Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)
Introducción breve
Algebra lineal
Vectores, rectas,
planos y rotaciones
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Walter Mora F.
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Versión 1.1 - Agosto 2011

VECTORES, RECTAS Y PLANOS.
VERSIÓN 1.0. JULIO 2011.
PDF Interactivo
Puede ver y manipular las figuras (marcadas con . ), en 3D haciendo clic sobre ellas (Internet).
Prof. Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Julio, 2011.

Contenido
1 Vectores 1
1.1 Operaciones Básicas 2
1.13 Propiedades de los vectores 7
1.15 Producto punto y norma. 7
1.24 Ángulo entre vectores en R 3 . 10
1.30 Paralelismo, perpendicularidad y cosenos directores. 13
1.32 Proyección ortogonal 13
1.38 Producto Cruz en R 3 17
1.44 (*) El producto cruz solo existe en R 1 R 3 y R 7 . 21
2 Rectas y Planos en el espacio 23
2.1 Rectas en R 3. 23
2.7 Distancia de un punto a una recta 27
2.9 Rectas en R 2 28
3 Planos. 30
3.1 Ecuación vectorial 30
3.2 Ecuación normal y cartesiana. 30
3.5 Paralelismo, perpendicularidad y ángulo 33
3.10 Intersección entre recta y plano. 36
3.12 Distancia mínima de un punto a un plano. 37
3.14 El punto de un plano más cercano a un punto dado. 37
3.15 Proyección ortogonal sobre un plano. 38
4 Rotación de un punto alrededor de una recta. 40
Bibliografía 42
Bibliografía 42
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1 VECTORES
A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos ( a, b) ∈ R2 se asocian con puntos de
un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rect-
angulares donde la interseccón representa a (0, 0) y cada ( a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta
horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).
Figura 1.1 Punto ( a, b)
Analógamente, los elementos ( a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres
rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X,
Y y Z).
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Figura 1.2 Punto ( a, b, c)

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La dirección
de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.
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Figura 1.3 Vector ( a, b) Figura 1.4 Vector ( a, b, c)
Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como − , − , − . Los
→ → →
v y z
puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números reales
serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como α, β, k.
−
→
El vector nulo se denota con 0 = (0, 0, 0)
Z
Los vectores están anclados en el origen. Sin embargo, fre-
cuentemente visualizamos un vector como su traslación:
−→
El vector AB está anclado en el origen pero lo visual-
izamos como el “vector” que va A hasta B. Formalmente
−→ − → − →
AB = OB − OA.
A veces hablamos del espacio Rn . Un vector en el Rn es Y
un n−tuple ( x1 , x2 , · · · , xn ) con cada xi ∈ R. A xi se le
llama componente i −ésima del vector. X
1.1 Operaciones Básicas
Igualdad. Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.
Definición 1.2 (Igualdad).
Si − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 , entonces − = − si y sólo si v1 = w1 , v2 = w2 , v3 = w3 .
→
v →
w → →
v w
2 Cálculo Superior. Walter Mora F.
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3
Ejemplo 1.3.
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Z
4
w 3
v
Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces − = − .
→ → → → 2
v w v w
1
1
1 2
3 Y
2
3
4
X
Suma y resta. La suma y resta de vectores en Rn se hace componente a componente.
Definición 1.4 (Suma y resta).
Si − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 ;
→
v →
w
− + − = (v + w , v + w , v + w ) y − − − = (v − w , v − w , v − w )
→ →
v w → →
v w
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
Ejemplo 1.5.
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Z
v w
w v
Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces − + − = (4, 4, 8)
→
v →
w → →
v w
Y
X

4 VECTORES
Ejemplo 1.6.
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Z
Sea P = (0, 3, 1), Q = (1, 2, 4) y R = (10, 1, 6). Entonces
−→ − → − → − →
OR = OP + PQ + QR.
Y
X
Ejemplo 1.7.
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Z
v w (traslación)
w v
Sea − = (1, 3, 4) y − = (3, 1, 4) , entonces
→
v →
w
− − − = (−2, 2, 0) y − − − = (2, −2, 0).
→ →
v w → →
w v
v w
w v Y
X
Ejemplo 1.8.
Considere los puntos A = (0, 0, 1), B = (3, 5, 0) y C = (2, 0, 0). Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A, B, C y D
sean los vértices de un paralelogramo.
Hay tres soluciones. Supongamos que el paralelogramo tiene lados AB y AC , entonces B − A = D1 − C de donde
D1 = C + B − A , en este caso, D1 es el vértice opuesto al vértice A . Las otras dos soluciones son D2 = C + A − B
y D3 = A + B − C. Así, tenemos los paralelogramos ACBD3 , ACD1 B y AD2 CB.

5
Continuación...
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. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Z
Z
D2
A
A D3
D3
C
Y
Y
X B
C D1
X B
Multiplicación por un escalar. Un escalamiento de un vector, por un factor k ∈ R, se logra multiplicando cada
componente por el mismo número real k
Definición 1.9 (Multiplicación por un escalar).
Consideremos el vector − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y el escalar k ∈ R, entonces
→
v
k − = ( k v1 , k v2 , k v3 )
→
v
Ejemplo 1.10.
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Sea − = (1, 3, 4) entonces
→
v
2−
→
v = (2, 6, 8)
1−
→ 1 3 4
2 v = 2, 2, 2
Y
X

6 VECTORES
Ejemplo 1.11.
Z
c
Si ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), entonces
ı ı ı
( a, b, c) = aı + bı + cı
a b Y
X
Ejemplo 1.12.
Sea − = (4, −1, 1), − = (0, 0.5, 3) y − = (0, 3, 0.5).
→
u →
v →
w
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Z
v
a.) − + 0.5 − + −
→
u → →
v w = (4, −1, 1) + [0.5 (0, 0.5, 3) + (0, 3, 0.5]
u + 0.5 v + w
= (4, −1, 1) + (0, 3.25, 2)
= (4, 2.25, 3) 0.5 v +w
b.) − + t − + s− = (4, −1, 1) + [t (0, 0.5, 3) + s (0, 3, 0.5]
→
u →
v →
w
= (4, −1, 1) + (0, 3s + 0.5t, 0.5s + 3t)
= (4, −1 + 3s + 0.5t, 1 + 0.5s + 3t)
u w Y
X

7
1.13 Propiedades de los vectores
Las propiedades más útiles de los vectores, según lo que ha demostrado la experiencia, se enuncian en el siguiente
teorema,
Teorema 1.14 (Propiedades de los vectores).
Si − , − , − ∈ R3 y α, β ∈ R entonces,
→ → →
v w u
1.) Conmutatividad: − + − = − + −
→ → → →
v w w v 5.) 1 − = −
→ →
v v
2.) Asociatividad: − + (− + − ) = (− + − ) + −
→
u → →
v w → →
u v →
w 6.) α β− = α ( β− )
→
v →
v
→ − → →
3.) Elemento neutro: − + 0 = −
v v 7.) α − + − = α− + α−
→ →
v w →
v →
w
→ − →
4.) Inversos: − + −− = 0
→
v v 8.) (α + β) − = α− + β−
→
v →
v →
v
1.15 Producto punto y norma.
El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es intro-
ducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud y ángulo entre vectores.
Definición 1.16 (Producto punto o interior).
Consideremos los vectores − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 y − = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 . El producto punto (o escalar) − · − se
→v →
w → →
v w
define de la siguiente manera,
− ·− =v ·w + v ·w +v ·w ∈R
→ →
v w 1 1 2 2 3 3
Ejemplo 1.17.
√
a.) Sean − = (−1, 3, 4) y − = (1, 0, 2) entonces
→
v →
w
− · − = −1 · 1 + 3 · 0 + 4 · √2 = 4√2 − 1
→ →
v w
b.) Sea − = ( a, b, c) entonces
→
u
− · − = a2 + b2 + c2
→ →
u u
De aquí se deduce que − · − ≥ 0 y que − · − = 0 solamente si − = 0.
→ →
u u → →
u u →
u
Propiedades del producto punto. En los cálculos que usan el producto punto es frecuente invocar las
propiedades que se enuncian en le teorema que sigue. También, el producto punto se generaliza como el pro-
ducto interno (en contraposición con el producto exterior). Las propiedades que permanecen en esta generalización
son,
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8 VECTORES
Teorema 1.18 (Propiedades del producto punto).
Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces
→ → →
v w u
→ →
v v → −
v
→
1.) − · − > 0 si − = 0 (el producto punto es definido positivo)
2.) − · − = − · −
→ → → →
v w w v
3.) − · − + − = − · − + − · −
→ → →
u v w → → → →
u v u w
4.) α− · − = α − · −
→ →
v w → →
v w
−
→ − −
→ → − −
→ →
Nota: No hay propiedad asociativa pues “ v · ( w · u )” no tiene sentido dado que w · u es un número real.
Norma (Euclidiana). La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometría euclideana
Definición 1.19 (Norma).
Consideremos el vector − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 . La norma de − se denota ||− || y se define de la siguiente manera,
→
v →
v →
v
√
||− || =
→
v v·v
= v2 + v2 + v2
1 2 3
La distancia de A a B se define como d( A, B) = || B − A||.
Observe que v · v = ||v||2
Ejemplo 1.20.
√ √ 2 √
a.) Sea − = (1, 0, 2) entonces ||w|| =
→
w 12 + 02 + 2 = 3
b.) La distancia de A = ( x, y, z) a B = (1, −3, 2) es || B − A|| = ( x − 1)2 + ( y + 3)2 + ( z − 2)2
Teorema 1.21 (Propiedades de la norma).
Consideremos los vectores − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces,
→ →
v w
1.) ||− || ≥ 0 y ||− || = 0 si y sólo si − = 0
→
v →
v →
v
2.) ||α− || = |α| ||− ||
→
v →
v
3.) ||− + − || ≤ ||− || + ||− || (desigualdad triangular)
→ →
v w →
v →
w
4.) |− · − | ≤ ||− || ||− || (desigualdad de Cauchy-Schwarz)
→ →
v w → →
v w

9
v
La propiedad 4.) parece geométricamente muy intuitiva: Uno
espera que si − = 0, entonces
→
w v
u v proyw
−
→ − ·−
→ → − −
→ →
v
||− || ≥ proy− =
→
v
v w − → = | v · w |,
w
→
w ||− ||2
→
w ||− ||
→
w
de aquí se obtiene ||− || − ≥ |− · − |. También, intuitiva-
→ →
v w → →
v w
−
→
− = proy v .
→
mente la igualdad se da si v w
−
→w v
proyw
Para formalizar el razonamiento usamos algo que no necesita verificación y que es equivalente al argumento in-
−
→
v
tuitivo: Si − = 0 =⇒ ||− ||2 ≥ 0. La demostración formal es así: Sea − = − − proy− . Entonces − · − = 0.
→
w →
u → →
u v →
→ →
u w
− = 0,
→ w
Luego, si w
− −
→ → − −
→ →
0 ≤ ||− ||2
→
u = − − v ·w − · − − v ·w −
→
v →
w →
v →
w
||− ||2
→
w ||− ||2
→
w
− −
→ →
0 ≤ − − v · w − ·−
→
v → →
w v pues − · − = 0,
→ →
u w
||− ||2
→
w
−
→ ( − · − )2
→ →
v w
pues − · − = −
→ → →
2 2
0 ≤ v − v v v
||− ||2
→
w
( − · − )2
→ → −
→ ||− ||2 =⇒ |− · − | ≤ ||− || −
→ → → → →
2
v w ≤ v w v w v w
La propiedad 3.) se obtiene usando la desigualda de Cauchy-Schwarz,
||− + − ||2
→ →
v w = (− + − ) · (− + − )
→ →
v w → →
v w
= − 2 + 2− · − + −
→v → →
v w →w
2
≤ −
→
v
2
+2 −
→
v ·− + −
→
w →
w
2
= (||− || + ||− ||)2
→
v →
w
∴ ||− + − || ≤ ||− || + ||− ||
→ →
v w →
v →
w
El caso − = 0 produce una identidad de verificación directa.
→
w

10 VECTORES
Ejemplo 1.22.
a.) (Vectores unitarios) Sea − = (1, 0, 2), entonces
→
w
−→ √
w 1 − → = 1 − || = √5 = 1
→
=
|| →
− ||
w → w
||− ||
w → || w
||− ||
w 5
√
b.) Sea − = (1, 0, 2) entonces ||−2− || = 2 ||− || = 2 5
→
w →
w →
w
Definición 1.23 (Vector unitario).
Un vector v se dice unitario si su norma es 1. Es común escribir v para indicar que este vector es unitario.
→ − →
Observe que si − = 0 entonces
w
w
es unitario.
||w||
√
El vector − = (cos θ, sin θ ) es unitario para todo θ ∈ R, pues ||(cos θ, sin θ )|| = cos2 θ + sen2 θ = 1.
→
w
1.24 Ángulo entre vectores en R3 .
A partir de la Ley de los cosenos podemos establecer una relación Z
entre el producto punto, normas y ángulos, como se muestra a
continuación.
Ley de los cosenos. Si a, b y c son las longitudes de los lados de
un triángulo arbitrario, se tiene la relación v w
2 2 2
c = a + b − 2ab cos θ
donde θ es el ángulo entre los lados de longitud a y b.
X
Para visualizar esta ley usando vectores, consideremos el trián- Y
gulo determinado por los vectors − , − ∈ R3 , como se muestra
→ →
v w
en la figura.
Entonces
||− − − ||2 = ||− ||2 + ||− ||2 − 2||− || ||− || cos θ (∗)
→ →
v w →
v →
w → →
v w
ahora, puesto que
||− − − ||2 = (− − − ) · (− − − ) = ||− ||2 + ||− ||2 − 2− · −
→ →
v w → →
v w → →
v w →
v →
w → →
v w
entonces, despejando en (*) obtenemos
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11
− · − = ||− || ||− || cos θ
→ →
v w → →
v w
Ángulo entre vectores en Rn . En el caso del Rn , si − , − ∈ Rn son vectores no nulos, entonces usando la
→ →
v w
desigualdad d Cauchy-Schwarz: |− · − | ≤ ||− || ||− || y la propiedad del valor absoluto | x | ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k
→ →
v w → →
v w
− ·−
→ →
v w
para un número k ≥ 0, obtene-mos −|| v − || ||− || ≤ − · − ≤ ||− || ||− || y entonces −1 ≤
→ → → → → →
w v w v w → → ≤ 1.
||− || ||− ||
v w
Se puede garantizar que para v w − , − ∈ Rn vectores no nulos, es posible encontrar un único θ ∈ [0, π ] tal que
→ →
− · − = ||− || ||− || cos θ. Formalmente,
→ →
v w → →
v w
Definición 1.25
Si − , − ∈ Rn son vectores no nulos, el ángulo entre − y − es el único θ ∈ [0, π ] tal que
→ →
v w → →
v w
− ·−
→ →
v w
− · − = ||− || ||− || cos θ,
→ →
v w → →
v w i.e. θ = arccos ,
||− || ||− ||
→ →
v w
− −
→ → −
→
Notación: ∠ v , w denota el ángulo entre v y w
−
→
Como una consecuencia, tenemos una caracterización para vectores ortogonales. Recordemos que dos vectores son
ortogonales si al menos uno de ellos es nulo o si el ángulo entre ellos es π/2. Entonces
Teorema 1.26 (Vectores ortogonales).
Los vectores − , − ∈ Rn son ortogonales si y sólo si − · − = 0
→ →
v w → →
v w
−
→
Nota: El único vector ortogonal consigo mismo es el vector 0
Ejemplo 1.27.
Z
v
w
√ √
Sean − = (1, 0, 2) y − = (−2, 1, 2) entonces − y − son
→
w →
v →
w →
v
− · − = −2 + 2 = 0
→ →
ortogonales pues w v
X
Y

12 VECTORES
Ejemplo 1.28.
Z
Sean − = (2, 0, 2) y − = (0, 2, 2) entonces el ángulo entre −
→
w →v →
w
− es
→
y v
1
θ = arccos = π/3; w v
2
pues,
− ·−
→ →
v w − ·−
→ →
v w 1
cos θ = −→|| ||− || =⇒ θ = arccos
→ − || ||− ||
→ → = arccos
|| v w || v w 2 Y
X
Ejemplo 1.29.
Sean − = (1, −1, 0) y − = (1, 1, 0). Consideremos el problema de encontrar un vector − ∈ R3 que cumpla las tres
→v →w →
u
condiciones siguientes
− ⊥−;
→
u →
v ||− || = 4;
→
u y ∠− , − =
→ →
u w
π
3
Para resolver el problema, supongamos que − = ( x, y, z),
→
u . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
entonces tenemos que
Z
u

 − −
→ → x−y = 0
 u · v = 0 

 


 

||− ||
→ x 2 + y2 + z2
 
u = 4 =⇒ = 16

 


 → →
 − −
 √ 1
= ||− || ||− || cos π
→ → v

u · w u w

3

 x+y = 4 2· Y
2 w
 X

 x = y



=⇒ 2x2 + z2 = 16

√




x = 2,
de donde finalmente obtenemos, − =
→
u
√ √ √
2, 2, ± 2 2
u

13
1.30 Paralelismo, perpendicularidad y cosenos directores.
Definición 1.31
Dos vectores − , − ∈ R3 distintos de cero,
→ →
u v
Z
a.) son paralelos si − , − = 0 o π, i.e. − = λ − para algún
→ →
u v →
u →
v
Y
λ ∈ R.
X
b.) son perpendiculares si − , − = π/2. En este caso − · − = 0.
→ →
u v → →
u v
Los cosenoss directores de un vector son las componentes de un vector untario.
→ − →
Sea − = OP = (w1 , w2 , w3 ), sus cosenos directores son,
w
w w2 w3
cos α = −1 , cos β = − , cos γ = −
|| →||
w || →||
w || →||
w
donde α, β, γ son los ángulos directores de −
→
w
−
→
α: ángulo entre OP y la parte positiva del eje X
−
→
β: ángulo entre OP y la parte positiva del eje Y
−
→
γ: ángulo entre OP y la parte positiva del eje Z
. Observe que si − es unitario, entonces − = (cos α, cos β, cos γ)
→
w →
w
1.32 Proyección ortogonal
Geométricamente lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogonalmente el vector
− = 0 sobre el vector − . Si denotamos a este vector con proy− entonces, de acuerdo con la figura, se debe cumplir
→u →
w
→
u
−
→
w
que
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14 VECTORES
u
u tw
proyu w
w
−
→
= t−
→

−
→ −
→ u
= t−
→ = t−
→  proy− w
 
u u →

 proy−
→
w
w 
 proy−
→
w
w 
 w
=⇒ =⇒ − ·−
→ →
 − −
 → · (→ − t − )
→  − −
 → · → − − · t−
→ →  w u
w u w = 0 w u w w = 0 
 t= = − ·−
→ →
w w
y finalmente,
−
→
u − ·−
→ →
w u →
proy− = − − −
→ →·→ w
w w w
Definición 1.33 (Proyección ortogonal de − sobre − ).
→
v →
w
− , − ∈ R3 con − = 0.
→ →
Si v w →w
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Z
Se llama proyección ortogonal de − sobre − al vector
→
v →
w
−
→
v − ·−
→ →
w v →
proy− = − 2 − w v
→
w || →||
w
Y
v
proyw w
X
−
→
v −
→
v
. Como − · − = proy− · w ; si ponemos λ = proy−
→ →
v w → → entonces, el producto punto de − y − es “λ veces
→ →
v w
w w
la longitud de − ”.
→
w
−
→
v
. Al vector − − proy− se le conoce como “la componente de − ortogonal a − ”.
→
v →
→
v →
w
w

15
−
→
v
. Si θ = − − , entonces proy− = ||− || cos θ
→→
v w →
→
v
w
Ejemplo 1.34.
Z
√ √ Y
Sean − = (5, 0, 2) y − = (2, 1, 2) entonces
→
v →
v
−
→ − ·−
→ → √
v w v → 12 √ 24 12 12 2
proy− = − − − =
→ →·→ w (2, 1, 2) = , ,
w w w 7 7 7 7
−
→ − ·−
→ → √
w w v → 12 √ 60 12 2
proy− = − − − =
→ →·→ v (5, 0, 2) = , 0,
v v v 27 27 27
X
Ejemplo 1.35.
Sean − = (3, 1, 0) y − = (2, 2, 0).
→
v →w Consideremos el problema de determinar un vector − ∈
→
u
−
→
u
R3 tal que − = ( x, y, x ) y que cumpla las dos condiciones proy− = −−
→u →
→v y − ⊥ −.
→u →
w
v
Z
Bien, X
 −
→
 proy u
 3x + y
= −−
→
v (3, 1, 0) = −(3, 1, 0),

−
→

10
 
v =⇒

 − −
 → →


u · w = 0 2x + 2y = 0.
Resolviendo el sistema, x = −5, y = 5, y entonces
− = (−5, 5, −5)
→
u
Y

16 VECTORES
Ejemplo 1.36.
Consideremos un triángulo determinado por los puntos A, B, C ∈ R3 . Podemos calcular la altura y el área de la
siguiente manera,
−
→
Sean − = B − A, − = C − A, entonces la altura es h = ||− − proy− || . Luego, como la base mide ||− ||, entonces
→
u →
w →
u u
→
w
→
w
u
−
→
||− || ||− − proy− ||
→ →
w u u
→
w
Área =
2
proyu
w
w
Ejemplo 1.37.
Sea A = (2, 2, 2), B = (1, 1, 0) y C = (0, 2, 2). Nos interesa Calcular el punto E en el segmento BC tal que el
segmento AE sea la "altura" del triángulo ABC sobre este segmento.
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Z
u
proyw
Sean − = A − B, − = C − B, el punto buscado es
→
u →
w
u
−→ −
→
u w
E = B + proy− .
→
w
La traslación es necesaria pues la proyección es un vector an- u
proy w
clado en el origen.
X
Y

17
1.38 Producto Cruz en R3
El producto cruz entre dos vectores en R3 es un vector que es simúltaneamente perpendicular a v y a w.
Definición 1.39
Consideremos los vectores − = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 y − = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 . El producto cruz − × − se define de la
→
u →
v → →
u v
siguiente manera,
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Z
w
− × − = (u v − u v )ı − (u v − u v ) + (u v − u v )k
→ →
u v
v
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
w v
= (u2 v3 − u3 v2 )ı + (u3 v1 − u1 v3 ) + (u1 v2 − u2 v1 )k
X
v w Y
La posición del vector v × w se puede establecer con la “regla de la mano derecha”,
. Recordemos que ı = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), entonces también podríamos escribir
− × − = (u v − u v , u v − u v , u v − u v )
→ →
u v 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
. Esta fórmula se puede calcular como un determinante,
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18 VECTORES
. El producto cruz − × − es un vector que es tanto perpendicular a − como a − .
→ →
v w →
v →
w
Ejemplo 1.40.
Si i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1); entonces
i ×j =k
k, j ×k =i y k ×i = j
√ √
Sean − = (5, 0, 2) y − = (2, 1, 2) entonces
→
u →
v
Z
ı  k
− ×− =
→ → √ √ √
u v 5 0 2 = (− 2, −3 2, 5)
√
2 1 2
ı  k v
√ √ √ Y
− ×− =
→ →
v u 2 1 2 = ( 2, 3 2, −5) u
√
5 0 2
X
Propiedades del producto cruz. Recordemos que el producto cruz solo lo hemos definido en R3 ,

19
Teorema 1.41 (Propiedades del producto cruz).
Consideremos los vectores − , − , − ∈ R3 y α ∈ R, entonces
→ → →
v w u
1.) − · (− × − ) = 0
→ → →
u u v
2.) − · (− × − ) = 0
→ → →
v u v
3.) ||− × − ||2 = ||− ||2 ||− ||2 − (− · − )2
→ →
u v →
u →
v → →
u v (igualdad d Lagrange)
4.) − × − = − (− × − )
→ →
u v → →
v u
5.) − × (− + − ) = − × − + − × −
→
u → →
v w → → → →
u v u w
6.) (− + − ) × − = − × − + − × −
→ →
u v →
w → → → →
u w v w
7.) α(− × − ) = (α− ) × − = − × (α− )
→ →
u v →
u →
v →
u →
v
→ −
u
→ − → → −
u
→
8.) − × 0 = 0 × − = 0
9.) − × − = 0
→ →
u u
. Observe que no tenemos una propiedad de asociatividad para el producto cruz.
. De la propiedad 9 y la propiedad 7 podemos deducir que si dos vectores son paralelos, el producto cruz es cero
−
→
u −
→
v =⇒ − = α−
→
u →
v =⇒ − ×− =0
→ →
u v
. De la igualdad de Lagrange se puede deducir la fórmula (de área)
||− × − || = ||− || ||− || sin θ
→ →
u v → →
u v (1.1)
. Consideremos un paralelogramo determinado por dos vectores − , − ∈ R3 , como se ve en la figura de la derecha.
→ →
u v
Si θ es el ángulo entre estos vectores, el área del paralelogramo es,
A = ||− || ||− || sin θ = ||− × − ||
→ →
u v → →
u v
. Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares − , − , − ∈ R3 ,
→ → →
u v w
como se ve en la figura. El volumen del paralelepípedo es,

20 VECTORES
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Z
 
u1 u2 u3
 
w
− · (− × − ) | = Det  v
→ → →
V =|w u v  1 v2 v3


 
 
w1 w2 w3
v Y
u
X
Ejemplo 1.42.
Z
El área del triángulo con vértices en P = (1, 3, −2),
R
Q = (2, 1, 4) y R = (−3, 1, 6) es v
ı  k Q
1 −2 6
−→ − → √
|| PQ × QR|| −5 0 2 1140
Área = = = Y
2 2 2 X
w P
Ejemplo 1.43.
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores − = (1, 3, −2), − = (2, 1, 4), − = (−3, 1, 6) es
→
u →
v →
w
Z
w
−2
 
1 3
  v
V = | − · (− × − ) | = Det  2
→ → →  
w u v  1 4  = 80

 
−3 1 6
X
Y
u

21
1.44 (*) El producto cruz solo existe en R1 R3 y R7 .
Con el producto punto tal y como lo hemos definido, si un “producto cruz” cumple las propiedades del teorema
(1.41), solo podría existir en en R1 , R3 y R7 . La teoría que sigue es un resumen de ([7]) y ([12]).
Este producto existe en R1 , pero como aquí todos los vectores son paralelos, la única opción sería v × w = 0 para
todo v , w ∈ R.
No hay producto cruz en R2 pues v × w es un vector ortogonal a v y a w ∈ R2 y no estaría en el plano ex-
−
→
cepto que sea v × w = 0 , pero esto no puede pasar si estos vectores son ortogonales y unitarios pues en este caso
v × w = 12 12 − 02 = 1 (por la igualdad de Lagrange).
En R3 ya tenemos nuestro producto cruz y es único excepto por el signo.
Si el producto cruz existe en Rn con n ≥ 4 entonces n = 7. Esto es un poco más complicado de ver y requiere un
poco de conocimiento de espacios vectoriales.
Un subespacio W de Rn se dice cerrado bajo la operación binaria × si v × w ∈ W para todo v , w ∈ W. Por ejemplo,
en R3 el subespacio W generado por ı y  W =< ı  >, no es cerrado bajo × pues ı ×  = k ∈ W. En cambio el
, ı, /
subespacio W generado por k W =< k >, si lo es pues αk × βk = 0 ∈ W.
k,
Si W es un subespacio de Rn entonces W ⊥ = {v ∈ Rn tal que v · w = 0 para todo w ∈ W }. Por ejemplo, en R3 ,
si W =< ı  > entonces W ⊥ =< k > o, si V =< k > entonces V ⊥ =< ı  > . El resultado que nos importa es:
ı, ı,
Si V es subespacio vectorial de Rn entonces, dimV + dimV ⊥ = n
En [12, pág. 190] se establece el teorema,
Teorema 1.45
Sea × un producto cruz en Rn y sea A un subepacio de Rn el cual es cerrado bajo × y posee una base ortonormal
{ f 1 , ..., f k .} Sea b ∈ A⊥ . Entonces los vectores {b , f 1 × b , ..., f k × b } ⊂ A⊥ y son mutuamente ortogonales y con la
misma longitud que b .
El teorema es fácil de probar (como se puede ver en la referencia). Para ver como funciona el teorema, consideremos
por ejemplo el subespacio A =< k > de R3 que es cerrado bajo ×. Una base ortonormal de A es, por supuesto,
k Luego como  ∈ A⊥ , { k ×  } = { −ı } ⊂ A⊥ . En este caso, dimA + dimA⊥ = 3.
k. , ,
En el caso Rn , sea A =< e1 , e2 , e3 > con e1 = ı e2 =  e3 = k A es claramente cerrado bajo ×. Un vector a ∈ Rn
ı, , k.
se puede escribir como
∈A ∈ A⊥
3 3
a= ∑ a · ei + a − ∑ a · ei
i =1 i =1
con el primer sumando en A y el segundosumando en A⊥ (como se puede verificar haciendo el producto punto
y utilizando el hecho de que ei · ei = 1 ). Ahora, de acuerdo al teorema (1.46), si n ≥ 4, existe b ∈ A⊥ unitario tal
que {b , e1 × b , e2 × b , e3 × b } es un subconjunto ortonormal de A⊥ y entonces {e1 , e2 , e3 , b , e1 × b , e2 × b , e3 × b } es
un conjunto ortonormal de Rn . Esto nos dice, a la luz del teorema (1.46), que si hay un un producto cruz en Rn
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22 VECTORES
con n ≥ 4, entonces n ≥ 7. Para cerrar, se tiene el siguiente teorema [12, pág. 191] ,
Teorema 1.46
Sea C =< e1 , e2 , e3 , b , e1 × b , e2 × b , e3 × b > . C es cerrado bajo ×.
Para probar que la única posibilidad es n = 7 se procede por contradicción, si n > 7 entonces habría un vector
unitario n ∈ C ⊥ y b × n sería un vector unitario en C ⊥ . Sea p = b × n entonces n × p = b y p × b = n . Un
cálculo sencillo pero un poco extenso muestra que si i = j entonces (ei × b ) × (e j × n ) = (e j × n ) × (ei × b ) lo cual
contradice la no conmutatividad del producto cruz (pues estos vectores no son nulos, son de norma 1). Así, no hay
producto cruz si n > 7. Solo queda el caso n = 7. ¿Hay un producto cruz en R7 ?. La respuesta es: hay varios. Sean
a = ( a1 , ..., a7 ) ∈ R7 y b = (b1 , ..., b7 ) ∈ R7 . Sea a = ( a1 , a2 , a3 ), α = a4 , a = ( a5 , a6 , a7 ) y b = (b1 , b2 , b3 ), β = b4 , b =
(b5 , b6 , b7 ). Entonces un producto cruz en R7 es,
a × b = (αb − βa + a × b − a × b , a · b − a · b , − αb + βa − a × b + b × a )
b a b a
Aunque este es un producto cruz en R7 , no cumple algunas identidades deseables que se obtienen en R3 .

2 RECTAS Y PLANOS EN EL
ESPACIO
2.1 Rectas en R3 .
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Consideremos la recta L que pasa por P y por Q. Esta recta
→ − →
es paralela al vector − = PQ, por lo tanto, dado un punto
v
R = ( x, y, z) ∈ L, se debe cumplir que Z
−→
PR = t − , o sea R − P = t − ; t ∈ R
→v →
v
−
→
de donde L = {( x, y, z) ∈ R3 : ( x, y, z) = OP + t − }. Informal-
→
v
−.
→
mente escribimos L : ( x, y, z) = P + t · v Y
X
Definición 2.2 (Rectas).
Si L es una recta que pasa por los puntos P = ( p1 , p2 , p3 ), Q = (q1 , q2 , q3 ) y si − = Q − P, entonces
→
v
1.) La ecuación vectorial de L es ( x, y, z) = P + t − , t ∈ R
→
v

 x (t) = p1 + t v1
2.) Despejando x, y y z obtenemos las ecuaciones parámetricas de L : y(t) = p2 + t v2
z(t) = p3 + t v3

x − p1 x − p2 x − p3
3.) Si cada vi = 0, despejando ”t” obtenemos las ecuaciones simétricas de L: = =
v1 v2 v3
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24 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Ejemplo 2.3.
Consideremos la recta L que pasa por P = (1, 3, 2) y Q = (2, 1, 4). Z
→ − →
En este caso − = PQ = Q − P = (1, −2, 2), luego
v
Ecuación vectorial: ( x, y, z) = (1, 3, 2) + t (1, −2, 2) Q
Ecuaciones parámetricas:
v
x (t) = 1 + t,
y(t) = 3 − 2t, P
z(t) = 2 + 2t
Ecuaciones simétricas: X
Y
x−1 y−3 z−2
= = .
1 −2 2
Ejemplo 2.4.
a.) Consideremos la recta L que pasa por P = (1, 3, −2) y Q = (2, 1, −2). En este caso − = Q − P = (1, −2, 0), luego
→
v
Ecuación vectorial: L : ( x, y, z) = (1, 3, −2) + t (1, −2, 0)
Ecuaciones parámetricas: 
 x (t) = 1 + t,
L: y(t) = 3 − 2t,
z(t) = −2.

Ecuaciones simétricas:
x−1 y−3
= ; z = −2.
1 −2
b.) Consideremos la recta L1 de ecuaciones simétricas,
x+1 y+2
= = z − 1,
3 2
entonces L1 va en la dirección de − = (3, 2, 1)
→
v

25
. Observe que el segmento que va de P a Q es el conjunto de puntos
{ P + t ( Q − P); t ∈ [0, 1]}
. 1
En particular, si t = 2, obtenemos el punto medio del segmento
P + 1 ( Q − P ) = P+ Q
2 2
Ángulo, paralelismo, perpendicularidad e intersección. Consideremos dos rectas,
L1 : ( x, y, z) = P + t− ; t ∈ R ∧ L2 : ( x, y, z) = Q + s− ; s ∈ R
→
v →
w
L1 L2 si y sólo si −
→
v −
→
w
L1 ⊥ L2 si y sólo si − ⊥ −
→
v →
w
El ángulo entre L1 y L2 es igual al ángulo entre − y −
→ →
v w
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet) . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
. Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta, las ecuaciones no son únicas pero son
equivalentes.

26 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Intersección. Sean P = ( p1 , p2 ,3 ) y Q = (q1 , q2 , q3 ) en R3 .
Consideremos las rectas . Ver en 3D
L1 : ( x, y, z) = P + t − y L2 : ( x, y, z) = Q + s − .
→
v →
w
Para determinar si hay intersección igualamos la ecuaciones, Z
 t v 1 − s w1 = q1 − p1




− = Q + s− ⇒
→ →

P+t v w t v 2 − s w2 = q2 − p2




t v 3 − s w3 = q3 − p3

Si este sistema tiene solución, entonces esta solución nos da el
o los puntos de intersección entre L1 y L2 . Como el sistema es
lineal puede pasar que,
. Y
hay solución única: las rectas se intersecan en un solo
punto,
. hay infinitas soluciones: las rectas coinciden,
X
. no hay solución: las rectas no se intersecan.
.Observe que, para el cálculo de la intersección usamos un párametro distinto en cada recta. Esto es así
porque el punto de intersección se obtiene en general, con un valor del parámetro que varía en cada recta.
Ejemplo 2.5.
Consideremos la recta L1 : (−1, 3, 1) + t (4, 1, 0).
. L1 y la recta L2 : (−13, −3, −2) + s (12, 6, 3), se intersecan en el punto (−1, 3, 1). Este punto se obtiene con
t = 0 en la primera recta y con s = 1 en la segunda recta.
(−1, 3, 1) = (−1, 3, 1) + 0 · (4, 1, 0)
(−1, 3, 1) = (−13, −3, −2) + 1 · (12, 6, 3)
. L1 es paralela a la recta L3 : ( x, y, z) = (1, 3, −2) + t (8, 2, 0) pues (8, 2, 0) = 2(4, 1, 0)
. L1 es perpendicular a la recta L4 : ( x, y, z) = (0, 2, −1) + t (−1, 4, 3) pues (−1, 4, 3) · (4, 1, 0) = 0

27
Continuación...
. L1 no interseca a L4 : ( x, y, z) = (0, 2, −1) + t (−1, 4, 3) pues el sistema
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
Z

 −1 + 4t = −s
3+t = 2 + 4s
1 = −1 + 3s

L2 L4
no tiene solución (es inconsistente). L3
X L1 Y
Ejemplo 2.6.
Sea v = (1, 1, 1) y consideremos la recta L1 : P + t · − . Si la recta
→ . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
v
Z
L2 : Q + t · (w1 , w2 , w3 ) es perpendicular a L1 , tenemos
(w1 , w2 , w3 ) · (1, 1, 1) = 0 =⇒ w1 + w2 + w3 = 0
L1
por lo que hay muchas posiblidades para encontrar rectas
perpendiculares a L1 que no sean paralelas entre sí.
Dos rectas L1 y L2 que son perpendiculares a la recta L : P +
t · − no son, en general, paralelas. Esto es así porque en R3
→ Y
v
la ecuación − .− = 0 tiene infinitas soluciones − no paralelos
→→
w v →
w
entre sí. X
2.7 Distancia de un punto a una recta
Sea L una recta y P, Q dos puntos distintos en L. Dado R = L, queremos calcular la distancia mínima de R a L
y el punto E ∈ L en el que se alcanza este mínimo. Por supuesto, la distancia mínima es la longitud del segmento
−
→
−
→ PR
perpendicular que va desde R a L : La distancia mínima de R a la recta es PR − proy− → y esta distancia
PQ
−
→
PR
mínima se alcanza en E = P + proy− .
→
PQ
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28 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Ejemplo 2.8.
Sea R = (2, 2, 5) y consideremos la recta L : ( x, y, z) = (2, 0, 1) + . Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
t · (0, 2, 1). Para calcular la distancia de R a L, tomamos P = Z R
(2, 0, 1) y en vez de un “Q − P” podemos usar − = (0, 2, 1) para
→
v
proyectar. La distancia de R = (2, 2, 5) a L es
−→
−
→ PR 6 12 6
PR − proy−−−→ = (0, − , ) = √ .
(0,2,1) 5 5 5 E
La distancia mínima se alcanza en P
−
→ Y
PR 16 13 X
E = P + proy−
→ = (2, , ) ∈ L.
PQ 5 5
2.9 Rectas en R2
Podemos usar álgebra vectorial para deducir algunas propiedades de rectas en en dos dimensiones
Si P, Q ∈ R2 son puntos distintos, la recta L que pasa por estos puntos es como antes, L : ( x, y) = P + t · ( Q − P).
−
→ −
→
Un vector N ∈ R2 es perpendicular a L si y solo si N · ( Q − P) = 0.
A diferencia de las rectas en R3 , en dos dimensiones todas las rectas perpendiculares a L son paralelas entre sí.
−
→
Si N = ( a, b) es normal a la recta L, entonces
( x, y) ∈ L ⇐⇒ L : ( N · (( x, y) − P) = 0 ⇐⇒ ax + by = N · P
−
→
Si N = ( a, b) es normal a la recta L, la ecuación cartesiana de L es ax + by + c = 0 con c = N · P.
Sean b1 , b2 = 0. Consideremos las rectas L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 y L2 : a2 x + b2 y + c2 = 0.
Dividiendo por b1 y b2 en las ecuaciones respectivas, las ecuaciones se pueden escribir como
a1 c a2 c2
L1 : x + y + 1 = 0 y L2 : x+y+ = 0.
b1 b1 b2 b2
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29
a1 a2
Luego, N1 = ,1 es normal a L1 y N2 = ,1 es normal a L2 .
b1 b2
a1 a2
L1 ⊥ L2 ⇐⇒ N1 · N2 = 0 ⇐⇒ · = −1.
b1 b2
En particular, las rectas y = m1 x + d1 y y = m2 x + d2 son perpendiculares si y solo sí m1 · m2 = −1.
a1 a a a
L1 L2 ⇐⇒ N1 = λN2 ⇐⇒ = λ 2 y λ = 1, es decir, 1 = 2 .
b1 b2 b1 b2
En particular, las rectas y = m1 x + d1 y y = m2 x + d2 son paralelass si y solo sí m1 = m2 .