elaboración de graficas elipse

1. 1
CÁTEDRA:
MATEMÁTICA SUPERIOR
CATEDRÁTICO:
ROMERO ACUÑA, Juan
INTEGRANTES:
BARZOLA BARZOLA, Camilo
SULLER CHAVEZ, Mirian
ROSALES ROSADO Nilson
SEMESTRE:
I
HUANCAYO – PERÚ
2017
FACULTAD DE ECONOMÍA
TEMA: LA ELIPSE

2. 2
A NUESTROS PADRES POR SU AMOR, TRABAJO,
Y SACRIFICIO EN TODOS ESTOS AÑOS, GRACIAS
A USTEDES HEMOS LOGRADO LLEGAR HASTA
AQUÍ Y CONVERTIRNOS EN LO QUE SOMOS.
¡SON LOS MEJORES PADRES!!!

3. 3
INDICE
 Introducción……………………………………4
 Historia De Elipse……………………………...4
 Definición De Elipse…………………………...5
 Elementos De Elipse…………………………...6
 Área De Elipse…………………………………7
 Perímetro De Elipse……………………………8
 Excentricidad De Elipse………………………9
 Ecuación De Elipse……………………………10
 Ejercicios………………………………………13

4. 4
INTRODUCCIÓN
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos
fijos es constante, a estos puntos fijos se les llama focos de la elipse. El uso de la misma
permite, entre muchas otras, explicar el movimiento de los planetas.
En este material el alumno podrá reafirmar el método analítico al obtener las ecuaciones
de la elipse y avance en el reconocimiento de formas y estructuras, en la formulación de
conjeturas y en la resolución analítica de problemas de corte euclidiano.
HISTORIA DE LA ELIPSIS
El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue
el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia
Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la
propiedad plana que las definía.
Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el
nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.
Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano
que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.
Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano
que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).
Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un
plano paralelo a una sola generatriz (Arista).
Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes.
Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás
las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las
llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva
cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos,
parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.
Apolonio demostró que, si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico,
entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una
fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos
al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta
propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el
eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212
A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las
propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para
los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos
dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los
faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas.

5. 5
En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja
como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para
conseguir una superficie mayor iluminada.
En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un
método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría
Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por
ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la
Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables
representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a
dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por
ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo
que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas
alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo
sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes
Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son
elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es
0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde
el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita
de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.
DEFINICION DE ELIPSE:
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una
constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición excluye el caso en que el
punto móvil esté sobre el segmento que une los focos.

6. 6
Designemos por F y F´ (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos
tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal
para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v´, llamados
vértices
La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento vv´ , se llama eje
mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama
centro. La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres;
encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla. El eje
normal l´ corta a la elipse en dos puntos, A y A´ , y el segmento AA´ se llama eje
menor. Un segmento tal como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la
elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal
como EE´, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL´ perpendicular al eje
focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también
dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama diámetro. Si P es
un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el
punto P se llaman radios vectores
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Los elementos más importantes de la elipse son
 Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que
generan la elipse. La suma de las dos
distancias de cualquier punto de la elipse a
los dos focos (d1 y d2) es constante.
 Distancia focal (2c): distancia entre los dos
focos. Es decir, F1F2=2c. c es
la semidistancia semifocal.
 Centro: es el punto medio de los dos focos
(O).
 Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o
igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las
distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual
a dos veces el semieje mayor:

7. 7
 Semieje menor: longitud del
segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son
los dos ejes de simetría de la elipse. Existe una
fórmula que relaciona los dos semiejes y la
semidistancia focal:
Como vemos en el dibujo, esta relación
cumple el teorema de Pitágoras.
 Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y))
son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el
dibujo, d1 y d2).
 Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta
que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir,
son los puntos I, J, K y L
esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:
ÁREA DE LAELIPSE
El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes
(a y b).
En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área
comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

8. 8
PERÍMETRO DE LA ELIPSE
El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no
lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que
aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con
menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que
el menor (b):
El matemático Ranamujan dio una aproximación más exacta que la anterior:
EXCENTRICIDAD DE LAELIPSE
La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el
sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia
focal y “a” es el semieje mayor:
La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es
una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos
(F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1,
la elipse se aproxima a un segmento.

9. 9
Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).
Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:
ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EL ORIGEN Y EJES DE
COORDENADAS LOS EJES DE LA ELIPSE.
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig.
2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del
segmento FF´ las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0),

10. 10
respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la
elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
a
P
F
FP 2
´ 
 (1)
En donde a es una constante positiva y mayor que c.
Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos
FP =
2
2
)
( y
c
x 
 , P
F´ =
2
2
)
( y
c
x 
 , de manera que la
condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación
2
2
)
( y
c
x 
 + 2
2
)
( y
c
x 
 = 2a (2).
Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro,
elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da
cx+a2
= a
2
2
)
( y
c
x 

Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2 y
a
c
a
cx
a
x
a
a
cx
a
x
c 





de donde:
   
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
a
y
a
x
c
a 


 (3)
Como 2a >2c es a2
>c2
y
2
a -c2
es un número positivo que puede ser reemplazado por el
número positivo b2
, es decir,

11. 11
b2
=
2
a - c2
(4)
Si en (3) reemplazamos 2
a - c2
por b2
obtenemos,
b2
x2
+a2
y2
= a2
b2
y dividimos por a2
b2
, se obtiene, finalmente,
1
2
2
2
2


b
y
a
x
(5)
Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y –a las intercepciones con el eje X, las
coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a,0) respectivamente, y la longitud del
eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las
intercepciones con el eje Y son b y – b por tanto, las coordenadas de los extremos A y
A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual
a 2b.
Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes
coordenados y al origen.
Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos
2
2
x
a
a
b
y 

 (7)
Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo
a
 a
x 
 (8)
Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos 2
2
y
b
x 

 ,
De manera que se obtienen valores reales de x solamente para valores de y dentro del
intervalo b
y
b 

 (9).
De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las
rectas a
x 
 y b
y 
 . Por tanto la elipse es una curva cerrada.
La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos x por este valor se obtiene las
ordenadas correspondientes que son
2
2
c
a
a
b
y 

 , de donde por (4) resulta
a
b
y
2



12. 12
a
b
b
a
b
b
a
b
c
a
a
b
x
a
a
b
y
2
2
2
2
2
2












Por tanto la longitud del lado recto para el foco F
a
b2
2 , y de forma análoga la longitud
del lado recto para el foco F´ es
a
b2
2 .
Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón
a
c
y se representa por la letra e , de (4) tenemos que
a
b
a
a
c
e
2
2


 (10).
Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.
Ejercicios:
1 - Sea una elipse de centro O = (4,-2) y de semiejes a = 3 cm y b = 2 cm.
2 -Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos y de los vértices
de lasiguiente elipse.

13. 13