1. Bachiller
Paredes Emmanuel
C.I:26.234.077

2.  Longitud De Curvas
 La longitud de arco de una curva, también
llamada rectificación de una curva, es la
medida de la distancia o camino recorrido a lo
largo de una curva o dimensión lineal.
Históricamente, ha sido difícil determinar esta
longitud en segmentos irregulares; aunque
fueron usados varios métodos para curvas
específicas, la llegada del calculo trajo consigo
la fórmula general para obtener soluciones
cerradas para algunos casos.
 Formula

3.  La longitud de una curva plana se puede
aproximar al sumar pequeños segmentos de recta
que se ajusten a la curva, esta aproximación será
más ajustada entre más segmentos sean y a la
vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo
una familia finita de puntos en C, y aproximar la
longitud mediante la longitud de la poligonal que
pasa por dichos puntos. Cuantos más puntos
escojamos en C, mejor seria el valor obtenido
como aproximación de la longitud de C.

4. Si la primera derivada de una función es continua
en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una
curva suave.

5.  Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño
segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema
de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
 Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a
hasta b es

6.  Deducción de la fórmula para funciones de
una variable
 Aproximación por múltiples segmentos
lineales

7. Para un pequeño segmento de curva, Δs se puede
aproximar con el teorema de Pitágoras.
Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera,
determinada por una función f(x) y suponiendo que se
quiere aproximar la longitud del arco de curva, que va
desde un punto a, a uno b. Con este propósito es posible
diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas
hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva
elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este
método "más funcional" también se puede exigir que las
bases de todos aquellos triángulos sean iguales a ∆x, de
manera que para cada uno existirá un cateto ∆y asociado,
dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo
cada hipotenusa.
∆8= ∆𝑥2 + ∆𝑦2 al aplicar el teorema de Pitágoras

8.  Curva elemental
 Un conjunto de puntos del espacio se
denominará curva elemental si es la imagen
obtenida en el espacio por una aplicación
topológica 5 de un segmento abierto de recta.6
 Sea γ una curva elemental y sea a < t < b el
segmento abierto del que se obtiene la aplicación f
de la curva correspondiente al punto t del
segmento. El sistema de igualdades
 constituyen ecuaciones de la curva en forma
paramétrica

9.  Curva no diferenciales:
Cuando la función que define la curva es
diferenciable se dice que la curva es diferenciable.
Una curva diferenciable tiene la propiedad de
admitir una recta tangente en cada uno de sus
puntos. Una curva con un número finito de puntos
donde no es diferenciable es una curva
diferenciable a tramos. Cuando el número de
puntos no es finito puede darse el caso de una
curva continua no sea rectificable en ningún
punto, eso significa que la tangente no puede
definirse en ningún punto. En esos casos
la longitud de la curva no es un número finito y
puede darse el caso que la curva tenga una
longitud infinita aun cuando ocupe una región
finita del espacio. La curva de Koch es un ejemplo
de curva no rectificable de longitud infinita, que
encierra un área finita. De hecho esta curva es un
objeto fractal de dimensión fractal:

10.  Ejercicios de ejemplos:
 El longitud del arco de una
curva f(x) continua en [a, b] entre x
= a y x = b es :

11. Calcula la longitud de la circunferencia de radio r .

13. Superficie de revolución de una curva plana
La superficie de un sólido engendrado al girar el
arco de la función f(x) continua entre las rectas x
= a y x = b es :

14. Ejemplo:
Calcula la superficie de la esfera de radio r.

15. La superficie de la esfera es el doble de la engendrada
por el arco que describe el primer cuadrante:

16. Hallar la longitud del arco de la curva 9 y2 = 4
x3 comprendido entre los puntos de la curva de abscisa x =
0 y x = 3
En este caso vemos que es sencillo expresar a y como
función de x:

17. Derivando,

18. De manera que,