1. LATIHAN SOAL PENCERMINAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula
Mg(B).
● ●
A B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan
B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B
Jawab :
Persamaan garis AB
0534
4493
)1(4)3(3
12
1
31
3
12
1
12
1
yx
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Gradien m =
3
4
Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -
4
3
Titik tengah AB = )1,
2
1
(
2
)2,1(
2
)1,2()3,1(
Persamaan garis yang melalui )1,
2
1
( dengan m = 3 adalah
y – y1 = m (x – x1)
y – 1 = -
4
3
(x +
2
1
)
X1
-1
-1-2
1
2
3
Y
2. y = -
4
3
x -
8
3
+ 1
y = -
4
3
x +
8
5
8y + 6x – 5 = 0
6x - 8y – 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0
3. Diketahui: g = -3x, yx
Ditanya:
a. Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,1) =
2
1
,
2
2
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,2(2,6 '' AA yx
1,8, '' AA yx
Jadi A’ = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7.
D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,7) =
2
7
,
2
1
2
,
2
'' CCCCCC yxyyxx
Jelas )7,1(14,6 CC yx
7,5, CC yx
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
3. Jelas Q = (-3, yp) =
2
,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
yxyx
yyxxy
,6,
),(2,6
'
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).
4. Diketahui g = 2y, yx
Ditanya:
a. Jika A = 2,3 , tentukan A’ = Mg(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Misal B (3,2) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (3,2) =
2
2
,
2
3
2
,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,3(4,6 '' AA yx
24,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3, 24 )
b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Misal C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
Maka (2,2) =
2
)4(
,
2
2
2
,
2
'' DDDDDD yxyyxx
Jelas )4,2(4,4 DD yx
8,2, DD yx
Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, 2) =
2
,
2
'' pppp yyxx
4.
pppp
ppppp
pppp
p
yxyx
yyxxx
yyxx
x
4,,
,4,2
)
2
,
2
(2,
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y).
5. Diketahui h = xy, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).
b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah
1
32
)2(13
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya.
y = y
x = -x – 1
2x = -1
x = -
2
1
substitusikan x = -
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y = -
2
1
.
Jadi titik tengah 'AA (-
2
1
,-
2
1
).
Jelas (-
2
1
,-
2
1
) titik tengah 'AA , maka
2
3
,
2
2
2
,
22
1
,
2
1 ''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(1,1 '' AA yx
5. 2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah
2
53
)3(15
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi.
y = y
x = -x + 2
2x = 2
x = 1
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'BB (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka
2
5
,
2
)3(
2
,
2
1,1 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas )5,3(2,2 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) =
2
,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
6. Diketahui k = 0yx, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).
6. b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k xyyx 0
Jadi mk = -1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah
5
32
)2(13
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi.
y = y
-x = x – 5
2x = 5
x =
2
5
substitusikan x =
2
5
ke persamaan y = -x
diperoleh y = -
2
5
.
Jadi titik potongnya (
2
5
, -
2
5
)
Karena (
2
5
, -
2
5
) titik tengah 'AA , maka
2
3
,
2
2
2
,
22
5
,
2
5 '''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(5,5 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi A’ = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1
Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
8
53
)3(15
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
7. Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi.
y = y
-x = x + 8
2x = -8
x = -4
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka
2
5
,
2
)3(
2
,
2
4,4 '' BBBBBB yxyyxx
Jelas )5,3(8,8 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi A’ = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) =
2
,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).
7. Diketahui g = 1yx, yx
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
Jawab:
a. Dipunyai g = 1yx, yx , dari x + y = 1 y = 1 – x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1
8. Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
xy
xy
xxmyy
)0(10
)( 11
Jadi xyh
Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu
y = y
1 – x = x
2x = 1
x =
2
1
substitusikan x =
2
1
ke persamaan y = x
diperoleh y =
2
1
.
Jadi titik potongnya (
2
1
,
2
1
)
Karena (
2
1
,
2
1
) titik tengah 'OO , maka
2
0
,
2
0
2
,
22
1
,
2
1 '0'0'00'00 yxyyxx
Jelas ),(1,1 '0'0 yx
1,1, '0'0 yx
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
1
12
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Jadi xyh +1
Mencari perpotongan g dengan h.
y = y
1 - x = x + 1
2x = 0
9. x = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 '''' BBoooo yxyyxx
Jelas )2,1(2.0 '' oo yx
0,1, ' oo yx
Jadi A’ = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1yx, yx
Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP
Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx
Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).
8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0
3a +3 +1 = 0
3a = - 4
a = -
3
4
Jadi nilai a = -
3
4
.
10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
10. P = (x, y) V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1‘P2’ = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)
2
12
2
1221P yyxxP
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)3355''P
)3()3()5()5(''P
''''''P
yyxxP
yyxxP
yyxxP
yyxxP
Maka P1‘P2’ = P1P2.
karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Apa syarat tersebut dapat diperluas?
Jawab:
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1 + a, y1 +b)
T(P2) = P2’ = (x2 + a, y2 + b)
2
12
2
1221P yyxxP
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)''P
)()()()(''P
''''''P
yyxxP
bybyaxaxP
bybyaxaxP
yyxxP
Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.
Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.
11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x, y-
1), Selidiki apakah T suatu isometri?
Bukti:
Pikirkan sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
11. Menurut definisi 22
pqpq yyxxPQ
222
pqpq yyxxPQ
Menurut definisi 1,2)( pp yxPT dan 1,2)( qq yxQT
22
)1()1(22)()( pqpq yyxxQTPT
22
4 pqpq yyxx
22
)()( QTPT 22
4 pqpq yyxx
Jelas )()( QTPT ≠ PQ
Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak
Jadi T bukan isometri.
15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada
bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P) = P
Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P
ke g.
a. Apakah T suatu transformasi?
b. Apakah T suatu isometri?
c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A), B’= T(B),
apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?:
Jawab:
a. Ditunjukkan T suatu transformasi
Ditunjukkan T surjektif
Pikirkan sebarang titik P’V
Jika P’ g jelas PVg T(P)=P’
Oleh karena V bidang euclide maka ada P tunggal dengan P’ px dengan P’
adalah titik tengah px dan P’ adalah satu-satuny titik tengah px
Jadi P’V memiliki prapeta
Jadi T surjektif
Ditunjukkan T injektif
Pikirkan sebarang titik P,QV dengan P≠Q
12.
)()()(,')(,
)()(')(,)(,
QTPTQQTQPPTgQgP
QTPTPQQTPPTgQgP
Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan ruas garis
orthogonal Q ke g.
Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q)
Andaikan T(P)=T(Q)
Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P ke g dan T(Q)
adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan Q ke g
Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis orthogonal Q ke g.
Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu titik .
Jadi P = Q
Kontradiksi dengan P≠Q
Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q)
Jadi T injektif
Dapat disimpulkan T suatu transformasi
Ditunjukkan T suatu isometri
Pilih Pg dan Q g
Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P
Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah
ruas garis orthogonal dari Q ke Q’
Jelas PQ≠P’Q’=PQ’
Jadi T bukan Isometri
b. T isometri jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
Jadi AB = A’B’ jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
16. Andaikan h = 3xy, yx , Apabila A = (4,3)
Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A).
Jawab: persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A,
dengan m =
3
1
.
P≠Q
P
13. y = mx + n
3 =
3
1
.4 + n
3 =
3
4
+ n
n =
3
13
19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.
Ada g = 1yx, yx .
a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .
b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B
c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!
Jawab:
a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
1
21
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan x + y = 1 dengan y = x + 1 dengan mensubstitusikannya.
y = y
1 – x = x + 1
2x = 0
x = 0
substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'AA (0,1).
Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka
2
2
,
2
1
2
,
2
1,0 ''' AAAAAA yxyyxx
)2,1(2,0 '' AA yx
0,1, '' AA yx
Jadi A’ = (-1,0)
b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
14. Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
6
42
)2(14
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.
y = y
1 – x = x + 6
2x = 1 - 5
x = -2
substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 3.
Jadi titik tengah BC (-2,3).
Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka
2
4
,
2
2
2
,
2
3,2 CCCBCB yxyyxx
)4,2(6,4 CC yx
2,2, CC yx
Jadi A’ = (-2,2)
b. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah
21
21 )(
PPxy
PxmPy
Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (Q1,Q2) =
2
,
2
'22'11 PPPP
2211'2'1
'22'1121
2,2,
),(2,2
QPQPPP
PPPPQQ
Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ = 2211 2,2 QPQP
