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Ecuaciones parametricas daniel guzman

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  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “SANTIAGO MARIÑO” ING. CIVIL TUTOR: BACHILLER: Daniel J Guzman C.I: 26.543.453 Barcelona, Noviembre 2019
  2. 2. Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil. En el uso estándar del sistemas de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión .
  3. 3. Un vector en R es un arreglo ordenado de n números reales. Podemos escribir un vector como la lista de sus componentes: Equivalentemente, como una columna Podemos sumar dos vectores del mismo tamaño, y también multiplicar vectores por números.
  4. 4. Gráficamente, la suma en R2 se representa:
  5. 5. Un vector tiene magnitud, dirección con sentido positivo o negativo y punto de aplicación. Pero una cantidad vectorial puede estar completamente especificada si solo se da su magnitud y su dirección. Por ejemplo: Se mueve un cuerpo 45° al norte del este aplicando una fuerza de500 Newton.
  6. 6. PLANO CARTESIANO El plano cartesiano es un sistema de referencia bidimensional, es decir que tiene dos variables para la ubicación de un lugar geométrico específico. Está conformado por dos rectas perpendiculares entre sí denominados ejes del plano, la horizontal recibe el nombre de eje “x” o abscisa, en tanto la vertical recibe el nombre de eje “y” o ordenadas. La intersección de estos dos ejes se llama origen (0,0), que es el centro del sistema cartesiano. Además, se numeran los cuadrantes que tiene el plano de la siguiente manera:
  7. 7. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO Es importante denotar que un punto representa un lugar geométrico en el plano cartesiano, está conformado por dos variables: una en el eje “x” y otra en el eje “y”, a este punto lo llamaremos par ordenado (x,y). Por ejemplo: Ubicar el par ordenado (4,5) en el plano cartesiano. 1. Ubicar en el origen 2. Avanzar en un movimiento horizontal la cantidad de veces que indica la primera coordenada, hacia la derecha si la coordenada “x” es positiva o hacia a la izquierda si la coordenada “x” es negativa. 3. Finalmente, avanzar en movimiento vertical la cantidad de veces que indica la segunda coordenada, hacia arriba si la coordenada “y” es positiva o hacia abajo si la coordenada “y” es negativa. Entonces, K representa el punto (4,5).
  8. 8. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO
  9. 9. VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO Un vector es una herramienta geométrica que en el plano cartesiano generará una transformación que podrá mover objetos dentro de él hacia otros lugares geométricos de éste. Los vectores actúan sobre figuras o puntos, moviéndolos según las coordenadas que éste tenga. Por ejemplo, para aplicar el vector traslación (-2,-4) sobre el punto del ejemplo anterior, debemos seguir el siguiente procedimiento: 1. Nos ubicamos en el punto al que aplicaremos el vector traslación. 2. Avanzamos en un movimiento horizontal la cantidad de veces que indica la primera coordenada, hacia la derecha si la primera coordenada “x” es positiva o hacia a la izquierda si la coordenada “x” es negativa. 3. Luego, avanzamos en movimiento vertical la cantidad de veces que indica la segunda coordenada, hacia arriba si la segunda coordenada es positiva o hacia abajo si la segunda coordenada es negativa.
  10. 10. VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO Entonces al aplicar el vector traslación de (-2,-4) al punto K (4,5), el nuevo punto quedará ubicado en M (2,1): Se puede encontrar el punto trasladado de una forma rápida y fácil. Basta con sumar las coordenadas del punto con su vector traslación: (4,5) + (-2,-4 ) = (4-2,5-4) = (2,1). Así, las coordenadas del nuevo punto serán (2,1). No olvidar que un vector se puede aplicar a una figura también, para eso se debe tomar por separado cada uno de los puntos de la figura y aplicar el proceso antes mencionado.
  11. 11. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Una combinación lineal de n vectores: n R es un vector que se puede escribir de la forma: Donde r1, r2…son escalares reales. Un ejemplo sencillo de combinación lineal de dos vectores es
  12. 12. VECTOR UNITARIO Un vector unitario es un vector con magnitud 1, sin unidades. Su única finalidad consiste en direccionar, es decir, describir una dirección en el espacio. Los vectores unitarios ofrecen una notación cómoda para muchas expresiones que incluyen componentes de vectores. Siempre incluiremos un acento circunflejo o “sombrero” sobre el símbolo de un vector unitario para distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud podría o no ser 1. En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario que apunte en la dirección del eje 1x y un vector unitario que apunte en la dirección del eje 1y. Así, expresamos la relación entre vectores componentes y componentes, como sigue:
  13. 13. VECTOR UNITARIO Los signos igual y más en negritas indican igualdad y suma de vectores. Cuando representamos dos vectores y en términos de sus componentes, podemos expresar la resultante usando vectores unitarios como sigue:
  14. 14. PRODUCTO DE VECTORES El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.
  15. 15. Las ecuaciones Paramétricas permiten representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera {(x,y)} equivale a la expresión {(x,f(x))}. Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de {x} en {y}, es decir que todos los valores {x} tengan un valor {y} solo un valor correspondiente en {y}. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».
  16. 16. En algunos casos, ayuda a simplificar la derivación y la integración, en vez del caso {y=f(x)} o de {z=F(x,y)}. Un caso paradigmático, la representación de la cicloide por ecuaciones paramétricas. Ejemplo N°1: Sea {3x-2y-5=0} la ecuación general de una recta, entonces caben las ecuaciones paramétricas Ejemplo N°2: Dada la ecuación {y=x^{2},} una parametrización tendrá la forma:
  17. 17. Una parametrización posible sería. CURVA NOTABLES CIRCUNFERENCIAS: Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que Una expresión paramétrica es Ecuación paramétrica de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).
  18. 18. ELIPSE Una elipse con centro en (X0, yo), que se intersecte con el eje X en (X0 ± α,0), y con el eje Y en (0, y0 ± b), verifica que: Una expresión paramétrica es
  19. 19. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma donde xi representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t) Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a ≤ t < b le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
  20. 20. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave. Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial donde êk representa al vector unitario correspondiente a la coordenada k-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma Siendo (î ĵ) la base usual del espacio bidimensional real
  21. 21. Es un sistema de coordendas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
  22. 22. En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º). En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición sobre el eje x. Conversión de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene: X = r cos θ Y = r sen θ
  23. 23. Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos: Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π]. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):
  24. 24. Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:
  25. 25. o equivalentemente
  26. 26. Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x.
  27. 27. se presentan ventanas en las que se presentan de diferentes curvas cartesianas cuando están dadas mediante su ecuación en forma paramétrica, para la construcción de conceptos matemáticos no solo basta trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino que se deben realizar las tareas de conversión entre distintas representación. Son éstas tareas las que propiciarán la construcción de los conceptos matemáticos también se induce la conversión del registro algebraico al registro gráfico. Además, los gráficos de la curvas para que SE puedan hallar las respectivas ecuaciones cartesianas, de una lista de ecuaciones propuestas, y así trabajar la conversión en sentido contrario, es decir del registro gráfico al algebraico
  28. 28. •Kong Requena. Cálculo Diferencial. 2002 •"Geometría Analítica" de Gordon Fuller (1991) pág. 223 •Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de física (4 volúmenes). Monytex •Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York: John Wiley & Sons •Spiegel, M. & Abellanas, L. (1988). Fórmulas y tablas de matemática aplicada
  29. 29. https://www.youtube.com/watch?v=SBc7Je9WQv0 https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g https://www.youtube.com/watch?v=uCm3HvF-EtQ

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