1. Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
1Kalkulus2-Unpad

2. Kalkulus2-Unpad 2
Sistem KoordinatSistem Koordinat
y
x
P(x,y)
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV
y
x
y
z
x
P(x,y,z)
Oktan 1
R3
(Ruang)R2
(Bidang)

3. 3Kalkulus2-Unpad

4. Kalkulus2-Unpad 4
Permukaan di Ruang (RPermukaan di Ruang (R33
))
Ax By Cz D+ + =
Jejak di bidang XOY, z = 0 
Jejak di bidang XOZ, y = 0 
Jejak di bidang YOZ, x = 0 
1. Bidang
Bentuk umum:
Cara menggambar permukaan: tentukan jejak
(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)
Ax By D+ =
Ax Cz D+ =
By Cz D+ =
(garis lurus)
(garis lurus)
(garis lurus)

5. Kalkulus2-Unpad 5
Gambar bidang 3 4 2 12x y z+ + =

6. Kalkulus2-Unpad 6
2 2 2 2
, 0x y z a a+ + = >
2 2 2
x y a+ =Jejak di bidang XOY, z = 0 
Jejak di bidang XOZ, y = 0 
(lingkaran)
2 2 2
x z a+ = (lingkaran)
Jejak di bidang YOZ, x = 0 
2 2 2
y z a+ = (lingkaran)
2. Bola
Persamaan umum bola :

7. Kalkulus2-Unpad 7
Gambar BolaGambar Bola
Z
x
y

8. Kalkulus2-Unpad 8
3. Elipsoida
2 2 2
2 2 2
1 , , , 0
x y z
a b c
a b c
+ + = >
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Elips
2 2
2 2
1
x z
a c
+ =Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Elips
2 2
2 2
1
z y
c b
+ =Jejak di bidang YOZ, x = 0  , berupa Elips
Bentuk umum :

9. Kalkulus2-Unpad 9
Gambar ElipsoidaGambar Elipsoida
Z
x
y

10. Kalkulus2-Unpad 10
2 2 2
2 2 2
1 , , , 0
x y z
a b c
a b c
+ − = >
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Elips
2 2
2 2
1
x z
a c
− =Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Hiperbola
2 2
2 2
1
y z
b c
− =Jejak di bidang YOZ, x = 0  , berupa Hiperbola
4. Hiperboloida berdaun satu
Bentuk umum :

11. Kalkulus2-Unpad 11
Gambar Hiperboloida Berdaun SatuGambar Hiperboloida Berdaun Satu
Z
x
y

12. Kalkulus2-Unpad 12
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
− − =
2 2
2 2
1
x y
a b
− =Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Hiperbola
2 2
2 2
1
x z
a c
− =Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Hiperbola
2 2
2 2
1
y z
b c
− − =Jejak di bidang YOZ, x = 0  , tidak ada jejak
Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a ,
berupa ellips
5. Hiperboloida Berdaun dua
Bentuk umum :

13. Kalkulus2-Unpad 13
Gambar Hiperboloida Berdaun DuaGambar Hiperboloida Berdaun Dua
Z
x
y

14. Kalkulus2-Unpad 14
2
2
2
2
b
y
a
x
z +=
2
2
2
2
b
y
a
x
z −=
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − =
6. Paraboloida Elips :
7. Paboloida Hiperbola :
8. Kerucut Elips :

15. Kalkulus2-Unpad 15
GambarGambar
Z
x
y
z
x
y
Z
x
y
Paraboloida Elips
Paraboloida Hiperbola
Kerucut Elips

16. Kalkulus2-Unpad 16
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang
mengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu
z =f(x,y)
Notasi : f : A  R
(x,y)  z = f(x,y)
Contoh:
2 21
2. ( , ) 36 9 4
3
f x y x y= − −
( )
2
22
2
3. ( , )
2
y x
f x y
x y
−
=
+ −
2
( )A R⊂
2 2
1. ( , ) 3 2f x y x y= +

17. Kalkulus2-Unpad 17
Daerah Asal (Daerah Asal (DDff) dan Daerah Nilai () dan Daerah Nilai (RRff))
{ }2
( , ) ( , )fD x y R f x y R= ∈ ∈
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari
{ }( , ) ( , )f fR f x y x y D= ∈
2 21
2. ( , ) 36 9 4
3
f x y x y= − −
3. ( , ) (1 )f x y x y= −
2 2
1. ( , ) 3 2f x y x y= +
 Berupa daerah di bidang

18. Kalkulus2-Unpad 18
Jawab :Jawab :
x
y
2.
2 2 21
( , ) 36 9 4
3
fD x y R x y R
 
= ∈ − − ∈ 
 
2 2
2
( , ) 1
4 9
x y
x y R
     
= ∈ + ≤  ÷  ÷
     
x
y
2
3
{ }
{ }
2 2 2
2
1. ( , ) | 3 2
( , )
fD x y R x y R
x y R
= ∈ + ∈
= ∈
(seluruh daerah di bidang)
{ }2 2 2
( , ) 36 9 4 0x y R x y= ∈ − − ≥
{ }2 2 2
( , ) 9 4 36x y R x y= ∈ + ≤

19. Kalkulus2-Unpad 19
x
y
{ }2
3. ( , ) (1 )fD x y R x y R= ∈ − ∈
= {(x,y)∈ R2
|x ≥0 dan (1–y)≥0 atau x ≤ 0 dan (1–y)≤0}
= {(x,y)∈ R2
|x ≥ 0 dan y ≤ 1 atau x ≤ 0 dan y ≥ 1}
{ }2
( , ) (1 ) 0x y R x y= ∈ − ≥

20. Kalkulus2-Unpad 20
LatihanLatihan
( )
2
22
2
1. ( , )
2
y x
f x y
x y
−
=
+ −
ln( 1)
5. ( , )
1
x y
f x y
y x
− +
=
− +
2. ( , )
1
x
f x y
y
=
−
2 2
16
4. ( , )
ln( )
x y
f x y
x y
− −
=
+
3. ( , ) 2
y
f x y
x
= −
Tentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:
xy
xy
yxf
−
−
=
2
),(.6

21. Kalkulus2-Unpad 21
Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah
• Grafiknya berupa permukaan di ruang
Z=f(x,y)
D
f
x
y
z
Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan
tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu z
akan memotong grafik tepat di satu titik.

22. Kalkulus2-Unpad 22

23. Kalkulus2-Unpad 23
ContohContoh
Paraboloida elips
2 2
1 1
3 2
x y
z→ = +
Z
x
y
Z
x
y
3
3
Gambarkan grafik
2 2
1. ( , ) 3 2f x y x y= +
2 21
2. ( , ) 36 9 4
2
f x y x y= − −
2
2 2 2
1
4 9 9
x y z
+ + =
2 2 2
4 36 9 4z x y→ = − −
elipsoida

24. Kalkulus2-Unpad 24
LatihanLatihan
1. x2
+ y2
= 4
2. y = x2
3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1
4. 9 z2
+ 9x2
+ 4y2
= 36
5. z =4
Gambarkan grafik dari :
2 2
6. ( , ) 3f x y x y= − −

25. Kalkulus2-Unpad 25
Kurva KetinggianKurva Ketinggian
z = f(x,y)  z = k adalah kurva ketinggian.
Jadi, kurva ketinggian adalah
proyeksi dari perpotongan grafik z = f(x,y)
dengan bidang z =k pada bidang XOY.

26. 26Kalkulus2-Unpad

27. Kalkulus2-Unpad 27
Contoh:Contoh:
Untuk k = 0   titik (0, 0)
Untuk k = 1 
 elips
Untuk k = 2 
 elips
Untuk k = 4 
 elips
2 2
1
11
2
x y
+ =
2
2
1
2
x
y+ =
2 2
1
4 2
x y
+ =
.k=0
k=1
k=2
k=4
x
y
2 2
( , ) 2 , 0,1,2,4f x y x y k= + =
2 2
2 0x y+ =
2 2
2 1x y+ =
2 2
2 2x y+ =
2 2
2 4x y+ =
1. Gambar kurva ketinggian
Jawab:

28. Kalkulus2-Unpad 28
Untuk k = -2 
 parabola
Untuk k = 0 
 parabola
Untuk k = 2 
 parabola
Untuk k = 4 
 parabola
k=0
k=-2
k=2 k=4 x
y
2
2. ( , ) , 2,0,2,4f x y x y k= − = −
2
2 x y− = −
2
2x y= −
2
x y=
2
2x y= +
2
4x y= +
2
0 x y= −
2
2 x y= −
2
4 x y= −
Jawab:

29. Kalkulus2-Unpad 29
LatihanLatihan
Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
2
1. ( , ) , 4, 1,0,1,4
x
f x y k
y
= = − −
2 2
2. ( , ) , 0,1,4,9f x y x y k= + =
3. ( , ) , 4, 1,0,1,4f x y xy k= = − −
2 2
4. ( , ) , 1,2,3,4f x y y x k= − =

30. Kalkulus2-Unpad 30
Limit Fungsi Dua PeubahLimit Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y)
mendekati (a,b) ditulis
( , ) ( , )
lim ( , )
x y a b
f x y L
→
=
berlaku( ) ( )
2 2
0 0 0 x a y bε δ δ⇔ ∀ > ∃ > ∋ < − − − <
( , )f x y L ε− <
x
y
z
δ
(a,b)
Z =f(x,y)
L
L+ε
L–ε

31. Kalkulus2-Unpad 31
CatatanCatatan
( , ) ( , )
lim ( , )
x y a b
f x y L
→
= ada jika
( , ) ( , )
lim ( , )
x y a b
f x y L
→
=
untuk sembarang kurva yang melalui (a,b)
Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2
yang melalui
kurva, maka dikatakan
( , ) ( , )
lim ( , )
x y a b
f x y
→
berbeda untuk masing-masing
( , ) ( , )
lim ( , )
x y a b
f x y
→
(a,b) dengan nilai
tidak ada.
. (a,b)

32. Kalkulus2-Unpad 32
ContohContoh
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
xy
x y→ +
Jawab :
2 2
( , )
xy
f x y
x y
=
+
terdefinisi di Df = R2
– {(0,0)}
*) Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka
2 2( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)
.0
lim ( ,0) lim 0
0x x
x
f x
x→ →
= =
+
tidak adaBuktikan bahwa
*) Di sepanjang garis y=x, maka
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
. 1
lim ( , ) lim
2x x x x
x x
f x x
x x→ →
= =
+

33. Kalkulus2-Unpad 33
Karena
( ,0) (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( ,0) lim ( , )
x x x
f x f x x
→ →
≠
maka
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
xy
x y→ +
tidak ada

34. Kalkulus2-Unpad 34
LatihanLatihan
2 2
2 2( , ) (0,0)
1. lim
x y
x y
x y→
−
+
2
4 2( , ) (0,0)
2. lim
x y
x y
x y→ +
Buktikan bahwa limit berikut tidak ada
3 4
2 6( , ) (0,0)
3. lim
x y
x y
x y→
+
+

35. Kalkulus2-Unpad 35
KekontinuanKekontinuan
Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika
( , ) ( , )
2. lim ( , )
x y a b
f x y ada
→
( , ) ( , )
3. lim ( , ) ( , )
x y a b
f x y f a b
→
=
1. ( , ) adaf a b
Untuk memeriksa kekontinuan suatu fungsi di
suatu titik sangat sulit, karena limit fungsi sulit dicari.

36. Kalkulus2-Unpad 36
Teorema:
1. Fungsi polinom m peubah kontinu
),(
),(
),(
yxq
yxp
yxf =
m
R
2. Fungsi rasional kontinu di fD
asalkan ( , ) 0q x y ≠
3. Jika g(x,y) fungsi dua peubah yang kontinu di (a,b) dan
f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b),
maka fog kontinu di (a,b) dan (fog) (x,y) = f(g(x,y)).

37. Kalkulus2-Unpad 37
Contoh KekontinuanContoh Kekontinuan
Selidiki kekontinuan fungsi berikut:
2
2 3
1. ( , )
( 4 )
x y
f x y
y x
+
=
−
3
2. ( , ) cos( 2 )f x y x y= −
f kontinu dimana-mana (R2
) kecuali di parobola y2
=4x
Misal (Polinom)  g kontinu dimana-
mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.
Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang.
3
( , ) 2g x y x y= −

38. Kalkulus2-Unpad 38
Turunan ParsialTurunan Parsial
Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah.
0
( , ) ( , )
( , ) limx
h
f x h y f x y
f x y
h→
+ −
=
2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x dianggap konstan):
0
( , ) ( , )
( , ) limy
h
f x y h f x y
f x y
h→
+ −
=
1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y dianggap konstan):
,x
f z
f
x x
∂ ∂
= =
∂ ∂ y
z
y
f
f y
∂
∂
=
∂
∂
=Notasi lain :

39. Kalkulus2-Unpad 39
Contoh:Contoh:
4 2
1. ( , )f x y x y xy= +
Tentukan fx dan fy
Jawab :
3 2 4
1. 4 ; 2x yf x y y f x xy= + = +
2 2
2. ( , ) cos( )f x y y x y= +
2 2
2. 2 sin( )xf xy x y= − +
)sin(2)cos( 22222
yxyyxfy +−+=

40. Kalkulus2-Unpad 40
LatihanLatihan
3
1. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy= + +
cos
2. ( , )
y
t
x
f x y e dt= ∫
Tentukan fx dan fy dari fungsi berikut :
3
3. ( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy= + +
4. ( , ) tan 2y
f x y e x=
3 2 3
5. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y= − +
xy
xyyxf 2)(tan),(.6 1
+= −

41. Kalkulus2-Unpad 41
Definisi: Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah,
maka
0
( , , ) ( , , )
limx
h
f x h y z f x y z
f
h→
+ −
=
2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x,z konstan):
0
( , , ) ( , , )
limy
h
f x y h z f x y z
f
h→
+ −
=
1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y,z konstan):
3. Turunan parsial pertama f terhadap z (x,y konstan):
0
( , , ) ( , , )
limz
h
f x y z h f x y z
f
h→
+ −
=

42. Kalkulus2-Unpad 42
LatihanLatihan
2
1. ( , , ) 3f x y z xy y z xz= + +
2. ( , , ) cos( ) 2f x y z x y z xy= − +
Tentukan fx, fy dan fz dari fungsi berikut :
2
3. ( , , ) secy
f x y z xe z−
=
2
4. ( , , ) ln( )xyz
f x y z e x y z= − −
yzx
z
xy
zyxf 2),,(.5 +=

43. Kalkulus2-Unpad 43
Turunan Parsial KeduaTurunan Parsial Kedua
2
2
( , )xx
f f
f x y
x x x
∂ ∂ ∂ 
= = ÷
∂ ∂ ∂ 
2
2
( , )yy
f f
f x y
y y y
 ∂ ∂ ∂
= = ÷
∂ ∂ ∂ 
2
( , )xy
f f
f x y
y x y x
∂ ∂ ∂ 
= = ÷
∂ ∂ ∂ ∂ 
2
( , )yx
f f
f x y
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= = ÷
∂ ∂ ∂ ∂ 

44. Kalkulus2-Unpad 44
ContohContoh
Tentukan
Jawab :
2 3 3
( , )f x y xy x y= +, , ,xx xy yx yyf f f f dari
2 2 3
3xf y x y= + 3
6xxf xy→ =
3 2
2 3yf xy x y= +
2 2
2 9xyf y x y→ = +
2 2
2 9yxf y x y→ = +
3
2 6yyf x x y→ = +

45. Kalkulus2-Unpad 45
LatihanLatihan
Tentukan , , ,xx xy yx yyf f f f dari
3
1. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy= + +
2. ( , ) sin3 cos2f x y x y=
2 2
3. ( , ) ln( )f x y x xy y= + +
2
4. ( , )
x y
f x y
xy
−
=
2 2
5. ( , ) sin cosx y
f x y e y e x−
= +

46. Kalkulus2-Unpad 46
Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama
z
x
y
(a, b)
s
),(
),(),(
lim
0
yxf
h
yxfyhxf
m x
h
=
−+
=
→
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)
dalam arah sumbu x positif

47. Kalkulus2-Unpad 47
z
x
y
(a, b)
s
0
( , ) ( , )
lim ( , )y
h
f x y h f x y
m f x y
h→
+ −
= =
Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)
dalam arah sumbu y positif
Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama

48. Kalkulus2-Unpad 48
Vektor GradienVektor Gradien
Definisi:
Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D ⊂ R2
Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) ∈ D
didefinisikan sebagai
ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j∇ = +
r
adalah vektor satuan arah sumbu x,y positif
Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
ˆ ˆ,i j
 Definisi
Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k∇ = + +
r
adalah vektor satuan arah sumbu x,y,z positif.ˆˆ ˆ, ,i j k

49. Kalkulus2-Unpad 49
ContohContoh
Tentukan ( , )f x y∇
r
dan ( 1, 1)f∇ − −
r
dari ( , ) xy
f x y xe=
( , ) xy xy
xf x y e xye= +
Jawab :
2
( , ) xy
yf x y x e=
( 1, 1) 2xf e e e− − = + =
( 1, 1)yf e− − =
( ) 2ˆ ˆ( , ) xy xy xy
f x y e xye i x e j∇ = + +
r
ˆ ˆ( 1, 1) 2f ei e j∇ − − = +
r


Jadi:

50. Kalkulus2-Unpad 50
LatihanLatihan
A. Tentukan f∇
r
dari
2
1. ( , )
x y
f x y
x y
=
+
2 2
2. ( , ) lnf x y x y= +
( )3 2
4. ( , ) sinf x y x y=
5. ( , ) ln( )f x y xy x y= +
B. Tentukan f∇
r
di titik yang diberikan
2 2
1. ( , )f x y x y xy= −
3 2 3
2. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y= − +
2
3. ( , )
x
f x y
y
=
di P (–2,3)
di P (–3, 3)
di P (2, –1)
2
3. ( , , ) x z
f x y z x y e −
= zxezyxf y
sec),,(.6 2−
=

51. Kalkulus2-Unpad 51
Aturan RantaiAturan Rantai
• Misalkan x = x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t
dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))
Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan
didefinisikan sebagai
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= +
∂ ∂
• Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka
( )i z z x z y
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( )ii z z x z y
t x t y t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

52. Kalkulus2-Unpad 52
ContohContoh
1. Misalkan w = x2
y3
dengan x = t3
dan y = t2
,
tentukan
dw
dt
Jawab:
dw w dx w dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= +
∂ ∂
3 2 2 2
2 (3 ) 3 (2 )xy t x y t= +
3 2 3 2 3 2 2 2
2 ( ) (3 ) 3( ) ( ) (2 )t t t t t t= +
3 6 2 6 4 11
2 3 3 2 12t t t t t t t= + =

53. Kalkulus2-Unpad 53
ContohContoh
2. Misalkan z = 3x2
– y2
dengan x = 2s+7t dan y = 5st,
z
t
∂
∂
Jawab:
6 .7 2 .5
z z x z y
x y s
t x t y t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
tentukan
z
s
∂
∂
dan
6 .2 2 .5
z z x z y
x y t
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2
42(2 7 ) 50
z
s t s t
t
∂
→ = + −
∂
2
12(2 7 ) 50
z
s t st
s
∂
→ = + −
∂

54. Kalkulus2-Unpad 54
LatihanLatihan
1. Tentukan
dw
dt
(dalam t)
2. Tentukan
w
t
∂
∂
2 2
. ; sin , sinx y
b w e x s t y t s+
= = =
2 2
. ln ; ,
s
a w x y x x y s t
t
= − = =
2 3 2
. sin( ) ; , ,c w xyz x t y t z t= = = =
. sin sin ; 3 , 2x y
b w e y e x x t y t= − = =
2 2
. ; cos , sina w x y y x x t y t= − = =
dari fungsi berikut :
dari fungsi berikut :

55. Kalkulus2-Unpad 55
0.. =
∂
∂
+
∂
∂
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
F
dy x
Fdx
y
∂−
∂→ =
∂
∂
Fungsi Implisit
(i) Jika ( , ) 0F x y = bentuk implisit dari ( )f x y= maka
(ii) Jika ( , , ) 0F x y z = bentuk implisit dari ( , )f x y z= maka
0... =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
x
z
z
F
x
y
y
F
x
x
x
F F
z x
Fx
z
∂−∂ ∂→ =
∂∂
∂
0... =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
y
z
z
F
y
y
y
F
y
x
x
F F
z y
Fy
z
∂−∂ ∂
→ =
∂∂
∂

56. Kalkulus2-Unpad 56
Contoh :
dx
dy
1. Tentukan dari 3 2 4
10 0x x y y+ − =
2. Tentukan
z
x
∂
∂
dari 3
( , , ) sin( ) 0y z
F x y z x e y x z+
= − − =
Jawab :
2
2 3
(3 2 )
1.
( 40 )
F
dy x xyx
Fdx x y
y
∂− − +∂= =
∂ −
∂
2
3
3
2.
( cos( ))
y z
y z
F
z x ex
Fx x e y x z
z
+
+
∂−∂ −∂= =
∂∂ + −
∂

57. Kalkulus2-Unpad 57
Turunan BerarahTurunan Berarah
Misal 1 2,u u u=
r
vektor satuan dengan pangkal di P0(x0, y0)
P0

58. Kalkulus2-Unpad 58
atau 0 0 1 2, ,x x y y s u u− − =
0 1 1
dx
x x su u
ds
= + → = 0 2 2
dy
y y su u
ds
= + → =
Nilai z di Q adalah 0 1 0 2( , ) ( , )z f x y f x su y su= = + +
maka 1 2. .x y
dz f dx f dy
f u f u
ds x ds y ds
∂ ∂
= + = +
∂ ∂
Jika s0, maka diperoleh
0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u= +r
Jika jarak ke P adalah s, maka 0 .P P s u=
r
P0

59. Kalkulus2-Unpad 59
Definisi : Jika f(x,y) mempunyai turunan parsial dan
1 2,u u u=
r
vektor satuan sebarang, maka turunan
berarah f di titik dalam arah adalah :u
r
0 0( )x y
Perhatikan bahwa:
0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u= +r
0 0 0 0 1 0 0 2( ) ( , ) ( , )u x yD f x y f x y u f x y u= +r
0 0( , ).f x y u= ∇
r r
|| ||.|| || cosf u θ= ∇
r r
θ sudut antara f dan u∇
r r

60. 60
ContohContoh
Jawab:
21 )1,1()1,1()1,1( ufuffD yxu +=r
yxyxf 3
4),( =1. Tentukan turunan berarah fungsi
ˆ ˆ4 3a i j= +
r
di titik P(1,1) dalam arah vektor
5
3
,
5
4ˆ
5
3ˆ
5
4
||
=+== ji
a
a
u
4)1,1(4
12)1,1(12
3
2
=→=
=→=
yy
xx
fxf
fyxf
12
5
60
5
3
.4
5
4
.12 ==+=
Sehingga turunan berarah f di (1,1) adalah:
Kalkulus2-Unpad

61. 07/12/18 61
ContohContoh
Jawab:
20010000 ),(),(),( uyxfuyxfyxfD yxu +=r
2. Tentukan suatu vektor
53
),( yxyxf −=
2
4
3 (2, 1) 12
5 (2, 1) 5
x x
y y
f x f
f y f
= → − =
= − → − = −
u
r
dalam arah mana fungsi
bertambah paling cepat di P(2,-1)
dan berapa laju perubahan dalam arah ini.
uyxf
rr
.),( 00∇=
0 0|| ( , ) ||.|| || cosf x y u θ= ∇
r r
Agar bertambah paling cepat  0=θ udanf
r
∇→
searah.
61Kalkulus2-Unpad

62. jiu ˆ
13
5ˆ
13
12
−=
r
f∇
r
Karena u
r
searah maka vektor satuannya
Lajunya = || ||f∇
r 2 2
(12) ( 5) 13= + − =
62Kalkulus2-Unpad

63. Kalkulus2-Unpad 63
LatihanLatihan
1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang
diberikan dalam vektor
a. f(x,y) = y2
lnx , P(1, 4),
b. f(x,y) = xey
–yex
, P(0, 0),
c. f(x,y) = e –xy
, P(1, –1),
d. f(x,y) = x/(x+y), di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)
e. f(x,y) = xy+z2
, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)
. Tentukan suatu vektor satuan dalam arah mana f
bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa
laju perubahan dalam arah ini
a. f(x,y) = ey
sin x , P(5π/6,0)
b. f(x,y) = 4x3
y2
, P(–1,1)
c. f(x,y) = 1–x2
–y2
, P(–1,2)
ˆ ˆ3 3a i j= − +
r
ˆ ˆ5 2a i j= −
r
ˆ ˆ3a i j= − +
r
a
r
u
r

64. Kalkulus2-Unpad 64
3. Misal ( , ) .
y
f x y
x y
=
+
Tentukan u
r
sehingga (2,3) 0uD f =r
4. Jika 0 0
ˆ ˆ( , ) 2f x y i j∇ = −
r
,Tentukan u
r
sehingga
0 0( , ) 2uD f x y = −r
5. Diketahui jika(1,2) 5uD f = −r
jika(1,2) 10vD f =r
dan3 4ˆ ˆ
5 5
u i j= −
r
4 3ˆ ˆ
5 5
v i j= +
r
a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2)
b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke
titik asal.

65. Kalkulus2-Unpad 65
Bidang SinggungBidang Singgung
• Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan
F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po
adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada
0 0 0( , , )f x y z∇
r
Teorema:
• Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang
singgung di titik adalah :0 0 0( , , )x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z− + − + − =
• Untuk permukaan ( , ) ( , , ) ( , )z f x y atau F x y z f x y z= = −
Persamaan bidang singgung di 0 0 0( , , )x y z adalah :
0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y− = − + −
0 0 0( , , )x y z

66. Kalkulus2-Unpad 66
Definisi :
Garis normal permukaan S di Po adalah garis yang
melalui 0 0 0( , , )x y z dan searah vektor normal bidang singgung
pada S di Po yaitu :
0 0 0 0( ) ( , , )X r t t F x y z= + ∇
r rr
atau
0 0 0 0( , , )xx x tF x y z= +
0 0 0 0( , , )yy y tF x y z= +
0 0 0 0( , , )zz z tF x y z= +

67. Kalkulus2-Unpad 67
ContohContoh
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan x2
+ y2
+ 2z2
= 23 di titik (1, 2, 3)
Jawab: Misalkan
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah
2(x – 1) + 4(y + 2) + 12 (z – 2) = 0
2x + 4y + 12 z = 46
2 2 2
( , , )F x y z x y z= + +
kzjyixzyxF

422),,( ++=∇
kjiF

1242)3,2,1( ++=∇

68. Kalkulus2-Unpad 68
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12t
2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
Permukaan di (1, 2, -5)
Jawab:
2
( , ) 2 2 3xf x y x y y= + −
( , ) 2 6yf x y x xy= −
(1,2) 2 4 12 6xf→ = + − = −
(1,2) 2 12 10yf→ = − = −
2 2
( , ) 2 3 2f x y x xy xy= + − +

69. Kalkulus2-Unpad 69
Jadi persamaan parameter garis normal adalah
Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah
5 (1,2)( 1) (1,2)( 2)x yz f x f y+ = − + −
5 6( 1) 10( 2)z x y+ = − − − −
6 10 21x y z+ + =
1 6 , 2 10 , 5x t y t z t= − = − = − −

70. Kalkulus2-Unpad 70
LatihanLatihan
1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan
a. x2
+ y2
– 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)
b. y = ex
cos z di titik (1, e, 0)
c. x1/2
+ y1/2
+ z1/2
= 4 di titik (4, 1, 1)
d. z= 2e3y
cos 2x di titik (π/3, 0, -1)
2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x2
–2xy–y2
–8x+4y
dimana bidang singgungnya mendatar
3. Perlihatkan bahwa permukaan x2
+4y+z2
=0 dan
x2
+y2
+z2
– 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2).
(yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).
4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2
+2y2
+3z2
=12
di mana bidang singgungnya tegak lurus terhadap garis
dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 – 6t

71. Kalkulus2-Unpad 71
Nilai EkstrimNilai Ekstrim
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
Definisi:
Misalkan fDyx ∈),( 00
jika
),()( 00 yxfi disebut nilai maksimum global dari f pada Df ,
, maka:
fDyxyxfyxf ∈∀≥ ),(),(),( 00
),()( 00 yxfii disebut nilai minimum global dari f pada Df ,
jika fDyxyxfyxf ∈∀≤ ),(),(),( 00
),()( 00 yxfiii disebut nilai ekstrim global dari f pada Df ,
jika ia merupakan nilai maksimum global atau
minimum global.
Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat
di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokal
atau minimum lokal.

72. 72Kalkulus2-Unpad

73. Kalkulus2-Unpad 73

74. Kalkulus2-Unpad 74
Di mana nilai ekstrim muncul?Di mana nilai ekstrim muncul?
• Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai
ekstrim disebut titik kritis
• Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu
– Titik-titik batas Df
– Titik Stasioner
– Titik Singular
0),(0),(0),(),( 00000000 ==⇔=∇∋ yxfdanyxfyxfyx yx

)adatidak),(( 00 yxf∇


75. Kalkulus2-Unpad 75
Uji Nilai Ekstrim LokalUji Nilai Ekstrim Lokal
• Untuk menguji apakah di titik stasioner terjadi
nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial
kedua, yaitu:
Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua
yang kontinu di sekitar (x0,y0),
dan
0),( 00 =∇ yxf

maka
( )2
00000000 ),(),(.),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx −==
1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 <yxfxx
2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 >yxfxx
3. f(x0,y0) bukan nilai ekstrim jika D<0 ((x0,y0) titik pelana)
4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan

76. Kalkulus2-Unpad 76
ContohContoh
1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dari
Jawab :
fx(x,y) = 8x3
– 2x fy(x,y) = 6y
fxx(x,y) = 24x2
– 2 fyy(x,y) = 6
fxy(x,y) = 0
Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu
8x3
– 2x=0 2x (4x2
– 1)=0 x=0 , x =± ½
6y =0  y = 0
Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah
(0, 0), (½, 0) dan (-½,0)
224
32),( yxxyxf +−=

77. Kalkulus2-Unpad 77
Titik
stasioner
fxx
fyy
fxy D Keterangan
(0,0) – 2 6 0 –12 f(0,0) bukan nilai ekstrim
(½, 0) 4 6 0 24 f(1/2,0) nilai minimum lokal
(-½, 0) 4 6 0 24 f(-1/2,0) nilai minimum lokal
Uji nilai ekstrim lokal dengan D :
Jadi nilai minimum lokal
8
1
)0,
2
1
( −=f dan
8
1
)0,
2
1
( −=−f
Titik (0,0) merupakan titik pelana.

78. Kalkulus2-Unpad 78
2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari
f(x,y) = x2
–y2
+1 pada S = {(x,y)| x2
+ y2
≤ 1}
Jawab :
fx(x,y) = 2x fy(x,y) = – 2y
fxx(x,y) = 2 fyy(x,y) = –2
fxy(x,y) = 0
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0,  didapat (0,0)
Perhatikan bahwa titik kritis (0, 0) terletak di dalam S,
dan D(0,0) <0  (0,0) titik pelana.

79. Selanjutnya tentukan titik-titik batasnya.
Untuk mencari maksimum/minimum dari f(x,y) pada S,
selesaikan ekstrim fungsi f(t) sebagai fungsi satu peubah.
{ }1|),( 22
≤+= yxyxS  Lingkaran satuan.
Misal tytx sin,cos == 
0cossin2cossin2)(' =−−= tttttf
1sincos)( 22
+−= tttf
02sin2 =− t
 2t= 0, π, 2π, 3π  t= 0, π/2, π, 3π/2
t=0  x = 1, y = 0  f(1,0)=2 (nilai maksimum global)
t=π/2  x = 0, y = 1  f(0,1)=0 (nilai minimum global)
t=π  x = -1 , y = 0  f(-1,0)=2 (nilai maksimum global)
t=3π/2  x = 0, y =-1  f(0,-1)=0 (nilai minimum global)
79Kalkulus2-Unpad

80. Kalkulus2-Unpad 80
LatihanLatihan
1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari
a. f(x,y) = x3
+y3
-6xy
b. f(x,y) = xy2
–6 x2
– 6y2
c. f(x,y) = x2
+4 y2
– 2x+8y – 1
d. f(x,y) = 3x3
+y2
– 9x + 4y
yx
xyyxfe
42
),(. ++=
)4( 22
),(. yyx
eyxff −+−
=
2. Tentukan nilai ekstrim global dan jenisnya, dari
f(x,y) =x2
–6x+y2
–8y+7 pada S={(x,y)| x2
+ y2
≤ 1}

81. Kalkulus2-Unpad 81
Metoda LagrangeMetoda Lagrange
Metoda Lagrange digunakan untuk mencari nilai ekstrim
terkendala.
Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y)=0.
Akan dicari nilai ekstrim f terhadap kendala g.

82. Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0  Cari
perpotongan kurva ketinggian f(x,y)=k dengan fungsi
kendala g(x,y)=0 sehingga diperoleh k terbesar.
Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling
menyinggung  garis tegak lurusnya sama.
),(),( yxgyxf ∇=∇

λ
f∇⊥

Karena kurva ketinggian , kurva kendala g∇⊥

maka
82Kalkulus2-Unpad

83. Kalkulus2-Unpad 83
Metoda LagrangeMetoda Lagrange
0),(),(),( 000000 =∇=∇ yxgdanyxgyxf

λ
dengan (x0,y0) titik kritis, λ pengali langrange
),(),(),( 000000 yxhyxgyxf ∇+∇=∇

µλ
dengan (x0,y0) titik kritis, λ, µ pengali langrange
g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0
• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)
terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan:
• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)
terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistem
persamaan:

84. Kalkulus2-Unpad 84
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai
maksimun dan minimun dari
1. f(x,y)= x2
– y2
+ 1 pada lingkaran x2
+y2
=1
Jawab:
Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan
lagrange :
),(),( yxgyxf ∇=∇

λ 0),( =yxgdan
yaitu:
2x = λ 2x …….(1)
– 2y = λ 2y …….(2)
x2
+y2
= 1 ……..(3)
jyixyxf ˆ2ˆ2),( −=∇

jyixyxg ˆ2ˆ2),( +=∇

Contoh

85. Kalkulus2-Unpad 85
Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-
sama nol, sehingga
Untuk x ≠ 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari (2)
di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2
=1  x = ± 1
Untuk y ≠ 0, dari (2) di dapat λ = -1, kemudian dari (1)
di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2
=1  y = ± 1
Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)
 f(1, 0) = 2,
 f(-1, 0) = 2
 f(0, 1) = 0,
 f(0,-1) = 0
maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)
maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)

86. 2. Tentukan nilai minimum global dari
Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)
dan (0,-1)
Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),
523),,( +++= zyxzyxf
terhadap kendala 049),,( 22
=−+= zyxzyxg
Jawab:
kjigkjif ˆˆ8ˆ18;ˆˆ2ˆ3 −+=∇++=∇

),(),( yxgyxf ∇=∇

λ
0),( =yxg
049
1
82
183
22
=−+
−=
=
=⇒
zyx
y
x
λ
λ
λ (1)
(3)
(2)
(4)
Kalkulus2-Unpad 86

87. Substitusi ke (4), didapat
4
1
,
6
1
1 −=−=→−= yxλKarena
2
1
=z
Sehingga nilai minimumnya adalah:






−−
2
1
,
4
1
,
6
1
Jadi titik kritis :
2
1
4
2
1
,
4
1
,
6
1
=





−−f
Kalkulus2-Unpad 87

88. Kalkulus2-Unpad 88
LatihanLatihan
Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai
maksimun dan minimun dari
1.f(x,y) = x2
+ y2
pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0
2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2
+ y2
= 1
3.f(x,y) = 4x2
– 4xy+ y2
pada kendala x2
+y2
= 1
4.f(x,y,z) = x2
+y2
+z2
pada kendala x + 3y – 2z = 12