Teoria da computação tipos de prova

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Esta aula mostra os tipos de provas matemática.

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Teoria da computação tipos de prova

  1. 1. Teoria da computação Aula 04 - Tipos de provas Prof. Marcos Devaner. uma prova é uma demonstração de que,dadas as proposições(axiomas), mostram que um determinado teorema é verdadeiro. Para isto, utiliza base premissas e partir de uma série de operações, chega ao resultado. Em provas matemáticas surgem frequentemente vários tipos de argumentos aqui serão mostrados alguns utilizados na teoria da computação.
  2. 2. 1. Prova direta Uma prova direta é uma forma de mostrar que certa afirmação é falsa ou verdadeira através de uma combinação de proposições, lemas e teoremas já estabelecidos. Em cada passo, usa-se implicação "Se p, então q" com p sendo verdadeiro. Aula 04 – Tipos de provas Exemplo: Dado o teorema: ~Q ^(P→Q) →~P também mostrado como Demonstração: Para provar é preciso fazer algumas substituições utilizando algumas leis de DeMorgame e/ou tautologias. Passos Identificação O que foi feiro 1) ~Q Premissa Expõe primeira premissa 2) P→Q Premissa Expõe segnda premissa 3) ~Q →~P Consequência lógica Aplica a cosequência lógica no passo 2 ou seja (P→Q) equivale logicamente(~Q →~P ) 4) ~P Conclusão Utilizando a tabela verdade veremos que (Passo1 ^ passo 3 ) →~P terá como resultado uma tautologia, logo a conclusão ~P é verdadeira.
  3. 3. Aplicando a prova direta Teorema: Se P, então Q (se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3). Prova: Seja x um inteiro qualquer divisível por 6, então x = 6*k para algum inteiro k. Aula 04 – Tipos de provas Passos Identificação O que foi feiro 1) X é divisível por 6 Hipotese Expõe primeira premissa 2) X = 6* k Consequência lógica Se x é divisivél por seis, então o produto de um inteiro k por 6 é igual a x. 3)x= 3(k*2) Consequência lógica Se x é divisível por 3, então o produto de um inteiro k por 3 é igual a x. 4) x é divisível por 3 Conclusão Aplicadas as definições de divisibilidade podemos concluir que x é divisível por 3.
  4. 4. 2. Prova pela contrapositiva. A contraposição é uma lei, que diz que, para toda sentença condicional, há uma equivalência lógica entre a mesma e sua contrapositiva. Na contrapositiva de uma sentença, o antecedente e o consequente são invertidos e negados: P→Q equivale logicamente a ~Q →~P, aplicando o principio da demonstração temos: ~Q → ~(p1^p1^...pn). Aula 04 – Tipos de provas Exemplo: Dado o teorema: (P→R) ^ (Q→R) → (P v Q) → R também mostrado como Demonstração: Aplicando a contrapositiva temos:( ~ (P v Q) → R )→( ~(P→R) ^ (Q→R)) Próximo slide
  5. 5. Aula 04 – Tipos de provas Demonstração:
  6. 6. Aplicando a prova na contrapositiva Teorema: Se um número não é divisivél por 3, então ele não é divisível por 6. Prova: Seja x um inteiro qualquer, Aula 04 – Tipos de provas Passos Identificação O que foi feiro 1) X não é divisível por 3 Hipotese Identificar a hipotese 2) X ≠ 3* k Consequência lógica Para todo inteiro k(negação da divisibilidade). 3)x≠ (2* d)3 Consequência lógica Para todo inteiro d 4) x≠ d (2* 3) Consequência lógica Associatividade da multiplicação 5) x≠ d *6 Conclusão Fato numérico
  7. 7. 3. Prova por contradição ou absurdo. A Prova por contradição (ou redução ao absurdo é um método de prova matemática. Este tipo de prova é feito assumindo-se como verdade o contrário do que queremos provar e então chegando-se a uma contradição. Esta prova baseia-se na tautologia: A → B equivalência lógica de A^~B → Contradição (c) Aula 04 – Tipos de provas Exemplo: Dado o teorema: ~(P^Q) ^ ~(~P v ~Q) → Contradição (c) Demonstração: Passos Identificação O que foi feiro 1~(P^Q) Hipotese Identificar a primeira hipotese 2) ~(~P v ~Q) Hipotese Identificar a segunda hipotese 3)~~P ^~~Q = P ^Q Consequência lógica Aplicação de DeMorgam no passo 2. 4) ~(P^Q) ^ P ^Q Conlusão O resultado da operação das duas proposições resultará em um valor F (Falso), logo é um contradição.
  8. 8. Aplicando a prova por contradição Teorema: Existem infinitos números primos. Prova: Suponha por absurdo que existe um número um número finito (n) de números primos. Aula 04 – Tipos de provas 1. Sejam(p1,p2..pn números primos. 2. Seja x= p1*p2*..pn+1(todo natural ≥1 é divisivél por um número primo). 3. Desta forma x é primo ,pois x é o maior pn, ou seja, sempre haverá próximo primo , este teorema é uma contradição.
  9. 9. 4. Prova pela indução. A Indução matemática é um método usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado vale para todos os números naturais n e consiste de dois passos: Principios da indução: 1)P(n) é verdade 2) Se P(n) é verdade podemos concluir que P(n+1) é verdade. Então P(n) é verdade para todo n pertencente aos naturais. Aula 04 – Tipos de provas Exemplo: P(n): 1+2+...+n = n(n+1)/2 Demonstração: Próximo slide
  10. 10. Aula 04 – Tipos de provas
  11. 11. Obrigado! Saiba mais em: www.integrar-online.blogspot.com Fim

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