Međuinduktivitet i
zračni
transformatori

 Elektomagnetska indukcija je pojava do koje dolazi kada se zavojnica
nađe u vremenski neporimjenjivom magnetskom polju
 Kod izmjeničnih strujnih krugova može doći do situacije u kojoj je fizički
raspored zavojnica takav da vremenski promjenjivo magnetsko polje
jedne zavojnice obuhvaća drugu zavojnicu
 Između zavojnica se javlja međuindukcija te dolazi do pojave induciranja
napona međuindukcije

Elektomagnetska indukcija
Slika 1. Prikaz elektromagnetske indukcije: tok
napona (i struje) kroz zavojnice
(http://winwes.com )

Označavanje međuinduktivne
veze u izmjeničnim strujnim
krugovima
 Međuinduktivna veza dviju zavojnica ovisi o smjeru
njihova namatanja.
 Kada postoji međuinduktivna veza tada je na shematski
prikaz izmjeničnog strujnog kruga potrebno staviti
oznake koje će pokazati da li je međuinduktivna
zavojnica suglasna ili pak nesuglasna
 Označava se kružićima uz krajeve zavojnica

Vrste međuinduktivnih veza
 Suglasna – postoji u slučaju kada struja ulazi u obje
zavojnice kroz identično označene krajeve
 Struja kroz obje zavojnice protječe na način da ulazi na
strani označenim točkicama

 Nesuglasna - u slučaju kada struja ulazi u obje zavojnice
kroz različito označene krajeve
 Struja u jednu zavojnicu ulazi na strani označenoj
točkicom, a u drugu zavojnicu na strani koja nije
označena točkicom
 Utjecaj međuindukcije izražava se pomoću induktivnog
otpora indukcije.

Suglasna Nesuglasna
Slika 2.1: Nadomjesni induktivni otpor za suglasnu i nesuglasnu
međuinduktivnu vezu dvije serijski spojene zavojnice

 Iznos ukupnog napona na svakoj zavojnici sastoji se od
napona samoindukcije i međuindukcije.
 Napon samoindukcije je pozitivnog predznaka, dok
međuinduktivna veza ovisi o predznaku napona
međuindukcije.
 Kad je međuinduktivna veza suglasna tada se 2 napona
zbrajaju, a kad je nesuglasna onda se od napona
samoindukcije oduzima napon međuindukcije.

Spoj zavojnica preko čvorova
 Suglasna veza

 Nesuglasna veza

Označavanje međuinduktivne veze u
izmjeničnim strujnim krugovima
 Serijski spoj dviju međuinduktivno vezanih zavojnica
Ukupan napon dviju zavojnica možemo dobiti preko formule:

 Drugi način dobivanja ukupnog napona je:
 Induktivni otpor međuindukcije (XM) je jednak:
 Drugi način na koji se može zapisati formula za induktivni otpor
međuindukcije glasi:

ZADATAK
 1. Odredite iznos ukupne impedancije međuinduktivno
povezanih zavojnica prikazanih na slici ako je zadano: XL1 =
10 [W], XL2 = 25 [W], XL3 = 30 [W], k1 = 0,6, k2 = 0,3 i k3 =
0,2.
I
XL1 XL2
k1
b
XL3
k3

Riješenje:
 XL1 i XL2  SUGLASNA (k1)
 XL2 i XL3  NESUGLASNA (k2)
 XL3 i XL4  NESUGLASNA (k3)
 XM12 = k1 = 9,5 [Ω]
 XM23 = k2 = 8,22 [Ω]
 XM13 = k3 = 3,46[Ω]
 XUK = XL1 + XL2 + XL3 + 2 XM23 – 2 XM13 = 60.64 [Ω]

Zračni transformatori
1. Kotao
2. Namoti
3. Magnetska jezgra
4. Konzervator
5. Priključci
Ovisno o vrsti izolacijsko i
rashladno sredstvo
može biti ulje,zrak ili
kruto sredstvo.
Slika 3. : Dijelovi
transformatora
(https://www.fer.unizg.hr)

Zračni transformatori
 Transformatori su uređaji koji na principu
elektromagnetske indukcije pretvaraju električnu energiju
iz jednog izmjeničnog sustava u drugi iste frekvencije, ali
promijenjene vrijednosti napona i struja
 Sastoje se od željezne magnetske jezgre, dva ili više
namota koji mogu biti spregnuti samo zajedničkim
elektromagnetskim poljem

Shema zračnog
transformatora
 Točkicama uz zavojnice je označen karakter njihove
međuinduktivne veze

Primar transformatora
 Strujni krug trasformatora čine zavojnica i izvor
izmjeničnog napona

Sekundar transformatora
Strujni krug čine zavojnica i priključeno trošilo

 Primarni strujni krug
U1 = I1*XL1 – I2*XM
 Sekundarni strujni krug
0 = -I1* XM + I2*XL2 +I2 *Zt
 Uvrstimo li u izraz da je
U2=I2*Zt (V), dobivamo:
 Primarni strujni krug
U1 = I1*XL1 - I2*XM
 Sekundarni strujni krug
U2 = I1 *XM – I2*XL2

 Ukoliko naponskoj jednadžbu primarnog strujnog kruga dodamo i oduzmemo I1*Xm , a
naponskoj jednadžbi sekundarnog strujnog kruga I2*Xm , prošli izraz možemo zapisati na
sljedeći način:
Primarni strujni krug U1 = I1(XL1 – XM) + (I1 + I2)XM
Sekundarni strujni krug U2 = (I1 – I2)XM – I2(XL2 – XM)
 pomoću sheme strujnoga kruga koji se sastoji od dvije međusobno električki povezane petlje,
kao što je to prikazano na slici Dobiveni izrazi mogu se prikazati
I1
ZTXL1 XM
a
b
+
I2
c
d
XL2 – XMXL1 – XM
I1 – I2
Zračni TRAFO

Zračni transformatori
 Pojava međuinduktivnog djelovanja između zavojnica, iako ponekad može predstavljati neželjenu pojavu,
često se namjerno iskorištava u uređajima kao što je transformator.
 U transformatoru zavojnice X L1 i XL2 nisu međusobno električki povezane, ali ih povezuje zajednički
magnetski tok kojega stvara struja I1 koja protječe kroz zavojnicu XL1, a koji obuhvaća zavojnicu XL2 ).
Energija koju izvor napona U1 daje u strujni krug prenosi se do trošila ZT posredstvom izmjeničnog
magnetskog toka , po principu elektromagnetske indukcije (na zavojnici XL2 se inducira napon U2 koji se
prenosi na spojeno trošilo ZT).

Nadomjesna shema zračnog transformatora
 Točkicama uz zavojnice X L1 i XL2 označen je karakter njihove
međuinduktivne veze. Prema ranije opisanom načinu označavanja, uz
pretpostavljene smjerove struja I1 i I 2 proizlazi da je ta međuinduktivna
veza nesuglasna. Napišu li se, pomoću drugog Kirchhoffovog zakona, naponske
jednadžbe za primarni i za sekundarni strujni krug transformatora dobivamo:
I1
XL1
b
+
I2
d
XL2

 Kako se zavojnice nalaze u zraku te magnetski tok protječe kroz
zrak, ovakvu izvedbu transformatora nazivamo zračni
transformator. Strujni krug transformatora što ga čine zavojnica
XL1 i izvor izmjeničnog napona U1 naziva se primarnim krugom
transformatora (zavojnica XL1 se naziva primarnom zavojnicom ili
primarom transformatora). Strujni krug transformatora što ga
čine zavojnica XL2 i priključeno trošilo ZT naziva se sekundarnim
krugom transformatora (zavojnica XL2 se naziva sekundarnom
zavojnicom ili sekundarom transformatora).

 U transformatoru se zavojnice nalaze u zraku i nisu
međusobno električki povezane, ali ih povezuje
zajednički magnetski tok koji protječe kroz zrak
 Energija koju izvor napona daje u strujni krug prenosi se
do trošila izmjeničnim magnetskim tokom, odnosno
elektromagnetskom indukcijom

Zračni transformatori
 Jednadžbe za inducirane napona u zavojnicama su:

 Omjer induciranih napona je:
 Ako umjesto induciranih napona uvrstimo njihove
efektivene vrijednosti dobijemo:

Kod idealnog zračnog transformatora ukupni naponi na
primarnoj i sekundarnoj zavojnici transformatora će biti
jednaki naponima na priključnicama a i b ( U1 na primaru)
odnosno c i d ( U2 na sekundaru). Drugim riječima, kako je
u idealnom zračnom transformatoru E1=U1 i E2=U2 možemo
pisati:
 Ukoliko za primarnu i za sekundarnu
zavojnicu idealnog zračnog
transformatora prikazanog na prošloj slici
napišemo, prema izrazu (15-2), jednadžbe
za inducirane napone u zavojnicama XL1 i
XL2 dobivamo:
 pri čemu su N1 i N2 brojevi zavoja zavojnica. Omjer induciranih
napona e1 i e2 je:
dF
dt
• Da bismo dobili odnose između struje I1 primarnog i
struje I2 sekundarnog strujnog kruga transformatora,
polazimo od pretpostavke da će ukupna snaga koju
je izvor napona U1 predao idealnom transformatoru
biti jednaka ukupnoj snazi potrošenoj na trošilu ZT
(kako je transformator idealan pretpostavlja se da
nema gubitaka u vodičima koji ga čine, te da nema
rasipanja magnetskog toka prilikom prijenosa
energije po principu elektromagnetske indukcije).
Kako je općenito snaga jednaka umnošku napona i
struje

pri čemu su N1 i N2 brojevi zavoja
zavojnica. Omjer induciranih napona e1 i
e2 je:

Kod idealnog zračnog transformatora
ukupni naponi na primarnoj i sekundarnoj
zavojnici transformatora će biti jednaki
naponima na priključnicama a i b ( U1 na
primaru) odnosno c i d ( U2 na
sekundaru). Drugim riječima, kako je u
idealnom zračnom transformatoru E1=U1 i
E2=U2 možemo pisati:

 Da bismo dobili odnose između struje I1 primarnog i struje I2
sekundarnog strujnog kruga transformatora, polazimo od
pretpostavke da će ukupna snaga koju je izvor napona U1 predao
idealnom transformatoru biti jednaka ukupnoj snazi potrošenoj na
trošilu ZT (kako je transformator idealan pretpostavlja se da nema
gubitaka u vodičima koji ga čine, te da nema rasipanja magnetskog
toka prilikom prijenosa energije po principu elektromagnetske
indukcije). Kako je općenito snaga jednaka umnošku napona i struje

 Dobivena se nadomijesna shema prikazana na slici može analizirati pomoću ranije
opisanih metoda računske analize jer se radi o jednostavnom strujnom krugu u kojemu
ne postoje međuinduktivne veze zavojnica i elektična nepovezanost dijelova. U slučaju
kada su razlike induktivnih otpora XL1 - Xm odnosno XL2 - XM veće od nule prikazane
impedancije predstavljaju zavojnice, a u slučaju kada su te razlike manje od nule,
prikazane impedancije će predstavljati kondenzator u shemi strujnoga kruga.
I1
ZTXL1 XM
a
b
+
I2
c
d
XL2 – XMXL1 – XM
I1 – I2
Zračni TRAFO

Ukoliko je međuinduktivna veza između
zavojnica XL1 i XL2 suglasna, tada možemo
za napone Uab i Ucd na osnovi drugog
Kirchhoffovog zakona napisati sljedeće
jednadžbe:
Uab= I1*XL1 - I2*XM
Ucd= I1 *XM – I2*XL2
Međuinduktivna veza zavojnica u strujnim krugovima
Na slici prikazane su dvije međuinduktivno vezane zavojnice koje se nalaze u različitim granama
strujnoga kruga.
 Ukoliko, na isti način kao što smo to učinili
prilikom određivanja nadomjesne sheme
zračnog transformatora, prvoj naponskoj
jednadžbu dodamo i oduzmemo I1* Xm, a
drugoj naponskoj jednadžbi I 2 *Xm, izraz
možemo zapisati na sljedeći način:
U1 = I1(XL1 – XM) + (I1 + I2)XM
U2 = (I1 – I2)XM – I2(XL2 – XM)
XL1 XL2
a c
db
I2I1
I1 + I2
Ucd

Pomoću nadomjesne sheme prikazane na ovoj slici možemo u izmjeničnim strujnim krugovima međuinduktivnu vezu
ugraditi u nadomjesne elemente, te na taj način dobiti oblik strujnoga kruga koji se može analizirati bilo kojom od
ranije opisanih metoda računske analize. U slučaju kada je međuinduktivna veza između zavojnica nesuglasna, naponi
Uab i Ucd su jednaki:
Uab= I1*XL1 - I2*XM
Ucd= I1 *XM – I2*XL2
Na isti način (dodavanjem i oduzimanjem istog izraza u obje jednadžbe) dobivaju se sljedeći izrazi za napone Uab i Ucd :
Uab= I1(XL1 – XM) + (I1 + I2)XM
Ucd = (I1 – I2)XM – I2(XL2 – XM)

Idealni zračni transformator
 Ukupni naponi na primarnoj i sekundarnoj zavojnici
transformatora će biti jednaki naponima na
priključnicama a i b odnosno c i d

Idealni zračni transformator
 Uvjet za idealni zračni transformator je:
 Pošto su efektivne vrijednosti jednake naponima uvrštavanjem u formulu
dobijemo:


 Omjerom broja zavoja primarne i sekundarne zavojnice transformatora naziva se
omjer prenošenja transformatora ili koeficijent transformacije ,a formula
glasi:
 Snaga je omjer umnoška napona i struje slijedi formula:
 Ako imamo idealni transformator dobijemo da je:

 Preko Kirchhoffovog zakona za naponske jednadžbe za
primarni i za sekundarni strujni krug transformatora dobijemo:
 Ako u gornji izraz uvrstimo da je ,dobivamo:

 Ako naponskoj jednadžbi primarnog sustava dodamo i oduzmemo
,a naponskoj jednadžbi sekundarnog strujnog kruga
izraze sa prethodnog slajda možemo zapisati
na slijedeći način:
Dobivene izraze možemo zapisati u slijedećem obliku:

 2. Idealni zračni transformator prikazan na slici ima na
primaru N1 = 90 zavoja. Odredite broj zavoja sekundara ako
je zadano: U = 300 0o [V], R1 = 60 [W], R2 = 30 [W], XL1 = 50
[W], XL2 = 100 [W] i k = 0,5.
XL1
k
U
+
XL2

 XM = k = 35,36 [Ω ]
 Z1 = j XM || [R2 + j (XL2 - XM )] =…=24,14 81,8 o = 3,44 j 23,9
[Ω]
 I1 = U/ R1 + j (XL1 – XM )+ Z1 = 4,04 -31,28 o [ A ]
 I2 = UZ1 / R2 + j (XL2 – XM ) = I1 * Z1/ R2 + j (XL2 – XM ) =….= 1,37 -
14,58 o [ A ]
 N1 / N2 = I2 / I1  N2 90 * 4,04/1,37 =265,4 [zavoja]

 3. Idealni zračni transformator prikazan na slici ima na
primaru N1 = 50 zavoja, a na sekundaru N2 = 100 zavoja.
Odredite efektivnu vrijednost struje sekundara ako je : XL1
= XL2 = XM = 100 [W], U = 220 0o [V], XC = 120 [W], R1 = 150
[W] i R2 = 75 [W].
XCXL1
XM
+
XL2
R2

 N1 / N2 = I2 / I1
 XM = 100 [Ω]
 Z1 = (j XM ) || (-j XC ) = 600 90 o [Ω]
 I1 = U/ R1 + R2 + Z1 = …..=0,34 -69,64 [A]
 I2 = I1 * N1 / N2 = 0,17 [A]

 3. Za spoj prikazan na slici odredite iznos otpornika R tako
da se na njemu disipira snaga PR = 10 [W], ako je zadano: R1
= 75 [W], k = 1, XC1 = XC2 = 100 [W], XL1 = XL2 = 50 [W] i U
= 150 0o [V].
XL1
+
R1 R
XL2

 Z1 = -j XC1 + j XL1 + j XM = -j100 + j50 + j50 =0
 Z2 = -j XC2 + j XL2 + j XM = -j100 + j50 + j50 =0
 XM = k =50 [Ω]
 Pr = 150*150 / 10 = 2,25 [k Ω]

 4. Mrežu prikazanu na slici nadomjestite uporabom
Theveninovog teorema promatrano sa stezaljki a i b ako je
zadano: XL1 = XL2 = 10 [W], XC1 = 25 [W], XC2 = 20 [W], R = 5
[W], U = 150 0o [V] i k = 0,5.
k
U
+
R
XC1
XC2
XL2
a

 XM = k = 5 [Ω]
 UT = Uab = I * Z2 = 64,35 0 o [V]
 I = U/ Z1 + Z2 = 4.95 90 o
 Z1 = -j20
 Z2 = -j15
 Z3 = 5+j5
 ZT = (Z1 || Z2 ) + Z3 = ….= 5-j3,57 [Ω] = 6,14 -35,53 o [Ω]

Literatura
 1. G. Đurović: Elektrotehnika 1 - udžbenik, FFRi, 2008.
(rukopis)
 2. V. Pinter: Osnove elektrotehnike II, Tehnička knjiga,
Zagreb, 1994.
 3. G. Đurović: Elektrotehnika 1 - zbirka zadataka, ŠK
d.d., Zagreb, 2004.
 4. M. Essert i Z. Valter, Osnove elektrotehnike, Tehnička
knjiga, Zagreb, 1990

Napravili:
 Antonio Bogosavljević
 Melisa Fabijančić
 Irma Kajdić
 Beata Marinov
PREDSTAVNICA:
 Ena Butorac

Hvala na
pozornosti