Hobson, John A. - Estudio del imperialismo [ocr] [1902] [1981].pdf
1 ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA.pdf
1. INSTITUTO TÉCNICO INDUSTRIAL PASCUAL BRAVO
ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA
Prof.: Daniel Ramiro Osorio Villa
Matemáticas grado 11
Este documento es una guía didáctica, para su adecuada comprensión y desarrollo se debe tener
presente
La CONSULTA es una herramienta fundamental
El razonamiento lógico y la excelente lectura y comprensión.
Las operaciones algebraicas básicas
Los productos notables
La factorización de polinomios
La solución de ecuaciones
La solución de sistemas de ecuaciones 2x2
La definición de las funciones trigonométricas
Debe tener un cuaderno únicamente para solucionar los talleres.
Conceptos básicos de la línea recta:
Recordemos que una línea recta se define como
una sucesión continua de puntos extendidos en
una sola dirección, luego, un segmento es una
parte de la recta, y está delimitado por dos puntos,
de manera que tiene un inicio y un final.
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN
SEGMENTO:
Si A (x1, y1) y B(x2, y2) son los puntos extremos de
un segmento, entonces las coordenadas del punto
medio 𝑀(𝒙
̅𝟏, 𝒚
̅𝟏)están determinadas por la
expresión:
𝒙
̅ =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
𝒚
̅ =
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐
𝟐
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL
PLANO CARTESIANO:
Dados los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) en un
plano cartesiano se puede obtener la distancia
entre ellos aplicando la fórmula:
𝐝(𝐀𝐁) = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐)𝟐
2. EJEMPLOS:
1. Hallar las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son los puntos: P (-3, 4) y
Q (5, -2)
2. El extremo de un segmento es el punto A (-3, 7) y M (2,-4) es el punto medio. Determinar las coordenadas
del otro extremo.
TALLER 1: (en todos los casos dibuje el gráfico)
1. Los vértices de un triángulo son los puntos A (2, 5), B (5, 5), C (0, 8). Determinar las longitudes de las
medidas del triángulo.
2. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro C (-4, 1) es A (2, 6). Hallar las coordenadas
del otro extremo B.
3. Demuestre que las diagonales del paralelogramo cuyos vértices son los puntos A (-2, -3), B (5, -4), C (4,
1) y D (-3, 2) se cortan en el punto medio.
4. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos
medios de sus lados son A (-2, 1), B (5, 2) y C (2, -3).
5. Pruebe que el triángulo cuyos vértices son los puntos A (0,0), B (4, 0), C (0, -3) es un triángulo rectángulo.
6. Pruebe que los puntos A (0,0), B (5, 0), C (7, 4) y D (2, 4) son los vértices de un paralelogramo.
7. La distancia entre dos puntos es 13 unidades; las coordenadas de uno de los puntos son (0, 0).
Si la Ordenada del otro punto es 5 unidades, encuentre el valor de su abscisa. (dos posibilidades).
8. Si la distancia entre dos puntos es 25 unidades; las coordenadas de uno de los puntos son
(-8, -11). Si la abscisa del otro punto es 10 unidades, encuentre el valor de la ordenada. (dos
posibilidades).
DIRECCION Y PENDIENTE DE UNA RECTA
El ángulo β de la figura anterior se denomina dirección o inclinación de la recta.
El ángulo β está formado por la recta y el eje positivo X
3. El ángulo β es un ángulo positivo menor que 180°
En 1 la recta esta inclinada hacia la derecha, el ángulo 0°<β<90° y la pendiente m es
positiva, es decir m>0.
En 2 la recta esta inclinada hacia la izquierda , el ángulo 90°<β<180° y la pendiente m es
negativa, es decir m<0 .
En 3 la recta es paralela al eje X, por lo tanto, no forma ángulo con dicho eje y en consecuencia
m=0
En 4 la recta perpendicular al eje X, el ángulo β=90° y la pendiente m no existe.
Si P (x1, y1) y Q (x2, y2) son dos puntos cualesquiera de una recta r, entonces la pendiente de dicha
recta está dada por la expresión: 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Si tenemos el valor del ángulo β entonces podemos hallar el valor de la pendiente con la expresión:
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏𝜷
Recuerde que si 𝒎 = 𝒕𝒂𝒏𝜷 ⇒ 𝜷 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏
(𝒎)
Recordemos que dos rectas son paralelas si no se cortan o intersecan en un punto, en geometría
analítica utilizamos el siguiente concepto;
Dos rectas r1 y r2 son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales, es decir:
𝒓𝟏 ∥ 𝒓𝟐 ⟺ 𝒎𝒓𝟏 = 𝒎𝒓𝟐
Recordemos que dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90°, en geometría
analítica utilizamos el siguiente concepto;
Dos rectas r1 y r2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es -1, es decir:
𝒓𝟏 ⊥ 𝒓𝟐 ⟺ 𝒎𝒓𝟏. 𝒎𝒓𝟐 = −𝟏
EJEMPLOS:
1. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-3, 4) y Q (5, -2)
2. Demuestre que los puntos A (2, 3) , B (3, 5) y C (4, 7) son colineales.
3. Si la pendiente de una recta es 𝑚 = −
9
5
, hallar el valor de la inclinación.
4. Demuestre que los puntos A (1, 1) y B (5, 3) y C (6, -4) son los vértices de un triángulo isósceles y que
la mediana trazada sobre el lado desigual es perpendicular a éste.
TALLER 2: (en todos los casos dibuje el gráfico)
1. Hallar la pendiente y la dirección de la recta que pasa por los puntos A (-3, 2) y B (7, -3)
2. Los vértices de un triángulo son los puntos A (2, -2), B (-1, 4) y C (4, 5). Calcular la pendiente de sus
lados
3. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos A (9, 2), B (11, 6), C (3, 5) y D (1, 1) son los
vértices de un paralelogramo.
4. Una recta tiene pendiente 3 y pasa por el punto A (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.
Hallar la ordenada.
4. 5. Una recta tiene pendiente -2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y
la abscisa de B es 6. ¿]Cuál es La abscisa de A y la ordenada de B?
6. Tres de los vértices de un paralelogramo son los puntos A (-1, 4), B (1, -1), C (6, 1). Si la ordenada del
cuarto vértice es 6, ¿cuál es su abscisa?
7. Por medio de pendientes, demuestre que los puntos A (6, -2), B (2, 1) y C (-2, 4) son colineales.
8. Una recta pasa por los puntos A (-2, -3) y B (4, 1). Si un punto de abscisa 10 también pertenece a la
recta, ¿cuál es el valor de la ordenada?
9. Demostrar que la recta que pasa por los puntos A (-2, 5) y B (4, 1) es perpendicular a la recta que pasa
los puntos C (-1, 1) y D (3, 7)
10. Una recta r pasa por los puntos A (3, 2) y B (-4, -6) y otra recta q pasa por el punto C (-7, 1) y por otro
punto D cuya ordenada es -6. Halla la abscisa del punto D, sabiendo que las rectas son
perpendiculares.
11. Demuestre que los puntos A (2, 5), B (8, -1) y C (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo.
12. Demuestre que los puntos A (2, 2), B (5, 6), C (9, 9) y D (6, 5) son los vértices de un rombo, que sus
diagonales son perpendiculares y que se cortan en el punto medio.
ECUACIONES DE LA LÍNEA RECTA
La ecuación de una línea recta se puede hallar a partir de los siguientes datos: Un punto y su pendiente, dos
puntos y un punto y un vector paralelo a la recta.
Ecuación de la recta punto- pendiente:
La ecuación de la recta que pasa por un punto A (X1, Y1) y tiene una pendiente dada m es:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
La recta que pasa por los puntos A (X1, Y1) y B (X2, Y2) tiene por ecuación:
𝒚 − 𝒚𝟏 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏)
Ecuación de una recta paralela al eje Y:
Cuando una recta para por el punto (a, b) y es paralela al eje Y, entonces todos los puntos de la recta tienen
la misma abscisa “a”, por lo tanto:
𝒙 = 𝒂
Ecuación de una recta paralela al eje X:
Cuando una recta para por el punto (a, b) y es paralela al eje X, entonces todos los puntos de la recta tienen
la misma ordenada “b”, por lo tanto:
𝒚 = 𝒃
Ecuación de la recta de pendiente- intercepto:
La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en (0, b) está dada por la expresión:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
5. Ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos que cortan los ejes:
Si una recta corta al eje X en A (a, 0) y al eje Y en B (0, b), entonces la ecuación esta dada por la expresión:
𝒙
𝒂
+
𝒚
𝒃
= 𝟏
Ecuación general de la línea recta:
Toda línea recta en el plano esta representada por una ecuación de general de la forma:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
EJEMPLOS:
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-5, -4) y B (8, 3)
2. Hallar la ecuación de la recta l que pasa por el punto A (2, -4) y es paralela a la recta r que pasa por los
puntos (-3, 7) y Q (5, -3)
3. Hallar la ecuación de la recta l que es perpendicular a la recta 3x-2y+6=0 y pasa por el punto donde la
recta 5x+4y=-8 corta el eje Y
4. Una recta pasa por el punto donde la recta 5x-2y+10=0 corta al eje X y por el punto donde la recta 3x-
2y=12 corta al eje Y. Hallar la ecuación de dicha recta.
5. Hallar el valor de m, de tal manera que la recta de ecuación: 2mx-3y+m=0 pase por el punto P (-2, 3)
TALLER 3:
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
(-4, 3) y tiene pendiente 𝑚 =
1
2
(2, 0) y tiene pendiente 𝑚 =
3
4
2. Halla la pendiente m y el intercepto con el eje Y de la recta cuya ecuación es 2y-3x=6
3. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (7, 4) y B (-1, -2)
4. Hallar el valor de K de tal manera que:
3kx+5y+k-2=0 pase por el punto (-1,4)
4x-ky-7=0 tenga pendiente m=3
kx-y=3k-6 corte al eje X a 5 unidades
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x-2y+10=0 y 4x+3y-
7=0 y por el punto (2, 1)
6. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta4x+y-1=0 que pase por el punto de intersección de
las rectas 2x-5y+3=0 y x-3y-7=0
7. Los vértices de un triángulo son los puntos A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3, 2), hallar las ecuaciones de las
mediatrices y sus medidas
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x-5y+9=0 y 4x+7y-
28=0 y cumple con la condición siguiente:
Es paralela a la recta 2x+3y-5=0
Es perpendicular a la recta4x+5y-20=0
9. Demostrar que las recta 2x-y-1=0, x-8y+37=0, 2x-y-16=0 y x-8Y+7=0 forman un paralelogramo y hallar
las ecuaciones de sus diagonales.
10. Demostrar que las rectas 5x-y-6=0, x+5y-22=0, 5x-y-32=0 y x+5y+4=0 forman un cuadrado.
6. Distancia de un punto a una recta:
La distancia desde un punto P (x1, y1) a una recta Ax+By+C=0 esta dada por la expresión:
𝒅 =
|𝑨𝒙𝟏 + 𝑩𝒚𝟏 + 𝑪|
√𝑨𝟐 + 𝑩𝟐
EJEMPLOS:
1. Hallar la distancia del punto P (-3, 5) a la recta cuya ecuación es 5x-3y+1=0
2. El vértice de un triángulo son los puntos A (2, 5), B (-3, 6) y C (4, -3). Determinar la longitud de la altura
trazada desde C sobre el lado AB
3. Demostrar que las rectas l: 4x+5y-2=0 y r: 8x+10y+15=0 son paralelas y determinar la distancia entre
ellas.
TALLER 4:
1. Hallar la distancia d desde:
La recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3)
La recta 6x-8y+15=0 al punto (-1, 7)
2. Hallar el valor de K para que la distancia d de la recta 8x+15y+k=0 al punto (2, 3) sea igual a 5 unidades
3. Dado el triangulo de vértices A (-2, 1), B (5, 4) y C (2, -3), hallar la longitud de la altura correspondiente
al vértice A y el área del mismo
4. Dadas las rectas 3x-y+6=0 y 2y-6x+1=0 se pide:
Demostrar que son paralelas
Haller la distancia entre ellas.
5. Hallar la distancia d del punto de intersección de las rectas x+3y-4=0 y 5x-y+6=0 a la recta 4x-y-3=0