 1,20m β L L Figura 4. Cálculo do lado L. Vamos calcular a medida do lado L usado o teorema de Pitágoras: ࡸ૛ = ૜૛ + ૚, ૛૙૛ ࡸ૛ = ૢ + ૚, ૝૝ ࡸ૛ = ૚૙, ૝૝ ࡸ = ඥ૚૙, ૝૝ ࡸ = ૜, ૛૜࢓ Podemos também calcular o lado L por meio do ângulo β: ࢚ࢍࢼ = ૚, ૛૙ ૜ ࢚ࢍࢼ = ૙, ૝ ࢼ = ࢇ࢘ࢉ ࢚ࢍ ૙, ૝ ࢼ = ૛૚, ૡ૙°
  24. 24. 24 Usando a lei dos senos temos que: ࢙ࢋ࢔ࢼ = ૚, ૛૙ ࡸ ࡸ = ૚, ૛૙ ࢙ࢋ࢔૛૚, ૡ૙ ࡸ = ૚, ૛૙ ૙, ૜ૠ ࡸ = ૜, ૛૜࢓ Podemos agora calcular a área a ser coberta, Á࢘ࢋࢇ = ૚૙ ࡸ Á࢘ࢋࢇ = ૚૙ ࢞ ૜, ૛૜ Á࢘ࢋࢇ = ૜૛, ૜࢓૛ ii) calculando a área de cada telha colonial. Podemos obter as dimensões de uma telha colonial através de pesquisa na internet ou medindo-se diretamente com uso de uma trena. A figura 5 nos dá os seguintes valores: 16 cm 21 cm 56 cm partes sobrepostas Figura 5. Dimensões de uma telha colonial (adaptado de www.ceramicaforte.com.br).
  25. 25. 25 Comprimento: 56 cm; Base maior: 21 cm; Base menor: 16 cm. A área da telha pode ser dada pela área do trapézio, ࢓࢕ࢊࢋ࢒࢕ ࢓ࢇ࢚ࢋ࢓á࢚࢏ࢉ࢕ = ሺ࢈ࢇ࢙ࢋ ࢓ࢇ࢏࢕࢘ + ࢈ࢇ࢙ࢋ ࢓ࢋ࢔࢕࢘ሻ࢞ ࢉ࢕࢓࢖࢘࢏࢓ࢋ࢔࢚࢕ ૛ Á࢘ࢋࢇ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ = ሺ૛૚ࢉ࢓ + ૚૟ࢉ࢓ሻ ࢞ ૞૟ࢉ࢓ ૛ Á࢘ࢋࢇ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ = ૚. ૙૜૟ࢉ࢓૛ iii) Calculando a quantidade de telhas. A quantidade de telhas é calculada dividindo-se a área a ser coberta pela área de cada telha, Área a ser coberta = 32,3m2 Área de cada telha = 1.036cm2 Devido as unidades de medida serem diferentes, ou seja, a área a ser coberta está em m2 e a área de cada telha está em cm2 , para efetuar a divisão temos que transformar as medidas para a mesma unidade. Vamos usar as medidas em m2 . ࢓࢕ࢊࢋ࢒࢕ ࢓ࢇ࢚ࢋ࢓á࢚࢏ࢉ࢕ = á࢘ࢋࢇ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ á࢘ࢋࢇ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ ࡽ࢛ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢋ ࢊࢋ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૜૛, ૜࢓૛ ૙, ૚૙૜૟࢓૛
  26. 26. 26 ࡽ࢛ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢋ ࢊࢋ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૜૚૚, ૠૠ iv) Calculando a massa total das telhas Para calcular a massa total das telhas temos que multiplicar a quantidade de telhas pela massa de uma única telha (quadro 1), ࢓࢕ࢊࢋ࢒࢕ ࢓ࢇ࢚ࢋ࢓á࢚࢏ࢉ࢕ = ࢛ࢗࢇ࢔࢚. ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ ࢞ ࢓ࢇ࢙࢙ࢇ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ ࡹࢇ࢙࢙ࢇ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૜૚૚, ૠૠ ࢞ ૛, ૢ૙࢑ࢍ ࡹࢇ࢙࢙ࢇ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૢ૙૝, ૚૞ ࢑ࢍ v) Calculando o peso das telhas. Para calcular o peso das telhas temos que multiplicar a massa total das telhas pela aceleração da gravidade (݃ = 9,80665 ࢓ ࢙૛ ) ࢓࢕ࢊࢋ࢒࢕ ࢓ࢇ࢚ࢋ࢓á࢚࢏ࢉ࢕ = ࢓ࢇ࢙࢙ࢇ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ ࢞ ࢍ࢘ࢇ࢜࢏ࢊࢇࢊࢋ ࡼࢋ࢙࢕ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૢ૙૝, ૚૞࢑ࢍ ࢞ ૢ, ૡ૙૟૟૞ ࢓ ࢙૛ ࡼࢋ࢙࢕ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૡ. ૡ૟૙, ૟ૠ ࢑ࢍ ࢓ ࢙૛ A unidade ࢑ࢍ ࢓ ࢙૛ é chamada de Newton (N), em homenagem ao Físico e Matemático Isaac Newton (1642-1727). Portanto, podemos denotar o peso das telhas da seguinte forma, ࡼࢋ࢙࢕ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૡ. ૡ૟૙, ૟ૠ ࡺࢋ࢚࢝࢕࢔࢙ ሺࡺሻ Comparando-se a carga de ruptura da viga (20.000N) com o peso total do novo telhado (8.860,67 N), percebemos que o peso do telhado é cerca de
  27. 27. 27 45% da carga de ruptura da viga. Logo, poderíamos dizer que o serviço poderia ser feito com segurança, ou seja, sem perigo de desabamento. Porém, o cálculo do peso do novo telhado pode ser feito de outras duas maneiras, isto é, usando as informações das colunas rendimento e peso do quadro 1. a) Usando a coluna rendimento Sabe-se que na hora da colocação das telhas existem partes que ficam sobrepostas (observar figura 5). Levando-se em consideração essa perda de área efetiva, vamos nos deter na coluna rendimento do quadro 1 para calcular o peso do novo telhado. Quadro 1- Características das telhas do tipo colonia4 l. Telha colonial Massa (kg) Rendimento (telhas/m2 ) Inclinação (°) Peso telhamento Seco/úmido (N/m2 ) 2,90 20 18 a 22,5 650 a 780 Percebemos que o rendimento da telha colonial é de 20 telhas por metro quadrado. Para saber quantas telhas serão usadas podemos fazer uma regra de três simples e multiplicar a área do total do telhado pelo rendimento. ࡽ࢛ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢋ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૜૛, ૜࢓૛ ࢞ ૛૙ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ ࢓૛ ࡽ࢛ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢋ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૟૝૟ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ 4 Quadro construído pelos sujeitos da pesquisa por meio de pesquisa na internet.
  28. 28. 28 i) Calculando a massa total das telhas. Para calcular a massa total das telhas devemos multiplicar a quantidade de telhas calculada de acordo com o rendimento do quadro 1 pela massa de uma única telha, ࡹࢇ࢙࢙ࢇ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૟૝૟ ࢞ ૛, ૢ૙ ࢑ࢍ ࡹࢇ࢙࢙ࢇ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૚. ૡૠ૜, ૝ ii) Calculando o peso total das telhas. O peso total das telhas é calculado multiplicando-se a massa total das telhas pela aceleração da gravidade (g = 9,80665 ௠ ௦మ ). ࡼࢋ࢙࢕ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૚. ૡૠ૜, ૝࢑ࢍ ࢞ ૢ, ૡ૙૟૟૞ ࢓ ࢙૛ ࡼࢋ࢙࢕ ࢚࢕࢚ࢇ࢒ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇ࢙ = ૚ૡ. ૜૞ૢ, ૜૛ ࢑ࢍ ࢓ ࢙૛ ࢕࢛ ૚ૡ. ૜૞ૢ, ૜૛ࡺ Nota-se que o peso do telhado calculado pelo rendimento do quadro 1 (18.359,32 N) é bem próximo à carga de ruptura do telhado (20.000 N). Talvez com o peso da água da chuva a viga pudesse não agüentar. Por esse fato e também por prevenção, o serviço não poderia ser realizado, devido o risco de desabamento do telhado. b) Usando a coluna peso telhamento seco/úmido. Vamos usar a relação que fornece o peso do telhamento úmido que, de acordo com quadro 1 é de 780 N/m2 . Já que temos a área a ser coberta, podemos calcular o peso do telhado através de uma regra de três simples.
  29. 29. 29 ࡼࢋ࢙࢕ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇࢊ࢕ ú࢓࢏ࢊ࢕ = ૜૛, ૜ ࢓૛ ࢞ ૠૡ૙ ࡺ ࢓૛ ࡼࢋ࢙࢕ ࢚ࢋ࢒ࢎࢇࢊ࢕ ú࢓࢏ࢊ࢕ = ૛૞. ૚ૢ૝ ࡺ Notamos que esse peso é superior à carga de ruptura da viga de madeira do telhado a ser reformado. Portanto, podemos concluir que não basta apenas trocar as telhas, é necessário reforçar a viga para que não haja perigo de desabamento. Muitas vezes quando se vai reformar um telhado é comum trocar apenas as telhas velhas por novas, sem trocar ou reforçar as estruturas que suportam o peso do telhado. O perigo maior ocorre quando se trocam as telhas antigas por telhas mais pesadas. Vários desabamentos poderiam ser evitados se fosse observada a resistência dos materiais empregados na construção ou reforma desses telhados. Considerações finais A atividade que acabamos de exemplificar teve como objetivo mostrar como o professor (de física ou de matemática) poderia ter uma atitude interdisciplinar em sala de aula, usando a modelagem matemática como ambiente de ensino-aprendizagem. Poderíamos nos perguntar em que o processo de modelagem matemática diferencia-se da resolução de problemas? A resposta a essa pergunta ocorre quando se leva em consideração a atitude do modelador. A atitude do modelador durante o processo de modelagem deve privilegiar a construção e interpretação de representações matemáticas, sendo que o problema formulado é quem auxilia a essa finalidade. Já o sujeito que privilegia
  30. 30. 30 a resolução de problemas como metodologia de ensino-aprendizagem considera as representações matemáticas como ferramenta auxiliar na resolução dos problemas. Além do mais, o sujeito em atividade de modelagem pode ter uma conduta interdisciplinar, visando evidenciar laços entre os assuntos em torno do objeto de estudo. Percebemos que a dinâmica da modelagem exige pesquisa. Esse fato tem aspectos positivos e negativos: positivamente um ambiente de pesquisa poderá incentivar o aluno a procurar informações sobre um tema que ele acha interessante. Muitas vezes durante a pesquisa de um assunto que aparentemente não parece ser interessante, o aluno se depara com um tema que desperte seu interesse. O professor deverá ficar atento sobre o tema que o aluno encontrou interesse e orientar o processo de modelagem. Negativamente, um ambiente de pesquisa poderá demandar de um tempo que o aprendiz pode não ter. Nesse caso o professor deverá auxiliar na busca de dados, muitas vezes já levando o problema com os dados fornecidos, ficando o aluno apenas com a tarefa de “trabalhar” com modelos matemáticos para resolver o problema, conforme o caso 1 de Barbosa. Observou-se também que os conteúdos de Matemática e de Física foram simplesmente “surgindo” conforme a necessidade para se resolverem os problemas. Deste modo, eles não foram “impostos” pelo professor. Conforme a necessidade, o grupo procurou as informações necessárias para resolver os problemas levantados. Desse modo, garante-se maior participação do aprendiz e os conteúdos ganham significado de forma natural. Entre os assuntos abordados podemos destacar:
  31. 31. 31 De matemática: • Área das figuras planas; • Trigonometria; • Unidades e transformações de medidas; • Regra de três simples; • Números decimais. De Física: • Conceitos de massa e peso; • Cálculo de massa; • Calculo da força peso; • Transformações de unidades de medidas. Verificamos que o ambiente de modelagem matemática torna possível uma atitude interdisciplinar entre professores e/ou alunos. Ao mesmo tempo em que se abordaram conteúdos de Matemática foi possível trabalhar conteúdos de Física. A atitude interdisciplinar no ensino fez com que os assuntos permanecessem “ligados” apesar da especificidade de cada um. Referências Bibliográficas BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2ed. São Paulo: Contexto, 2004, 389p. BIEMBENGUT, M, S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3ed. São Paulo: Contexto, 2003, 127p. BRASIL. Orientações curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias, v. 2, 2006.
  32. 32. 32 GRECA, I. M.; MOREIRA, M. A. Além da detecção de modelos mentais dos estudantes: uma proposta representacional integradora. Investigação em Ensino de Ciências, v. 7, n. 1, p. 31-53, 2002. LEVY, L. F. Os professores, uma proposta visando à transdisciplinaridade e os atuais alunos de matemática da educação pública municipal de jovens e adultos de Belém, Pará. Dissertação de mestrado em Educação em Ciências e Matemática-NPADC/UFPA, Belém, 2003. SOUZA, E. S. R.; ESPÍRITO SANTO, A. O. Modelagem matemática: uma visão holística da realidade?. In: ENCONTRO PARAENSE DE MODELAGEM MATEMÁTICA, 2008, Belém-Pa. Anais...Belém: SBEM, 2008a. (Publicação em CD-ROM). Anexo I TETO DE IGREJA DESABA E MATA NOVE PESSOAS SÃO PAULO - Os técnicos da Polícia Científica, do Departamento de Controle do Uso de Imóveis (Contru) e da Defesa Civil, iniciavam os trabalhos para descobrir as causas do desabamento do teto da sede internacional da Igreja Renascer em Cristo, que matou 9 pessoas e feriu outras 106. Os primeiros indícios mostram que a estrutura desmoronou por causa de falta de manutenção, pequenas infiltrações e excesso de peso causado por ar- condicionado, aparelhos de som e de iluminação colocados indevidamente no teto nos últimos anos, conforme os técnicos revelaram à reportagem. SILVA, F. H. S. Formação de professores: mitos do processo. Belém: EDUFPA, 2009.
  33. 33. Figura 6. Infográfico referente ao desabamento do teto da ig http://aluizioamorim.blogspot.com/2009/01/j O laudo divulgado pela igreja aponta como uma das causas do desabamento a ausência de reforço metálico em uma das tesouras que sustentavam o telhado. “Sob aspecto conceitual, entendem os signatários que o tratamento dispensado à maior parte da estrutura (reforços metálicos) deveria ter sido empregado também na tesoura T14, para garantir a homogeneidade de comportamento estrutural do conjun O reforço das tesouras ocorreu em uma reforma realizada durante 2000 na sede da Igreja. “Através dos documentos analisados, ensaios de laboratório e outros articuladamente expostos, concluem os peritos que o desabamento ocorreu em face de uma somatória de falhas observadas na reforma da estrutura no decorrer do ano 2000, tendo em vista a ausência de reforço metálico na tesoura T14, o que não foi observado pelos responsáveis e empresas contratadas na época para executar, fiscalizar diz o relatório. . Infográfico referente ao desabamento do teto da igreja (Fonte: http://aluizioamorim.blogspot.com/2009/01/j-so-9-mortos-na-tragdia-da acesso em 25/07/09). O laudo divulgado pela igreja aponta como uma das causas do desabamento a ausência de reforço metálico em uma das tesouras que am o telhado. “Sob aspecto conceitual, entendem os signatários que o tratamento dispensado à maior parte da estrutura (reforços metálicos) deveria ter sido empregado também na tesoura T14, para garantir a homogeneidade de comportamento estrutural do conjunto”, afirma o documento. O reforço das tesouras ocorreu em uma reforma realizada durante 2000 na sede da Igreja. “Através dos documentos analisados, ensaios de laboratório e outros articuladamente expostos, concluem os peritos que o desabamento face de uma somatória de falhas observadas na reforma da estrutura no decorrer do ano 2000, tendo em vista a ausência de reforço metálico na tesoura T14, o que não foi observado pelos responsáveis e empresas contratadas na época para executar, fiscalizar e atestar os serviços”, 33 reja (Fonte: da-renascer.html, O laudo divulgado pela igreja aponta como uma das causas do desabamento a ausência de reforço metálico em uma das tesouras que am o telhado. “Sob aspecto conceitual, entendem os signatários que o tratamento dispensado à maior parte da estrutura (reforços metálicos) deveria ter sido empregado também na tesoura T14, para garantir a homogeneidade de O reforço das tesouras ocorreu em uma reforma realizada durante 2000 na sede da Igreja. “Através dos documentos analisados, ensaios de laboratório e outros articuladamente expostos, concluem os peritos que o desabamento face de uma somatória de falhas observadas na reforma da estrutura no decorrer do ano 2000, tendo em vista a ausência de reforço metálico na tesoura T14, o que não foi observado pelos responsáveis e e atestar os serviços”,

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