1. Matematika Teknik I:
Matriks, Inverse, dan Determinan
Oleh:
Dadang Amir Hamzah, S.Si., M.Si.
STT DR. KHEZ MUTTAQIEN
2012
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 1 / 33
4. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
5. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
6. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
7. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
8. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
9. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 2 / 33
10. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 3 / 33
11. Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom
berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks
dinamakan entri.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
12. Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom
berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks
dinamakan entri.
Berikut ini adalah contoh Matriks
1 2
3 0
−1 4
, 2 1 0 −3 ,
e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0
, (4).
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
13. Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom
berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks
dinamakan entri.
Berikut ini adalah contoh Matriks
1 2
3 0
−1 4
, 2 1 0 −3 ,
e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0
, (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam
suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo
matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas
ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
14. Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom
berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks
dinamakan entri.
Berikut ini adalah contoh Matriks
1 2
3 0
−1 4
, 2 1 0 −3 ,
e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0
, (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam
suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo
matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas
ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.
Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar
dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan
huruf kecil.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 4 / 33
15. Definisi Matriks
Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya
ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
A =
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 5 / 33
16. Definisi Matriks
Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya
ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
A =
Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian
bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 5 / 33
17. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 6 / 33
18. Penjumlahan dan Pengurangan
Definisi
Jika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahan
A + B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entri
matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Pengurangan
matriks A − B adalah matriks yang didapat dari mengurangkan
entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriks
yang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Tentukan A + B dan A − B dari
A =
2 1 0 3
−1 0 2 4
4 −2 7 0
B =
−4 3 5 1
2 2 0 −1
3 2 −4 5
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 7 / 33
19. Perkalian Skalar
Definisi
Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang
skalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikan
setiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalar
dari matriks A.
Jika c = −1 dan A =
2 1 0
−1 0 2
4 −2 7
tentukan cA
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 8 / 33
20. Perkalian Matriks
Definisi
Misalkan A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriks
berukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuran
m × n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikan
entri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolom
ke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya.
Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyak
kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.
Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya baris
pada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 9 / 33
21. Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
1 2 4
2 6 0
, B =
4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
22. Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
1 2 4
2 6 0
, B =
4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada
matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena
A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
23. Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
1 2 4
2 6 0
, B =
4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada
matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena
A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.
Misalkan
AB =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j
kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1
dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
24. Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
1 2 4
2 6 0
, B =
4 1 4 3
0 −1 3 1
2 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada
matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena
A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.
Misalkan
AB =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j
kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1
dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.
Tentukan semua entri matriks AB?
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 10 / 33
25. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 11 / 33
26. Transpos Matriks
Definisi
Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A
ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari
menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama
At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom
kedua A dan seterusnya.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 12 / 33
27. Transpos Matriks
Definisi
Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A
ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari
menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama
At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom
kedua A dan seterusnya.
Jika A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
maka At =
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 12 / 33
28. Transpos Matriks
Definisi
Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A
ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari
menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama
At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom
kedua A dan seterusnya.
Jika A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
maka At =
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut
A =
1 2
3 0
−1 4
, B = 2 1 0 −3 , C =
e π −
√
2
0 1
2 1
0 0 0
,
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 12 / 33
29. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 13 / 33
30. Pengertian Inverse Matriks
Definisi
Misalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. Jika
AB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan B
adalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi maka
A dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse.
Inverse dari matriks A ditulis A−1.
I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulis
sebagai In. Berikut ini adalah contoh matriks identitas
I2 =
1 0
0 1
, I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, In
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . 1
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 14 / 33
31. Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
32. Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
33. Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari
A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka
solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
34. Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari
A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka
solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.
Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) = 0.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
35. Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1
=
1
det (A)
(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
a b
c d
maka A−1 = 1
ad−bc
d −b
−c a
.
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari
A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka
solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.
Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) = 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 5
2x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 15 / 33
36. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 16 / 33
37. Pengertian Determinan
Definition
Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian
A ∈ M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan
An×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi
tidak didefinisikan.
Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.
Determinan dari matriks A =
a b
c d
det (A) = det
a b
c d
= ad − bc.
Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 × 3 ?
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 17 / 33
38. Skema Sarus
Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20
November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus
adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)
dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarus
menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan
untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 18 / 33
39. Skema Sarus
Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20
November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus
adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)
dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarus
menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan
untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.
Misalkan A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 18 / 33
43. Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk
n > 3 ?
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 20 / 33
44. Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk
n > 3 ?
Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk
n > 3?
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 20 / 33
45. Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk
n > 3 ?
Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk
n > 3?
Definisi
Misalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan dengan
Mij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i
dan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yang
dinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 20 / 33
46. Contoh
Misalkan
A =
3 1 4
2 5 6
1 4 8
Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
M11 =
5 6
4 8
= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 21 / 33
47. Contoh
Misalkan
A =
3 1 4
2 5 6
1 4 8
Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
M11 =
5 6
4 8
= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.
Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1
M11 = 16
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 21 / 33
48. Contoh
Misalkan
A =
3 1 4
2 5 6
1 4 8
Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
M11 =
5 6
4 8
= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.
Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1
M11 = 16
Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 21 / 33
49. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 22 / 33
50. Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
yang
berukuran 3 × 3 yaitu
det (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 23 / 33
51. Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
yang
berukuran 3 × 3 yaitu
det (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 23 / 33
52. Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
yang
berukuran 3 × 3 yaitu
det (A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.
Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah
det (M) = a11C11 + a12C12 + · · · + a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
matriks M.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 23 / 33
53. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 24 / 33
54. Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
Definisi
Misalkan A adalah matriks berukuran n × n dan Cij adalah kofaktor
dari aij. Matriks
C11 C12 . . . C1n
C21 C22 . . . C2n
...
...
...
...
Cn1 Cn2 . . . Cnn
disebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut
adjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 25 / 33
55. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 26 / 33
56. Aturan Cramer
Teorema
Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaan
dan n variabel sedemikian sehingga det (A) = 0. Sistem Ax = b
mempunyai solusi tunggal yaitu
x1 = det (A1
det (A) , x2 = det (A2
det (A) , . . . , xn = det (An
det (A)
dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entri
pada kolom ke j pada matriks A dengan matriks
b =
b1
b2
...
bn
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 27 / 33
57. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 28 / 33
58. 1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut
a − b b + c
3d + c 2a − 4d
=
8 1
7 6
2 Misalkan
A =
3 −2 7
6 5 4
0 4 9
dan B =
6 −2 4
0 1 3
7 7 5
Tentukan
a. Baris pertama dari AB.
b. Kolom ketiga dari AB.
c. Baris ketiga dari AA.
d. Kolom ketiga dari AA.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 29 / 33
59. 3. Misalkan A adalah matriks berukuran m × n dan 0 adalah matriks
barukuran m × n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0
maka k = 0 atau A = 0.
4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehingga
perkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu baris
yang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol.
5. Misalkan
A =
1 3 1 1
2 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2
Tentukan A−1.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 30 / 33
61. Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan Matriks
Ekspansi Kofaktor
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 32 / 33
62. Referensi
H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th Edition,John Wiley and Sons, New York
2000.
Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I 14 Oktober 2012 33 / 33