SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA 2009 I Visita: http://infinitymoviesonline.blogspot.com/

1. I
UN Examen de Admisión UNI 2009-I
SOLUCIONARIO
Matemática
Tema P
Pregunta N.º 1 2.o caso:
Un fabricante vende un artículo al mayorista (100+p)% C gana (100+q)%(100+p)%C
ganando p%, éste vende al minorista ganando q% q%
precio del mayorista precio del minorista
y el minorista al público obteniendo una ganancia
de t%. Si el precio del artículo al público es 1,716
veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma 3.er caso:
de las cifras de (p+q+t). (100+q)%(100+p)%C (100+t)%(100+q)%(100+p)C
gana t%
precio del minorista precio al público
A) 6 B) 7 C) 8
er
D) 9 E) 10 Al final (3. caso), tenemos:
(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C
Solución
Tema
(100 + t ) (100 + q ) (100 + p ) = 1716
100 × 10 0 × 1 00 1 000
Tanto por ciento
(100+t)(100+q)(100+p)=1716000
Referencias Buscando factores enteros en el segundo miembro,
mayores de 100, tenemos:
Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto
(100+t)(100+q)(100+p)=110×120×130
por ciento es el aumento sucesivo y las operacio-
Entonces
nes comerciales, donde se cumple la siguiente
p+q+t=60
relación: cuya suma de cifras es 6.
Nota
Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+
Buscando factores enteros en el segundo miembro,
+Ganancia (G)
mayores de 100 también, tenemos:
(100+t)(100+q)(100+p)=104×125×132
Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento Entonces
del precio de costo. p+q+t=61
cuya suma de cifras es 7.
Análisis y procedimiento En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 ó 7.
1.er caso:
C gana (100+p)%C Respuesta
p%
La suma de cifras de p+q+t es 6.
precio de la fábrica precio del mayorista
Alternativa A
1

2. Matemática
Pregunta N.º 2 Nos queda que
Tres números enteros m, n y p tienen una media n+p=22
3
aritmética de 10 y una media geométrica de 960 n×p=120
Halle aproximadamente la media armónica de de donde se obtiene
estos números, si n · p=120.
n=12 y p=10.
A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73 Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).
D) 9,93 E) 9,98 3
MH (m, n, p) = = 9,7297...
1 1 1
+ +
Solución 8 10 12
Tema
∴ MH (m, n, p)=9,73
Promedio
Referencias Respuesta
El promedio es un valor representativo de un Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.
conjunto de datos; dependiendo de la forma de
cálculo tenermos:
Alternativa C
• Media aritmética (MA)
suma de datos
MA =
cantidad de datos Pregunta N.º 3
Las normas académicas de una institución educa-
• Media geométrica (MG) tiva establecen las calificaciones siguientes:
Aprobado: nota ≥ 14;
MG = n Producto de datos
Desaprobado: 9 ≤ nota < 14 y
n: cantidad de datos Reprobado: nota < 9
En el curso de Química, las calificaciones finales
• Media armónica (MH) fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:
16 puntos; nota promedio de los desaprobados:
cantidad de datos
MH = 11 puntos; y nota promedio de los reprobados:
suma de las inversas
de los datos 6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso
fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-
Análisis y procedimiento nos reprobados es
De los datos tenemos
m+n+ p A) 10% B) 20% C) 30%
MA (m, n, p)= = 10 → m+n+p=30
3 D) 40% E) 50%
MG (m, n, p)=3 m × n × p = 3 960 → m×n×p=960
Solución
Además, por dato tenemos que n×p=120, como
Tema
m × n × p = 960, entonces, m=8.
120 Promedios
2

3. Matemática
Referencias Solución
El promedio más empleado es la media aritmética; Tema
para su cálculo se utilizan todos los datos y se Probabilidades
calcula así:
Referencias
suma de datos
MA =
total de datos Cuando se requiere hallar el número de formas en
que se puede seleccionar r objetos de un total de
Luego, tenemos que n objetos diferentes entre sí, podemos emplear el
siguiente cálculo:
suma de datos=MA×( Total de datos)
n n!
Cr =
r !(n − r )!
Análisis y procedimiento
Además, el cálculo de la probabilidad de un
total de apro- desapro- repro-
alumnos bados bados bados evento se calcula:
Cantidad 100% 40% (60 – x)% x%
cantidad de casos
MA 11 16 11 6 favorables
P=
cantidad de casos
Luego, se tiene lo siguiente: totales
11×100%=16×40%+11(60 – x)%+6×x%
1100%=640%+660% – 5x% Análisis y procedimiento
1100%=1300% – 5x%
5x%=200%
x%=40%
Respuesta
Los alumnos reprobados representan el 40%.
Alternativa D
Ahora seleccionaremos ternas de profesores:
Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas
Pregunta N.º 4 seleccionadas estén constituidas por un profesor de
De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI, uno cada universidad y que no pueda haya una mujer
de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno de los de la UNA, entonces:
cuales es mujer, y 3 son de la UNMSM, todos varo- 5 3 3
C1 × C1 × C1 9
P= = = 0, 2045
nes. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ternas 12
C3 44
constituidas por un profesor de cada universidad y
Respuesta
que no pueda haber una mujer de la UNA?
La probabilidad es 0,20 aproximadamente.
A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18
D) 0,20 E) 0,24 Alternativa D
3

4. Matemática
Pregunta N.º 5 Entonces, la suma de cifras de N 2 es
7×99+6+1=700
Sea el número N=777...77(8) de 100 cifras. Halle
la suma (expresada en base diez) de las cifras del Respuesta
2
número N , que está expresada en base 8. La suma de cifras de N2 es 700.
Alternativa B
A) 640 B) 700 C) 740
D) 780 E) 800
Pregunta N.º 6
Solución Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una
Tema de las siguientes afirmaciones:
Cuatro operaciones a
1. ∀ a, b números enteros, es un número
b
Referencias racional.
a+b
En problemas de multiplicación, cuando se 2. ∀ a, b números enteros, es un número
1 + a2
multiplica un número por otro cuyas cifras son racional.
máximas, el producto se puede expresar como 3. Si k ∈ Z y k2 es par, entonces k es par.
una sustracción.
A) FVV B) FFV C) VFV
Ejemplo
D) VFF E) FFF
abc×99=abc(100 – 1)=abc00 – abc
mnp8×7778=mnp8(10008 – 1)=mnp0008 – mnp8 Solución
Tema
Análisis y procedimiento
Números racionales
Por dato
N = 777...77 Referencias
8
100 cifras
Entonces El conjunto de los números racionales se define:
N 2 = 777...77 × 777...77
8 8
⎧a ⎫
100 cifras 100 cifras
Q = ⎨ a ∈ Z ∧ b ∈ Z − {0}⎬
Pero ⎩b ⎭
N 2 = 777...77 ⎛ 1 00...08 − 1 ⎞
8⎜ ⎟
100 cifras ⎝ 100 cifras ⎠ m
Si ∈ Q, se debe cumplir que m ∈Z ∧ n ∈Z – {0}.
n
N 2 = 777...77 00...08 − 777...77 8
Además, se dice que un número es par si es un
100 cifras 100 cifras 100 cifras
múltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces,
Ordenando en forma vertical y operando obte- n=2K, (K ∈Z).
nemos
Análisis y procedimiento
77...700...008 –
1. Por dato: ∀a; b números enteros se debe
77...778
a
concluir que es un número racional, pero
N 2 = 77...6 00...018 b
100 100 cifras esto no se cumple cuando b=0.
cifras
Por lo tanto, esta proposición es falsa (F).
4

5. Matemática
2. Por dato: ∀a; b números enteros se debe o o
Si mnp=9 ↔ m+n+p=9, al intercambiar el orden
a+b
cumplir que es un número racional. de las cifras también se genera números múltiplos
1 + a2
• Como a y b son enteros, la suma a+b sigue o o
de 9; así, mpn= 9 ; pnm= 9 ; ...
siendo entero. o o
Si mn p = 11 ↔ p – n+m= 11 , al intercambiar las
• Además, a ∈Z. + −+
Entonces, 0 ≤ a2 ∈Z → 1≤ a2+1∈Z. cifras de orden impar también se genera múltiplo
o
a+b
es un número racional, pues 1+a2 es de 11; así, pnm=11.
1 + a2
entero y diferente de cero.
Análisis y procedimiento
Por lo tanto, esta proposición es verdadera (V).
De los datos tenemos
o
2
3. Por dato: Si K∈Z y K es par, entonces, K es abc= 7
par. Por dato K2 es par; entonces o o
cba = 11 → cba = 11
K2=2n; (n ∈Z) +−+ +−+
o o
Pero por ser K2 un cuadrado perfecto y cab = 9 → abc = 9
2
K = 2n , entonces, n=2p2, de donde K2=4p2 o
7
→ K=2p; por lo tanto, K es par. o o
Esta proposición es verdadera (V). abc= 9 → abc=MCM (7, 9, 11)
o
11
o
Respuesta
De donde abc = 693 = 693 K
Los valores veritativos de las proposiciones son 1(único valor)
FVV, respectivamente. Luego, a=6, b=9 y c=3.
Alternativa A Entonces, 3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.
Respuesta
Pregunta N.º 7 La suma de 3c+2a+b es 30.
Sea N=abc, un número de tres cifras, tal que;
o o o Alternativa D
abc = 7, cba = 11 y cab = 9.
Halle la siguiente suma 3c+2a+b.
Pregunta N.º 8
A) 24 B) 26 C) 28
D) 30 E) 32 Si la fracción abc es equivalente a 5/17, determine
cba
b, sabiendo que (a)(b)(c)≠0.
Solución
Tema
A) 1 B) 2 C) 4
Divisibilidad
D) 6 E) 8
Referencias
Solución
En los criterios de divisibilidad hay algunos casos
Tema
particulares en donde se puede intercambiar el
orden de las cifras; por ejemplo: Números racionales
5

6. Matemática
Referencias Solución
Una fracción será equivalente a otra si resulta de Tema
multiplicar los términos de la fracción irreductible
Valor absoluto
de esta última por una misma cantidad entera.
Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes Referencias
12 3
a < > irreductible. Para la resolución del problema utilizaremos el
20 5
siguiente teorema.
Entonces, dichas fracciones serán de la forma
a 3n |x|=|y | ↔ x=y ∨ x= – y
= , donde a=3n y b=5n (n ∈ Z).
b 5n
Análisis y procedimiento
Análisis y procedimiento Plan de resolución
abc 5 I. Aplicar el teorema.
Por dato, la fracción es equivalente a .
cba 17 II. Resolver las ecuaciones obtenidas.
Entonces, se cumple que Ejecución del plan
abc 5n I. |x – a+b|=|x+a – b|
=
cba 17n ↔ x – a+b=x+a – b ∨ x – a+b= – (x+a – b)
o
→ abc=5n= 5 cba=170 II. 2b=2a ∨ x – a+b= – x – a+b
De lo anterior se concluye que c=5 ↔ b=a ∨ 2x=0
además, se tiene que ↔ b=a ∨ x=0
o
cba − abc = 12n = 4 ∴ x=0 ∨ a=b
99(c −a)
o Respuesta
→ 99(c − a) = 12n = 4
o
c −a = 4 La proposición verdadera es x=0 ∨ a=b.
pero c=5
∴ a=1 ∧ n=33 Alternativa D
Como abc=5n=5(33)=165
entonces, b=6. Pregunta N.º10
Respuesta x2 y2 13 2 2
Si 2
+ = , x +y =5, x < 0 < y y |y| < |x|,
y x2 6
El valor de b es 6.
halle el valor de S = 2 y + 3 x
Alternativa D
A) – 2 B) – 1 C) 0
Pregunta N.º 9 D) 1 E) 2
Sea la igualdad Solución
x −a+b = x +a−b (*)
Tema
entonces, la proposición verdadera es:
Sistema de ecuaciones
A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2=b2 Referencias
B) (*) si y solo si x=a=b Para resolver el problema necesitamos conocer
C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=b lo siguiente:
D) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b • Ecuaciones cuadráticas.
E) (*) si y solo si x=a= – b • Valor absoluto.
6

7. Matemática
Análisis y procedimiento Pregunta N.º 11
Plan de resolución En la figura se muestra la gráfica del polinomio
I. Hallar el equivalente de la primera ecuación del
cúbico p(x).
sistema.
II. Dicho equivalente lo relacionamos con la
segunda ecuación.
III. Restringimos algunos valores por la condición
del problema.
Plan de ejecución
Tenemos el sistema
⎧ x 2 y 2 13
⎪ 2 + 2 = (α)
⎪y x 6
⎨ 2 2 Sabiendo que p(a)=20, halle p ( −3a )
⎪x + y = 5 (β )
⎪ x < 0 < y; y < x
⎩
A) 4 B) 5 C) 8
De (α) se tiene D) 10 E) 12
6x4 – 13x2y2+6y4=0
Factorizamos Solución
(3x2 – 2y2)(2x2 – 3y2)=0
Tema
→ 3x2=2y2 ∨ 2x2=3y2
Gráfica de funciones
→ x2 2 x2 3 (λ)
= ∨ =
y2 3 y2 2
Referencias
De (β) y (λ)
Para la resolución del problema se necesita conocer
tenemos
lo siguiente:
(x2=2 ∧ y2=3) ∨ (x2=3 ∧ y2=2)
como |y| < |x|, entonces, solo es posible • Gráfica de funciones cúbicas.
x2=3 ∧ y2=2 • Raíces reales de funciones polinomiales.
↔ x± 3 ∧ y=± 2 • Características de las funciones cúbicas.
• Teorema del factor.
y como x < 0< y, se tiene finalmente
x=− 3 ∧ y= 2
Análisis y procedimiento
∴ S = 2y + 3 x = 2 ( 2 ) + ( 3 ) ( − 3 ) = −1
Plan de ejecución:
Respuesta
I. Identificar las raíces reales de la gráfica.
El valor de S = 2y + 3 x es – 1.
II. Aplicar el teorema del factor.
Alternativa B III. Hallar el coeficiente principal de P(x)
7

8. Matemática
Ejecución del plan: Determine aproximadamente la gráfica de la
I. Del siguiente gráfico inversa de la función
Y g(x)=|f(x – 2)+1|; – 1 ≤ x ≤ 1
P
– 2a 0 2a X
las raíces son – 2a; 0; 2a
II. P(x)=b(x+2a)x(x – 2a).
III. Evaluamos x=a
20
P(a)=b(3a)a(– a)=20 → b=−
3a 3
20
Luego, P( x ) = − ( x + 2a)x( x − 2a).
3a 3
Similarmente, para x= – 3a
20
P( −3a ) = − (− a )(−3 a )(−5 a ) = 100
3 a3
∴ P( −3a ) = 100 = 10
Respuesta
Solución
El valor de P( −3a ) es 10.
Tema
Alternativa D Gráfica de funciones
Referencias
Pregunta N.º 12 Para la resolución del problema se necesita conocer
lo siguiente:
La gráfica de la función f se muestra a continuación
• Propiedades de las gráficas de funciones.
• Gráfica de la función inversa.
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
I. Identificar la gráfica de f en el dominio
indicado.
II. Usar las propiedades de gráficas de funciones
para construir g(x).
III. Graficar la función inversa.
8

9. Matemática
Ejecución del plan Pregunta N.º 13
I. Como nos interesa la gráfica de Si a, b y c son constantes positivas y
f(x – 2), para – 1 ≤ x ≤ 1 → – 3 ≤ x – 2 ≤ – 1
es decir, solo nos interesa la gráfica de f en el 1 1 1 1
x a 0 0
intervalo [– 3; – 1] ⊂ Domf. =0
x 0 b 0
x 0 0 c
II. Y Y
f(x– 2)
Determine el valor de x.
f(x)
1 1
–3 X –1 X abc
1 A)
–2 –1 a+b+c
–1 –1
Y abc
B)
f(x– 2)+1 ab + ac + bc
2
bc ac ab
X C) + +
–1 1 a b c
a+b+c
D)
como abc
f(x – 2)+1 ≥ 0 ∀ x ∈[– 1; 1]
a b c
E) + +
→ |f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1 bc ac ab
luego,
g(x)=|f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1; – 1 ≤ x ≤ 1 Solución
Tema
–1
III. Por lo tanto, la gráfica de g (x) será Determinantes
Y Referencias
g
2 Para el cálculo del determinante de una matriz de
1 g–1 orden (4×4), se utilizará el método de menores
complementarios, y es necesario también el método
–1 2 X
–1 de Sarrus para una matriz de orden (3×3).
Análisis y procedimiento
Plan de resolución
Respuesta
I. Identificar la fila o columna que contenga más
La gráfica de g – 1 se muestra en la alternativa C.
ceros.
II. Aplicar el método de menores complementarios.
Alternativa C
III. Aplicar el método de Sarrus.
9

10. Matemática
Ejecución del plan determina en el plano una región R. Podemos
afirmar que
I. 1 1 1 1
A) R es una región triangular.
x a 0 0
x 0 b 0 B) R es un región cuyo borde es un cuadrado.
x 0 0 c C) R es un región cuyo borde es un cuadrilátero.
II. 1 1 1 1 D) R es vacía.
x a 0 0 1 1 1
+a
1 1 1
(a)
E) R es un cuadrante.
x 0 b 0 =– x 0 b 0 x b 0
x 0 0 c 0 0 c x 0 c
Solución
III. Tema
1 1 1 1 1
0 b 0 0 b =bc Sistema de inecuaciones lineales
0 0 c 0 0
– – – + + + Referencias
1 1 1 1 1 Una inecuación con dos variables se puede repre-
x b 0 x b =bc – (bx+cx) sentar geométricamente en un plano cartesiano;
x 0 c x 0
por ejemplo, para la inecuación
– – – + + + x+2y ≥ 12
Reemplazamos en (α)
Y
1 1 1 1
6
x a 0 0
=– xbc+a(bc – (bx+cx))=0
x 0 b 0
x 0 0 c X
12
→ – xbc+abc – abx – acx=0
abc
→ x=
ab + bc + ac Análisis y procedimiento
Respuesta Plan de resolución
I. Graficar las desigualdades.
abc
El valor de x es . II. Intersecar dichas regiones.
ab + bc + ac
III. Identificar la figura y su borde.
Alternativa B
Ejecución del plan
Y
Pregunta N.º 14 x+y=6
6
El sistema de inecuaciones
x – 3y ≤ 6
4
2x+y ≥ 4 R x – 3y=6
x+y ≤ 6
x≥0
2 6 X
–2 2x+y=4
y≥0
10

11. Matemática
Respuesta Y
y=2x
Se puede afirmar que R es una región cuyo borde
es un cuadrilátero.
y=x
1
Alternativa C
X
→ (2x – x) > 0; ∀x ∈ R
Pregunta N.º 15
Si el conjunto solución de la inecuación Y
y=3x
(2x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0
es de la forma S=〈a; b〉 ∪ 〈c; +∞〉 , halle a+b+c. 1 y=log3x
A) 0 B) 1 C) 2 1 X
D) 3 E) 5
→ (3x – log3x) > 0; ∀x ∈ R+
Solución
Tema
II. En la inecuación debemos considerar x > 0
Inecuación logarítmica y/o exponencial para que log3x exista.
Referencias
(2x − x ) ( 3 x − log 3 x ) (x2 – 9)(3x – 32) > 0
+ +
Para la resolución del problema se debe conocer
lo siguiente: → (x – 3)(x+3)(3x – 32) > 0
• Gráficas de las funciones exponenciales y
III. Puntos críticos: –3; 3 y 2
logarítmicas.
• Criterio de los puntos críticos.
Análisis y procedimiento –3 0 2 3
I. Graficar las funciones exponenciales y logarít- → CS=〈0; 2〉 ∪ 〈3; +∞〉
micas para compararlas.
II. Simplificar los factores positivos que aparecen Comparando con el dato, obtenemos
en la inecuación. a=0, b=2 y c=3
III. Usar el criterio de los puntos críticos para → a+b+c=5
determinar los valores de a, b y c.
Respuesta
Ejecución del plan El valor de a+b+c es 5.
I. Debemos recordar las gráficas de las funciones
siguientes: Alternativa E
11

12. Matemática
Pregunta N.º 16 Ejecución del plan
Sea u el número de decenas de sillas y v el número I. La función objetivo es f(u, v)=200u+300v.
II. Vamos a representar geométricamente las
de decenas de mesas que fabrica una empresa al
restricciones.
día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v,
⎧u + v ≤ 4
y se tienen las siguientes restricciones: ⎪
⎨ 2u + 3v ≤ 10
⎪40u + 20v ≤ 120
u+v ≤ 4 ⎩
2u+3v ≤ 10 V
40u+20v ≤ 120 6
encuentre el número de decenas de mesas y sillas, 5
respectivamente, a fabricar diariamente de modo 4
A
que la empresa obtenga la mayor utilidad. 3
P(2; 2)
2
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
1
D) 2 y 3 E) 3 y 2 B
1 2 3 4 5 6 U
Solución Como u y v representan el número de decenas de
sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,
Tema
por lo que evaluaremos la función objetivo solo
Programación lineal en (2; 2) y (3; 0); así:
III. f(2; 2)=200(2)+300(2)=1000 (máximo)
Referencias f(3; 0)=200(3)+300(0)=600
En este tema se requiere determinar la región Respuesta
factible, la cual se obtiene mediante la representación
La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando
geométrica de las restricciones dadas, para luego fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de
calcular las coordenadas de los vértices de la región mesas.
y poder evaluar el máximo o mínimo valor de la
función objetivo. Alternativa C
Análisis y procedimiento
Pregunta N.º 17
Plan de resolución Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...
Determine la suma de los 100 primeros términos
I. Identificar la función objetivo.
de la sucesión anterior.
II. Representación gráfica de las restricciones.
III. Evaluar la función objetivo en los vértices de la A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400
región factible. D) 333 300 E) 343 400
12

13. Matemática
Solución Pregunta N.º 18
Tema Si los números 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos
Series colocando el número 48 en medio del anterior, son
Referencias los cuadrados de números enteros. Halle la suma
Una serie es la suma de los términos de una suce- de los dígitos del sexto número entero.
sión y se denota por A) 36 B) 37 C) 38
k D) 39 E) 40
∑ tn
n=1
Solución
Algunas sumas notables:
n
Tema
n ( n + 1)
• ∑ k = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 Sucesión
k =1
n Referencias
n ( n + 1) ( 2n + 1)
• ∑ k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 Cuando tenemos una sucesión de números,
k =1
debemos identificar una regla de formación que
n nos permita encontrar cualquier término de la
• ∑ k ( k +1) =1× 2+ 2×3 + 3×4 +...+ n×( n+1) sucesión.
k=1
n ( n + 1) ( n + 2 ) Análisis y procedimiento
=
3
De los términos de la sucesión
Análisis y procedimiento 49; 4489; 444889; ...
De la sucesión nos indican que cada uno de ellos son los
cuadrados de números enteros; por lo tanto,
2; 6; 12; 20; 30; 42;...
analicemos cada término.
100 términos
Números Números enteros
notamos que cada término se expresa como elevados al cuadrado
1×2; 2×3; 3×4; 4×5; 5×6; 6×7; ...; 100×101 1.er número 49 = 72
Entonces, el término general de la sucesión es o
2. número: 4489 = 672
tn=n(n+1) 3.er número 444889 = 6672
calculando la suma de los 100 términos de la . . .
. . .
sucesión, obtenemos . . .
6.o número : = 6666672
100
100 × 101 × 102
∑ n ( n + 1) = 3
= 343 400
el sexto número entero
n=1
elevado al cuadrado es
666667
Respuesta
Piden la suma de los dígitos del sexto número
La suma de los 100 términos de la sucesión es entero; aquí se debe entender que se refieren al
343 400. sexto número entero que está elevado al cuadrado,
esto es
Alternativa E 6+6+6+6+6+7=37
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14. Matemática
Respuesta x3– 6x2+12x+y=8
La suma de los dígitos del sexto número entero x3–6x2+12x–8+y=8 – 8
es 37.
(x – 2)3+y=0 (α)
Alternativa B
Pregunta N.º 19
II. En (α) tenemos: y=–(x –2)3
Determine el conjunto solución del sistema
Reemplazando en (β) obtenemos
x2– 4x+y2=64
x3– 6x2+12x+y=8 (x–2)2+(–(x–2)3)2=68
(x–2)2+(x–2)6=68 (θ)
A) {(0; 8), (2; 1)} III. Haremos un cambio de variable para factori-
B) {(0; 8), (4; – 8)} zarlo.
C) {(0; 8), (0, – 8)} sea (x – 2)2=a
D) {(4; – 8), (2; 8)}
Reemplazando en (θ) tenemos
E) {(1; 2), (4; – 8)} a+a3=68
a3+a – 68=0
Solución
Tema Se observa que a=4 es raíz → (a – 4) es un factor.
Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.
Sistema de ecuaciones no lineales
Referencias 1 0 1 – 68
Para resolver el sistema no lineal utilizaremos 4 4 16 68
el método de Gauss; es decir, eliminar una
incógnita. 1 4 17 0
Análisis y procedimiento (a – 4)(a2+4a+17)=0
Plan de resolución Δ<0 (no tiene solución real)
I. Completar cuadrados y cubos. Entonces, a=4.
II. Eliminamos una incógnita. Reemplazamos:
III. Factorizamos aplicando el método de los ⎧ x = 4 → y = −8
(x–2)2=4 → ⎨
divisores binómicos. ⎩x = 0 → y = 8
Ejecución del plan:
Respuesta
I. x2– 4x+y2=64
El conjunto solución es CS={(0; 8); (4; –8)}.
x2– 4x+4+y2=64+4
(x– 2)2+y2=68 (β) Alternativa B
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