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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE
CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECÁNICA
INGENIERÍA MECÁNICA
TEMA: Curvas y Superficies de Nivel:
Trazado de funciones de dos variables
ASIGNATURA: Análisis Matemático II
INTEGRANTES: Daniel Orozco 6999
Santiago Toledo 7037
Fausto Orozco 7049
José Luis Ramírez 7073
Stalin Totoy
SEMESTRE: Tercero “B”
FECHA Y LUGAR: Riobamba, 29 de Abril del 2016

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Contenido
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2
OBJETIVOS......................................................................................................................... 3
MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 3
CURVAS DE NIVEL.......................................................................................................... 3
SUPERFICIES DE NIVEL.................................................................................................. 8
FUNCIÓN DE DOS VARIABLES..................................................................................... 12
TRAZADO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES ............................. 14
APLICACIONES DE LAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL........................................... 19
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 22

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INTRODUCCIÓN
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja
de números reales (𝒙, 𝒚) un y sólo un número real 𝒛.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas
(𝒙, 𝒚, 𝒛) en donde (𝒙, 𝒚) está en el dominio de f y 𝒛 = 𝒇 (𝒙, 𝒚). Este conjunto de
puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
Las curvas de nivel para una función de dos variables son las curvas con ecuaciones
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 donde k es una constante (en el recorrido de f).
Esta representa el conjunto de todos los puntos en que f toma un valor dado k, en
otras palabras muestra donde la función tiene una altura k. Las curvas del tipo
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 son los trozos de la grafica de f en el plano 𝒛 = 𝒌 proyectado sobre el
plano 𝒙𝒚.

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OBJETIVOS
 Conocer la definición y las aplicaciones de las curvas y superficies de nivel.
 Describir el procedimiento del trazado de funciones de dos variables.
MARCO TEÓRICO
CURVAS DE NIVEL
Sea una función 𝒇: 𝑹 𝟐
−> 𝑹
( 𝒙, 𝒚)−> 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Suponga que la superficie 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) se interseca con el plano 𝒛 = 𝒌, Al proyectar
dicha intersección en el plano (𝒙, 𝒚), obtenemos una curva lo que se denomina curva
de nivel.
Esta curva proyectada tiene a 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒌 (k = 0, ±1, ±2,….,±n) como una ecuación, y
la curva se denomina curva de nivel de la función f en k. Al ubicar dichos puntos en el
espacio 𝑹3
, obtenemos una superficie en dicho espacio.
Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se
encuentra a k unidades sobre ella si k es positivo, o a k unidades debajo de ella si k es
negativo. Al considerar diferentes valores para la constante k se obtiene un conjunto
de curvas de nivel llamado mapeo de contorno.

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El conjunto de todos los valores posibles de k es el cotradominio o recorrido de la
función f, y cada curva de nivel, 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒌, del mapa de contornos consiste de los
puntos (𝒙, 𝒚) del dominio de f que tienen un valor de función igual a k.
EJERCICIOS:
1. Construir las curvas de nivel de la función 𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙 𝟐+𝒚 𝟐
𝟐𝒙
Solución:
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌, es una curva de nivel para cada 𝒌 ∈ 𝒁. Luego 𝒌 =
𝒙 𝟐+𝒚 𝟐
𝟐𝒙
,
entonces 𝟐𝒙𝒌 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
→ ( 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙𝒌 + 𝒌 𝟐)+ 𝒚 𝟐
= 𝒌 𝟐
, luego
(𝒙 − 𝒌) 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝒌 𝟐
representan una familia de circunferencias que son las
curvas de nivel con centro en (𝟎, 𝒌).
Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟏) 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟏
Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟐) 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟒
Para 𝒌 = 𝟑 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟑) 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟗
Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟒) 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟏𝟔
2. Construir las curvas de nivel de la función 𝒇( 𝒙, 𝒚) = ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
− (𝒙 − 𝟏) 𝟐

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Solución:
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌, es una curva de nivel para cada 𝒌 ∈ 𝒁. Luego 𝒌 = ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
−
(𝒙 − 𝟏) 𝟐
, representan una familia de Hipérbolas que son las curvas de nivel
con centro en (𝟏, 𝟏) con su eje mayor en el eje Y.
Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación 𝟏 = ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
− (𝒙 − 𝟏) 𝟐
Para 𝒌 = 𝟓 entonces tenemos la ecuación 𝟓 = ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
− (𝒙 − 𝟏) 𝟐
Para 𝒌 = 𝟗 entonces tenemos la ecuación 𝟗 = ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
− (𝒙 − 𝟏) 𝟐
Para 𝒌 = 𝟏𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝟏𝟒 = ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
− (𝒙 − 𝟏) 𝟐
3. Construir las curvas de nivel de la función 𝒇( 𝒙, 𝒚) =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
𝟒
Solución:
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌, es una curva de nivel para cada 𝒌 ∈ 𝒁. Luego 𝒌 =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
𝟒
después 𝟏 =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
𝒌.𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
𝒌.𝟒
que representan una familia de Elipses que son
las curvas de nivel con centro en (𝟏, 𝟐) con su eje mayor en el eje X.

6
Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación 𝟏 =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
𝟒
Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝟏 =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
(𝟐)𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
(𝟐)𝟒
Para 𝒌 = 𝟑 entonces tenemos la ecuación 𝟏 =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
(𝟑)𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
(𝟑)𝟒
Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝟏 =
( 𝒙−𝟏) 𝟐
(𝟒)𝟗
+
( 𝒚−𝟐) 𝟐
(𝟒)𝟒
4. Sea 𝑅2
→ 𝑅 tal que 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Solución: La grafica de f es la superficie que tiene la ecuación 𝒛 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
. La
traza en el plano xy con z = 0 resulta 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟎 , la cual representa el origen.
Las trazas en los planos xz y yz se obtiene al emplear las ecuaciones y=0 y x=0.
Estas trazas son parábolas 𝒛 = 𝒙 𝟐
y 𝒛 = 𝒚 𝟐
. Tomando 𝒌 > 𝟎, la curva de nivel
correspondiente a 𝒛 = 𝒌 es la circunferencia 𝒌 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
y tomando 𝒌 = 𝟏
la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (𝒙, 𝒚) tales que
𝟏 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
que paralelo al plano xy, es una circunferencia con su centro en el
eje z y de radio √ 𝒌. Con esta información se obtiene la gráfica requerida, la cual
se muestra en la figura que es un paraboloide circular y al mirar la superficie

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hacia abajo desde un punto del eje z observamos las curvas de nivel de valores
de 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝒚 𝟔.
5. Se f la función definida por 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝟖 − 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒚.
Dibuje la gráfica de f y un mapa de contornos de f que muestre las curvas de
nivel.
Solución: La grafica de f mostrada en la figura, es la superficie
𝒛 = 𝟖 − 𝒙 𝟐
− 𝟐𝒚.
Al considerar 𝒛 = 𝟎 se obtiene la traza en el plano 𝒙𝒚, la cual es una parábola
𝒙 𝟐
= −𝟐(𝒚 − 𝟒). Si se considera 𝒚 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟎, se obtienen las trazas en los
planos 𝒙𝒚 y 𝒚𝒛, las cuales son, respectivamente, la parábola 𝒙 𝟐
= −( 𝒛 − 𝟖)y
la recta 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟖. La sección transversal de la superficie obtenida en el plano
𝒛 = 𝒌 es una parábola que tiene su vértice en la recta 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟖 del plano
𝒚𝒛 y abre a la izquierda. Las secciones transversales para 𝒛 =
𝟖, 𝟔, 𝟒, 𝟐, 𝟎,−𝟐, −𝟒,−𝟔 𝒚 − 𝟖 se muestran en la figura.
Las curvas de nivel de f son las parábolas 𝒙 𝟐
= −𝟐(𝒚 − 𝟒 +
𝟏
𝟐
𝒌). El mapa de
contornos de f junto con las curvas de nivel requeridas se presenta en la figura.

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SUPERFICIES DE NIVEL
En forma similar para el caso 𝒇: 𝑹 𝟑
→ 𝑹, se obtienen 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒌 llamadas
superficies de nivel.
Las funciones de tres variables tienen superficies de nivel, concepto análogo al de
curvas de nivel para funciones de dos variables. Si 𝑓 es una función cuyo dominio es un
conjunto de puntos de 𝑅3
, entonces 𝑘 es un número del contradominio de 𝑓, la gráfica
de la ecuación
𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘
Es una superficie de nivel de 𝒇 en 𝒌. Cada superficie en el espacio tridimensional
puede considerarse como una superficie de nivel de alguna función de tres variables.
EJERCICIOS
1. La función 𝒇 está definida por: 𝒇 ( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛
Dibuje las superficies de nivel 𝒇 para los siguientes valores de
𝒌: 𝟏𝟔, 𝟏𝟐, 𝟖, 𝟒 𝒚 𝟐
Solución: Una ecuación de la superficie de nivel de 𝒇 en 𝒌 es

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𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝒌
Cuya gráfica es un plano. Para los valores dados de 𝑘 se tienen los planos
paralelos siguientes:
Para 𝒌 = 𝟏𝟔 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟔
Para 𝒌 = 𝟏𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟐
Para 𝒌 = 𝟖 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖
Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟐
2. Si la función 𝑔 está definida por 𝒈( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛
Encuentre las superficies de nivel para 𝒌 = −𝟒,−𝟐, 𝟎, 𝟐 𝒚 𝟒.
Solución: La superficie de nivel de 𝑔 en el número 𝑘 tiene la ecuación
𝒛 + 𝒌 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
, un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (𝟎, 𝟎,−𝒌)
sobre el eje z. La figura muestra las superficies de nivel
Para 𝒌 = −𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝒛 − 𝟒 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Para 𝒌 = −𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝒛 − 𝟐 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Para 𝒌 = 𝟎 entonces tenemos la ecuación 𝒛 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐

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Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝒛 + 𝟐 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝒛 + 𝟒 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
3. Describir las superficies de nivel para la función 𝒇( 𝒙, 𝒚, 𝒙) =
𝟐𝒙 𝟐+𝒚 𝟐
𝒛
Para 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
Solución: La superficie de nivel de 𝒇 en el número 𝒌 tiene la ecuación
𝒌 =
𝟐𝒙 𝟐+𝒚 𝟐
𝒛
, entonces 𝒛𝒌 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
que representa una familia de
paraboloides elípticos cuyo vértice es el punto (𝟎, 𝟎, 𝟎).
Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación 𝒛 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝟐𝒛 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Para 𝒌 = 𝟑 entonces tenemos la ecuación 𝟑𝒌 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝟒𝒌 = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐

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4. Si la función 𝒘 está definida por 𝒘( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Encuentre las superficies de nivel para 𝒌 = −𝟒,−𝟑,−𝟐, −𝟏 .
Solución: La superficie de nivel de 𝒘 en el número 𝒌 tiene la ecuación
𝒌 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
, una familia de hiperboloides de dos hojas cuyo eje es el eje
Z. La figura muestra las superficies de nivel.
Para 𝒌 = −𝟏 entonces tenemos la ecuación −𝟏 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟐 entonces tenemos la ecuación −𝟐 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟑 entonces tenemos la ecuación −𝟑 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟒 entonces tenemos la ecuación −𝟒 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐

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5. Para el mismo ejemplo anterior se puede cambiar los valores de k a valores
positivos obteniendo un cambio en los signos de la ecuación que nos da otra
gráfica. Graficaremos la ecuación para 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
𝒘( 𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟏 entonces tenemos la ecuación 𝟏 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝟐 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟑 entonces tenemos la ecuación 𝟑 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
Para 𝒌 = −𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝟒 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja
de números reales (𝒙, 𝒚) un y sólo un número real 𝒛.
El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un
número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden
a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Una función de dos variables se denota usualmente con la notación
𝒛 = 𝒇 (𝒙, 𝒚)

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Las variables x, y se llaman variables independientes, y 𝒛 se llama variable
dependiente.
La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas
(𝒙, 𝒚, 𝒛) en donde (𝒙, 𝒚) está en el dominio de 𝒇 y 𝒛 = 𝒇 (𝒙, 𝒚).
Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
En consecuencia, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie que
consta de todos los puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas
están determinadas por las ternas ordenadas de números reales (𝒙, 𝒚, 𝒛). Como el
dominio de f 𝑫 𝒇 es un conjunto de puntos del plano (𝒙, 𝒚), y puesto que cada par
ordenado (𝒙, 𝒚) del dominio de f (𝑫 𝒇) corresponde a solo un valor de 𝒛, ninguna recta
perpendicular al plano (𝒙, 𝒚) puede intersectar a la grafica de 𝒇 en más de un punto.

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TRAZADO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Para trazar la gráfica de funciones de la forma 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚), se sigue el mismo
procedimiento que para trazar superficies de la forma 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎, que son los
siguientes:
1) Determinamos el dominio de la función 𝐷𝑓
2) Hallamos la intersección con los ejes coordenados.
a) Con el eje X: En la ecuación 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 se hace 𝑦 = 𝑧 = 0 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟
𝐹 ( 𝑥, 0, 0) = 0
b) Con el eje Y: En la ecuación 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 se hace 𝑥 = 𝑧 = 0 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟
𝐹 (0, 𝑦,0) = 0
c) Con el eje Z: En la ecuación 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 se hace 𝑥 = 𝑦 = 0 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟
𝐹 ( 𝑥, 0, 0) = 0
3) Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
a) Traza sobre el plano 𝑿𝒀: En la ecuación 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 se hace 𝑧 = 0 , es
decir 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 0) = 0
b) Traza sobre el plano XZ: En la ecuación 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 se hace 𝑦 = 0 , es
decir 𝐹 ( 𝑥,0, 𝑧) = 0
c) Traza sobre el plano YZ: En la ecuación 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 se hace 𝑥 = 0 , es
decir 𝐹 (0, 𝑦, 𝑧) = 0
4) Hallamos las curvas de nivel.
𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑘
5) Construimos la superficie.
EJERCICIOS:
1. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝒛 𝟐
= 𝟏
Solución:
 Determinamos el dominio de la función 𝐷𝑓
El dominio de la ecuación son todos los reales 𝑹
 Hallamos la intersección con los ejes coordenados.

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 Con el eje X: Se hace 𝑦 = 𝑧 = 0 , de donde 𝒙 𝟐
= 𝟏 entonces 𝒙 = ±𝟏
de donde los puntos son: (1, 0, 0), (−1, 0, 0)
 Con el eje Y: Se hace 𝑥 = 𝑧 = 0 , de donde 𝒚 𝟐
= 𝟏 entonces 𝒚 = ±𝟏
de donde los puntos son: (0,−1, 0),(0, −1,0)
 Con el eje Z: Se hace 𝑥 = 𝑦 = 0 , de donde 𝒛 𝟐
= −𝟏 entonces no
existe intersección con el eje Z.
 Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
 Traza sobre el plano 𝑿𝒀: se hace 𝑧 = 0 , entonces 𝒙 𝟐
+ 𝑦2
= 𝟏 es una
circunferencia.
 Traza sobre el plano XZ: se hace 𝑦 = 0 , entonces 𝒙 𝟐
− 𝑧2
= 𝟏 es una
hipérbola.
 Traza sobre el plano YZ: se hace 𝑥 = 0 , entonces 𝒚 𝟐
− 𝑧2
= 𝟏 es una
hipérbola.
 Hallamos las curvas de nivel.
Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑘
entonces 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝒌 es una familia de circunferencias.
 Construimos la superficie
La gráfica es un Hiperboloide de una hoja.

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2. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es: 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
= 𝟏𝟔
Solución:
 Determinamos el dominio de la función 𝐷𝑓
El dominio de la ecuación son todos los reales 𝑹
 Hallamos la intersección con los ejes coordenados.
 Con el eje X: Se hace 𝑦 = 𝑧 = 0 , de donde 𝒙 𝟐
= 𝟏𝟔 entonces 𝒙 = ±𝟒
de donde los puntos son: (−4, 0, 0), (4, 0, 0)
 Con el eje Y: Se hace 𝑥 = 𝑧 = 0 , de donde 𝒚 𝟐
= 𝟏𝟔 entonces 𝒚 = ±𝟒
de donde los puntos son: (0,−4, 0),(0, 4, 0)
 Con el eje Z: Se hace 𝑥 = 𝑦 = 0 , de donde 𝒛 𝟐
= 16 entonces 𝒛 = ±𝟒
de donde los puntos son: (0,0, −4),(0, 0, 4)
 Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
 Traza sobre el plano 𝑿𝒀: se hace 𝑧 = 0 , entonces 𝒙 𝟐
+ 𝑦2
= 𝟏𝟔 es
una circunferencia.
 Traza sobre el plano XZ: se hace 𝑦 = 0 , entonces 𝒙 𝟐
+ 𝑧2
= 𝟏𝟔 es una
circunferencia.
 Traza sobre el plano YZ: se hace 𝑥 = 0 , entonces 𝒚 𝟐
+ 𝑧2
= 𝟏𝟔 es una
circunferencia.
 Hallamos las curvas de nivel.
Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑘
entonces 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟏𝟔 − 𝒌 es una familia de circunferencias.
 Construimos la superficie
La gráfica muestra una esfera

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3. Discutir y trazar la gráfica de la superficie cuya ecuación es:
𝒚 𝟐
𝟏𝟔
−
𝒛 𝟐
𝟒
=
𝒙
𝟑
Solución:
 Determinamos el dominio de la función 𝐷𝑓
El dominio de la ecuación son todos los reales 𝑹
 Hallamos la intersección con los ejes coordenados.
 Con el eje X: Se hace 𝑦 = 𝑧 = 0 , de donde 𝑥/3 = 𝟎 entonces 𝒙 = 0
de donde los puntos son: (0, 0, 0)
 Con el eje Y: Se hace 𝑥 = 𝑧 = 0 , de donde 𝒚 𝟐
/16 = 𝟎 entonces 𝒚 = 0
de donde los puntos son: (0,0, 0)
 Con el eje Z: Se hace 𝑥 = 𝑦 = 0 , de donde 𝒛 𝟐
/4 = 0 entonces 𝒛 = 0
de donde los puntos son: (0,0, 0)
 Determinamos las trazas sobre los planos coordenados.
 Traza sobre el plano 𝑿𝒀: se hace 𝑧 = 0 , entonces
𝒚 𝟐
𝟏𝟔
=
𝒙
𝟑
es una
parábola.
 Traza sobre el plano XZ: se hace 𝑦 = 0 , entonces −
𝒛 𝟐
𝟒
=
𝒙
𝟑
es una
parábola.
 Traza sobre el plano YZ: se hace 𝑥 = 0 , entonces
𝒚 𝟐
𝟏𝟔
−
𝒛 𝟐
𝟒
= 𝟎 es
son dos rectas.
 Hallamos las curvas de nivel.

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Consideramos las secciones paralelas al plano XY; sea 𝑧 = 𝑘 entonces
𝒚 𝟐
𝟏𝟔
−
𝒌
𝟒
=
𝒙
𝟑
es una familia de parábolas.
Consideramos las secciones paralelas al plano XZ; sea 𝑦 = 𝑘 entonces
𝒌
𝟏𝟔
−
𝒛 𝟐
𝟒
=
𝒙
𝟑
es una familia de parábolas.
Consideramos las secciones paralelas al plano YZ; sea 𝑥 = 𝑘 entonces
𝒚 𝟐
𝟏𝟔
−
𝒛 𝟐
𝟒
=
𝒌
𝟑
es una familia de hipérbolas.
 Construimos la superficie
La gráfica es un Paraboloide Hiperbólico

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APLICACIONES DE LAS CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL
Sea 𝒇: 𝑹 𝟐 → 𝑹
( 𝒙, 𝒚) → 𝑻 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Donde T es la temperatura distribuida sobre una placa, y T=k, entonces obtenemos las
cruvas de nivel 𝒌 = 𝒇(𝒙, 𝒚), denominadas ISOTERMAS, que significa que en cualquier
punto placa la temperatura es constante.
Sea 𝒇: 𝑹 𝟐
→ 𝑹
( 𝒙, 𝒚) → 𝑽 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Donde V es el potencial eléctrico distribuido sobre una placa, y V=k, entonces
obtenemos las curvas de nivel 𝒌 = 𝒇(𝒙, 𝒚), denominadas CURVAS EQUIPOTENCIALES,
que significa que en cualquier punto de la placa el potencial eléctrico es constante.
Sea 𝑓: 𝑅2
→ 𝑅
( 𝒙, 𝒚) → 𝑷 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
Donde P es la presión distribuida sobre una placa, y P=k, entonces obtenemos las
curvas de nivel 𝒌 = 𝒇(𝒙, 𝒚), denominadas CURVAS ISOBÁRCIAS, que significa que en
cualquier punto de la placa la presión es constante.
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑇 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)Sea 𝑓: 𝑅3
→ 𝑅
Donde T es la presión distribuida sobre una placa, T=k, entonces obtenemos las
superficies de nivel 𝒌 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛), denominadas ISOTERMAS, que significa que en
cualquier punto de la superficie la temperatura es constante.
Sea 𝒇: 𝑹 𝟑
→ 𝑹
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑉 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Donde V es el potencial eléctrico distribuido sobre una placa, y V=k, entonces
obtenemos las superficies de nivel 𝒌 = 𝒇(𝒙, 𝒚), denominadas SUPERFICIES
EQUIPOTENCIALES, que significa que en cualquier punto de la superficie el potencial
eléctrico es constante.
Sea 𝑓: 𝑅3
→ 𝑅
( 𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑃 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

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Donde P es la presión distribuida sobre una superficie, y P=k, entonces obtenemos las
superficies de nivel 𝑘 = 𝑓(𝑥, 𝑦), denominadas SUPERFICIES ISOBÁRCIAS, que significa
que en cualquier punto de la superficie la presión es constante.
EJERCICIOS
 El potencial eléctrico en un punto (𝑥, 𝑦), es 𝑉( 𝑥, 𝑦)voltios y está dado por:
𝑉( 𝑥, 𝑦) = −𝑥2
+ 3𝑦 − 6
Dibuje las curvas equipotenciales de V para 5, 10, 15 voltios.
Solución 𝑉( 𝑥, 𝑦) = 𝑘, entonces
𝑘 = −𝑥2
+ 3𝑦 − 6, es decir
𝑦 =
𝑥2
+6+𝑘
3
Que representa una familia de parábolas:
 La presión de un gas en un punto (𝑥, 𝑦, 𝑧), del espacio tridimensional en
atmósferas está dado por:
𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) =
4𝑥2
+ 2𝑦2
𝑧
Describa y represente gráficamente las superficies isobáricas para 2, 4, 6
atmósferas.
𝑃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘, entonces

21
𝑘 =
4𝑥2
+2𝑦2
𝑧
, es decir
𝑧 =
4𝑥2
+2𝑦2
𝑘
que representan una familia de paraboloides elípticos,
Si 𝑃 = 2 𝑎𝑡𝑚. → 𝑧 = 2𝑥2
+ 𝑦2
Si 𝑃 = 4 𝑎𝑡𝑚. → 𝑧 = 𝑥2
+
1
2
𝑦2
Si 𝑃 = 6 𝑎𝑡𝑚. → 𝑧 =
2
3
𝑥2
+
1
3
𝑦2

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BIBLIOGRAFÍA
 ESPINOZA RAMOS, E. Análisis Matemático III. 3ra ed. Lima: Edit. Servicios
Gráficos JJ. 2010. (pag 297 – 320)
 LEITHOLD, L. El Cálculo. 7 ed. México: Litográfica Eros, S.A. de C.V. 2003 (pag
917- 940)
 CHÁVEZ, L. Análisis Matemático II. Teoría y Ejercicios. Riobamba. 2013