Geoestatística

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Aula sobre variogramas e modelos aplicados a técnicas de interpolação.

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Geoestatística

  1. 1. MODELAGEM VARIOGRÁFICA
  2. 2. Estatística espacial  Estatística clássica  variáveis independentes  sem continuidade espacial  Estatística espacial  valores associados à localização no espaço e/ou no tempo  distribuição contínua dos valores  Geoestatística  variáveis regionalizadas: fenômeno natural  aspecto estrutural (determinístico)  aspecto errático (casual)  correlação espacial  Procedimentos em geoestatística  análise exploratória dos dados  calculo do variograma experimental  modelagem  krigagem: estimativa e interpolação  simulação
  3. 3. Geoestatística  Metodologia para  determinar se existe uma autocorrelação espacial entre dois pontos amostrados  quantificar o efeito da localização espacial sobre a variabilidade amostral  Baseia-se no pressuposto que pontos mais próximos normalmente estão mais relacionados entre si do que pontos muito afastados.
  4. 4. A hipótse intrínsica  A hipótese intrínsica estabelece que a distribuição das diferenças entre pares de valores obtidos em locais de amostragem é a mesma em toda a área, dependendo apenas da distância e da orientação entre os pontos.  Em outras palavras, as diferenças devem ser consistentes, NÃO constantes por toda a área.
  5. 5. Variograma e krigagem Geoestatística: variograma e krigagem.  Variograma: descrição matemática da relação entre a variância de pares de observação (pontos de amostragem) e a distância que separa essas observações  Krigagem: a autocorrelação espacial pode ser usada para estimar valores em pontos não amostrados.
  6. 6. para a utilização do semivariograma as seguintes suposições básicas são requeridas:  a) as diferenças entre pares de valores de amostras são determinadas apenas pela orientação espacial relativa dessas amostras;  b) o interesse é enfocado apenas na média e na variância das diferenças, significando que esses dois parâmetros dependem unicamente da orientação (hipótese intrínseca);  c) por conveniência assume-se que os valores da área de interesse não apresentam tendência que possa afetar os resultados e assim a preocupação será apenas com a variância das diferenças entre valores das amostras.
  7. 7.  Semivariograma mostra, pela análise estrutural, o comportamento espacial da variável regionalizada ou de seus resíduos, quando na presença de tendência:  tamanho da zona de influência em torno de uma amostra; toda amostra cuja distância ao ponto a ser estimado for menor ou igual ao alcance, fornece informações sobre o ponto  anisotropia, quando os semivariogramas se mostram diferentes para diferentes direções de linhas de amostragem;  continuidade, pela forma do variograma quando para h=0 γ(h) já apresenta algum valor (efeito pepita/nugget); pode ser atribuído à erros de medição ou ao fato de que os dados não foram coletados a intervalos suficientemente pequenos para mostrar o comportamento espacial subjacente do fenômeno em estudo.
  8. 8. Variograma
  9. 9. semivariograma experimental  mínimo de 30 pares  remoção de valores anômalos  maior ∆h, a metade da maior distância existente entre os pontos.  grau de casualidade dos dados, E = Co/C  E<0,15: componente aleatória pequena  0,15 < E < 0,30: componente aleatória significante  E > 0,30: componente aleatória muito significativa  extremo do grau de casualidade é o modelo de pepita pura, onde não ocorre covariância entre os valores e a análise semivariográfica não se aplica  iniciar com semivariograma omnidirecional  semivariograma teórico  modelagem: processo que envolve várias tentativas e no qual a experiência pesa muito  pode-se optar por um ajuste manual, mais sujeito à erros, ou com o auxílio de algoritmos
  10. 10. Ajuste do variograma experimental a um modelo variográfico teórico  Comparação visual  Técnicas de ajuste automático: Método dos mínimos quadrados Critério AIC (Akaike Information Criterion) Critério Cressie Critério Variowin, etc.  Validação cruzada
  11. 11. Modelos variográficos As funções matemáticas dos modelos devem permitir que a matriz de covariâncias, nele baseada, possa ser invertida, como ocorre na krigagem. Somente certos modelos podem ser usados.
  12. 12. Dados 1ª. Variável: cádmio (example.dat/GEOEAS) 2ª. Variable: valor de cádmio+100 As coordenadas X e Y são as mesmas para ambas as variáveis ID X Y Cd Cd100 1 288 311 11.5 111.5 2 285.6 288 8.5 108.5 3 273.6 269 7 107 4 280.8 249 10.7 110.7 5 273.6 231 11.2 111.2 6 276 206 11.6 111.6 7 285.6 182 7.2 107.2 8 288 164 5.7 105.7 9 292.8 137 5.2 105.2 10 278.4 119 7.2 107.2 11 360 315 3.9 103.9 12 355.2 291 9.5 109.5 13 367.2 272 8.9 108.9 14 367.2 250 11.5 111.5 15 352.8 226 10.7 110.7 16 350.4 203 8.3 108.3 … 60 ...
  13. 13. Distribuição dos pontos tem as mesmas coordenadas. Valores não. 1 1 . 5 8 . 5 7 . 0 1 0 . 7 1 1 . 2 1 1 . 6 7 . 2 5 . 7 5 . 2 7 . 2 3 . 9 9 . 5 8 . 9 1 1 . 5 1 0 . 7 8 . 3 6 . 1 6 . 7 6 . 2 0 . 0 5 . 5 4 . 0 7 . 0 5 . 3 1 1 . 6 9 . 0 1 4 . 5 1 2 . 1 0 . 9 0 . 0 3 . 2 1 . 2 1 . 7 1 . 2 7 . 6 1 1 . 6 8 . 7 5 . 8 3 . 8 1 0 . 4 1 0 . 0 7 . 1 4 . 4 1 0 . 4 1 . 6 1 5 . 0 3 . 4 6 . 8 1 0 . 8 1 4 . 9 9 . 9 1 1 . 6 6 . 5 1 0 . 1 1 1 . 8 1 1 . 0 1 6 . 7 1 1 . 6 6 . 99 . 9 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 1 1 1 . 5 1 0 8 . 5 1 0 7 . 0 1 1 0 . 7 1 1 1 . 2 1 1 1 . 6 1 0 7 . 2 1 0 5 . 7 1 0 5 . 2 1 0 7 . 2 1 0 3 . 9 1 0 9 . 5 1 0 8 . 9 1 1 1 . 5 1 1 0 . 7 1 0 8 . 3 1 0 6 . 1 1 0 6 . 7 1 0 6 . 2 1 0 0 . 0 1 0 5 . 5 1 0 4 . 0 1 0 7 . 0 1 0 5 . 3 1 1 1 . 6 1 0 9 . 0 1 1 4 . 5 1 1 2 . 1 1 0 0 . 9 1 0 0 . 0 1 0 3 . 2 1 0 1 . 2 1 0 1 . 7 1 0 1 . 2 1 0 7 . 6 1 1 1 . 6 1 0 8 . 7 1 0 5 . 8 1 0 3 . 8 1 1 0 . 4 1 1 0 . 0 1 0 7 . 1 1 0 4 . 4 1 1 0 . 4 1 0 1 . 6 1 1 5 . 0 1 0 3 . 4 1 0 6 . 8 1 1 0 . 8 1 1 4 . 9 1 0 9 . 9 1 1 1 . 6 1 0 6 . 5 1 1 0 . 1 1 1 1 . 8 1 1 1 . 0 1 1 6 . 7 1 1 1 . 6 1 0 6 . 91 0 9 . 9 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 C d C d 1 0 0
  14. 14. Determinação de h Maior “h”: metade da maior distância entre pontos E-W: 492-254= 238 N-S: 315-118 = 197 Maior distância = (2382 + 1972 )1/2 = 309 Maior “h” = 150 Extensão do menor “h”? Extensão do intervalo x número de pares no intervalo
  15. 15. h = 2 (extensão = 75)
  16. 16. h = 75 (extensão = 2)
  17. 17. h = 15 (extensão = 10)
  18. 18. h = 10 (extensão = 15)
  19. 19. Nuvem variográfica direção NE-SW
  20. 20. h = 5 (extensão = 30)
  21. 21. Krigagem para a estimativa de um ponto (Xo)                 −γ −γ −γ =                 µ λ λ λ ⋅                 −γ−γ−γ −γ−γ−γ −γ−γ−γ 1 )xx( : )xx( )xx( : 01...11 1)xx(...)xx()xx( ::::: 1)xx(...)xx()xx( 1)xx(...)xx()xx( 0n 02 01 n 2 1 nn2n1n n22212 n12111 )xx()zzVar( 0i n 1i i0 * 0 2 K −γλ+µ=−=σ ∑= Esta equação pode ser expressa também em termos de covariância γ(h) = C(0) - C(h) Cálculo da variância(desvio padrão) associada(o) ao valor obtido por estimativa
  22. 22. Modelagem da variável Cd pelo Variowin
  23. 23. Modelagem da variável Cd100 pelo Variowin
  24. 24. Krigagem da variável Cd e respectivo mapa de desvios padrão dos valores estimados pela krigagem Modelo adotado: exponencial, de acordo com a indicação da qualidade do ajuste calculado pelo Variowin 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 - 0 . 5 0 0 . 5 0 1 . 5 0 2 . 5 0 3 . 5 0 4 . 5 0 5 . 5 0 6 . 5 0 7 . 5 0 8 . 5 0 9 . 5 0 1 0 . 5 0 1 1 . 5 0 1 2 . 5 0 1 3 . 5 0 1 4 . 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 1 . 6 5 1 . 7 5 1 . 8 5 1 . 9 5 2 . 0 5 2 . 1 5 2 . 2 5 2 . 3 5 2 . 4 5 2 . 5 5 2 . 6 5 2 . 7 5 2 . 8 5 2 . 9 5 3 . 0 5 C D
  25. 25. Krigagem da variável Cd100 e respectivo mapa de desvios padrão dos valores estimados pela krigagem Modelo adotado: exponencial, de acordo com a indicação da qualidade do ajuste calculado pelo Variowin 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 9 9 . 5 1 0 0 . 5 1 0 1 . 5 1 0 2 . 5 1 0 3 . 5 1 0 4 . 5 1 0 5 . 5 1 0 6 . 5 1 0 7 . 5 1 0 8 . 5 1 0 9 . 5 1 1 0 . 5 1 1 1 . 5 1 1 2 . 5 1 1 3 . 5 1 1 4 . 5 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 1 . 6 5 1 . 7 5 1 . 8 5 1 . 9 5 2 . 0 5 2 . 1 5 2 . 2 5 2 . 3 5 2 . 4 5 2 . 5 5 2 . 6 5 2 . 7 5 2 . 8 5 2 . 9 5 3 . 0 5 C d 1 0 0
  26. 26. Escolha do modelo linear (default do SURFER) para a variável Cd 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 L a g D is ta n c e 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 Variogram D ir e c tio n : 0 .0 T o le r a n c e : 9 0 .0 C o lu m n D : C d
  27. 27. Escolha do modelo linear (default do SURFER) para a variável Cd100 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 L a g D is ta n c e 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 Variogram D ir e c tio n : 0 .0 T o le r a n c e : 9 0 .0 C o lu m n E : C d 1 0 0
  28. 28. Krigagem da variável Cd e respectivo mapa de desvios padrão dos valores estimados pela krigagem Modelo adotado: linear (SURFER) 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6 6 . 5 7 C d : m o d e lo lin e a r
  29. 29. Krigagem da variável Cd100 e respectivo mapa de desvios padrão dos valores estimados pela krigagem Modelo adotado: linear (SURFER) 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 5 . 5 6 6 . 5 7 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 9 9 . 0 1 0 0 . 0 1 0 1 . 0 1 0 2 . 0 1 0 3 . 0 1 0 4 . 0 1 0 5 . 0 1 0 6 . 0 1 0 7 . 0 1 0 8 . 0 1 0 9 . 0 1 1 0 . 0 1 1 1 . 0 1 1 2 . 0 1 1 3 . 0 1 1 4 . 0 1 1 5 . 0 1 1 6 . 0 1 1 7 . 0 C d 1 0 0 : m o d e lo lin e a r
  30. 30. CONCLUSÕES  O aspecto geral dos dois mapas para a variável Cd, resultantes da krigagem, é praticamente o mesmo.  Idem em relação à variável Cd100  No primeiro caso, tendo sido ajustado o melhor modelo (exponencial), o resultado, para ambas as variáveis, com relação ao intervalo de valores de desvios padrão é o mesmo (1,65-3,05), independentemente da escala dos valores em Cd e Cd100.  Quando, porem, é adotado um modelo que não reflete o comportamento espacial dos dados (modelo linear), os desvios padrão se apresentam com valores maiores (0-7), para ambas as situações.  Os menores valores de desvio-padrão estão, sempre, associados aos locais com pontos de amostragem.
  31. 31. Isso porque:  O semivariograma mostra a medida do grau de dependência espacial entre valores e é uma medida da variabilidade em relação à distância. A krigagem usa essas informações para encontrar os pesos ótimos a serem associados às amostras que irão estimar um ponto.  A variância da krigagem é independente dos valores dos pontos usados para obter os estimadores Zi* e mede somente a configuração espacial dos dados. Sendo a krigagem baseada apenas no variograma, que é global, os valores da variância independe dos valores locais dos pontos de amostragem.

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