区間分割の仕方を最適化する動的計画法 (JOI 2021 夏季セミナー)

区間分割の仕方を
最適化する動的計画法
NTT データ数理システム
大槻兼資
(ペンネーム：けんちょん)
2021/8/19
@JOI 夏季セミナー
1

• 積極的に声やチャットで喋ってもらえたら嬉しいです
最初に
2
• 「ちゃんと理解しなきゃ」と堅くならずに、気楽に！
• アルゴリズム、競プロを楽しもう！
• チューター、ハイレベルコースの詳しい方も、ぜひ
さまざまなコメントを！
/ 133

• 2014年：東京大学大学院情報理工学系研究科
数理情報学専攻修士課程修了
自己紹介 (本業編)
• 2015年～：NTT データ数理システム
• 専門は数理工学全般
• アルゴリズム
• 探索, ネットワーク, etc…
• 数理最適化
• シフトスケジューリングなど
• 機械学習
• チャットボットなど
http://www.dis.uniroma1.it/challenge9/download.shtml 3 / 133

4
自己紹介 (趣味編)
(8月19日) (7 の形) (1234567890 で「コ」)
• 虫食算作り
• 競技プログラミング
/ 133

5
アルゴリズム本を出版
• 2021 年 IT エンジニア本大賞特別賞
• 「問題の解き方」を重視したアルゴリズムの入門書

6
アルゴリズム本を出版
第 1 章
アルゴリズムとは
第 2 章
計算量とオーダー記法
第 3 章
全探索
第 4 章
再帰と分割統治法
第 5 章
動的計画法
第 6 章
二分探索法
第 7 章
貪欲法
第 8 章
配列、連結リスト
ハッシュテーブル
第 9 章
スタックとキュー
第 10 章
グラフと木
第 11 章
Union-Find
第 12 章
ソート
第 13 章
グラフ探索
第 14 章
最短路問題
第 15 章
最小全域木問題
第 16 章
ネットワークフロー
第 17 章
P と NP
第 18 章
難問対策

7
ステップアップセミナー初級
第 1 章
第 2 章
第 3 章
全探索
第 4 章
第 5 章
動的計画法
第 6 章
二分探索法
第 7 章
貪欲法
第 8 章
第 9 章
第 10 章
グラフと木
第 11 章
Union-Find
第 12 章
ソート
第 13 章
グラフ探索
第 14 章
最短路問題
第 15 章
第 16 章
第 17 章
P と NP
第 18 章
難問対策

8
ステップアップセミナー中級
第 1 章
第 2 章
第 3 章
全探索
第 4 章
第 5 章
動的計画法
第 6 章
二分探索法
第 7 章
貪欲法
第 8 章
第 9 章
第 10 章
グラフと木
第 11 章
Union-Find
第 12 章
ソート
第 13 章
グラフ探索
第 14 章
最短路問題
第 15 章
第 16 章
第 17 章
P と NP
第 18 章
難問対策

9
今回の話
第 1 章
第 2 章
第 3 章
全探索
第 4 章
第 5 章
動的計画法
第 6 章
二分探索法
第 7 章
貪欲法
第 8 章
第 9 章
第 10 章
グラフと木
第 11 章
Union-Find
第 12 章
ソート
第 13 章
グラフ探索
第 14 章
最短路問題
第 15 章
第 16 章
第 17 章
P と NP
第 18 章
難問対策

10
今日の話 (本 5.6 節)
• 系列データをいくつかの区間に分ける
• 区間分割の仕方を最適化したい
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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11
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12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• JOI での出題が極めて多いパターン！！！
• 現実世界への応用も多い！！！
/ 133

13
今日の話
イントロ
動的計画法
区間分割
/ 133

14
今日の話
イントロ
/ 133

• ある問題を解くための方法、手順のこと
• それを実装したものがプログラム
• 「入力」を入れると「出力」を返す装置
15
アルゴリズム
入力出力
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16
アルゴリズムの例
• a × b が偶数か奇数かを判定する (練習コンテスト 2)
https://atcoder.jp/contests/abc086/tasks/abc086_a
/ 133

17
https://atcoder.jp/contests/abc086/tasks/abc086_a
判定
整数 a a × b が
偶数か奇数か
整数 b
• a × b が偶数か奇数かを判定する (練習コンテスト 2)
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18
カーナビ
地図
現在地
目的地
目的地へ
至る経路
単語検索
文書文書に単語
が含まれるか
単語
数独
ソルバー
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19
本格的な例：幅優先探索
• 迷路の最短路を求めよう！
• スタート (S) からゴール (G) への最短経路は？
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20
• まず S から 1 手で行けるマスに「1」と書く
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21
• 次に「1」から 1 手で行けるマスに「2」と書く
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22
• 「2」から 1 手で行けるマスに「3」と書く
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• これでゴール！！！
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36
• ゴールから、「数値が 1 ずつ下がっていくように」
遡っていくと、最短経路が得られる
/ 133

37
幅優先探索の実応用
• カーナビ
• 電車の乗り換え案内
• パズル (15-パズルなど) の最小手数

38
8-パズル
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初期配置
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初期配置
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8
初期配置
目標配置 / 133

44
アルゴリズムを学ぶ動機は様々
• 競技プログラミングで勝ちたい！
• コンピュータサイエンスの重要な一分野として
学んでおきたい
• ソフトウェアエンジニアとしてステップアップしたい
• 就職で有利にしたい！
どんな人にもオススメ！！
/ 133

45
アルゴリズムによる問題解決
数理モデル化
JOI
みたいな問題
解
解釈・意思決定
アルゴリズム
/ 133

46
アルゴリズムは分野横断的
• AI や量子コンピュータなどの、分野の流行に依らない
一生モノのスキル
• むしろ AI を学ぶための強力な下地となる
グラフ
動的計画法
○○法
電気機械化学生物経済 ○○
• さまざまな分野の問題が、アルゴリズムの目で見ること
によって本質的に同じ問題になったりなる！
/ 133

47
アルゴリズムは分野横断的
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• たとえば、今回の「区間分割」の問題も
• さまざまな領域の問題がこの問題に帰着できる！
/ 133

48
今日の話
動的計画法
/ 133

動的計画法とは
49
問題を一連の部分問題に分割し、
各部分問題の解をメモ化しながら順に求めていく手法
• とても抽象的で汎用的
• 適用範囲が広い
• ただし一見わかりにくい
/ 133

動的計画法の例題
50
足場を「ジャンプ」しながら左端から右端へ行きたい
AtCoder Educational DP Contest A - Frog
ただし「隣の足場」か「1 個飛ばしの足場」にのみ進める
ジャンプの所要時間は「足場の高さの差」
左端から右端までの最短所要時間を求めよ
4m 7m
7 - 4 = 3 秒！
3m
/ 133

51
例:
・足場が 7 個
・(2, 9, 4, 5, 1, 6, 10)
/ 133

52
例:
・足場が 7 個
・(2, 9, 4, 5, 1, 6, 10)
/ 133

53
例:
・足場が 7 個
・(2, 9, 4, 5, 1, 6, 10)
+4
+1 +1
+2
最短: 8 秒
/ 133

グラフの問題と考える
54
例:
0 1 2 3 4 5 6
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
・足場が 7 個
・(2, 9, 4, 5, 1, 6, 10)
/ 133

55
グラフ
• 物事の関係性を「丸」と「線」を用いて表したもの
• コンピュータサイエンスのあらゆる領域で使われる
頂点辺
/ 133

56
• 辺に「向き」があることもある (有向グラフ)
グラフ
/ 133

• あれもこれも実はグラフ！
• さまざまな分野の問題をグラフに関する問題として
見通よく汎用的に扱える！
57
アルゴリズムの精神
グラフ
/ 133

58
0
7
2
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1 9
1 2 3 4 5 6
• ノード 0 からノード 6 への最短経路を求める！
/ 133

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0
7
2
5 1 4 5 4
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1 2 3 4 5 6
• ノード 0 からノード 6 への最短経路を求める！
• 答えは、2 + 1 + 1 + 4 = 8
/ 133

問題を次のように分解する
60
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
• ノード 1 へ至る最小コストを求める小問題
• ノード 6 へ至る最小コストを求める小問題 / 133

61
0
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5 1 4 5 4
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1 9
1 2 3 4 5 6

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5 1 4 5 4
4
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1 9
1 2 3 4 5 6

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5 1 4 5 4
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5 1 4 5 4
4
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1 9
1 2 3 4 5 6

67
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
順にメモ化
しながら
求めていく
/ 133

メモ化用の DP テーブル
68
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
メモ
/ 133

頂点 0 への最小コスト (初期条件)
69
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0
メモ
/ 133

頂点 1 への最小コスト
70
0
7
2
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1 9
1 2 3 4 5 6
0
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メモ
/ 133

71
0
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2
5 1 4 5 4
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3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
2
5
2
12 vs. 2
メモ
/ 133

72
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
4
1
2
3 vs. 11
3
メモ
/ 133

73
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
メモ
0 7
3
4
2
7 vs. 5
3 5
/ 133

74
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
1
5
2
10 vs. 4
3 5 4
メモ
/ 133

75
0
7
2
5 1 4 5 4
4
3
1 9
1 2 3 4 5 6
0 7
9
4
2
8 vs. 14
3 5 4 8
メモ

実装上は
76
• メモ化用の DP テーブルを配列でもつ
dp[v] ← 頂点 0 から頂点 v へ至る最短コスト
i-2 i-1 i
dp[i] = min(dp[i-1] + f(i-1, i),
dp[i-2] + f(i-2, i)
/ 133

動的計画法の着眼
77
• メモ化：何度も参照される小さな問題の結果を保存して
すぐに参照できるようにする (キャッシュ)
問題を一連の部分問題に分割し、
各部分問題の解をメモ化しながら順に求めていく手法
• 部分問題への分割：同じ構造を持つ小さな問題 (部分問
題) の結果を使うことで大きな問題が解ける
• ノード 1, 2, 3, 4, 5, 6 への最短経路を順に求めた
/ 133

動的計画法は汎用的
• 動的計画法で解決できる問題は数多くある
• ナップサック問題
• スケジューリング問題
• 発電計画問題
• 編集距離
• 音声認識パターンマッチング問題
• 文章の分かち書き
• 隠れマルコフモデル
78
• 習うより慣れよう！
/ 133

拙著の動的計画法の章
• 5 章 - 設計技法 (3)：動的計画法
79
• 5.1 動的計画法とは
• 5.2 動的計画法の例題
• 5.3 動的計画法に関連する諸概念
• 5.4 動的計画法の例 (1)：ナップサック問題
• 5.5 動的計画法の例 (2)：編集距離
• 5.6 動的計画法の例 (3)：区間分割の仕方を最適化
• 5.7 まとめ
/ 133

80
今日の話
区間分割
/ 133

81
区間分割
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
• さまざまな分野の問題が、区間分割問題へと帰着される
/ 133

応用例(1): 分かち書き
82
http://chasen.naist.jp/chaki/t/2009-09-30/doc/mecab-cabocha-nlp-seminar-2009.pdf
僕は君を愛している
僕　は　君　を　愛し　て　いる
単語ごとに区切る
/ 133

応用例(2): 発電計画問題
83
• 発電の on と off のタイミングを最適化する
on off on off
• 需要供給バランスの考慮などもあって、各区間のコス
ト関数 f(i, j) はとても複雑なものになる
• 「～時間以上連続稼働」といった制約も考慮
/ 133

応用例(3): パネルグループ分け
84
さまざまな長さのパネルが順に並んでいる
それをいくつかのグループに分ける
各グループのパネルたちを良い条件に揃えたい
/ 133

応用例(4): タイムスケジューリング
85
• お客さまを順に回る配送 (配送順序は固定)
• 「何時から何時の間に届けてほしい」
• 「～分間に 1 回は休憩が必要」という制約もある
→ どこで休憩をとるかを最適化
休憩場所ごとに区切る
/ 133

86
問題例(1)：オレンジの出荷 (改)
JOI 本選 2016 A 問題
大きさが A[0], A[1], …, A[N-1] のオレンジがある
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
前から順に、箱に詰めていく
各箱のコストは、
「K + (箱内の A の最大値 - 箱内の A の最小値) × 個数」
各箱のコストの総和を最小化せよ
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
/ 133

87
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1
K = 5
7 8
基本コスト
/ 133

88
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
例
/ 133

89
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
例
5 + (9 - 3) × 4
= 29
5 + (11 - 8) × 3
= 14 5
5 + (8 - 7) × 2
= 7
/ 133

90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
例
5 + (9 - 3) × 4
= 29
5 + (11 - 8) × 3
= 14 5
5 + (8 - 7) × 2
= 7
コスト: 55
/ 133

91
問題例(1)：オレンジの出荷
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
• Frog 問題と同様に「前から何個かのオレンジ」に
ついての小問題に分割していく
/ 133

92
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
• メモ化用の配列を用意する
/ 133

93
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
/ 133

94
0 1 2 3 4 5 6
3 5 4 9 11 8 10
K = 5
たとえばこのマスには
前から 7 個のオレンジ
についての答えを格納
/ 133

95
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 5 4 9 11 8 10 1 7 8
K = 5
• 前から 0 個のオレンジについての答えは 0
0
/ 133

96
前から 0 個
K = 5
0
/ 133

97
前から 1 個
0
3
K = 5
0 5
+5
1
1 個のオレンジ {3}
を箱詰めするコストは 5
/ 133

98
前から 2 個について考える
0
3
K = 5
0 5
1
5
• 最後の箱をどうするかで場合分けして考える
• 最後の箱が {3, 5} である場合
• 最後の箱が {5} である場合
/ 133

99
0
3
K = 5
0 5
1
5
+9
• 最後の箱が {3, 5} のとき：コストは 0 + 9 = 9
/ 133

100
0
3
K = 5
• 最後の箱が {3, 5} のとき：コストは 0 + 9 = 9
0 5
1
5
+5
• 最後の箱が {5} のとき：コストは 5 + 5 = 10
/ 133

101
0
3
K = 5
• 最後の箱が {3, 5} のとき：コストは 0 + 9 = 9
0 5
1
5
• 最後の箱が {5} のとき：コストは 5 + 5 = 10
9
+9
/ 133

102
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
• 最後の箱が {3, 5, 4} である場合
/ 133

103
K = 5
• 最後の箱が {3, 5, 4} のとき：コストは 0 + 11 = 11
0 5 9
0 1 2
3 5 4
+11
/ 133

104
K = 5
• 最後の箱が {3, 5, 4} のとき：コストは 0 + 11 = 11
0 5 9
0 1 2
3 5 4
• 最後の箱が {5, 4} のとき：コストは 5 + 7 = 12
+7
/ 133

105
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
+5
• 最後の箱が {3, 5, 4} のとき：コストは 0 + 11 = 11
• 最後の箱が {5, 4} のとき：コストは 5 + 7 = 12
• 最後の箱が {4} のとき：コストは 9 + 5 = 14
/ 133

106
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
• 最後の箱が {3, 5, 4} のとき：コストは 0 + 11 = 11
• 最後の箱が {5, 4} のとき：コストは 5 + 7 = 12
• 最後の箱が {4} のとき：コストは 5 + 7 = 14
11
+11
/ 133

107
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
• 最後の箱が {3, 5, 4, 9} である場合
• 最後の箱が {5, 4, 9} である場合
3
9
11
/ 133

108
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11
+29
• 最後の箱が {3, 5, 4, 9} のとき：コストは 0 + 29 = 29
/ 133

109
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11
• 最後の箱が {3, 5, 4, 9} のとき：コストは 0 + 29 = 29
+20
• 最後の箱が {5, 4, 9} のとき：コストは 5 + 20 = 25
/ 133

110
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11
• 最後の箱が {3, 5, 4, 9} のとき：コストは 0 + 29 = 29
• 最後の箱が {5, 4, 9} のとき：コストは 5 + 20 = 25
+15
• 最後の箱が {4, 9} のとき：コストは 9 + 15 = 24
/ 133

111
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11
• 最後の箱が {3, 5, 4, 9} のとき：コストは 0 + 29 = 29
• 最後の箱が {5, 4, 9} のとき：コストは 5 + 20 = 25
• 最後の箱が {4, 9} のとき：コストは 9 + 15 = 24
+5
• 最後の箱が {9} のとき：コストは 11 + 5 = 16
/ 133

112
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11
• 最後の箱が {3, 5, 4, 9} のとき：コストは 0 + 29 = 29
• 最後の箱が {5, 4, 9} のとき：コストは 5 + 20 = 25
• 最後の箱が {4, 9} のとき：コストは 9 + 15 = 24
• 最後の箱が {9} のとき：コストは 11 + 5 = 16
16
+5
/ 133

113
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
/ 133

114
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
• 最後の箱が {9, 11} のとき最適：コストは 11 + 9 = 20
+9
20
/ 133

115
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20
5
8
/ 133

116
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20
5
8
• 最後の箱が {8} のとき最適：コストは 20 + 5 = 25
25
+5
/ 133

117
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
/ 133

118
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
• 最後の箱が {9, 11, 8, 10} のとき最適：コストは 11 + 17 = 28
+17
28
/ 133

119
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
/ 133

120
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
+5
33
/ 133

121
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
33
8
7
/ 133

122
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
33
8
7
+5
38
/ 133

123
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
33
8
7
38
9
8
/ 133

124
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
33
8
7
38
9
8
• 最後の箱が {7, 8} のとき最適：コストは 33 + 7 = 40
40
+7
/ 133

125
最適解
K = 5
0 5 9
0 1 2
3 5 4
3
9
11 16
4
11
20 25
5 6
8 10
28
7
1
33
8
7
38
9
8
40
/ 133

126
問題例(2)：白昼夢
ABC 049 C - 白昼夢
文字列が与えられる
e r a s e d r e a m e r a s e
これを “erase”, “dream”, “eraser”, “dreamer”
に分割することが可能かどうかを判定せよ
e r a s e d r e a m e r a s e
/ 133

127
問題例(3)：重み付き区間スケジューリング
有名問題
いくつかの区間が与えられる
どの 2 つも重ならないように区間を選ぶ
選んだ区間のスコアの総和を最大にせよ
3点
1点
4点
5点
2点
6点
3点
/ 133

128
問題例(3)：重み付き区間スケジューリング
有名問題
いくつかの区間が与えられる
選んだ区間のスコアの総和を最大にせよ
3点
1点
5点
2点
6点
3点
4点
どの 2 つも重ならないように区間を選ぶ
/ 133

問題例(4): 分かち書き (再掲)
129
http://chasen.naist.jp/chaki/t/2009-09-30/doc/mecab-cabocha-nlp-seminar-2009.pdf
僕は君を愛している
僕　は　君　を　愛し　て　いる
単語ごとに区切る
/ 133

問題例(5): 発電計画問題 (再掲)
130
• 発電の on と off のタイミングを最適化する
on off on off
• 需要供給バランスの考慮などもあって、各区間のコス
ト関数 f(i, j) はとても複雑なものになる
• 「～時間以上連続稼働」といった制約も考慮
/ 133

問題例(6): パネルグループ分け (再掲)
131
さまざまな長さのパネルが順に並んでいる
それをいくつかのグループに分ける
各グループのパネルたちを良い条件に揃えたい
/ 133

132
アルゴリズムは分野横断的！
• 競プロのパズル的問題は、まさにそういう問題たち
グラフ
動的計画法
○○法
電気機械化学生物経済 ○○
• さまざまな問題が、アルゴリズムの目で見ることに
よって本質的に同じ問題になったりなる！
/ 133

133
全体のまとめ
• アルゴリズムは何をするにも重要な基礎、
どんな人にもオススメ！
• さまざまな問題が、汎用的に見通しよく扱えるよう
になる (今回は区間分割を例にとった)
• アルゴリズムは楽しい！！

134
付録
その他の動的計画法

拙著の動的計画法の章
• 5 章 - 設計技法 (3)：動的計画法
135
• 5.1 動的計画法とは
• 5.2 動的計画法の例題
• 5.3 動的計画法に関連する諸概念
• 5.4 動的計画法の例 (1)：ナップサック問題
• 5.5 動的計画法の例 (2)：編集距離
• 5.6 動的計画法の例 (3)：区間分割の仕方を最適化
• 5.7 まとめ

3 つの代表的な遷移パターン
136
• 編集距離
• 区間分割 (済)

137

ナップサック問題
138
N 個の品物があって、いくつか選びたい
各品物には「重さ」と「価値」の属性がある
選んだ品物の重さの合計が W を超えないようにしつつ
価値の総和を最大化せよ
https://www.msi.co.jp/nuopt/introduction/index.html

139
N 個の品物があって、いくつか選びたい
各品物には「重さ」と「価値」の属性がある
選んだ品物の重さの合計が W を超えないようにしつつ
価値の総和を最大化せよ
dp[i][w] ← N 個の品物のうち、最初の i 個のみ考える
その中から重さの合計が w を超えないようにしつつ
選んだときの価値の総和の最大値
最初の i 個についての問題 (部分問題)

140
dp[i+1][w] = max(dp[i][w],
dp[i][w-wei[i]] + val[i])
新たな品物を選ばない場合
新たな品物を選ぶ場合
重さ価値
dp[i][w] ← N 個の品物のうち、最初の i 個のみ考える
その中から重さの合計が w を超えないようにしつつ
選んだときの価値の総和の最大値
• dp[i][0], dp[i][1], … を用いて、　　　　　　　
dp[i+1][0], dp[i+1][1], … を表す

ナップサック DP の遷移
141
ナップサックに入れた重さ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 個
1 個
2 個
3 個
4 個
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6
0 3 3 6 9 9 9 9 9 9 9
0 3 3 6 9 9 10
0 3 3 6 85
10 10 10 10
88 88 91 94 94 95
• (重さ, 価値) = (3, 6), (1, 3), (2, 1), (5, 85) の場合

ナップサック DP の遷移のポイント
142
• N 個の要素をシーケンシャルに処理していくもの
• そのために必要な添字を適宜追加していく
dp[i][w]
部分問題のサイズ遷移に必要な追加の添字
2 個
3 個
4 個
0 3 3 6 9 9 9 9 9 9 9
0 3 3 6 9 9 10
0 3 3 6 85
10 10 10 10
88 88 91 94 94 95

例(1): サイゼリヤ問題
143
• 予算 1000 円で、最高何 kcal とれるか？
https://qiita.com/marusho_summers/items/a2d3681fac863734ec8a
• ナップサック問題そのもの
• ナップサックの容量が予算に対応：1000 円
• 品物の価値が、カロリーに対応
・ポテトのグリル
(199 円, 366 kcal)
・アーリオ•オーリオ
(574 円, 1120 kcal)
・ラージライス
(219 円, 454 kcal)
合計：992 円, 1940 kcal

例(2): 隠れマルコフモデル
144
• 系列データを「潜在変数」のマルコフ連鎖で表すもの
追加の添字 i+1 番目の状態が i 番目のみに依る
• 前回の状態によって、次回の各状態の起こりやすさが
変化する
https://mathwords.net/hiddenmarkov
風邪 or 元気
からなる系列データ

例(2): 隠れマルコフモデル
145
• 系列データを「潜在変数」のマルコフ連鎖で表すもの
追加の添字 i+1 番目の状態が i 番目のみに依る
• 潜在変数の最も確からしい経路を求める Viterbi のアル
ゴリズムは、ナップサック DP とほとんど同じもの
• 音声認識
• 品詞分析
• 株価の変動予測
さまざまな応用

146
• 編集距離

編集距離
147
2 つの文字列 S, T がある
S に以下の 3 通りの操作を繰り返すことで T に変換したい
・変更： S の文字を 1 つ選んで変更
・削除： S の文字を 1 つ選んで削除
・挿入： S の好きな箇所に好きな文字を 1 文字挿入
最小回数を求めよ
例:
S = logistic
T = algorithm
→ 6 回

二系列の DP
148
例:
S = logistic
T = algorithm
→ 6 回
dp[i][j] ← S の最初の i 文字と、T の最初の j 文字との
間についての操作回数の最小値

編集距離を求める DP の遷移
149
dp[i][j] ← S の最初の i 文字と、T の最初の j 文字との
間についての操作回数の最小値

応用が広く、分野横断的！
150
• diﬀ コマンド
• 音声認識、画像認識、空間認識
• DP マッチング
• 二系列データの類似度を考える問題全般に適用
• スペルチェッカー
• バイオインフォマティクス
• 系列アラインメント (2 つの DNA の類似度を測るなど)
• 手書き文字認識

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