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14Substituindo x = a em qualquer das equações da Linha Elástica, obtém-se o valor da flecha em função de a e b:     Pa 2b ...
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Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de Vigas Isostáticas

  1. 1. Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A. C.C.E.T. – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Engenharia Civil e AmbientalAplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Linhas Elásticas de Vigas Isostáticas Sobral - Ce – 2012
  2. 2. 2“Ainda que o pecador faça o mal cem vezes, e os dias se lhe prolonguem,contudo eu sei com certeza que bem sucede aos que temem a Deus, porque temem diante dele; ao ímpio, porém, não irá bem, e ele não prolongará os seus dias, que são como a sombra;porque ele não teme diante de Deus.” (Eclesiates, 8)
  3. 3. 3SUMÁRIOCONTEÚDO PÁGINAINTRODUÇÃO 04UNIDADES ADOTADAS 05LEI DE HOOKE E DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 05FLEXÃO ELÁSTICA NAS VIGAS 07MOMENTO DE INÉRCIA 08PROCESSO DE INTEGRAÇÃO DIRETA DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA 08CÁLCULO DA LINHA ELÁSTICA PARA ALGUNS TIPOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS 09CONCLUSÃO 18TABELA - LINHA ELÁSTICA DE VIGAS PRISMÁTICAS 19BIBLIOGRAFIA 20
  4. 4. 4INTRODUÇÃO Concluído o primeiro Trabalho, que relacionou a aplicação da Matemática à Engenharia Civil, foi dado inicio a este segundo Estudo que,identicamente, relaciona as duas Ciências. No primeiro Trabalho, foi abordada a relação existente entre o Cálculo Diferencial e Integral e o estudo dos esforços Momento Fletor e ForçaCortante que atuam em uma viga isostática. O assunto atual, aborda o cálculo da Linha Elástica de uma viga isostática aplicando integração direta. Sabe-se que o Cálculo Diferencial e Integral permite encontrar a Equação da Linha Elástica de uma viga em determinado trecho,possibilitando, assim, que sejam calculadas as deformações lineares verticais – flechas - bem como a deflexão angular em qualquer ponto da viga. Em diversas situações encontradas na Engenharia Civil, a dimensão da flecha de uma viga deve ser pré-determinada; este fato, por si só, jámostraria a importância do assunto aqui abordado. Este Estudo vem com o mesmo objetivo do anterior, qual seja, propiciar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da UniversidadeEstadual Vale do Acaraú e do Curso de Tecnologia da Construção de Edifícios da mesma Instituição, mais uma opção de material didático.omnia mecum portoSobral, Ce, agosto de 2012.Daniel Caetano de Figueiredo (*)(*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 e Professor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.
  5. 5. 5UNIDADES ADOTADAS COMUMENTE NO DIA-A-DIA DA ENGENHARIA CIVIL Sabe-se o quanto é difícil para aqueles que hipervalorizam a teoria, aceitar que o carregamento distribuído de uma viga venha a ser, por N kg kgf Nexemplo, expresso na unidade kg/m ao invés de kgf/m; ou ;o u que uma tensão seja expressa em 2 ao invés de ser expressa em 2 ou 2 . m m m m Abaixo alguns comentários são tecidos a respeito. m Sabe-se que a força que atua em um corpo de massa 1,0 quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0 na mesma direção e sentido s2desta força, equivale a 1,0 Newton. m Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 (valor médio s2aceito para toda a superfície da Terra) e que 1,0 kgf equivale a 9,8N, pode-se, para efeitos didáticos e por praticidade, substituir a unidadekgf(unidade de força) por kg(unidade de massa); isto sem prejuízo algum, já que na superfície da Terra um corpo de massa 1,0 kg pesa 1,0 kgf. Evidentemente que após isto feito, deve-se fazer as adaptações necessárias das outras unidades. Com relação à unidade de comprimento, foram adotadas o metro e o milímetro. O metro é comumente usado em Engenharia Civil para mediro vão de vigas, a altura de pilares, o comprimento de fachadas, apenas para ficarmos nestes exemplos. As flechas, por outro lado, por possuírem comprimento muito reduzido, podem ser expressas em milímetro ou outro submúltiplo do metro. Será vista, a seguir, a dedução da Equação da Linha elástica para cinco tipos de vigas comumente encontradas. Antes, porém, será abordada aLei de Hooke.LEI DE HOOKE E DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO: Existem basicamente dois tipos de deformação em um corpo quando submetido a tensões: a deformação elástica e a deformação plástica. Qualseria a diferença primordial entre as duas? Quando submetida a uma tensão, uma viga, assim como qualquer corpo, tende a se deformar. Até atingir o valor de determinada tensão,chamada de tensão de escoamento, uma vez cessada a força que atuava sobre o corpo, este volta à sua forma inicial, caracterizando-se com isto ochamado Regime Elástico. Ultrapassada porém o valor da tensão de escoamento, o corpo continua, muitas vezes, a se deformar mesmo sem que aforça ainda atue sobre ele: temos o Regime Plástico.
  6. 6. 6 Assim, pode ser dito que Plasticidade é a propriedade que possui um corpo de mudar sua forma de modo irreversível, ao ser submetido a umatensão . Em outras palavras, plasticidade é quando o material se deforma e assim fica(deformado), não voltando mais ao seu estado normal. Asargilas(o barro, por ex., comumente usado nas construções) são bons exemplos de materiais plásticos. Pode-se, ainda, dizer que a Deformação Plástica existe quando a tensão que atua sobre o corpo não é mais proporcional à sua deformação(docorpo), ocorrendo então uma deformação não recuperável e permanente; quando isto ocorre a Lei de Hooke deixa de ser obedecida. O Diagrama Tensão vs Deformação varia basicamente de material para material. De uma maneira geral, contudo, citado diagrama possuipropriedades comuns. Analisando o comportamento de alguns materiais usados na Construção Civil, vê-se que o aço e o alumínio, por exemplo, apresentam grandesdeformações antes da ruptura. São materiais dúcteis. Por outro lado materiais como o concreto e o vidro, rompem sem que se apresentem grandesdeformações. São chamados de materiais frágeis. A Lei de Hooke nos diz que as tensões são proporcionais às deformações, ou seja, σ = Eε , onde E é o coeficiente de Elasticidade domaterial, σ é a tensão e ε é a deformação. Conforme já visto, esta Lei é obedecida até determinada tensão, que varia de material para material. Pode-se afirmar que nenhum corpo real segue, com rigor, a Lei de Hooke. Para determinados valores abaixo do limite de proporcionalidade,porém, os corpos se comportam como o sólido hipotético de Hooke. Neste Estudo os materiais(vigas, apoios, engastes) seguem a Lei de Hooke. Abaixo encontra-se o Diagrama Tensão-Deformação para materiais dúcteis e frágeis: Analisando as duas curvas nota-se que ambas obedecem à Lei de Hooke ( σ = Eε ) no trecho 0-A; o ponto A corresponde à Tensão deProporcionalidade; no trecho A-R a Lei de Hooke não é mais obedecida e finalmente ambos os materiais se rompem no ponto R(Tensão deRuptura).
  7. 7. 7 Pelo gráfico acima, vê-se que os materiais dúcteis apresentam grandes deformações antes de se romperem(na Construção Civil existem o aço,o alumínio e o cobre, entre diversos outros). Enquanto isto ocorre com os materiais dúcteis, os materiais frágeis rompem-se sem que se apresentemgrandes deformações. (o caso do vidro, do ferro fundido, do mármore, do granito, das cerâmicas, e de diversos outros, também usados naConstrução Civil).FLEXÃO ELÁSTICA NAS VIGAS Seja a viga biapoiada abaixo inicialmente com o eixo reto(figura superior), que é submetida a um carregamento perpendicular a esteeixo(figura inferior). Tal carregamento produz nas diferentes seções da viga Momentos Fletores que deformam a mesma. Chama-se de flecha, numponto qualquer do eixo da viga, à componente do deslocamento linear deste ponto que é perpendicular ao eixo originalmente reto da viga(f1, f2 ef3, por ex.). A outra componente deste deslocamento, paralela ao eixo inicial da viga, é, geralmente, desprezível em relação a flecha e por isto nãofará parte deste Estudo. A curva na qual se transforma o eixo da viga, inicialmente reto, recebe o nome de Linha Elástica(curva que liga o ponto Oao ponto M). Na figura dada nota-se a viga antes de deformar-se e após sofrer deformação devido ao carregamento. Observa-se que odeslocamento y é a flecha da viga, correspondente à seção que dista x do apoio à esquerda. A função y=f(x) é a equação da linha elástica da vigacorrespondente ao carregamento indicado. Vale salientar que será analisada neste Trabalho apenas a linha elástica produzida por Momento FletorM(x). Outros fatores como o esforço Cortante, por ex., não serão levados em consideração. Outra condição é que o Momento de Inércia (J) daseção transversal da viga, seja constante, haja vista que existem vigas com J variável; e que as vigas devem obedecer à Lei de Hooke(neste caso alinha neutra passa pelo centróide da seção transversal da viga). Existem vários processos para se determinar a linha elástica de uma viga, assim como a deflexão angular e a flecha em qualquer ponto de seueixo. Neste Trabalho será usado o Método da Integração Direta. Convém citar apenas que, entre outros processos existentes, destacam-se oTeorema de Castigliano(Carlo Alberto Castigliano(1847/1884), engenheiro e matemático italiano), o Método da Integração Numérica e outros, osquais não serão abordados neste Estudo.
  8. 8. 8MOMENTO DE INÉRCIA Por ser uma grandeza física muito usada em Engenharia Civil, é necessário que seja definido o que vem a ser Momento de Inércia de uma área.Normalmente o Momento de Inércia é representado nos livros didáticos pela letras latinas maiúsculas I ou J. Por definição, o Momento de Inércia de um elemento de área em relação a um eixo de seu plano é dado pelo produto do elemento de área peloquadrado da distância deste elemento até o eixo considerado. Em relação ao eixo x, por exemplo, para um elemento diferencial de área dA tem-se que: dJ x = y 2 dA É evidente que, em relação ao eixo y, se encontrará para o mesmo elemento: dJ y = x 2 dA Para obter-se o Momento de Inércia de uma área finita deve-se aplicar integração, já que citado Momento é dado pela soma de todos osmomentos dos elementos dA que constituem a superfície, ou seja:J x = ∫ dJ x = ∫ y 2 dA . S S Consequentemente tem-se que: J y = ∫ dJ S y = ∫ x 2 dA . S A unidade do Momento de Inércia é a unidade de comprimento elevada à quarta potência. Convém ressaltar, mais uma vez, que neste Estudo ovalor de J é considerado constante para todas as vigas estudadas.PROCESSO DE INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA De acordo com o Cálculo Diferencial e Integral, a equação da linha elástica de uma viga flexionada (fletida), em sua forma diferencial, é dadapor:d 2 y − M ( x) =dx 2 EJ
  9. 9. 9 Onde M(x) corresponde à função que dá o valor do Momento Fletor no trecho onde se deseja escrever a equação da linha elástica. A constanteE corresponde ao módulo de elasticidade(Módulo de Young) do material do qual é feita a viga, e J é o Momento de Inércia da seção transversal damesma(viga) em relação ao eixo horizontal que passa pela linha neutra de referida seção. O sinal negativo deve ser colocado na equação com afinalidade de adequar a equação original, que não possui citado sinal, com o referencial de sinais, que adota flecha positiva para baixo e rotaçõespositivas no sentido horário. Em outras palavras, pode ser dito que o eixo y é orientado para baixo e o eixo x da esquerda para a direita. O Módulo de Young é muito usado e também é de fundamental importância na Engenharia Civil, sendo um parâmetro que se relaciona com arigidez de um material sólido, e é uma propriedade inerente a cada material. O Momento de Inércia, conforme já afirmado, é bastante usado em Engenharia Civil, e sabe-se que os perfis das vigas são escolhidos tambémem função dele, já que, quanto maior for o momento de inércia da seção de uma viga, mais difícil será fazê-la girar, melhorando com isto aestabilidade das construções. A equação da linha elástica do referido trecho será dada pela função y=f(x), que é a solução da equação diferencial apresentada anteriormente.Para isto deve-se integrar duas vezes citada equação e aplicar as condições de contorno para a determinação das constantes de integração. Aaplicação correta das condições de contorno é primordial para a obtenção da Equação da Linha Elástica. Ao ser integrada a primeira vez aEquação Diferencial da Linha Elástica, é obtida a Equação da Deflexão Angular. Integrando-se esta, obtém-se a Equação da Deformação Linear.CÁLCULO DA LINHA ELÁSTICA PARA ALGUNS TIPOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS. Serão deduzidas a seguir as equações da Linha Elástica para algumas vigas comumente estudadas.01-VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA kg Considere-se a viga abaixo com vão igual a l metros e carga uniformemente distribuída de q , apoiada nas extremidades A e B. m
  10. 10. 10 ql Calculadas as reações de apoio, são encontrados os valores de R A e RB , os quais são iguais a . 2 Seja uma seção perpendicular ao eixo da viga e distante x metros do apoio A. Nesta seção, assim como nas demais, o valor do momento fletor ql qx 2é dado pela função M ( x) = x − . 2 2 A Equação Diferencial da Linha Elástica será dada portanto por: d 2 y − 1 ql qx 2 = .( x − ). dx 2 EJ 2 2 Integrando uma primeira vez encontra-se: dy − 1 qx 3 qlx 2 ql 3 ql 3 = .( − + − ) onde o termo é o valor da constante C1 que foi encontrado aplicando as condições de contorno, ou seja, dx EJ 6 4 24 24 EJpara x =l/2 tem-se que dy/dx = 0 (A tangente à curva é horizontal no meio do vão da viga, logo dy/dx = 0 neste ponto). Integrando uma segunda vez encontra-se a equação da Linha Elástica para a viga: −1 qx 4 qlx 3 ql 3 x qx y= .( − + − ) ou y = .(l 3 − 2lx 2 + x 3 ) . Nesta integração a constante C2 é igual a zero e foi determinada aplicando-se, EJ 24 12 24 24 EJmais uma vez, as condições de contorno. Desta vez foi feito y = 0 para x = 0(A deformação vertical da viga é nula nos apoios) . 5ql 4 A flecha no meio da viga(deformação máxima) tem valor f = e é obtida ao substituir-se na Equação da Linha Elástica x pelo valor 384 EJl/2. Aqui cabe uma observação: no caso da viga estudada o maior valor da deformação na direção vertical ocorreu onde o valor do MomentoFletor é máximo. Em outras vigas a flecha máxima está localizada no ponto onde o momento é mínimo. Em seguida vem o caso de uma viga biapoiada sujeita a uma carga concentrada.
  11. 11. 1102-VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA Seja agora a viga abaixo , apoiada em A e B, com l metros de comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto situado auma distancia igual a a metros do apoio A e distante b metros do apoio B, conforme a figura. Pa Pb Aplicando as Equações da Estática tem-se as reações R B = e RA = . l l No caso, existem dois trechos a serem estudados. O primeiro para x compreendido entre 0 e a; o segundo para x compreendido entre a e l. Seja uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga, distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de aplicação daforça P. Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor do momento fletor é dado pela função M ( x ) = R A x . Convém reforçar quea função acima vale apenas para o trecho compreendido entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P. PbComo M ( x) = x , a Equação Diferencial da Linha Elástica no trecho 0 ≤ x ≤ a é: ld 2 y1 − M ( x) − Pb 2 = = x dx EJ EJlIntegrando uma vez, acha-se a equação da rotação angular(ou deflexão angular): dy1 − Pbx 2 = + C1 dx 2 EJlIntegrando novamente encontra-se a Equação da Linha Elástica para o trecho 0 ≤ x ≤ a :
  12. 12. 12 − Pbx 3y1 = + C1 x + C 2 . A flecha é nula no apoio, logo, ao se fazer x = 0 na equação obtém-se C 2 = 0 6 EJlAbaixo seguem as duas primeiras equações(intevalo 0 ≤ x ≤ a ):dy1 − Pbx 2 − Pbx 3 = + C1 e y1 = + C1 x dx 2 EJl 6 EJl Deve-se agora analisar o trecho compreendido entre a carga P e o apoio B( a ≤ x ≤ l ). PbNeste trecho, em qualquer seção distante x metros de A encontra-se M ( x ) = R A x − P ( x − a) = x − Px + Pa lDaí vem que:d 2 y 2 − 1 Pb 1 Pb 2 = ( x − Px + Pa) = ( Px − Pa − x) dx EJ l EJ lIntegrando uma primeira vez:dy 2 1 Px 2 Pb 2 = ( − Pax − x ) + C3dx EJ 2 2lMais uma integração e a Equação da Linha Elástica para o trecho considerado é obtida: 1 Px 3 Pax 2 Pb 3 y2 = ( − − x ) + C3 x + C 4 EJ 6 2 6lAgora vem uma parte muito importante, que trata das condições de contorno para a viga. É sabido que se forem aplicadas de forma errada ascondições de contorno, o resultado obtido não estará correto.Tem-se pois:01- para x = a, os valores de y obtidos nas duas equações deverão ser iguais; dy1 dy 202- o mesmo deve ocorrer com os valores das deflexões angulares obtidos na igualdade = para x = a ; dx dx03- substituindo x = l na equação y2, deve-se ter y = 0(no apoio B);Aplicando-se as condições acima: dy1 dy 2Faz-se x = a na equação = , tem-se: dx dx− Pba 2 1 Pa 2 Pba 2 + C1 = ( − Pa 2 − ) + C3 2 EJl EJ 2 2lDepois de feitos os cálculos é encontrada a relação:
  13. 13. 13 Pa 2C3 − C1 = 2 EJSubstitui-se x = a, desta vez na equação y1 = y2 :− Pa 3b 1 Pa 3 Pa 3 Pa 3b + C1a = ( − − ) + C3 x + C 4 6 EJl EJ 6 2 6lFeitas as operações é encontrado o valor de C4: − Pa 3C4 = 6 EJSubstitui-se x = l na equação y 2 pois sabe-se que no ponto considerado a flecha é nula. 1 Pl 3 Pal 2 Pbl 30= ( − − ) + C 3l + C 4 EJ 6 2 6l Pa 3 + 2 Pal 2Como já foi calculado o valor de C 4 , daí vem que C3 = ; 6 EJlAchado o valor de C3 , encontra-se finalmente o valor da constante C1 Pa 2 Pa 3 + 2 Pal 2 − 3Pa 2lC1 = C3 − = 2 EJ 6 EJlTem-se assim para a viga dada no primeiro intervalo( 0 ≤ x ≤ a ):dy1 − Pbx 2 Pa 3 + 2 Pal 2 − 3Pa 2 l = + dx 2 EJl 6 EJl − Pbx 3 Pa + 2 Pal 2 − 3Pa 2 l 3y1 = + x 6 EJl 6 EJlE no intervalo a ≤ x ≤ l :dy 2 1 Px 2 Pb 2 Pa 3 + 2 Pal 2 = ( − Pax − x )+dx EJ 2 2l 6 EJl 1 Px 3 Pax 2 Pb 3 Pa 3 + 2 Pal 2 Pa 3y2 = ( − − x )+ x− EJ 6 2 6l 6 EJl 6 EJl
  14. 14. 14Substituindo x = a em qualquer das equações da Linha Elástica, obtém-se o valor da flecha em função de a e b: Pa 2b 2 y= 3EJlA flecha é uma função de duas variáveis(a e b). O Cálculo (Funções de Duas Variáveis) permite afirmar que a flecha máxima ocorre quando la = b = (A carga P está localizada no meio da viga). 2Se for desejada a deflexão angular no apoio A basta substituir x = 0 na equação abaixo:dy1 − Pbx 2 Pa 3 + 2 Pal 2 − 3Pa 2 l = +dx 2 EJl 6 EJlFeitas as contas, encontra-se: dy Pab(2b + a )ϕA = = dx 6 EJl Será analisada a seguir o caso de uma viga isostática simplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em sua extremidade livre.03-VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUA EXTREMIDADE Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a extremidade B livre, com l metros de comprimento e possuindo umcarregamento de P kg aplicado no ponto B, situado à uma distância igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura seguinte. Após calculadas as reações em A, estas serão constituídas por um momento no sentido anti-horário e uma força vertical, respectivamenteiguais a M A = Pl kg.m e R A = P kg.
  15. 15. 15 Considere-se uma seção perpendicular ao eixo da viga e distante x metros do apoio A. Nesta seção, assim como nas demais, o valor domomento fletor é dado pela função M ( x) = − Pl + Px . Assim, a EquaçãoDiferencial da Linha Elástica será dada por: d 2 y −1 = .( − Pl + Px ) . dx 2 EJ Integrando uma primeira vez encontra-se: dy − 1 Px 2 = .(− Plx + ) ; onde o valor da constante C1 é nulo, pois aplicando as condições de contorno tem-se que dy/dx = 0 para x = 0. (A dx EJ 2tangente à curva é horizontal no apoio A da viga, logo dy/dx = 0 neste ponto). Integrando uma segunda vez encontra-se a equação da Linha Elástica para a viga em questão: −1 Plx 2 Px 3 Px 2 y= .( − + ) ou y = .(3l − x) . Nesta segunda integração a constante C2 também é igual a zero e foi determinada aplicando-se, EJ 2 6 6 EJmais uma vez, as condições de contorno, qual seja, fez-se y = 0 para x = 0(A deformação vertical da viga é nula no apoio) . Pl 3 A flecha no final da viga(deformação máxima) tem valor f = e foi obtida ao substituir-se na Equação da Linha Elástica x pelo valor l. 3EJAqui cabe uma observação: neste caso o maior valor da deformação da viga na direção vertical ocorre no ponto onde o valor do Momento Fletor émínimo, diferentemente do caso da viga apoiada com carregamento uniforme, já visto. Outra observação diz respeito ao fato de que pode-se ter diversas linhas elásticas para uma mesma viga, dependendo do referencial. AEquação da Linha Elástica para esta viga, por ex., difere da encontrada no final(vide Tabelas), mas são equivalente. Para verificar isto bastasubstituir valores nas equações e vê-se que os resultados obtidos são idênticos. A seguir será visto o caso de uma viga com um engaste apenas e com carregamento uniformemente distribuído.
  16. 16. 1604-VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA Seja agora a viga acima, engastada na extremidade B, de comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de q kg/m aolongo de seu vão. ql 2 Usando as equações da Estática encontra-se a reação (Momento) no ponto B , cujo valor será igual a no sentido horário. A reação 2horizontal H B , a exemplo de todos os casos anteriores, não existe, por não atuar, conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possuacomponente de força na direção horizontal. Por outro lado, RB = ql kg, com direção vertical e sentido de baixo para cima. − qx 2 Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do Momento Fletor é dada por M ( x ) = . 2A Equação Diferencial da Linha Elástica será:d 2 y qx 2 = . Ao resolver a equação encontra-se:dx 2 2 EJdy qx 3 dy − ql 3 = + C1 ; para x=l, = 0 (A rotação é nula no engaste); assim C1 = , o que conduz à equação da deformação angular:dx 6 EJ dx 6 EJdy qx 3 ql 3 = − .dx 6 EJ 6 EJ
  17. 17. 17Integrando uma segunda vez, obtem-se a Equação da Linha Elástica para a viga em questão: qx 4 ql 3 x ql 4y= − + . 24 EJ 6 EJ 8 EJ ql 4O valor (constante de integração C2) foi obtido aplicando as condições de contorno( y = 0 para x = l). 8EJColocando alguns termos em evidência tem-se a Equação da Linha Elástica final: qy= ( x 4 − 4l 3 x + 3l 4 ) 24 EJ − ql 3 ql 4Na extremidade livre de citada viga ϕ = (radianos) e f = . 6 EJ 8 EJSerá visto a seguir outro caso a ser estudado.05-VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR Seja a viga engastada em B e submetida a um carregamento de q kg/m em B, carregamento este que vai diminuindo linearmente até ser nuloem A.
  18. 18. 18 ql 2 ql Aplicando as Equações da Estática encontra-se M B = e RB = . 6 2 qx Para uma determinada seção S distante x metros do ponto A, a carga terá valor igual a q1 = , já que o triângulo maior de altura igual a q e l q lbase l é semelhante ao triângulo menor de altura igual a q1 e base x (por semelhança de triângulos = ). q1 x − qx 3 Para qualquer seção S distante x metros de A o Momento Fletor será dado pela expressão M ( x) = . 6lTem-se portanto a Equação Diferencial da Linha Elástica:d 2 y qx 3 = ;dx 2 6 EJlIntegrando uma vez:dy qx 4 dy − ql 3 = + C1 . Sabe-se que em x = l, = 0 , o que resulta em: C1 = .dx 24 EJl dx 24 EJ dy qx 4 ql 3Portanto = − , que é a Equação da Deformação Angular. dx 24 EJl 24 EJIntegrando a equação acima encontra-se: qx 5 ql 3 x y= − + C 2 ; O valor de C2 é obtido aplicando a condição de contorno x = l implica em y = 0. 120 EJl 24 EJA equação final da Linha Elástica resultante é: qx 5 ql 3 x ql 4 y= − + . 120 EJl 24 EJ 30 EJFinalizando, ao substituir-se x = 0 em ambas as equações, obtém-se, na extremidade livre da viga(Ponto A): dy − ql 3 ql 4 = e y= que são os valores, respectivamente, da deformação angular e da deformação linear. dx 24 EJ 30 EJ
  19. 19. 19CONCLUSÃO O Autor destas linhas espera, mais uma vez, ter contribuído para difundir o assunto abordado. Os desenhos encontrados neste trabalho foram elaborados pelo Autor, que fez uso dos programas Auto-CAD 2000 e Paint para confeccioná-los. Para a digitação de texto foi usado o Word.TABELA – LINHAS ELÁSTICAS DE VIGAS PRISMÁTICAS(EJ é constante)01- qxy= ( x 3 − 2lx 2 + l 3 ) 24 EJ02-
  20. 20. 20 qxy= ( x 4 − 4l 3 x + 3l 4 ) 24 EJ03- qxy= (3 x 4 − 10l 2 x 2 + 7l 4 ) 360 EJl04- Py= ( x 3 − 3l 2 x + 2l 3 ) 6 EJ05-
  21. 21. 21 qy= ( x 5 − 5l 4 x + 4l 5 ) 120 EJlBIBLIOGRAFIA-NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill;-SILVA Jr., Jayme Ferreira da – Resistência dos Materiais, Segunda Edição, Editora Ao Livro Técnico, 1972;- Leithold, Louis - “O Cálculo com Geometria Analítica” – Volume 1 – Editora Harbra Ltda – 1994;-Thomas Jr, George B. – “Cálculo” Volumes I e II – Editora Ao Livro Técnico;

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