HÀM SỐ & ĐỒ THỊ

DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
ĐẠI SỐ 10
GV:Phan Nhật Nam
HÀM SỐ & ĐỒ THI

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
I. Cơ sở lý thuyết :
1. Các khái niệm cơ bản :
ĐN : Trong đó: D: là tập xác định (D R).
x : biến số (hay đối số) của hàm số f.
y : là giá trị của hàm số f.
TC : Tập xác định D của hàm số y = f(x) là tất cả các giá trị của x để cho biểu
thức f(x) trong hàm số có nghĩa.
2. Sự biến thiên của hàm số :
 Hàm số đồng biến trên tập K (tăng ) nếu :
)()(:, 212121 xfxfxxKxx 
 Hàm số nghịch biến trên tập K (giảm) nếu :
)()(:, 212121 xfxfxxKxx 
 Hàm số không đổi trên tập K (hàm hằng) nếu :
)()(, 2121 xfxfKxx 
3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
a. Khái niệm :
 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn
( ) ( ),
x D thì x D
f x f x x D
   
 
    
 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ
( ) ( ),
x D thì x D
f x f x x D
   
 
    
y = f(x)
f
D R
x

b. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ :
Đồ thị hàm số chẵn Đồ thị hàm số lẻ
nhận trục tung làm trục đối xứng. nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
4. Phép tịnh tiến đồ thị :
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và ,a b R
 khi đó ta có :
 Đồ thị của y = f(x) + b chính là tịnh tiến đồ thị (C) lên trên b đơn vị .
 Đồ thị của y = f(x) – b chính là tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới b đơn vị .
 Đồ thị của y = f(x + a) chính là tịnh tiến đồ thị (C) qua trái a đơn vị .
 Đồ thị của y = f(x – a) chính là tịnh tiến đồ thị (C) qua phải a đơn vị .
II. Các dạng toán thường gặp :
1. Tìm tập xác định của hàm số :
 Dạng 1: )(
)(
xv
xu
y 
Hàm số xác định khi 0)( xv 0xxptgiai
 
Vậy tập xác định của hàm số : }{ 0xRD 
 Dạng 2: )(xfy 
Hàm số xác định khi Kxxf bptgiai
  0)(
Vậy tập xác định của hàm số : KD 
y
x
y = x2
O
y
xO

 Chú ý : Với dạng
)(
)(
xv
xu
y  thì hàm số xác định khi 0)( xv
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số sau:
a.
3 2
2
2 4
( )
8 15
x x x x
y f x
x x
    
 
 
b.
2
2
2 2 1
( )
3
x x
y f x
x x
  
 

c. 2
2 1 1
( )
2 3 1
x
y f x
x x x
 
 
    
d. 2
( ) 2 3 1y f x x x x     
Giải:
a. Hàm số ( )y f x xác định
2
3 2
2
2( 1)( 2) 0
2 0
4 2 44
4 0
3 33
8 15 0
55
xx x x
x x x
x xx
x
x xx
x x
xx
     
            
        
          
vì
2
2 2 1 1 3 1 3
1 2. . 0 ,
2 4 4 2 4
x x x x x x R
 
            
 
Vậy tập xác định của hàm số ( )y f x là    2 , 4 3D 
b. Hàm số ( )y f x xác định
2
2
2 2 2
2 0 11
2
2 1 0 22
3
003 0
33
x x or x
x
xxx
x
x
xxx x
xx
    
   
        
        
      
 
Vậy tập xác định của hàm số ( )y f x là   2 , 3D    

c. Hàm số ( )y f x xác định
2
2
2
2
2 3 1 0
2 1 0
1
2 3 0
2
2 3 1 0 ( 1) 4
x x x
x
x x x
x x x x
         
 
        
 
        

2
2
2 3 1 0
2 3 1 0
1 1
312 23
21 2 2 1 2
x x x
x x x
x x
x
x x
      
       
 
        
   
       

Vì
2
2
2 3 0
1
, 3 2 3 1 012 1
2
x x
x x x x
x
    
 
              

Vậy tập xác định của hàm số ( )y f x là
1
, 3
2
D
 
   
d. Hàm số ( )y f x xác định 2
2 3 1 0x x x      (1)
Cách 1:
(1)
2 2
2 2
2
4 3 0 ( 2) 1 2 1 1 2 1 1 3
2
2 1 0 ( 1) 2 1 2 1 2 1 2
x
x x x x x x
x
x x x x x
 

                 
 

               
2 3
1 2 3
1 2 2
x
x
x
 
    
  
Cách 2:
2 2
2
2 2
1 32 3 1 ( 2) 1
(1) 2 3 1
1 2 1 22 ( 3 1) ( 1) 2
xx x x x
x x x
xx x x x
        
         
           
1 2 3x   
Vậy tập xác định của hàm số là 1 2 , 3D    

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau xác định trên R (hàm số xác định với mọi giá trị của x)
a.
2
1
( )
( 1) 1
x mx
y f x
m x m
 
 
  
b. 2
1
( )
2( 1) 2
mx
y f x
mx m x m

 
   
c. 2 2
( ) 2( 1) 2 2y f x x m x m m     
Giải:
a. hàm số ( )y f x xác định trên R
( 1) 1 0, ( 1) 1 0m x m x R m x m            vô nghiệm
1 0
1
1 0
m
m
m
 
    
Vậy 1m  thì hàm số ( )y f x xác định trên R
b. hàm số ( )y f x xác định trên R
2 2 (1)
2( 1) 2 0, 2( 1) 2 0mx m x m x R mx m x m              vô nghiệm
TH1: 0m 
Khi đó (1) trở thành: 2 2 0 1x x    
Do đó phương trình (1) có ghiệm nên 0m  không thỏa yêu cầu bài toán
TH1: 0m 
(1)vô nghiệm 2 1
' ( 1) ( 2) 0 4 1 0
4
m m m m m             (thỏa ĐK 0m  )
Vậy
1
4
m  thì hàm số ( )y f x xác định trên R
c. hàm số ( )y f x xác định trên R 2 2
( ) 2( 1) 2 2 0,g x x m x m m x R        
Ta có:  
22 2 2 2 2
( ) 2( 1) ( 1) 1 1 1 1 ,g x x m x m m x m m m x R               
Do đó: 2
( ) 0, 1 0 1 1 1g x x R m m m or m           
Vậy 1m  hoặc 1m   thì hàm số ( )y f x xác định trên R

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số ( )y f x xác định trên miền được chỉ định sau:
a.
1
( )
1
x
y f x
x m

 
 
trên nữa đoạn  0 , 3
b.
1
( )
2 5
x m
y f x
x m
  
 
 
trên khoảng  1, 5
c. 2 2
( ) 3 2y f x m x m x    trên nữa đoạn  1;3
Giải:
a.
1
( )
1
x
y f x
x m

 
 
xác định trên nữa đoạn  0 , 3
Hàm số ( )y f x xác định 1 0 1x m x m      
Tập xác định của hàm số ( )y f x là :   1D R m 
Hàm số ( )y f x xác định  0 , 3x   
1 3 2
0 , 3
1 0 1
m m
D
m m
    
       
Vậy 2m   hoặc 1m  thì hàm số ( )y f x xác định  0 , 3x 
b.
1
( )
2 5
x m
y f x
x m
  
 
 
xác định trên khoảng  1, 5
Hàm số ( )y f x xác định
0
(*)
2 5 0 5 2
x m x m
x m x m
    
  
     
TH1:
5
5 2 3 5
3
m m m m     
Khi đó (*) x R  .
Do đó D  không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2:
5
5 2 3 5
3
m m m m     
Khi đó (*) 5 2m x m   
Do đó tập xác định của hàm số ( )y f x là  5 2 ,D m m 
Hàm số ( )y f x xác định  1, 5x 
     
5 2 1 2
1, 5 1, 5 5 2 , 5
5 5
m m
D m m m
m m
   
         
  
(thỏa ĐK
5
3
m  )
Vậy 5m  thì hàm số ( )y f x xác định  1, 5x 

c. 2 2
( ) 3 2y f x m x m x    xác định trên nữa đoạn  1;3
Xét 0m 
khi đó ta có ( ) 3y f x  có D R nên ( )y f x xác định trên  1;3
Xét 0m 
Hàm số ( )y f x xác định  
22 2
3 2 0 1 4m x m x m x      
1 3
1 2 2 1 2m x m x x
m m
           
Tập xác định của hàm số ( )y f x là
1 3
,D
m m
 
  
 
Hàm số ( )y f x xác định trên  1;3    
1 3
1;3 1;3 ,D
m m
 
     
 
1
1
1
1 1 1 1
3
3
m
m m
m
m

 

        
 

kết hợp điều kiện ta có:
1 1
0
m
m
  


Vậy  1,1m   thì hàm số ( )y f x xác định trên nữa đoạn  1;3
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên (a, b) cho trước :
 Bước 1: Kiểm tra  ,a b D . Với D là tập xác định của ( )y f x
{ Nếu  ,a b D thì ta kết luận ngay: không đồng biến (hoặc không
nghịch biến) trên khoảng  ,a b }
 Bước 2: Cho ),(, 21 baxx  lập biểu thức
12
12 )()(
xx
xfxf
A



Rút gọn biểu thức A.Tìm mọi cách để khử 2 1x x ở mẫu
 Bước 3: Kiểm tra dấu của biểu thức A khi ),(, 21 baxx  .
+) Nếu A > 0 thì hàm số y ( )y f x đồng biến trên (a, b)
+) Nếu A < 0 thì hàm số ( )y f x nghịch biến trên (a, b)

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau, trên từng khoảng được chỉ định.
a. 2 1y x   trên toàn trục số ( x R  )
b. 2
2 3y x x    trên khoảng  1,  
c. 2
1y x  trên khoảng  , 1  và khoảng  1,  
d.
2
2
x
y
x



trên khoảng  , 2  và khoảng  2 ,  
Giải:
a. ( ) 2 1y f x x   
Tập xác định: D R
Xét : 1 2
1 2
,x x D
x x
 


ta có: 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( 2 1) ( 2 1) 2( )
2 0
f x f x x x x x
A
x x x x x x
       
     
  
Do đó hàm số ( )y f x nghịch biến trên R.
b. 2
( ) 2 3y f x x x    
Tập xác định: D = R ( ta có:  1, D   )
Xét :
 1 2
1 2
, 1,x x
x x
   


Ta có:
2 2
2 1 2 2 1 1
2 1 2 1
( ) ( ) ( 2 3) ( 2 3)f x f x x x x x
A
x x x x
       
 
 

2 2
2 1 2 1
2 1
2 1
( ) 2( )
( ) 2 0
x x x x
A x x
x x
   
     

{ Vì  1 2, 1,x x    }
c. 2
( ) 1y f x x  
Hàm số ( )y f x xác định 2 1
1 0 1
1
x
x x
x

        
Tập xác định:    , 1 1,D      
Xét : 1 2
1 2
,x x D
x x
 


Ta có:
2 2
2 12 1
2 1 2 1
1 1( ) ( ) x xf x f x
A
x x x x
  
 
 
  
     
2 2 2 2
2 22 1 2 1
2 1 2 1
2 22 2 2 2
2 12 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
1 11 1 1 1
x x x x x x x x
A
x xx x x x x x x x
       
   
         

Xét :
 1 2 1 2 1
2 2
21 2 2 1
, , 1 1
0
1 1 1
x x x x x
A
xx x x x
      
    
    
Do đó hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng  , 1 
Xét :
 1 2 1 2 1
2 2
21 2 2 1
, 1, 1
0
1 1 1
x x x x x
A
xx x x x
     
    
   
Do đó hàm số ( )y f x đồng biến trên khoảng  1,  
Vậy hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng  , 1  ,
đồng biến trên khoảng  1,  
d.
2 4
( ) 1
2 2
x
y f x
x x

   
 
Tập xác định:   2D R 
Xét : 1 2
1 2
,x x D
x x
 


Ta có: 2 12 1
2 1 2 1
4 4
1 1
2 2( ) ( ) x xf x f x
A
x x x x
   
     
      
 
1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
4 4
2 2 4( 2) 4( 2) 4
( )( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x
A
x x x x x x x x

    
   
     
Xét :
 1 2 1 1
1 2
2 2 2 11 2
, , 2 2 2 0 4
( 2)( 2) 0 0
2 2 0 ( 2)( 2)
x x x x
x x A
x x x xx x
        
          
       
Do đó hàm số ( )y f x đồng biến trên  , 2 
Xét :
 1 2 1 1
1 2
2 2 2 11 2
, 2 , 2 2 0 4
( 2)( 2) 0 0
2 2 0 ( 2)( 2)
x x x x
x x A
x x x xx x
         
          
       
Do đó hàm số ( )y f x đồng biến trên  2 ,  
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  , 2  và  2 ,  

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
1x
y
x m



đồng biến trên khoảng ( , 2) 
Giải:
1 1 1
( ) 1
x x m m m
y f x
x m x m x m
    
    
  
Tập xác định  D R m
( )y f x đồng biến trên ( , 2)     , 2 , 2 2D m m           (*)
Xét : 1 2
1 2
,x x D
x x
 


Ta có: 2 12 1
2 1 2 1
1 1
1 1
( ) ( )
m m
x m x mf x f x
A
x x x x
    
     
      
 
2 1 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 1
( 1)( ) ( 1)( ) 1
( )( )( ) ( )( )
m m
x m x m m x m m x m m
A
x x x x x m x m x m x m
 

        
   
     
Xét : 1 2
2 1
1 2
, ( , )
( )( ) 0
x x m
x m x m A
x x
   
    

cùng dấu với 1m 
Xét : 1 2
2 1
1 2
, ( , )
( )( ) 0
x x m
x m x m A
x x
    
    

cùng dấu với 1m 
Do đó A không đổi dấu trên D, vì vậy để ( )y f x đồng biến trên khoảng ( , 2) 
thì A > 0 1 0 1m m       giao với ĐK (*) ta có 2 1m   
Vậy 2 1m    thì hàm số đồng biến trên ( , 2) 
Ví dụ 3: Lập bảng biến thiên của hàm số 2
4y x  từ đó tìm m để phương trình
2
4 1 0x m    có 2 nghiệm trên đoạn  1, 2
Giải:
2 2
4 1 0 4 1x m x m        .
Gọi d: 1y m  // Ox và (C) là đồ thị của hàm số 2
( ) 4y f x x  
( )y f x xác định 2 2
4 0 4 2 2 2x x x x          

Tập xác định  2 , 2D  
Xét : 1 2
1 2
,x x D
x x
 


Ta có:
2 2
2 12 1
2 1 2 1
4 4( ) ( ) x xf x f x
A
x x x x
  
 
 
  
  
 
  
 
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 22 2 2 2
2 12 1 2 1 2 1 2 1
4 4 4 4
4 44 4 4 4
x x x x x x x x
A
x xx x x x x x x x
         
   
         
Xét :
 1 2
1 2
, 2 , 0x x
x x
  


Ta có:
 2 1
2 2
2 1
0
4 4
x x
A
x x
 
 
  
dó đó ( )y f x đồng biến trên khoảng  2 , 0
Xét :
 1 2
1 2
, 0 , 2x x
x x
 


Ta có:
 2 1
2 2
2 1
0
4 4
x x
A
x x
 
 
  
dó đó ( )y f x nghịch biến trên khoảng  0 , 2
Khi đó ta có bảng biến thiên :
Từ BBT ta có :
Phương trình 2
4 1 0x m    có 2 nghiệm trên đoạn  1, 2
 d và (C) có hai điểm chung có hoành độ thuộc đoạn  1, 2
3 1 2 3 1 3m m       

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số 3
( ) 3 1y f x x x   
từ đó giải phương trình: 3 2
3 6 4 1 3 (3 4) 0x x x x x      
Giải:
3
( ) 3 1y f x x x   
Tập xác định: D = R
Xét : 1 2
1 2
,x x R
x x
 


Ta có:
3 3
2 1 2 2 1 1
2 1 2 1
( ) ( ) ( 3 1) ( 3 1)f x f x x x x x
A
x x x x
     
 
 

 2 2 23 3 2
2 1 2 2 1 12 1 2 1 1 1
2 1 2
2 1 2 1
( ) 3( ) 3( ) 3
3 0, ,
2 4
x x x x x xx x x x x x
A x x x R
x x x x
       
         
   
Vậy hàm số 3
( ) 3 1y f x x x    đồng biến trên R.
Ta có:
3 2
3 6 4 1 3 (3 4) 0x x x x x      
3 2
( 3 3 1) 3( 1) (3 1) 3 1 3 3 1x x x x x x x          
3
3
( 1) 3( 1) 1 3 1 3 3 1 1x x x x         
( 1) ( 3 1)f x f x   
Vì 3
( ) 3 1y f x x x    đồng biến trên R nên ta có.
1 3 1 ( 1) ( 3 1)x x f x f x       không thỏa phương trình.
1 3 1 ( 1) ( 3 1)x x f x f x       không thỏa phương trình.
Do đó ta có:
2 2
1 0 1 0
( 1) ( 3 1) 1 3 1
12 1 3 1 0
x x x
pt f x f x x x
xx x x x x
      
                    
Vậy phương trình có 2 nghiệm 0x  và 1x 

3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) :
 Bước 1: Kiểm tra tính đối xứng của miền xác định : DxDx 
 Bước 2: Xác định biểu thức : ( )f x , x D 
+) Nếu ( ) ( )f x f x   , x D  thì ( )y f x là hàm số lẻ.
+) Nếu ( ) ( )f x f x   , x D  thì ( )y f x là hàm số chẵn.
 Chú ý : - ) Ở bước 1 nếu DxDx  thì kết luận ngay
y = f(x) không chẵn không lẻ, không cần làm tiếp bước 2.
- ) Ở bước 2 nếu )()( xfxf  và )()( xfxf 
Khi đó ta cần chọn ra một giá trị 0x D sao cho: 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
f x f x
 

  
Từ đó ta kết luận được hàm số ( )y f x không có tính chẵn, lẻ
- ) Các miền xác định có tính chất đối xứng thường gặp :
(-a , a) ; [-a , a] ; R{0} ; R(-a , a) ; R[-a , a]…
Với hàm đa thức: (số hạng không chứa x được tính bậc 0, số 0 không tính bậc)
 Nếu mọi số hạng đều chứa x ở dạng bậc chẵn thì nó là hàm số chẵn
 Nếu mọi số hạng đều chứa x ở dạng bậc lẻ thì nó là hàm số lẻ
 Nếu vứa có số hạng chứa x bậc chẵn và vừa có số hạng chứa x bậc lẻ thì
hàm số không có tính chẵn, lẻ.
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a.
3 2
2
1
9 1
x x x
y
x
  

 
c.
4
16 x
y
x


b.
3 2
10
2
1
x x
y
x
 


d.
2 4
2
1 2
4 1
x x
y
x
  


Giải:
a.
3 2
2
1
( )
9 1
x x x
y f x
x
  
 
 
3 2
2
1 0
9 0
x x x
x
    
 
 

 22
2
1 0 1 0,`( 1)( 1) 0 1
1 3
3 39 3
x vi x x Rx x x
x
xx x
            
        
     
Tập xác định  1, 3D  
Dễ thấy 2x D  nhưng 2x D    . Do đó tập D không đối xứng
Vậy hàm số ( )y f x không có tính chẵn, lẻ.
b.
3 2
10
2
( )
1
x x
y f x
x
 
 

Tập xác định D R
Dễ thấy : x R x R     nên tập xác định D R là tập đối xứng
Xét 1x D  ta có:
3 2
10
3 2
10
( 1) ( 1) 2
( ) ( 1) 1
( 1) 1
1 1 2
( ) (1) 0
1 1
f x f
f x f
    
       

     
Từ đó ta có: 1x D   sao cho
( 1) (1)
( 1) (1)
f f
f f
 

  
Vậy hàm số ( )y f x không có tính chẵn, lẻ.
c.
4
16
( )
x
y f x
x

 
4 4 4
2 2 216 0 2
00 0 0
x xx x
xx x x
        
      
     
Tập xác định của hàm số là  2 , 2 {0}D  
Dễ thấy    2 , 2 {0} 2 , 2 {0}x x       nên  2 , 2 {0}D   là tập đối xứng (1)
Xét x D  ta đều có:
4 4
16 ( ) 16
( ) ( )
( )
x x
f x f x
x x
  
     

(2)
Từ (1) và (2) ta có ( )y f x là hàm số lẻ.
( ( )y f x có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng)

d.
2 4
2
1 2
( )
4 1
x x
y f x
x
  
 

2
2
22
1
11
1 0 11
1 1 14 1 0 1
4 2
2
x
xx
x xx
xxx x
x
  
                           
   
Tập xác định    , 1 1,D      
Dể thấy : x D x D     nên    , 1 1,D       là tập đối xứng (1)
Xét x D  ta đều có:
2 4 2 4
2 2
( ) 1 ( ) 2 1 2
( ) ( )
4( ) 1 1
x x x x
f x f x
x x
       
   
  
(2)
Từ (1) và (2) ta có: ( )y f x là hàm số chẵn.
Ví dụ 2:
a. Chứng minh đồ thị (C) của hàm số
1 1
( )
2 2
x x
y f x
x x
  
 
  
có tâm đối xứng
(là gốc tọa độ O).
Giải:
1 0 ,1 0 1 1
1 1
2 0 , 2 0 2 2
0
02 2
x x x
x
x x x
x
xx x
       
   
           
     
Tập xác định của hàm số là    1,1 0D  
Dể thấy    1,1 0x   ta đều có    1,1 0x   (1)
Xét    1,1 0x   ta có :
1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1
( ) ( )
2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2
x x x x x x
f x f x
x x x x x x
          
      
          
(2)
Từ (1) và (2) ta có: Hàm số ( )y f x là một hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhân gốc
tọa độ O làm trục đối xứng. (đpcm)

b. Chứng minh đồ thị (C) của hàm số ( )
| 1| | 1|
x
y f x
x x
 
  
có trục đối xứng.
(là trục tung Oy)
Giải:
1 1
| 1| | 1| 0 | 1| | 1| 0
1 ( 1)
x x
x x x x x
x x
  
               
Tập xác định của hàm số là:   0D R
Dể thấy   0x R  ta đều có   0x R  (1)
Xét   0x R  ta có:
( )
( )
| ( ) 1| | ( ) 1| | ( 1) | | ( 1) | | 1| | 1|
x x x
f x
x x x x x x
  
   
            
 
( )
| 1| | 1| | 1| | 1|
x x
f x
x x x x

  
      
(2)
Từ (1) và (2) ta có: ( )y f x là hàm số chẵn nên đồ thị (C) của nó nhận Oy làm
trục đối xứng. (đpcm)
Ví dụ 3: Cho hàm số
4 3 2
2
. . . .
( )
16
a x b x c x d x e
y f x
x
   
 

có đồ thị là (C).
a. Tìm giá trị của tham số a, b, c, d, e để đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng
b. Tìm giá trị của tham số a, b, c, d, e để đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng
Giải:
Hàm số ( )y f x xác định 2 2
16 0 16 4 4 4x x x x          
Tập xác định của hàm số là:  4 , 4D  
 4 , 4x   ta đều có  4 , 4x  
a. Đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng  hàm số ( )y f x là hàm số chẵn
( ) ( ),f x f x x D    
4 3 2 4 3 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) . . . .
,
16 ( ) 16
a x b x c x d x e a x b x c x d x e
x D
x x
           
   
  

3 0
2 2 0,
0
b
bx dx x D
d

      

Vậy
0
, ,
b d
a c e R
 

 
thì đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng.
b. Đồ thị (C) nhận O làm tâm đối xứng  hàm số ( )y f x là hàm số lẻ
( ) ( ),f x f x x D     
4 3 2 4 3 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) . . . .
,
16 ( ) 16
a x b x c x d x e a x b x c x d x e
x D
x x
           
    
  
4 2
0
2 2 2 0, 0
0
a
ax cx e x D c
e


       
 
Vậy
0
,
a c e
b d R
  

 
thì đồ thị (C) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
4. Tìm tập giá trị của hàm số:
Gọi T là tập giá trị của hàm số ( )y f x  ( ) |T y f x x D     với D là tập Xác định
Các cách để tìm tập giá trị T:
Cách 1: Sử dụng các BĐT :  
2
( ) 0f x  , ( ) 0f x  , ( ) 0f x  …
Cách 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm:
: ( )y T x D y f x       phương trình ( ) 0f x y  có nghiệm
 điều kiện của y
Từ đó ta có được tập giá trị T (sử dụng khái niệm bằng nhau của hai tập hợp)
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số:
a. 2
4 6y x x   b. 2
5
4 2
y
x


 
Giải :
a. 2
( ) 4 6y f x x x   
Cách 1:  
22
4 6 2 2 2y x x x      
do đó ta có tập giá trị của ( )y f x là  2 ,T   
Cách 2: 2
: 4 6y T x R y x x         phương trình 2
4 6 0x x y    có nghiệm
2
' 2 (6 ) 0 2 0 2y y y          
Do đó ta có tập giá trị của ( )y f x là  2 ,T   

b. 2
5
( )
4 2
y f x
x

 
 
Tập xác định:  2 , 2D  
  2 2
2 , 2 0 4 2 2 4 2 4x x x           
2 2
1 1 1 5 5 5
4 2 4 24 2 4 2x x

       
   
Do đó ta có tập giá trị của ( )y f x là
5 5
,
2 4
T
 
    
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :
2
2
4 2
2
x
y
x



Giải :
Gọi T là tập giá trị của hàm sô
2
2
4 2
( )
2
x
y f x
x

 

2
2
4 2
:
2
x
y T x R y
x

      

phương trình   2
4 2 2y x y   có nghiệm
1 1
2 2 0
1 44 0 4 0 4 4
( )( 4)(2 2 ) 0
2 2 0 2 2 0 1 1
y y
y
yy y y y
VNy y
y y y y
  
   
                                 
Vậy tập giá trị của hàm số
2
2
4 2
( )
2
x
y f x
x

 

là  1, 4T 
III. Bài tập áp dụng :
A. Các bài toán về tập xác định của hàm số :
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a.
1
1


x
y b.
23
3
2



xx
x
y c. 2 xy d. 12
 xy
e.
x
xx
y
)1( 2

 f.
2
xy  g.
x
xx
y
22

 h.
5
2
x
y
x




i.
143
1
2
2



xx
x
y k.
2
11



x
x
y l. 21  xxy
m.
65
1
2



xx
x
y n.
1
1


x
y p.
1)2(
42



xx
x
y
q.
1
1 3 2 2
y
x x x

    
o. 3
2 1
0
2
2 1
0
3 1
x
khi x
x
y
x
khi x
x

 
 
 
   
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. 2
5 13
4
x
y
x



b. 3 2
5 2 3y x x   c. 2
1
x x
y
x



d.
2
16
5 5
x
y
x x


  
e. 2 1y x x   f. 2
1
12 4 9
y
x x

 
g. 2
2 3 1y x x x     h.
1 3
1 2
y
x x
 
 
i.
1
3
4
y x
x
  

k.
1
( 3) 2 1
x
y
x x


 
l.
x
xxy
29
1
322


m.
1
3
4
y x
x
  

n. 54521 2
 xxxxy
p.
11
1


xx
y q.
11
1


xx
y
o. 122122  xxxxy
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định trên nữa đoạn  1;3 :
2 21
, , 3 2
2
a y b y m x m x
x m
   

Bài 4. Tìm m để hàm số
2
2
( 2) 1
4
m
y x m x     có tập xác định là R.

Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số sau xác định trên (0 , 1)
a.
2
3



ax
ax
y b. 42
1


 ax
ax
y
Bài 6. Tìm m để các hàm số sau xác định trên khoảng ),0( 
a. 2 1y x m x m     b. 2 3 4
1
x m
y x m
x m

   
 
Bài 7. Định m để hàm số
mx
mxxf


1
12)( xác định với mọi x > 1
Bài 8. Tìm tham số m để hàm số:
a.
2 1
x m
y
m x


 
xác định trên đoạn  1, 0
b. 1
3 2 2
y
x m m x

    
xác định trên đoạn  1,1
Bài 9. Tìm tập xac định của 2 hàm số: 12)(1  xxf và
xx
xf
23
1
1
1
)(2




Từ đó suy ra tập hợp mà trên đó cả hai hàm số đều xác định ? cùng không xác định?
Bài 10. Cho hai hàm số:
1)(1  mmxxf có TXĐ D1 và
42
1
1
1
)(2




xx
xf có TXĐ : D2
a) Tìm D2
b) Tìm m để 1)(1  mmxxf xác định x  D2
c) Gọi D là tập hợp các giá trị của x để cả hai hàm số xác định. Tìm m để D 
Bài 11. Tùy theo giá trị của tham số m hãy tìm tập xác định của hàm số sau:
a. 2 2
3 2
2 2 6
x
y
x mx m m


   
b. ( 2) 3 1y m x m   
B. Các bài toán về sự biến thiên hàm số :
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:
a. 2y x x  b. 2 3
7 5 3y x x x    c.
1
1
x
y
x



Bài 2. Xét sừ biến thiên của hàm số trên khoảng được chỉ định sau đay :
a. y = x2
 4x (2, +) e. y =
1x
x3

(, 1)
b. y = 2x2
+ 4x + 1 (1, +) f. y = 1x 

c. y =
1x
4

(1, +) g.
2
12



x
xx
y  2,
d. y =
x3
2


(3, +) h. )2)(4(  xxy
Bài 3. Cho hàm số:   1 3y x x  
a. Tìm tập xác định của hàm số.
b. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Bài 4. Khảo sác sự biến thiên của hàm số sau
a. 32
 xy b.
1
3
2


x
y
c. 3
xy  d. xxy  223
Bài 5. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập
xác định (hoặc trên từng khoảng xác định):
a. y m x( 2) 5   b. y m x m( 1) 2   
c.
m
y
x 2


d.
m
y
x
1

Bài 6. Cho hàm số cxxxbxxay  1244 22
đồng biến trên toàn
trục số. Chứng minh rằng 0c
Bài 7. Dựa vào định nghĩa chứng minh rằng hàm số
1
2
2


x
x
y đồng biến trên
khoảng (0 , 1) và nghịch biến trên khoảng ),1( 
Bài 8. Cho hàm số )(xfy  nghịch biển trên miền xác định D của nó và
( ) 0 ;f x x D  
a. Chứng minh rằng hàm số )(xfy  là hàm đồng biến.
b. Xét sự biến thiên của hàm số
)(
1
xf
y 
c. Nếu không có điều kiện Dxxf  ;0)( thì kết quả ở câu a , b có gì thay đổi
không ? vì sao ?
C. Điều kiện để điểm thuộc đường :
Bài 1. Những điểm sau đay điểm nào thuộc đồ thị hàm số : 1 xy
A(-1 ; 0) , B(4 ; 2) , C(0 ; 0) , D(- 5 ; - 2)
Bài 2. Tìm m để điểm A(m ; m + 1) thuộc đồ thị hàm số : 132
 xxy
Bài 3. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số 12
 mmxxy luôn đi qua với mọi
giá trị của tham số m

Bài 4. Cho hàm số: 12)( 2
 xxxf . Tính )2();1();2();1(  ffff .
Bài 5. Cho hàm số: 2
25)( xxf  . Tính )6();4();1( fff .
Bài 6. Cho hàm số (C) : 432
 xxy Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục
Ox và Oy của hệ trục
Bài 7. Cho hàm số
 2
2 2
1
x m x
y
x
 


Với m là tham số.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy
, hãy tìm tất cả các điểm mà đồ thị của hàm số đó không đi qua Rm .
D. Xác định tích chẵn, lẻ của hàm số :
Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = x6
– 4x2
+ 5 b. y = 6x3
– x c. y = 2|x| + x2
d. y = 44  xx e. y = |x + 1| - |x – 1| f. y = 12
x
Bài 2. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số:
a. 4
1y x  b. 3
y x x  c. 1y x 
Bài 3. Xaùc ñònh tính chaün, leû cuûa haøm soá :
a/ y = 4x3
+ 3x b/ y = x4
 3x2
 1 c/ y = 
3x
1
2

d/ y =
2
x31 e/ y = 1 1x x   f) 33
3 xxxy 
g) y =
|x||x|
x
11 
l) y =
|x||x|
x
1212
2

i/ y = |x||x|
|x||x|
11
11


Bài 4. Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau :
a.
x
x
xf
3
)(
2

 b.
1
3
5


x
x
y
c. y = |3 - x| + |x - 1| d. 3 23 2
)1()1( xxy 
3
3
1 ; 1
. 0 ; 1 1
1 ; 1
x x
e y x
x x
   

   
  
3
3
6 ; 2
. ; 2 2
6 ; 2
x x
f y x x
x x
  

   

  
Bài 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2 2
( 1) 2 1y mx m x x     có đồ thị
nhân trục Oy làm trục đối xứng.

E. Các dạng toán khác :
Bài 1. Giả sử (G) là đồ thị của hàm số )(xfy  xác định trên tập D, A là một điểm
trên trục hoành có hoành độ bằng a. Từ A, dựng đường thẳng (d) song song (hoặc
trùng) với trục tung.
a. Khi nào thì (d) có điểm chung với (G) ?
b. (d) có thể có bao nhiêu điểm chung với (G)? vì sao ?
c. Đường tròn có thể là đồ thị của hàm số nào không? Vì sao ?
Bài 2. Biểu đồ hình bên cho biết số triệu tấn gạo xuất khẩu của Việt Nam trong các
năm từ 1994 đến 1999. Biểu đồ này cho một hàm số. Hãy cho biết tập xác định và
nêu một vài giá trị của hàm số .
Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số :
1
13
2
2



x
x
y
Bài 4. Chứng minh rằng
a. Các đồ thị của hàm số: 3 2
( 1) 3( 1) 6( 1) 8y m x m x m x m       có 3 điểm cố định
thẳng hàng
b. 0a  khi 1 2y ax b x c x     luôn tăng.
Bài 5. Cho hàm số: 4 3
3y x mx mx    có đồ thị (C) . Tìm tất cả các điểm M thuộc
đường thẳng : 1d y x  sao cho đồ thị (C) không đi qua chùng cho dù m nhận bất cứ
giá trị nào
Bài 6. Cho hàm số 12
 xy .
a. Tịnh tiến theo chiều dương của Oy hai đơn vị ta thu được đồ thị của hàm số nào ?
b. Tịnh tiến theo chiều dương của Ox ba đơn vị ta thu được đồ thị của hàm số nào ?
c. Lấy đối xứng của đồ thị hàm số trên qua Ox ta thu được đồ thị của hàm số nào?

HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Dạng : y = a.x + b ( a  0)
2. Tập xác định : D = R.
3. Sự biến thiên : (Hàm số bậc nhất là hàm đơn điệu)
 a > 0 : Hàm số đồng biến trên R.(đồ thị đi lên tính từ trái sang phải )
 a < 0 : Hàm số nghịch biến trên R. (đồ thị đi lên tính từ trái sang phải )
4. Hệ số góc : Hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng : y = a.x + b
tana (với  là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox)
5. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng : (d1): y = a1.x + b1 và (d1): y = a1.x + b1 khi đó ta có:
    






21
21
21 //
bb
aa
dd
     1. 2121  aadd
6. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB):
 Nếu BA xx  thì phương trình AB: Axx 
 Nếu BA yy  thì phương trình AB: Ayy 
 Nếu





BA
BA
yy
xx
thì phương trình AB:
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx





7. Đồ thị hàm chứa giá tri tuyệt đối :






0..
0..
.
bxakhibxa
bxakhibxa
bxay
O

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b  ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và
y = – ax – b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
II. Bài tập áp dụng :
Bài 1.Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng sau :
)1(
1
2
1
 xy )2(
3
2
1
 xy )3(
2
2
2
 xy
)4(
22  xy
)5(
1
2
1
 xy )6(
1
2
2








 xy
Bài 2. Trong các đường thẳng sau hãy chỉ ra các cặp đường thẳng vuông góc nhau.
)1(
23  xy )2(
12  xy )3(
4 xy 
)4(
3
1 x
y

 )5(
7 xy )6(
3
2
1
 xy
Bài 3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng :
a. y = 3x + 1 với y =
3
1
c. y = 2(x  1) với y = 2
b. y = 4x + 1 với y = 3x  2 d. y = 2x với y =
2
x3 
Bài 4. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y x k x2 ( 1)    :
a. Đi qua gốc tọa độ O b. Đi qua điểm M(–2 ; 3)
c. Song song với đường thẳng y x2.
Bài 5. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b  :
a. Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8).
b. Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: y x
2
1
3
   .
c. Cắt đường thẳng d1: y x 2 5  tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường
thẳng d2: y x–3 4  tại điểm có tung độ bằng –2.
d. Song song với đường thẳng y x
1
2
 và đi qua giao điểm của hai đường
thẳng y x
1
1
2
   và y x3 5  .
e. Vuông góc với đường thẳng
1
3
y x  và cắt trục tại điểm có hoành độ bằng
4
3
.

Bài 6. Lập phương trình đường thẳng d biết d tạo với hệ trục thành tam giác vuông cân và
tiếp xúc với parabol (P) : 2
y x
Bài 7.Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân
biệt và đồng qui:
a.      y x y x y mx2 ; 3; 5
b.       y x y mx y x m5( 1); 3; 3
c.       y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2
d.         y x y x y m x m3; 11; (5 3 ) 2
e.         y x y x y m x m2
5; 2 7; ( 2) 4
Bài 8. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào:
a. y mx m2 1   b. y mx x3  
c. y m x m(2 5) 3    d. y m x( 2) 
e. y m x(2 3) 2   f. y m x m( 1) 2  
Bài 9. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?
a. y m x m(2 3) 1    b. y m x m(2 5) 3   
c. y mx x3   d. y m x( 2) 
Bài 10. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:
a.      y m x m y x(3 1) 3; 2 1
b.
 
   
   
m m m m
y x y x
m m m m
2( 2) 3 5 4
;
1 1 3 1 3 1
c.      y m x y m x m( 2); (2 3) 1
Bài 11. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
x khi x
y khi x
x khi x
1
1 1 2
1 2
  

   
  
b.
x khi x
y khi x
x khi x
2 2 1
0 1 2
2 2
   

   
  
c. y x3 5  d. y x2 1   e. y x
1 5
2 3
2 2
   
f. y x x2 1    g. y x x 1   h. y x x x1 1    
i. 2 2
2 3 3 0y xy x y x     k.
2
2 1
2
x
y x
x

  

l. 3 2 1 2y x x x     

Bài 12. Cho hàm số : ( ) 2 8 3 6f x x x   
a. Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )y f x
b. Tìm m để phương trình 2 8 3 6x x m    có hai nghiệm cùng dấu.
c. Tìm m để phương trình 2 8 3 6x x m    có hai nghiệm trái dấu
d. Tìm m để phương trình 2 8 3 6x x m    có một nghiệm duy nhất
Bài 13. Cho hàm số : 2
( ) 1 1 4 4f x x x x x      
a. Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x
b. Tìm m để phương trình 2
1 1 4 4x x x x m       có hai nghiệm trái dấu.
c. Tìm m để phương trình 2
1 1 4 4x x x x m       có vô nghiệm.
Bài 14. Tìm m để bất phương trình : 2
( 1) 0m x m   có nghiệm đúng với  1, 0x  
Bài 15. Tìm điều kiện của tham số m để :
a. (2 3) 5 11 0m x m    với mọi 1x 
b. 2
(3 ) 2 6 0m x m    với mọi 2x 
c. (2 3) 3 7 0m x m    với mọi  0 ,1x
d. ( 2 3) 4 0m x m     với mọi  1, 2x
e.  3 2 3 5 0m x m    có nghiệm trong khoảng (0 ,1)
f. ( 2) 5 1 0m x m    có nghiệm ngoài khoảng  1,1
Bài 16. Cho hai hàm số cùng phụ thuộc vào tham số m : ( ) ( 2)( 2)y f x m x    có đồ thị
là các đường thẳng dm và   2
( ) 2 1y g x m x m     có đồ thị là các đường thẳng ∆m.
a. Có hay không giá trị m để dm//∆m. ?
b. Chứng minh rằng các đường thẳng dm (khi m thay đổi) luôn đi qua một điểm cố
định, trong khi ∆m không đi qua một điểm cố định nào.
Bài 17. Cho các họ đường thẳng : 3)12(:)(  myxmPm ,
2)4()12(:)(  mymxmQm và 13)1(:)( 22
 mmxmmyRm .
a. Chứng minh rằng mọi đường thẳng trong mỗi họ nói trên đều đi qua điểm cố định
tương ứng .
b. Tìm m để )()( mm QP  .
c. Chứng minh rằng có thể tìm được hai đường thẳng của họ )( mP và hai đường
thẳng của họ )( mR để 4 đường thẳng đó chứa 4 cạnh của một hình bình hành.

HÀM SỐ BẬC HAI
1. Dạng : cbxaxy  2
( a  0)
2. Tập xác định : D = R.
3. Sự biến thiên : (Hàm số bậc nhất là hàm đơn điệu)
 a > 0 : Hàm số nghịch biến trên 






a
b
2
, và đồng biến trên 





 ,
2a
b
.(đồ thị là một parabol ngửa )
Bảng biến thiên :
 a < 0 : Hàm số đồng biến trên 






a
b
2
, và nghịch biến trên 





 ,
2a
b
.(đồ thị là một parabol úp )
Bảng biến thiên :
4. Đồ thị hàm bậc hai :
Hàm số cbxaxy  2
( a  0) có đồ thị là một parabol có đỉnh là 




 
aa
b
I
4
;
2
(hoành độ đỉnh là
2
I
b
x
a

 , tung độ đỉnh là
4
Iy
a

 ) Trục đối xứng là
a
b
x
2


 a > 0 : hướng bề lỗm lên trên khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là
a
yMin
4
)(


y
x
y
x

 a < 0 : hướng bề lỗm xuống dưới khi đó giá trị lớn nhất của hàm số là
a
yMax
4
)(


Đều xãy ra khi
a
b
x
2


5. Đồ thị hàm chứa giá tri tuyệt đối :
Dạng 1:







0.)().(
0.)(.
. 22
22
2
cbxxakhixfcbxxa
cbxxakhixfcbxxa
cbxxay
Bước 1: Vẽ (P): y = f(x)
Bước 2: Hàm số cbxaxy  2
có đồ thị là (P’) gồm 2 phần (P1’)và (P2’)
được xác định như sau :
Dạng 2:







0)(.
0)(.
. 2
2
2
xkhixfcbxxa
xkhixfcbxxa
cxbxay
Bước 2: Hàm số cxbaxy  2
có đồ thị là (P’) gồm 2 phần (P1’)và (P2’)
Dạng 3:






cxkhixfbaxcx
cxkhixfbaxcx
baxcxy
)())((
)())((
)(
Bước 2: Hàm số )( baxcxy  có đồ thị là (P’) gồm 2 phần (P1’)và (P2’)
(P1’) (P) tương ứng phần đồ thị phía trên Ox
(P2’) đối xứng với (P) qua trục Ox tương ứng phần đồ thị phía dưới Ox
(P1’) (P) tương ứng phần đồ thị bên phải Oy
(P2’) đối xứng với (P1’) qua trục Oy

 Chú ý : Để vẽ đồ thị của hàm số có nhiều trị tuyệt đối lồng nhau ta thực hiện phép bỏ trị
tuyệt đối từ trong ra ngoài
Bài tập áp dụng:
Baøi 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y x x2
2  b) y x x2
2 3    c) y x x2
2 2   
d) y x x21
2 2
2
    e) y x x2
4 4   f) y x x2
4 1   
Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau:
a) y x y x x2
1; 2 1     b) y x y x x2
3; 4 1      
c) y x y x x2
2 5; 4 4     d) y x x y x x2 2
2 1; 4 4     
e) y x x y x x2 2
3 4 1; 3 2 1       f) y x x y x x2 2
2 1; 1      
Baøi 3. Xác định parabol (P) biết:
a. (P): y ax bx2
2   đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x
3
2
 .
b. (P): y ax bx2
3   đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng x 2  .
c. (P): y ax bx c2
   đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4).
d. (P): y ax bx c2
   đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4).
e. (P): y ax bx c2
   đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0).
f. (P): y x bx c2
   đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1.
g. (P): y x bx c2
   đi qua hai điểm A(1; 2), B(-1; -4) và cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 1
h. (P): y x bx c2
   nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng
1
2
y x
tại các điểm có hoành độ là – 1 và
3
2
(P1’) (P) tương ứng phần đồ thị bên phải đt : x = c
(P2’) đối xứng với (P) qua trục tương ứng phần đồ thị bên trái đt : x = c

Baøi 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai
điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định:
a)
m
y x mx
2
2
1
4
    b) y x mx m2 2
2 1   
Baøi 5. Vẽ đồ thị của hàm số y x x2
5 6    . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số
m, số điểm chung của parabol y x x2
5 6    và đường thẳng y m .
Baøi 6. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y x x2
2 1   b)  y x x 2  c) y x x2
2 1  
d)
  
 
  
x neáu x
y
x x neáu x
2
2
2 1
2 2 3 1
e)
x neáu x
y
x x neáu x2
2 1 0
4 1 0
  
 
  
f)
x khi x
y
x x khi x2
2 0
0
 
 
 
Baøi 7. Cho (P):
2
4 3y x x  
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Cho (d):y = − x + 3. Tìm tọa độ giao điểm (P) và (d)
c. Cho (d):y = mx − 2. Tìm m để (P) và (d) có một điểm chung
Baøi 8. Chứng minh rằng :
a. Đường thẳng d: y = x luôn cắt (P): 2 2
(2 1) 1y x m x m     tại hai điểm A, B
phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm A, B không đổi với mọi m.
b. Các parabol (P): 2
(4 1) 4 1y mx m x m     với 0m  luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố định.
c. Các đường thẳng 2
: 2 4 2d y mx m m    luôn luôn tiếp xúc với một parabol cố
định.
Baøi 9. cho hàm số bậc hai   2
: ( ) 2 2 1mp y f x x mx m     . đường thẳng( ): 2 3d y x 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b. Tìm m để (Pm) tiếp xúc (d).
c. Tìm m để (d) cắt (Pm) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác OAB vuông
tại O.
Baøi 10. Cho hàm số : ( ) 3 4y f x x x    có đồ thị (P).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b. Dựa vào đồ thị (P) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình.
Baøi 11. Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ hàm số 2
( 1) 6y mx m x m    luôn đi qua hai
điểm cố định.

Baøi 12. Cho hàm số 2
( ): ( ) 3.P y f x ax bx    Tìm phương trình (P) biết :
a. (P) đi qua hai điểm A(1, 0) và B(2, 5).
b. (P) tiếp xúc trục hoành tại x = -1.
c. (P) đi qua điểm M(-1, 9) và có trục đối xứng là x = -2.
Baøi 13. Cho hàm số 2
( ): ( ) 4P y f x x x  
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (P).
b. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm : 2
4 2 3 0x x m    .
Baøi 14. Cho Parabol 2
( ): ( ) 2 4 2P y f x x x     và đường thẳng :d y x m 
a. Khảo sát sự biến thiên hàm số và vẽ đồ thị (P).
b. Xác định m để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2 (d chắn trên (P)
một dây cung có độ dài bằng 2).
Baøi 15. Cho hai parabol 2
1( ): 2 3P y x x   và 2
2
1
( ): 4 3
2
P y x x  
a. Tìm tọa độ giao điểm của (P1) và (P2).
b. Tìm m để đường thẳng :d y m cắt (P1) tại M1 và N1 , :d y m cắt (P2) tại M2
và N2. Tìm m để M1N1 = M2N2, sau đó tìm độ dài các đoạn thẳng này với m vừa
tìm được.
Baøi 16. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol 2
1( ): 4 8P y x x   , 2
1( ): 8 4P y x x  
Baøi 17. Qua điểm M(0, 1) Vẽ tiếp tuyến với Parabol   2
: 3 6 1P y x x   . Viết phương
trình của tiếp tuyến đó.
Baøi 18.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2
6 7 5y x x   
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (6 1)( 1) 0x x m   
Baøi 19. Cho Parabol (P): 2
3 3y x x  
a. Lập phương trình đường thẳng đi qua
1
1;
2
M
 
 
 
và tiếp xúc với (P).
b. Tìm tập hợp các điểm mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến đến (P) và hai tiếp
tuyến đó vuông góc nhau.
c. Tìm tập hợp các điểm mà từ đó không thể kẻ được tiếp tuyến đến (P).
Baøi 20. Cho Parabol 21 1
( ):
2 2
P y x 
a. Chứng minh rằng mọi điểm M nằm trên (P) thì chúng đều cách đều trục hoành
và một điểm K cố định.
b. Chứng minh rằng Tiếp tuyến của (P) tại M tạo với MK và trục tung thành
những góc nhọn bằng nhau.
Baøi 21. Cho parabol 2
( ): 1P y x x    . Tìm m để đường thẳng : 2 3d y mx m   cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm AB, tìm quỹ tích của I khi m thay đổi.
Baøi 22. Tìm m để hàm số 2
2 2 1y x mx   đồng biến trên khoảng  1, 3

Baøi 23. Một parabol có đỉnh là điểm I(-2; -2) và đi qua gốc tọa độ.
a. Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng nó song song
với trục tung.
b. Tìm hàm số có đồ thị là parabol đã cho.
Baøi 24. Cho hàm số bậc hai 2
( )y f x ax bx c    có giá trị nhỏ nhất bằng
3
4
khi
1
2
x  và
nhận giá trị bằng 1 khi 1x  (đồng nghĩa với : có đồ thị đi qua điểm M(1; 1)).
a. Xác định các hệ số a,b và c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
vừa nhận được.
b. Xét đường thẳng :d y mx . Khi d cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt hãy xác
định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB.
Baøi 25. Tìm hàm số bật hai có đồ thị là một parabol (P), biết rằng đường thẳng
5
2
y   có
một điểm chung duy nhất với (P) và đường thẳng 2y  cắt (P) tại hai điểm có hoành độ
-1 và 5. Vẽ parabol (P) cùng các đường thẳng
5
2
y   và y = 2 trên cùng một mặt phẳng
tọa độ.

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Bài 1.Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y x
x
4
2
4
  

b)
x x
y
x
1 1  
 c)
x x
y
x x x
2
2
3
1


  
d)
x x
y
x
2
2 3
2 5
 

 
e)
x x
y
x
2 3 2
1
  


f)
x
y
x x
2 1
4



Bài 2.Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a) y x x2
4 1    trên (; 2) b)
x
y
x
1
1



trên (1; +) c) y
x
1
1


d) y x3 2  e) y
x
1
2


f)
x
y
x
3
2



trên (2; +∞)
Bài 3.Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
x x
y
x
4 2
2
2
1
 


b) y x x3 3    c) y x x + x2
( 2 )
d)
x x
y
x x
1 1
1 1
  

  
e)
x x
y
x
3
2
1


f) y x 2 
Bài 4.Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D. Chứng minh rằng:
a) Hàm số  F x f x f x
1
( ) ( ) ( )
2
   là hàm số chẵn xác định trên D.
b) Hàm số  G x f x f x
1
( ) ( ) ( )
2
   là hàm số lẻ xác định trên D.
c) Hàm số f(x) có thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Bài 5. Cho đồ thị (H) của hàm số
2
( )y f x
x
  
a. Tịnh tiến (H) lên trên một đợn vị ta được hàm số nào.
b. Tịnh tiến (H) sang trái 3 đợn vị ta được hàm số nào
c. Tịnh tiến (H) lên trên một đợn vị , sau đó tịnh tiến đồ thị vừa nhận được sang trái 3
đơn vị , ta được hàm số nào
Bài 6.Cho hàm số : ( ) 1 2 1y f x x x x      
a. Vẽ đồ thị của hàm số trên. Từ đó tìm GTNN của nó.
b. Tìm m để phương trình ( )f x m có hai nghiệm trái dấu

c. Tìm m để phương trình ( )f x m có vô số nghiệm
Bài 7.Cho các hàm số:
a. 2
3y x  
b. 2
( 3)y x 
c. 2
2 1y x 
d. 2
2( 1)y x  
Không vẽ đồ thị hãy mô tả các hàm số trên bằng cách điền vào các chổ trống….
theo mẫu:
- Đỉnh parabol là điểm có tọa độ…
- Parabol có trục đối xứng là đường thẳng …
- Parabol hướng bề lõm (lên trên / xuống dưới)
Bài 8.Bằng phép tịnh tiến hãy biến đổi đồ thị (P) thành đồ thị (P’) trong các trường hợp sau:
a. 2
( ):P y x , 2
( '): 8 12P y x x  
b. 2
( ): 3P y x  , 2
( '): 3 12 9P y x x   
Bài 9. Cho hàm số : 2
2 4 6y x x    có đồ thị (P).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b. Dựa vào đồ thị (P), hãy cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho 0y 
Bài 10. Cho hàm số y ax bx c2
   (P). Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra. Khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
a) (P) có đỉnh S
1 3
;
2 4
 
 
 
và đi qua điểm A(1; 1); d: y mx .
b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y x m2  .
Bài 11. Cho parabol (P): 2 2
3( 4) 2y x m x   
a. Tìm m để (P) tiếp xúc với trục hoành.
b. Tìm m để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
c. Tìm tập hợp các đỉnh của (P) khi m thay đổi.
d. Tùy theo m, biện luận số giao điểm của (P) và đường thẳng d: 2
3 3y x m 
Bài 12. Cho parabol (P): 2
4 3y x x  
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (P).
b. Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị (P’): 2
4 3y x x  
c. Tìm m để phương trình 2
4 3x x m   có 8 nghiệm phân biệt

HÀM SỐ & ĐỒ THỊ

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais de DANAMATH

Mais de DANAMATH (13)

Último

Último (20)

HÀM SỐ & ĐỒ THỊ