INTRODUÇÃO À MATEMÁTICAFINANCEIRAProfessor: Daniel MouraDisciplina: Engenharia EconômicaCurso: Graduação em Engenharia de ...
Uma pergunta inicial …O que éMatemáticaFinanceira?Financeira?
Uma resposta simples …         = RETORNO
Constatação importante …Dinheirotem custo    no tempo!!!
Primeiro passo …Entendendo o dinheiro no tempo!!!    tempo!!!
Diagramas de fluxo de caixa Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo Símbolos   Movimentações de $    (+) En...
Ilustrando o uso do DFCUm investidor aplicou hoje $100,00 porum mês, planejando resgatar $108,00.Desenhe o diagrama de flu...
Componentes do DFC Valor presente (VP)                                             VF - VP  Valor futuro (VF)             ...
Analisando a compra do rádio                           A vista: $100,00                                   ou              ...
Pensando sem esforço …Já que o bem custa $100,00 e     eu vou pagar duas de           $60,00 … Vou pagar 20%    de juros!
Pensando melhor …      Ops!Estude o diagrama de fluxo de caixa   da operação!!!
Para sempre lembrar …                     Que                     absurdo!Ops … recebi 100, pagando 60 …juros = $20,00taxa...
Conceito de juros simples   Juros sempre  incidem sobre o     VALOR  PRESENTE
Equações dos juros simplesNo regime de juros simples, o juro é calculado sobre ocapital inicial , proporcionalmente ao núm...
Exemplo de cálculo.Calcular o juro produzido por um capital de $ 100.000,aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples...
A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-seMontante (M), e pode ser calculado de duas formas(equação 4.2 ou 4.3).          ...
Exemplo de cálculo.Calcular o montante de um capital de $ 100.000,aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de2% a...
Preste atenção!!!  Empréstimo  Valor atual na data zero  igual a $100,00  Taxa igual a 10% a.p.  Considere juros      simp...
Juros simples n    Juros          VFJuros simples sempre                                  Fórmula                       in...
Fórmula dos juros simples para Cálculo doValor FuturoVF=VP (1+ i.n)         Devem estar       em uma mesma              ba...
Abreviaturas nas taxasAbreviatura     Significado    a.d.           ao dia   a.d.u.        ao dia útil    a.m.          ao...
Cuidado com os anosano civil ou exato  formado por 365  dias;ano comercial  formado por 360  dias.
Exemplo A Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate?    ...
Características dos juros simples     Valor uniforme dos juros     períodicos     Valor futuro cresce     linearmente     ...
Exercícios de …   Sala!
Exemplo BSabina precisará de $1.200,00 emdez meses. Quanto deverá aplicarhoje para ter a quantia desejada?Considere uma ta...
Exemplo C    Neco aplicou $8.000,00 por seis    meses e recebeu $2.400,00 de juros    simples. Qual a taxa mensal    vigen...
Exemplo D   A aplicação de $9.000,00 a uma   taxa simples igual a 6% a.m. resulta   em um valor futuro igual a   $11.700,0...
Importante!!!   Taxas são   sagradas!!!
Exemplo E  Calcule o valor futuro de uma   aplicação de $500,00 por 24          meses a 8% a.a.                  Taxa anua...
Alterando o prazo …VF=VP (1+ i.n)VF=500 (1+ 0,08.2)    VF=$580,00
A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-seMontante (M), e pode ser calculado de duas formas(equação 4.2 ou 4.3).          ...
Exemplo de cálculo.Calcular o montante de um capital de $ 100.000,aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de2% a...
Juros compostosNo regime de juros compostos, os juros produzidosem um período de capitalização e não pagos sãointegrados a...
35O juro composto é a maior invenção da humanidade,porque permite uma confiável e sistemáticaacumulação de riqueza." - Alb...
Emprega-se $ 100,00 a 10% a.a.. Observe a analise deste capital (principal) ajuros compostos:           Saldo     Juros   ...
As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce,exponencialmente, com a taxa de juros...        Quadro 3: ...
39Em juros compostos, o problema principal consisteem calcular o montante (soma) F obtido pelaaplicação de um único valor ...
40Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:                      (             J = P (1 + i ) − 1                ...
41Montante: É o valor do capital inicial somando aosjuros acumulados no decorrer do período, ondeusamos a seguinte fórmula...
42Por meio das fórmulas básicas de valor futuropodemos extrair outras fórmulas para facilitar ocálculo de outras variáveis...
Aplicações para Juros Compostos Calcular o valor inicial de uma aplicação que foi remunerada a 6% a.a., em 4 anos e teve c...
Qual o tempo necessário para $ 6.000,00, a 5% a.a.,renderem $ 900,00 de juros?                         F                ...
A que taxa deve-se colocar o capital de $ 10.000,00para em 2 anos, 6meses e 10 dias ter $ 1.137,50 dejuros?               ...
Exercícios Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de ap...
Planejo emprestar R$ 18.000,00 por umperíodo de 18 meses ao final do qual pretendoreceber de volta um total de R$ 26.866,5...
Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um períodode quantos meses, a uma taxa de jurocomposto de 1,7% a.m., para que ao final d...
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  1. 1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICAFINANCEIRAProfessor: Daniel MouraDisciplina: Engenharia EconômicaCurso: Graduação em Engenharia de Produção
  2. 2. Uma pergunta inicial …O que éMatemáticaFinanceira?Financeira?
  3. 3. Uma resposta simples … = RETORNO
  4. 4. Constatação importante …Dinheirotem custo no tempo!!!
  5. 5. Primeiro passo …Entendendo o dinheiro no tempo!!! tempo!!!
  6. 6. Diagramas de fluxo de caixa Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo Símbolos Movimentações de $ (+) Entradas Tempo (-) Saídas Juros Taxa de juros = Valor Inicial
  7. 7. Ilustrando o uso do DFCUm investidor aplicou hoje $100,00 porum mês, planejando resgatar $108,00.Desenhe o diagrama de fluxo de caixa daoperação. juros = $8,00 taxa = 8/100 = 8% ao período +108,00 0 meses 1 -100,00
  8. 8. Componentes do DFC Valor presente (VP) VF - VP Valor futuro (VF) juros = $80,00 Tempo (n) Taxa de juros (i) itaxa = 80/400 = 20% ao período +480,00 VF 0 4 n -400,00 VP
  9. 9. Analisando a compra do rádio A vista: $100,00 ou 1+1: $60,00
  10. 10. Pensando sem esforço …Já que o bem custa $100,00 e eu vou pagar duas de $60,00 … Vou pagar 20% de juros!
  11. 11. Pensando melhor … Ops!Estude o diagrama de fluxo de caixa da operação!!!
  12. 12. Para sempre lembrar … Que absurdo!Ops … recebi 100, pagando 60 …juros = $20,00taxa = 20/40 = 50% ao mês +40,00 +100,00 0 1 -60,00 -60,00
  13. 13. Conceito de juros simples Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE
  14. 14. Equações dos juros simplesNo regime de juros simples, o juro é calculado sobre ocapital inicial , proporcionalmente ao número decapitalização. J=C i n (equação 4.1)onde: J = juros; C = capital inicial (ou principal); i = taxa de juros; n = número de capitalização durante o prazo da operação financeira.
  15. 15. Exemplo de cálculo.Calcular o juro produzido por um capital de $ 100.000,aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de2% a.m.J=CxixnJ = $ 100.000 x 0,02 x 6 = $ 12.000,00
  16. 16. A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-seMontante (M), e pode ser calculado de duas formas(equação 4.2 ou 4.3). M=C+J (equação 4.2) M = C (1 + i ⋅ n) (equação 4.3)
  17. 17. Exemplo de cálculo.Calcular o montante de um capital de $ 100.000,aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de2% a.m.Forma de cálculo 1:M=C+JM = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000Forma de cálculo 2:M = C x (1 + i x n)M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)M = $ 112.000
  18. 18. Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros simples
  19. 19. Juros simples n Juros VFJuros simples sempre Fórmula incidem sobre valor presente 0 - 100,00 VF=VP 10% x $100 1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP 10% x $100 2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)
  20. 20. Fórmula dos juros simples para Cálculo doValor FuturoVF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!!Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n
  21. 21. Abreviaturas nas taxasAbreviatura Significado a.d. ao dia a.d.u. ao dia útil a.m. ao mês a.m.o. ao mês over a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano a.a.o. ao ano over
  22. 22. Cuidado com os anosano civil ou exato formado por 365 dias;ano comercial formado por 360 dias.
  23. 23. Exemplo A Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate? VF i = 5% a.m. 0 8 meses VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8)-500 VF = 700
  24. 24. Características dos juros simples Valor uniforme dos juros períodicos Valor futuro cresce linearmente Capitalização Linear Valor FuturoVP Tempo
  25. 25. Exercícios de … Sala!
  26. 26. Exemplo BSabina precisará de $1.200,00 emdez meses. Quanto deverá aplicarhoje para ter a quantia desejada?Considere uma taxa simples igual a5% ami = 5% a.m. 1.200,000 10 meses VF = VP (1+in) -VP 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = 800
  27. 27. Exemplo C Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? i=? 10.400,00 0 6 meses VF = VP (1+in) 10400 = 8000 (1+i x 6)-8000 i = 5%
  28. 28. Exemplo D A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? i = 6% a.m. 11.700,00 0 n=? VF = VP (1+in) 11700 = 9000 (1+0,06 x n)-9000 n=5
  29. 29. Importante!!! Taxas são sagradas!!!
  30. 30. Exemplo E Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. Taxa anual !!! VF24 meses = 2 anos 0 X 24 2 anos n em anos -$500,00
  31. 31. Alterando o prazo …VF=VP (1+ i.n)VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00
  32. 32. A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-seMontante (M), e pode ser calculado de duas formas(equação 4.2 ou 4.3). M=C+J (equação 4.2) M = C (1 + i ⋅ n) (equação 4.3)
  33. 33. Exemplo de cálculo.Calcular o montante de um capital de $ 100.000,aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de2% a.m.Forma de cálculo 1:M=C+JM = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000Forma de cálculo 2:M = C x (1 + i x n)M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)M = $ 112.000
  34. 34. Juros compostosNo regime de juros compostos, os juros produzidosem um período de capitalização e não pagos sãointegrados ao capital no início do período seguinte,para produzirem novos juros, ou seja, os jurosincidem sobre o capital inicial e sobre os própriosjuros.
  35. 35. 35O juro composto é a maior invenção da humanidade,porque permite uma confiável e sistemáticaacumulação de riqueza." - Albert Einstein. “Juros Compostos são juros sobre juros!”
  36. 36. Emprega-se $ 100,00 a 10% a.a.. Observe a analise deste capital (principal) ajuros compostos: Saldo Juros Saldo CrescimentoPeríodo Início calculados inicial por período do do + montante período Juros0 100,00 100 x 0,1 = 10 110,00 10,001 110,00 110,00 x 0,1 = 11 121,00 11,002 121,00 121,00 x 0,1 = 133,10 12,10 12,13 133,10 133,10 x 0,10 = 13,31 13,31 13,3
  37. 37. As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce,exponencialmente, com a taxa de juros... Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%) i=10% Montante Montante Diferença Ano Juros simples Juros compostos início 1o. Ano 1000 1000 0 fim 1o. Ano 1100 1100 0 fim 2o. Ano 1200 1210 10 fim 3o. Ano 1300 1331 31 fim 4o. Ano 1400 1464,1 64,1 fim 5o. Ano 1500 1610,51 110,51 Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta i=20% Montante Montante Diferença Ano Juros simples Juros compostos início 1o. Ano 1000 1000 0 fim 1o. Ano 1200 1200 0 fim 2o. Ano 1400 1440 40 fim 3o. Ano 1600 1728 128 fim 4o. Ano 1800 2073,6 273,6 fim 5o. Ano 2000 2488,32 488,32
  38. 38. 39Em juros compostos, o problema principal consisteem calcular o montante (soma) F obtido pelaaplicação de um único valor principal P no instantet=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.
  39. 39. 40Juros pode ser representado pela seguinte fórmula: ( J = P (1 + i ) − 1 n )Sendo que: J = Juros recebido (ou pago) referente ao período; P = Capital aplicado (ou tomado); i = Taxa de juros; n = Período de aplicação (ou prazo da operação).
  40. 40. 41Montante: É o valor do capital inicial somando aosjuros acumulados no decorrer do período, ondeusamos a seguinte fórmula: J = F −P n F = P(1 + i)Sendo que: F = Representa o montante ou valor futuro
  41. 41. 42Por meio das fórmulas básicas de valor futuropodemos extrair outras fórmulas para facilitar ocálculo de outras variáveis, como: F = P(1 + i) n F 1 Log   F n P= F n= P i =   −1 (1 + i) n Log (1 + i ) n PValor presente Prazo Taxa de juros
  42. 42. Aplicações para Juros Compostos Calcular o valor inicial de uma aplicação que foi remunerada a 6% a.a., em 4 anos e teve como resgate final $ 7.400,00. n F = P(1 + i) Resposta: 5.861,493. Logo, o valor inicialmente aplicado foi de aproximadamente $5.861,50.
  43. 43. Qual o tempo necessário para $ 6.000,00, a 5% a.a.,renderem $ 900,00 de juros? F Log   n= P Log (1 + i) nPara juros compostos usando a equação , tem-se:J = F - P F= P + J = 6.000 + 900 = 6.900,00.n = 3 anos
  44. 44. A que taxa deve-se colocar o capital de $ 10.000,00para em 2 anos, 6meses e 10 dias ter $ 1.137,50 dejuros? 1 Fn i =   −1 PComo F = P + J = 10.000 + 1.137,50 = 11.137,50; 2a,6m e 10d = 910 dias; e substituindo n por naequação, tem-se que:i = 4,354% a.a
  45. 45. Exercícios Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? R: F = 18362, 96 J = 3362,96
  46. 46. Planejo emprestar R$ 18.000,00 por umperíodo de 18 meses ao final do qual pretendoreceber de volta um total de R$ 26.866,57. Qualdeve ser o percentual da taxa de juro compostopara que eu venha a conseguir este montante?i = 2,25% a.m.
  47. 47. Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um períodode quantos meses, a uma taxa de jurocomposto de 1,7% a.m., para que ao final daaplicação eu obtenha o dobro deste capital?R: 41, 12 meses de aplicação

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