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Algumas referˆencias 
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Algumas referˆencias 
Roteiro 
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Algumas referˆencias 
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Construção das idéias básicas sobre a integração funcional, (ou integrais de caminho), Exemplo: oscilador harmônico unidimensional.

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  1. 1. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Integral de Caminho em Mecˆanica Quˆantica Dyana C. Duarte, Ricardo L. S. Farias 11 de novembro de 2014 UFSM Dyana C. Duarte 1/42
  2. 2. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Roteiro 1 Motivac¸ ˜ao 2 Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico 3 Algumas referˆencias UFSM Dyana C. Duarte 2/42
  3. 3. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Motivac¸ ˜ao ÙA integrac¸ ˜ao de caminho (ou integrac¸ ˜ao funcional) nos fornece uma importante ferramenta para o estudo de sistemas quˆanticos dos quais queremos saber, por exemplo, a evoluc¸ ˜ao temporal, dada pelo operador Hamiltoniano ÙEssem´etodo foi desenvolvido e utilizado primeiramente por Richard Philips Feynman, em estudos sobre a eletrodinˆamica quˆantica. Feyn-man juntamente com Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga recebeu o prˆemio Nobel de F´ısica em 1965. UFSM Dyana C. Duarte 3/42
  4. 4. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Motivac¸ ˜ao Ù Podemos entender diversos problemas cl´assicos e quˆanticos atrav´es das integrais de caminho, mas essa formulac¸ ˜ao ´e especificamente ´util em teoria de campos,tanto relativ´ıstica quanto n˜ao-relativ´ıstica. Essas integrais fornecem um caminho para a quantizac¸ ˜ao e para resolver as express˜oes das func¸ ˜oes de Green, que s˜ao relacionadas com amplitudes dos processos f´ısicos, como a dispers˜ao e o decaimento de part´ıculas. UFSM Dyana C. Duarte 4/42
  5. 5. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho As quantidades p e q em mecˆanica quˆantica s˜ao substitu´ıdas por o-peradores que obedecem as relac¸ ˜oes de comutac¸ ˜ao de Heisenberg. A formula¸c˜ao de integral de caminho ´e baseada diretamente na noc¸ ˜ao de propagador K(qf ; tf ; qi; ti). Dada uma func¸ ˜ao (qi; ti) em um tempo ti o propagador d´a a func¸ ˜ao de onda correspondente a outro tempo tf : (qf ; tf ) = Z K(qf ; tf ; qi; ti) (qi; ti)dqi (1) UFSM Dyana C. Duarte 5/42
  6. 6. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Da mesma forma que na mecˆanica quˆantica o m´odulo ao quadrado da func¸ ˜ao de onda d´a a probabilidade de se encontrar uma part´ıcula em determinada regi˜ao do espac¸o, o m´odulo ao quadrado do propagador nos d´a a probabilidade de que ocorra uma transic¸ ˜ao de qi num tempo ti para qf num tempo tf : P(qf ; tf ; qi; ti) = jK(qf ; tf ; qi; ti)j2 (2) UFSM Dyana C. Duarte 6/42
  7. 7. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Dividindo o intervalo entre (qi; ti) e (qf ; tf ) em dois, sendo (q; t) o termo intermedi´ario, como na figura, temos: K(qf ; tf ; qi; ti) = Z K(qf ; tf ; qt)K(qt; qi; ti)dq (3) Figure : Propagac¸ ˜ao de uma part´ıcula de (qi; ti) para (qf ; tf ), via uma posic¸ ˜ao intermedi´aria (q; t) UFSM Dyana C. Duarte 7/42
  8. 8. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Denotamos K(2A;1) a amplitude de probabilidade que o el´etron passe da fonte 1 pelo buraco 2A, para os detectores 3, e assim por diante. Da equac¸ ˜ao (3) temos, ent˜ao, K(3; 1) = K(3; 2A)K(2A; 1) + K(3; 2B)K(2B; 1) (4) Figure : Experimento de fenda dupla UFSM Dyana C. Duarte 8/42
  9. 9. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho A probabilidade ser´a, ent˜ao: P(3; 1) = jK(3; 1)j2 (5) N˜ao podemos dizer que o el´etron passar´a por A ou por B; ele passa, de certa forma, por ambos os caminhos (se n˜ao for detectado em uma das fendas). Essa noc¸ ˜ao de todos os caminhos poss´ıveis ´e importante no formalismo de integral de caminho. UFSM Dyana C. Duarte 9/42
  10. 10. Motivac¸ ˜ao Formulac¸ ˜ao Algumas referˆencias Propagador via integral de caminho Exemplo: Oscilador Harmˆonico Formulac¸ ˜ao de integral de caminho Vamos mostrar que o propagador K est´a realmente atuando em hqf ; tf jqi; tii. Para isso, notemos que a func¸ ˜ao de onda (q; t) na notac¸ ˜ao de Schr¨odinger ´e (q; t) = hqj tiS (6) ou, na notac¸ ˜ao de Heisenberg j iH por: j tiS = e

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