Cap. I - Fotogrametria II

7.286 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
7.286
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
301
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Cap. I - Fotogrametria II

  1. 1. Capítulo I CAPÍTULO I 1. Ajustamento de observações aplicado na Fotogrametria Devido às propriedades estocásticas das observações (variabilidade das observações), sua redundância não é compatível com o modelo funcional que representa a realidade física. Por exemplo, considere um conjunto de n observações coletadas por um operador humano: se o conjunto supracitado for dividido em 4 (quatro) subconjuntos; ao aplicar qualquer um deles, diferentes resultados serão apresentados, tendo em vista a variabilidade randômica das observações. O Método de estimação por Mínimos Quadrados (MMQ) tem como objetivo encontrar solução única para os parâmetros a serem estimados através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos, como segue: 2 V → min (1.1) Dentre os métodos de ajustamento de observações, os mais usados em aplicações fotogramétricas são: o método paramétrico para funções lineares e não lineares; o método combinado; e a filtragem kalman. Aqui serão tratados os métodos de ajustamento de observações: paramétrico para funções lineares e não lineares; e combinado. 1.1. Método paramétrico para funções não lineares Admitindo que um conjunto de dados seja observado e suas variâncias são de qualidades diferentes; pode-se então realizar uma 1 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  2. 2. Capítulo I ponderação na Equação (1.1) associando um peso para cada um dos elementos do vetor dos resíduos V . Tem-se então a seguinte expressão, a saber (DALMOLIN, 2002): V T PV → min (1.2) Onde, P é o peso das observações e V é o vetor dos resíduos. O modelo funcional do método paramétrico é dado por: La = F ( X a ) (1.3) Onde, La = Lb + V é vetor das observações ajustadas, F é o modelo matemático funcional (linear ou não linear), X a = X 0 + X é o vetor dos parâmetros ajustados, Lb é o vetor das observações, X 0 é o vetor dos parâmetros aproximados (somente para funções não lineares) e X é o vetor das correções dos parâmetros aproximados. Com os elementos descritos acima, pode-se reescrever a Equação (1.2) da seguinte forma: Lb + V = F ( X 0 + X ) (1.4) Expandindo o termo Lb + V = F ( X 0 + X ) pela série de Taylor e desprezando os termos maiores ou iguais a 2, tem-se: 2 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  3. 3. Capítulo I ∂F Lb + V = F ( X 0 + X ) = F ( X 0 ) + (Xa − X0) (1.5) ∂X 0 ∂F Fazendo L0 = F ( X 0 ) e A = tem-se: ∂X 0 V = A( X a − X 0 ) + (L0 − Lb ) (1.6) A partir da Equação (1.6) é obtido o modelo matemático linearizado do método paramétrico, como segue: V = AX + L (1.7) Sendo X = X a − X 0 e L = L0 − Lb . Substituindo a Equação (1.7) na equação (1.2), tem-se: ( AX + L )T P( AX + L ) → min (1.8) Minimizando a Equação (1.8), ou seja, derivando a Equação (1.8), obtêm-se o vetor das correções aos parâmetros, como segue: X = −( u An n Pn n Au ) −1 ( u An n Pn n L1 ) T T (1.9) N = ( AT PA) −1 e U = ( AT PL) (1.10) Onde, • N é a matriz das equações normais; • n é o número de observações; 3 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  4. 4. Capítulo I • u número de parâmetros ou incógnitas; 1 / σ obs 2 0 0 0 0 0     0 1 / σ obs 2 0 0 0 0  •  0 0 .... 0 0 0 ; P = σ 0 ∑ −1 2 Lb =σ0  2   0 0 0 .... 0 0   0 0 0 0 1 / σ obs 2 n 0   2 n   0  0 0 0 0 1 / σ obs   • σ 02 é a variância de unidade peso a priori; e • σ obs é a variância das observações. 2 A Matriz Variância-Covariância (MVC) dos parâmetros ajustados ( ∑X a ) é dada por: ^ 2 ∑ X a = σ 0 ( N ) −1 (1.11) ^ 2 Sendo σ0 a variância de unidade peso a posteriori. A variância de unidade peso a posteriori é calculada como segue: ^ 2 V T PV σ0 = (1.12) n−u A Matriz Variância-Covariância (MVC) das observações ajustadas ( ∑L a ) é dada por: 4 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  5. 5. Capítulo I  ^ 2 −1  T ∑ La = A σ 0 N  A   (1.13)   A linearização do modelo matemático funcional F é realizada por meio de um processo iterativo, onde os parâmetros aproximados são atualizados a cada iteração e o processo converge quando o vetor das correções se aproxima de zero ou quando for igual ou inferior a um valor de limiar pré-estabelecido. A seguir será apresentado o método paramétrico para funções não lineares com injunção de peso ou absoluta. 1.1.2. Método Paramétrico para funções não lineares com injunção de peso ou absoluta Este método é descrito pela adição do modelo funcional apresentado por: Lia = G ( X a ) (1.14) Onde, • Lia : vetor das novas observações ajustadas relativas às injunções; • G : modelo matemático funcional da injunção absoluta. O modelo funcional linearizado do método é o que segue: Vi = A i X + Li (1.15) Sendo, • Vi : vetor dos resíduos das injunções; 5 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  6. 6. Capítulo I ∂G • Ai = ( Xa − Xo ) matriz das derivadas parciais do modelo funcional ∂X das injunções; e • Li : vetor das observações relativo às injunções. ComoG é representado pelo modelo matemático dado por ∂G a = b , a matriz das derivadas parciais é: Ai = = 1 . Admitindo que não ∂b i existe corelação entre L e L então a solução da correção aos parâmetros por meio do método paramétrico para funções não lineares com injunção absoluta é dado como segue: i X = −( u An n Pn n Au + u Pui ) −1 ( u An n Pn n L1 + u Pui u L1 ) T T (1.16) Onde, 1 / σ 2 par 0 0 0 0 0     0 1/ σ 2 par 0 0 0 0  •  0 0 1/ σ 2 0 0 0  Pi = σ 0  2 par   0 0 0 ... 0 0   0 0 0 0 ... 0      0 0 0 0 0 1 / σ par  2  • P i é a matriz dos pesos das injunções calculada em função da confiabilidade atribuída aos parâmetros aproximados; • σ par 2 é a variância dos parâmetros aproximados; e • Li = G ( X a ) = X 0− X a . A MVC dos parâmetros ajustados é calculada pela expressão que segue: ^ 2 ∑ X a = σ 0 ( N + N i ) −1 (1.17) 6 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  7. 7. Capítulo I ^ 2 (V T PV ) + (ViT P iVi ) σ0 = (1.18) n + ni − u i Onde n é o número de injunções aplicadas ao modelo. A seguir será apresentado o método paramétrico para funções lineares. 1.1.3. Método paramétrico para funções lineares No caso de funções matemáticas lineares L = − Lb , pois L0 → 0 e −1 a Equação X = −( u An n Pn n Au ) ( u An n Pn n L1 ) é reescrita na forma como T T segue: X = (u An n Pn n Au ) −1 (u An n Pn n Lb1 ) T T (1.19) Nos casos em que a variância das observações possuem o mesmo peso, isto é, a mesma variância, tem-se que: P = I ; ou seja, a matriz dos pesos é igual a identidade. 1.2. Método combinando de ajustamento de observações De acordo com Mikhail e Ackerman (1976) o método combinado é aplicado em modelos funcionais que combinam observações e parâmetros. Os modelos funcionais aplicados a este método são formados por equações implícitas do tipo: 7 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  8. 8. Capítulo I F ( X a , La ) = 0 (1.20) O número de equações de condições (c) é a soma dos graus de liberdade (r) e o número de parâmetros incógnitos (u), expresso por (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976): c = r+u (1.21) Onde, r = n − n0 , n0 é o número mínimo de parâmetros no modelo, n é o número total de observações. A Equação (1.20) deve atender as seguintes condições, a saber: r≤c≤n (1.22) 0 < u ≤ n0 (1.23) O modelo linearizado correspondente ao método combinado de ajustamento de observações é obtido através da linearização da equação (1.19) utilizando a expansão em série de Taylor. Tomando-se apenas os dois primeiros termos da série, tem-se: AX + BV + W = 0 (1.24) Sendo, ∂F • B= X 0 , Lb matriz das derivadas parciais do modelo funcional ∂La em relação as observações; • W = F ( Lb , X 0 ) : vetor das correções. 8 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  9. 9. Capítulo I Assim sendo tem-se a seguinte solução para as equações normais, a saber: [ X = AT ( BPB T ) −1 A ] −1 AT ( BPB T ) −1W (1.25) O vetor das observações inseridas menos o vetor das observações ajustadas denominado de vetor resíduo é dado por: V = − P −1B T ( BPBT ) −1 ( AX + W ) (1.26) No caso de modelos não lineares, iterações são requeridas. Assim para a i-ésima interação expansão em série de Taylor: Ai X i + BiVi + Wi = 0 (1.27) Sendo, ∂F • A = Xi , Li ; ∂X a ∂F • B = a Xi , Li ; ∂L • Wi = Bi ( Lb − Li ) + F ( X i , Li ) . A solução para as equações normais é dada por: [ T T X i = Ai ( Bi PBi ) −1 Ai ] −1 T T Ai ( Bi PBi ) −1Wi (1.28) 9 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  10. 10. Capítulo I Sendo admitido para a primeira iteração X a = X o e Li = Lb Para as demais iterações os parâmetros ajustados da iteração anterior ( ) serão usados na próxima iteração como parâmetros aproximados (GEMAEL, 1994). As observações ajustadas da iteração anterior serão usadas na montagem das matrizes , e . O vetor dos parâmetros ajustados é obtido por: X ia = X ia−1 + X i (1.29) O vetor das observações ajustadas é obtido por: La = Lb + Vi i (1.30) −1 T −1 Sendo Vi = P ( Bi PBi ) Ai X i + Wi . O ajustamento converge, quando os resíduos e os parâmetros tendem a estabilizar e, portanto, as correções dos parâmetros tendem a zero. Segundo Mikhail e Ackerman (1976) os graus de liberdade ( ) é calculado pela equação: r = n−u (1.31) Assim sendo, a MVC dos parâmetros ajustados (Σ ) é dada por: [ ] ^ 2 ∑ X a = σ 0 ( AT ( BPB T ) −1 A −1 (1.32) 10 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  11. 11. Capítulo I Como a realidade física é demasiadamente complexa é impossível desenvolver um modelo matemático que a represente de forma fidedigna. Ao assumir que o modelo matemático é adequado a um suposto problema, deve ser verificada a consistência entre as observações e o modelo matemático, para que seja indicada a presença de erros grosseiros. 1.3. Controle de qualidade O controle de qualidade se resume na verificação da consistência entre as observações e o modelo matemático, bem como identificar a presença de erros grosseiros não modelados para que os mesmos sejam eliminados (TEUNISSEN, 1998). O controle de qualidade está vinculado à execução de testes estatísticos, onde uma determinada condição, denominada hipótese nula ( H 0 ), é estabelecida para os parâmetros a serem examinados. Os testes estatísticos são baseados em testes de hipóteses. O teste de hipótese pode ser entendido como uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma suposição, que pode ser verdadeira ou falsa, quanto ao valor de um parâmetro populacional para uma dada probabilidade. Devido à dificuldade de se examinar a população inteira, utiliza-se uma amostra aleatória. Com isto, formula-se a denominada hipótese nula ( H 0 ) para os parâmetros a serem testados. A rejeição de H 0 significa a aceitação de uma hipótese alternativa ( H a ), que advém da insuficiência de evidências para rejeitar H 0 . Sendo assim, ao se acatar o resultado de um teste de hipóteses, cometem-se dois tipos de erros: o erro α e o erro β , no qual o erro do tipo α , também 11 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  12. 12. Capítulo I denominado de nível de significância, é a probabilidade de se rejeitar uma hipótese que na realidade é verdadeira. O erro do tipo β , é a probabilidade de se aceitar uma hipótese que na realidade é falsa (TIBERIUS, 1998). Geralmente a etapa de detecção de erros é a etapa mais importante no controle de qualidade. Nesta etapa testa-se a hipótese H 0 contra H a , com a finalidade de verificar a consistência entre o modelo matemático e as observações. O processo de estimação também fornece o vetor dos resíduos das observações que possuem uma mistura de todos os tipos de erros. Os erros sistemáticos são passíveis de modelagem, enquanto os erros aleatórios são de natureza desconhecida e os erros grosseiros, geralmente, requerem o uso de técnicas de detecção e eliminação aplicada aos resíduos provenientes do processo de estimação. Por isso, os resíduos das observações ajustadas no processo de estimação devem ser analisados estatisticamente e o processo mais adequado é o uso de alguma técnica de controle de qualidade das observações. As técnicas mais comumente utilizadas para análise de dados paramétricos são: Qui-Quadrado; t-Student; data-snooping, método danishing, entre outras. Algumas das bibliografias mais utilizadas na área são: Baarda (1968); Mikhail e Ackermann (1976); Gemael (1994); Teunissen (1998); Dalmolin (2000). Aqui, serão tratadas as técnicas Qui- Quadrado e data-snooping. 1.3.1. Teste Qui-Quadrado Segundo Gemael (1994), o teste estatístico Qui-quadrado (χ ) amostral é calculado por: 12 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  13. 13. Capítulo I σ 02 ˆ χ = 2 r 2 a σ (1.33) Onde, χ é o qui-quadrado amostral, é a variância da observação de peso unitário a priori e é o grau de liberdade no ajustamento ( ). A estatística Qui-quadrado populacional é obtida em função de e do nível de significância ( ), através de uma tabela de dupla entrada (bimodal). Deste modo os parâmetros ajustados são rejeitados nos testes estatísticos ao nível de confiança se não cumprir com a condição imposta por: χ a < χ (2r ,α ) 2 (1.34) Onde, χ ,α é o qui-quadrado tabelado (ver tabelas estatísticas). Se as observações forem rejeitadas neste teste, existem erros grosseiros a serem analisadas ou retiradas do processo de ajustamento. A seguir será apresentada a técnica de detecção de erros grosseiros e outliers conhecida como data-snooping. 1.3.2. Teste data-snooping Esta técnica é muito utilizada em processos de estimação cujo conjunto de observações pode ser tratado de forma dinâmica. O teste para detecção pode ser realizado a partir de uma análise dos resíduos, que por estarem em função das observações. A estatística a ser utilizada para testar H 0 contra H a é dado por (BAARDA, 1968): 13 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  14. 14. Capítulo I rn S= (1.35) σr n Onde, rn é o resíduo predito das observações, σrn o desvio-padrão dos resíduos preditos e S a estatística denominada correção normalizada. As estatísticas apresentadas possuem distribuição normal padrão, isto é, S ~ N α / 2 (0,1) , e trata localmente as observações. Se a primeira hipótese é verdadeira, não existem erros nas observações. Então, as observações não contêm erros quando a estatística S , a um nível de significância α , estiverem situadas no intervalo: − Nα / 2 < S < Nα / 2 (1.36) Nα /2 é extraída da curva normal padrão. Caso algum erro seja detectado e identificado, as observações são descartadas do processo e o vetor dos parâmetros calculados não é atualizado. 1.4. Projeto fotogramétrico Para a execução de um projeto fotogramétrico, usualmente, é seguido um fluxograma de etapas. Atualmente, com o uso de câmaras digitais de pequeno, médio e grande formato, o fluxograma é dividido em: fluxo de etapas baseado no uso de câmaras métricas convencionais; e baseado em uso de câmaras digitais. A Figura 1.1 apresenta um fluxograma para a execução de um projeto fotogramétrico. 14 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  15. 15. Capítulo I FIGURA 1.1. Fluxograma para um projeto fotogramétrico. (Adaptado de Santos et al. 2000) O sucesso na execução de qualquer projeto fotogramétrico depende da qualidade do planejamento de vôo elaborado. Por isso, geralmente, o planejamento de vôo é executado pelo engenheiro de maior experiência e o 15 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  16. 16. Capítulo I fator de maior importância está relacionado com o tipo de produto que deverá ser gerado pelo processo fotogramétrico, cuja imposição geralmente é feita pelo usuário. Neste caso é necessário decidir a escala da fotografia e a precisão dos produtos que serão derivados. Por exemplo, um usuário de cartografia exigiu um produto cartográfico (otofotocarta, por exemplo) na escala 1:2000. Desta forma, poderão ser adquiridas fotografias na escala até 1:8000, tendo em vista que o fator de redução é de 4 vezes. Como descrito anteriormente, uma missão fotogramétrica deve ser cuidadosamente planejada e rigorosamente executada de acordo com o plano de vôo. O plano de vôo consiste de um mapa de vôo (Figura 1.2) e as devidas especificações, tais como, altura e altitude de vôo, autonomia e velocidade da aeronave, tempo de exposição das fotografias etc. FIGURA 1.2. Mapa de vôo. 16 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  17. 17. Capítulo I 1.4.1 Sobreposição longitudinal e lateral A cobertura fotogramétrica de uma área é realizada por meio de fotografias verticais obtidas ao longo de diversas faixas ou linhas de vôo com uma série de fotografias com sobreposição longitudinal (bloco fotogramétrico). Cada fotografia possui uma sobreposição em relação à sua sucessiva fotografia. A Figura 1.3 mostra a sobreposição longitudinal. FIGURA 1.3. (a) Sobreposição longitudinal. (b) Faixa fotogramétrica. (a) (b) 17 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  18. 18. Capítulo I Usualmente, o recobrimento longitudinal entre duas fotografias é entre 60% e 65% (Fig. 1.3a) para fotografias tomadas com câmara métricas convencionais e de 80% para fotografias tomadas com câmara digitais de pequeno formato. A razão para tais números se deve à rigidez geométrica que deve ser estabelecida em função da distância focal e o tamanho do quadro focal da câmara. Uma seqüência de fotografias tomadas na direção de vôo forma uma faixa fotogramétrica (Fig. 1.3b). A sobreposição longitudinal consiste em permitir uma cobertura do terreno de dois pontos de vista diferentes, permitindo a produção de estereopares para a observação e medição estereoscópica, construção de mosaicos (Fig. 1.3b, ilustração à direita), e geração de apoio fotogramétrico derivados do processo de fototriangulação de imagens. A sobreposição lateral é requerida para prevenir falhas entre faixas fotogramétricas consecutivas, como resultado da deriva, inclinações, variação na altura de vôo da aeronave e na variação do terreno. No caso do recobrimento lateral entre fotografias adjacentes (alocadas em faixas fotogramétricas consecutivas, ver Fig. 1.4a) deve-se considerar um recobrimento entre 30% e 40%. Uma vantagem do uso da sobreposição lateral é eliminar a necessidade de uso das bordas extremas das fotografias, cuja qualidade geométrica é influenciada pela distorção radial da lente e pela característica da propriedade perspectiva da fotografia. A Figura 1.4 mostra a sobreposição lateral entre as fotografias. 18 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  19. 19. Capítulo I FIGURA 1.4. (a) Sobreposição lateral. (b) Ilustração visual. (a) (b) A seguir será apresentada a teoria de escala vertical de uma fotografia. 1.4.2 Escala vertical de uma fotografia A escala é a razão de uma distância medida em um mapa e sua correspondente no terreno. A escala de um mapa é geralmente expressa como uma fração, com numerador e denominador na mesma unidade. Isto mostra que uma escala não possui dimensão e quanto maior seu denominador menor é a escala. A Figura 1.5 ilustra uma seção transversal tomada por meio de uma fotografia aérea vertical com a estação de exposição posicionada no Centro Perspectiva da câmara (CP). A distância entre o Datum e a estação de exposição é denominada altitude de vôo ( hV ) e a distância entre a superfície física (S.F.) e a estação de exposição é denominada de altura de vôo H V . 19 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  20. 20. Capítulo I FIGURA 1.5. (a) Escala de uma fotografia vertical. (b) GSD para aplicações com câmaras digitais. (a) (b) Onde, o é o ponto principal da fotografia, m é o tamanho físico do pixel no CCD, M é o tamanho do pixel no terreno também conhecido como GSD (em inglês, Ground Sample Distance) e f é a distância focal da câmara. O terreno se apresenta plano, porém possui uma altitude média da região em relação ao Datum, representado por h . O ponto. A distância entre CP e o plano da fotografia CPo é denominada distância focal da câmara ( f ). A escala da fotografia ( E f ) é expressa pela razão das ab distâncias . Mas, pela semelhança de triângulos ∆CPab ∆CPAB tem-se AB que: f Ef = (1.37) HA − h A escala do produto final geralmente é especificada pelo contratante (usuário) do projeto e o fotogrametrista deverá se encarregar em definir uma escala da fotografia, cujo menor objeto de interesse para o projeto 20 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  21. 21. Capítulo I possa ser identificado no produto final compilado. Por isso, este fator é variante de acordo com as especificações do projeto e depende da experiência do Engenheiro responsável pela execução do projeto. No caso de vôos executados com câmaras digitais o conceito exposto acima deve ser reformulado. Por exemplo, o conceito de escala não pode ser mais usado e o mesmo é substituído pelo conceito de GSD. O GSD representa o tamanho real de um determinado pixel no terreno. Quanto menor o valor do GSD melhor é a resolução espacial da imagem, ou seja, melhor será a definição geométrica dos objetos presentes na cena. Considerando a geometria apresentada na Figura 1.5b pela semelhança de triângulos ∆CPab ∆CPAB tem-se a equação que determina o valor do GSD, dado por: mH v M= (1.38) f Como pode ser percebido na Equação (1.38), o GSD (M) é função da altura de vôo, da distância focal da câmara e do tamanho físico do pixel no CCD. Outro fator de importância consideração é o tipo de equipamento a ser utilizado para a execução do projeto e que influencia na determinação da escala da fotografia. 1.4.3 Escolha dos equipamentos É de extrema importância a escolha dos equipamentos adequados para realizar o recobrimento aéreo, bem como executar o produto final. Para um recobrimento aéreo é necessário sugerir uma aeronave que tenha velocidade de cruzeiro, capacidade de peso e estabilidade adequada. 21 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  22. 22. Capítulo I Dependendo do trabalho a ser realizado, até mesmo um ultra-leve (Figura 1.6b) ou um aeromodelo (Figura 1.6c) podem ser propostas. A Figura 1.6 mostra alguns exemplos de aeronaves a serem selecionados para um vôo fotogramétrico. FIGURA 1.6. (a) Cessna 210 bimotor. (b) Ultra-leve. (c) Aeromodelo. (a) (b) (c) No entanto, o que definirá o tipo de aeronave a ser utilizada é a câmara a ser empregada para a aquisição das imagens. A câmara pode ser métrica convencional (Fig. 1.7a), câmara digital de pequeno formato (de 6-15 MegaPixels, Fig. 1.7b), médio formato (em torno de 15-40 MegaPixels, Fig. 1.7c) ou grande formato (superior à 40 MegaPixels, Fig. 1.7d). A Figura 1.7 mostra os tipos de câmaras supracitados. FIGURA 1.7. (a) Câmara métrica convencional. Câmaras digitais: (b) Sony CyberShot. (c) Canon S5 Pro. (d) Intergraph DMC e Leica ADS40. (a) (b) (c) (d) 22 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  23. 23. Capítulo I Quando uma câmara métrica convencional ou câmaras digitais de grande formato são selecionadas para a execução do projeto fotogramétrico não restam dúvidas que a melhor aeronave é a ilustrada na Figura 1.6a. Definido os parâmetros mais críticos para o planejamento de vôo é necessário estudar a região de recobrimento, calcular a fotobase e aerobase, a distância entre as faixas, o número de faixas por fotografias, o número de faixas fotogramétricas e o número total de fotografias para o recobrimento aéreo. 1.4.3 Região de recobrimento A variação de escala da fotografia ou entre fotografias, ou GSD é causada pela variação da movimentação do terreno, pela variação da altura de vôo, ou ambas as variações. Como exemplo, considere duas fotografias adquiridas sobre um terreno com elevação média de 120 m em relação ao Datum, com altitudes variando entre 50 e 180 m. Dada a distância focal da câmara de 152 mm e uma altitude de vôo de 500 m, qual seria a escala média da fotografia? Solução: Para uma altitude média de 50 m, tem-se: 0.152m Ef = ∴ A escala da fotografia é 1:2960. (500 − 50)m Para uma altitude média de 180 m, tem-se: 0.152m Ef = ∴ A escala da fotografia é 1:2105. (500 − 180)m 23 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  24. 24. Capítulo I Sendo assim, a escala média da fotografia é 1:2500. Como descrito anteriormente, a variação de escala da fotografia ou entre fotografias é causada pela variação da movimentação do terreno, pela variação da altura de vôo ou ambas as variações. No caso de variação de escala causada por movimentação do terreno a Figura 1.8 mostra uma situação onde a aeronave sobrevoa uma região com altura de vôo constante e o terreno varia da esquerda para a direita, dois efeitos são visíveis, isto é: a sobreposição longitudinal diminui conforme a movimentação do terreno aumenta (Fig. 1.8a); e ocorre redução da área de recobrimento e da sobreposição lateral, conforme a altitude do terreno aumenta (Fig. 1.8b). FIGURA 1.8. Variação de escala devido à movimentação do terreno. (a) redução da sobreposição longitudinal. (b) redução da área de recobrimento. (a) (b) 24 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  25. 25. Capítulo I A solução para os problemas apresentados é variar a altura de vôo da aeronave ou a distância focal da câmara. Porém, estes fatores devem ser considerados no momento da elaboração do planejamento de vôo, por isso, é de extrema importância o estudo da área de recobrimento. Outro fator importante que deve ser considerado é a precisão dos produtos que deverão ser obtidos com o processo fotogramétrico, como por exemplo, as curvas de nível, a ortofotocarta etc. No momento da tomada das fotografias os componentes de rotação da câmara nas direções em x (denominado de ω -“movimento de asa da aeronave”-, Fig. 1.9a) e y (denominado de ϕ -“movimento de nariz da aeronave”-, Fig. 1.9b) provocam inclinações na aeronave e por isso devem ser considerados no planejamento de vôo. Quando a aeronave sofre o movimento em ϕ a sobreposição longitudinal será afetada e quando ocorre o movimento em ω a sobreposição lateral sofrerá distorções. FIGURA 1.9. (a) Movimento em ω. (b) Movimento em ϕ. (a) (b) O movimento de deriva da aeronave (Fig. 1.10) é provocado pelas fortes rajadas de vento e da impossibilidade do piloto de vôo manter a aeronave em linha reta, provocando falhas no recobrimento fotogramétrico. 25 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  26. 26. Capítulo I FIGURA 1.10. Deriva (movimento em κ). A deriva é o ângulo formado entre a direção de vôo e o alinhamento da aeronave no momento de deriva. A seguir serão apresentadas as formulações para os devidos cálculos da elaboração do plano de vôo. 1.4.4 Cálculo da altura de vôo Ao fixar a sobreposição longitudinal e lateral pode ser calculada a altura de vôo que será estabelecida para a tomada das fotografias. Para isto é necessário considerar a precisão dos equipamentos que serão utilizados para a compilação do produto final. Geralmente, quanto maior a precisão requerida menor a altura de vôo, entretanto, maior será a quantidade de fotografias a serem adquiridas para o recobrimento completo do terreno. Portanto, desde que a acurácia vertical do produto é o fator limitante no processo fotogramétrico, a altura de vôo é função do intervalo entre as curvas de nível que devem ser geradas. A relação é expressa por um fator de precisão denominado FatorC do equipamento fotogramétrico, a saber: HV FatorC = (1.39) V 26 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  27. 27. Capítulo I Onde, V é o intervalo entre as curvas de nível. 1.4.5 Cálculo da Aerobase ( B ) e fotobase ( b ) A Aerobase e a fotobase são elementos a serem determinados para o cálculo da distância entre cada estação de exposição da câmara. A Aerobase é a distância entre cada estação de exposição medida no terreno (Fig. 1.11b) e a fotobase é a distância entre dois centros fiduciais, medida na fotografia (Fig. 1.11a). FIGURA 1.11. (a) Fotobase. (b) Aerobase. (a) (b) Para calcular ambos os elementos faz-se: b = (1 − SL ) * TFx (1.40) Onde, 27 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  28. 28. Capítulo I SL : é a sobreposição longitudinal fixada para a elaboração do planejamento de vôo; e TFx : é a dimensão da fotografia no eixo x. b f = (1.41) B HV b ∴B = HV (1.42) f Determinada a aerobase deve ser calculado o intervalo de exposição entre cada fotografia, como segue: B i_e = (1.43) v Onde, i _ e : é o intervalo de exposição entre cada fotografia; e v : velocidade de cruzeiro da aeronave. 1.4.6 Cálculo da distância entre faixas ( W ) Para o recobrimento completo de uma área a ser mapeada é necessário estabelecer faixas fotogramétricas. O cálculo da distância entre as faixas é necessário para posicionar a aeronave na execução do planejamento 28 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  29. 29. Capítulo I de vôo com a devida sobreposição lateral fixada no plano de vôo. A Figura 1.12 mostra um esquema da distância entre as faixas fotogramétricas. FIGURA 1.12. Distância entre faixas fotogramétricas. Para calcular a distância entre as faixas deve-se realizar os seguintes cálculos, a saber: w = (1 − Sa ) * TFy (1.44) Onde, Sa : é a sobreposição lateral fixada para a elaboração do planejamento de vôo; w : medida entre dois centro fiduciais em fotografias pertencentes à faixas fotogramétricas adjacentes; TFy : é a dimensão da fotografia no eixo y; 29 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  30. 30. Capítulo I w f = (1.45) W HV w ∴W = HV (1.46) f 1.4.7 Número de faixas fotogramétricas ( Nf ) e do número total de fotografias ( Tf ) Para calcular o número de faixas fotogramétricas necessário para recobrir completamente a região de interesse, basta considerar a largura do terreno a ser mapeado ( Lr ) e a distância entre as faixas fotogramétricas, calculada anteriormente. Lr Nf = (1.47) W Para calcular o número total de fotografias necessária para recobrir completamente o terreno, basta considerar os seguintes elementos, a saber: Cr N= (1.48) B Onde, N : é o número de fotografias por faixa fotogramétrica; Cr : comprimento do terreno a ser mapeado; Tf = N * Nf (1.49) 30 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  31. 31. Capítulo I Desta forma, são determinados os elementos mais importantes para elaborar um plano de vôo adequado para o recobrimento aéreo. Após os devidos cálculos, um fator importante a ser considerado é o planejamento do apoio de campo a ser realizado para os processos de orientação fotogramétrica (resseção espacial, fototriangulação entre outros). Além do planejamento de vôo deve ser planejado também o apoio de campo (levantamento geodésico de pontos de apoio para processos fotogramétricos), estimativa de custo e tempo de execução do projeto, entre outros. 1.4.8 Planejamento do apoio de campo O planejamento do apoio de campo consiste em determinar pontos tridimensionais sobre a superfície física por meio de métodos de levantamento direto. Existem dois tipos de pontos de apoio, isto é: pontos naturais; e pontos artificiais. Os pontos naturais são aqueles pontos fotoidentificáveis cuja identificação está em cruzamentos de vias, cantos de culturas e de edificações, entre outros (círculo branco, Figura 1.13a). Os pontos de apoio artificiais são figuras geométricas implantadas na superfície física (Figura 1.13b), de forma que os mesmos sejam fotoidentificáveis. Esses pontos são implantados, geralmente, com diâmetros de 3 à 5 vezes o tamanho de um pixel no terreno. 31 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  32. 32. Capítulo I FIGURA 1.13. Apoio de campo. (a) Pontos naturais. (b) Pontos artificiais. (a) (b) A partir do apoio de campo se define o sistema referencial no espaço- objeto a ser adotado no projeto fotogramétrico, assim como é fornecido subsídios para os processos de orientação fotogramétrica. Diversos produtos são obtidos a partir de um projeto fotogramétrico, tais como: fotografias ou imagens digitais; foto índice; mosaicos; ortofotos; ortofotocartas; mapas e cartas topográficas digitais ou vetoriais; base de dados para SIG; Modelos Digitais de Terreno; mapas cadastrais etc. 32 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  33. 33. Capítulo I ANEXO A DEFINIÇÕES ESTATÍSTICAS 33 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  34. 34. Capítulo I As definições e termos apresentados a seguir deverão ser entendidos para discussões do MMQ. As observações são valores observados diretamente (ou medidos) que contém erros randômicos e, por isso, não fornecem solução única ao problema. O valor verdadeiro é o valor teoricamente exato de uma medida. Entretanto, valores verdadeiros, nunca podem ser determinados. Não importa o cuidado dispensado para medir uma observação, erros randômicos sempre estarão presentes, devido a natureza probabilística das observações. O erro ou discrepância é a diferença entre qualquer quantidade de medida e o valor adotado como verdadeiro ou de referência, para aquela medida. Desde que o valor verdadeiro de uma quantidade de medida nunca pode ser determinado (como descrito anteriormente), os erros também são indeterminado; portanto, eles são quantidades estritamente teóricas. Os erros devem ser estimados comparando-se medidas ou valores calculados com aqueles obtidos por métodos independentes ou de melhor precisão. Por exemplo, foi calculada uma distância (d1) por meio de técnica fotogramétrica; para encontrar o erro determinado no cálculo da distância basta calcular a diferença entre d1 e a mesma distância (d2) determinada por técnica de levantamento topográfico ou geodésico de precisão. A média de uma medida ( x ) corresponde a um valor que representa uma quantidade de medida realizada diretamente ou independentemente n vezes com observações de mesmo peso ou desvio padrão. A média de uma medida por ser determinado por: 34 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  35. 35. Capítulo I x x=∑ (A1) n Os resíduos são a diferença entre qualquer quantidade de medida e o valor verdadeiro para aquela quantidade de medida. Os resíduos são valores tratados no ajustamento de observações, desde que os erros são indeterminados. Muitas vezes erros e resíduos são tratados como termos similares, mas existe uma diferença teórica entre eles. Graus de liberdade ou redundância ( gl ) representam o número de observações redundantes, ou seja, observações que excedem o número necessário para solucionar um problema pelo MMQ. Observações redundantes revelam discrepâncias nos valores observados e tornam possível a prática do MMQ para solução única e mais provável. O peso é o valor relativo de uma observação comparada com qualquer outra observação. No ajustamento de observação são atribuídos pesos para as observações de acordo com a sua precisão do valor medido. Isto é, uma observação medida com alta qualidade (precisão) deverá apresentar um valor de peso maior que medidas de baixa qualidade de observação. Caso seja utilizado o mesmo equipamento para realizar um conjunto de medidas deverá ser atribuído o mesmo peso para todas as observações. Desvio padrão é uma quantidade usada para expressar a precisão de um grupo de medidas. O desvio padrão também pode ser chamado de erro médio quadrático, embora não seja totalmente adequado. Uma expressão para calcular o desvio padrão de um conjunto de observações de mesmo peso é a que segue: 35 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  36. 36. Capítulo I σ =± ∑v 2 n −1 (A2) Considere a Tabela A1 dada abaixo. Os dez valores apresentados na coluna (a) foram medidas por meio de técnicas fotogramétricas, onde cada valor foi medido usando o mesmo instrumento. Sendo assim, é assumido o mesmo peso para cada uma das medidas. Tabela A1 – Valores medidos, resíduos e o quadrado dos resíduos (FONTE: Wolf e Dewitt, 2000). Valores medidos Resíduos (mm) Quadrado dos (mm) resíduos (mm2) 105,27 -0,005 0,000025 105,26 -0,015 0,000225 105,29 0,015 0,000225 105,29 0,015 0,000225 105,30 0,025 0,000625 105,27 -0,005 0,000025 105,26 -0,015 0,00025 105,28 0,005 0,000025 105,28 0,005 0,000025 105,25 -0,025 0,000625 ∑ = 1052,75 ∑ = 0,00 ∑ = 0,00225 Da tabela acima o desvio padrão é calculado como segue: 0,00225 σ =± = ±0,016mm 10 − 1 36 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  37. 37. Capítulo I Aqui serão apresentados alguns problemas algébricos simples para a solução com aplicação do MMQ paramétrico para funções lineares e não lineares. Problema 1 Dado o modelo matemático da equação paramétrica da reta, a saber: y = ax + b (A3) Considere que 2 pontos de coordenadas cartesianas foram observados n vezes, e para cada observação foram atribuídas variâncias de diferentes qualidades. O método de estimação a ser considerado depende exclusivamente de quatro requisitos básicos, a saber: 1º) Quem são as observações ou medidas e quais os parâmetros a serem determinados? 2°) O modelo matemático ( F ) é explícito ou implícito? 3º) F é linear ou não linear? 4º) Existe deficiência de posto na matriz das equações normais ( N )? Baseado nesta seqüência de indagações e o modelo matemático apresentado na Equação (A1), vamos responder as questões levantadas para melhor elucidação do leitor em relação ao processo a ser desenvolvido. Em primeiro lugar, as medidas observadas são as coordenadas x e y, sendo x uma observação fixa ao longo da linha reta e y uma observação variável. Os parâmetros a serem determinados são os coeficientes angular (a) e linear (b) da linha reta. 37 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  38. 38. Capítulo I O modelo matemático ( F ) é explícito, pois as observações (y) estão em função dos parâmetros (a e b), além de ser linear. Uma dica importante para descobrir como determinar se F é linear ou não linear: basta derivar o modelo matemático em função dos parâmetros e verificar se na formação algébrica da matriz A está adicionado algum parâmetro. Caso isto aconteça, F não é linear; caso contrário F é linear. Como sabemos que a equação paramétrica da reta é linear e fornece uma linha reta, outra dica interessante é analisar se F possui as mesmas características que a equação paramétrica da reta. Neste caso o método de ajustamento de observações a ser adotado é o método paramétrico para funções lineares. Ainda é necessário verificar se na matriz das equações normais N existe deficiência de posto. A análise do problema é baseada na existência ou inexistência da dependência linear entre as linhas da matriz N . Por exemplo, ao montar o sistema de equações normais verifique se as mesmas são linearmente dependentes, ou seja, existe uma linha que é combinação linear das demais? Caso exista: esta linha na matriz Né combinação linear de quantas outras linhas? De acordo com a definição de dependência linear, a mesma não se efetua em função das seguintes operações, a saber: • Troca de linhas (ou colunas)entre si; • Multiplicação de uma linha (ou coluna) por um fator significativo; • Adição a uma linha (ou coluna) de outra linha (ou coluna) multiplicada por um fator significativo. Na Fotogrametria, usualmente, a última operação é bastante usual, através da prática da aplicação de injunções. 38 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  39. 39. Capítulo I Considerando que o modelo matemático é linear e 10 medidas foram observadas (n) e 2 incógnitas (u) a serem determinadas, tem-se: Lb1 = [ y1 , y 2 , y3 , y 4 , y5 , y 6 , y7 , y8 , y 9 , y10 ] T n n L01 = 0  1  σ 2   y1   1  n P = σ0 n 2  σy 2   2   ...   1   σ y10  2    ∂F 1 ∂F 1   ∂a ∂b   2   x1 1   ∂F ∂F 2  x2 1  n Au =  ∂a ∂a =  ... ...  ... ...    x10 1   ∂F 10 ∂F 10     ∂a  ∂b   Basta agora calcular o vetor correção dos parâmetros X e ter-se-á o vetor dos parâmetros ajustados, uma vez que X 0 = 0 , para modelos funcionais lineares. Pode-se também calcular a MVC das observações e dos parâmetros e analisar estatisticamente ambas as informações. Problema 2 Dado o modelo matemático da equação normal da reta, a saber: x cos(θ ) + ysen (θ ) − ρ = 0 (A4) 39 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  40. 40. Capítulo I Considere que 2 pontos de coordenadas cartesianas foram observadas n vezes, e para cada observação foram atribuídas variâncias de diferentes qualidades. 1º) Quem são as observações ou medidas e quais os parâmetros a serem determinados? 2°) O modelo matemático ( F ) é explícito ou implícito? 3º) F é linear ou não linear? 4º) Existe deficiência de posto na matriz das equações normais ( N )? Baseado na seqüência de indagações apresentadas acima tem-se que: as medidas observadas são as coordenadas x e y; os parâmetros a serem determinados são os coeficientes θ e ρ; o modelo matemático ( F ) é implícito e não linear. Neste caso o método de ajustamento de observações a ser adotado é o método combinado com ou sem injunção. Considerando que o modelo matemático não é linear, 10 medidas foram observadas (n) e existem 2 incógnitas (u) a serem determinadas, tem-se: 40 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  41. 41. Capítulo I [ ]T X 0 = θ 0 , ρ 0 − > aproximado s Lb1 = [x1 , y1 ; x2 , y 2 ; x3 , y 3 ; x4 , y 4 ; x5 , y5 ; x6 , y6 ; x7 , y 7 ;...; x10 , y10 ;] T n n L01 = 0  1  σ 2   x1   1   σy 2  2  1 n P = σ0  n ...   1   σ x10  2    1   σ y10  2    ∂F 1 ∂F 1   ∂θ ∂ρ     ∂F 2 ∂F 2   ∂θ ∂ρ  n Au =   ... ...   ∂F 10 ∂F 10     ∂θ  ∂ρ    ∂F 1 ∂F 1   ∂x ∂y     ∂F 2 ∂F 2   ∂x ∂y  n B2 =   ... ...   ∂F 10 ∂F 10     ∂x  ∂y   Problema 3 - Prático O seguinte exemplo é apresentado para ilustrar uma aplicação prática do MMQ em fotogrametria (WOLF e DEWITT, 2000). O exemplo também mostra o método de determinação dos coeficientes do polinômio 41 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  42. 42. Capítulo I da curva de distorção radial simétrica para uma câmara métrica convencional. Considere os dados de calibração de uma câmara métrica convencional apresentados na Tabela A2. Calcule os coeficientes do polinômio que modela a curva de distorção radial simétrica do sistema de lentes. Tabela A2 – Distância radial e distorções das lentes (FONTE: Wolf e Dewitt, 2000). Distância radial r Distorção radial das (mm) lentes ∆r (mm) 20,170 0,004 41,051 0,007 63,460 0,007 88,454 0,001 107,276 -0,003 128,555 -0,004 Para a solução do problema proposto deve ser encontrado o modelo matemático que melhor represente a realidade física. Neste caso, o modelo polinomial da forma que segue é a função apropriada para a distorção radial simétrica das lentes, a saber: ∆r = k1r + k 2 r 3 + k3 r 5 + k 4 r 7 (A5) Na Equação (A5), existem quatro incógnitas, ou seja, k1 , k 2 , k3 , k 4 que descrevem os coeficientes de distorção das lentes. Então, no mínimo quatro observações são necessárias para aplicar o MMQ. 42 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos
  43. 43. Capítulo I Do processo de calibração, as distorções são determinadas por seis distâncias radiais (ver Tabela A2); sendo assim, seis equações podem ser escritas, e os coeficientes podem ser determinados pelo MMQ. Baseado nos dados de calibração, as seguintes equações de observação devem ser escritas (note que a as distâncias radiais foram convertidas para metros): 0,020170 0,020170 3 0,020170 5 0,020170 7   δ∆r obs1 δ∆r obs1   0,041051 0,0410513 0,0410515 0,0410517    ...    k1 k4   0,063460 0,063460 3 0,063460 5 0,063460 7 6 A4 =  ... ... ...  =  3   δ∆r obs 6 δ∆r obs 6  0,088454 0,088454 0,088454 5 0,088454 7  ...  k k4   0,107276 0,107276 0,107276 7  3 0,107276 5  1   3    0,128555 0,128555 0,1285555 0,1285557   0,004   0,007     0,007  6 Lb1 =    0,001   − 0,003   − 0,004   P=I −1 Resolvendo o sistema de equações X = ( A PA) A PLb tem-se: T T  k1   0,229581  k   − 35,8926  X =  2 =    k 3   1018,26      k 4   12105,00  43 Fotogrametria II / Curso de Engenharia Cartográfica – UFPR Prof. Daniel Santos

×