Matemática elementar iv

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Matemática elementar iv

  1. 1. Audemir Lima de Souza Dário Souza Rocha Genilce Ferreira OliveiraMatemática Elementar IV Manaus 2007
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Souza, Audemir Lima de.S729m Matemática elementar IV / Audemir Lima de Souza, Dário Souza Rocha, Genilce Ferreira Oliveira. – Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 179 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Rocha, Dário Souza. II. Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Razões trigonométricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Relações entre seno, cosseno e Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Resolução de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22UNIDADE II – Trigonometria na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 04 – Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 05 – Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 06 – Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 07 – Razões recíprocas do seno, cosseno e tangente e outras relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 08 – Redução ao 1.º quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44UNIDADE III – Funções circulares e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49TEMA 09 – Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 10 – Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 11 – Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 12 – Outras funções circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60UNIDADE IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 14 – Transformações: Fórmulas de adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65TEMA 15 – Arco duplo e triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67TEMA 16 – Arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 17 – Fórmulas de transformação em produto para seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71UNIDADE V – Equações e inequações trigonométricas | Funções trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 18 – Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 19 – Inequações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 20 – Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84UNIDADE VI – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 21 – Forma algébrica e potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TEMA 22 – Igualdade, soma e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95TEMA 23 – Multiplicação, conjugado e divisão de números complexos na forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98UNIDADE VII – Números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103TEMA 24 – Representação geométrica, módulo e argumento de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TEMA 25 – Forma trigonométrica de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110TEMA 26 – Multiplicação e divisão com números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112TEMA 27 – Potenciação e Radiciação de números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115UNIDADE VIII – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123TEMA 28 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125TEMA 29 – Polinômios Idênticos e Operações com polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129TEMA 30 – Divisão de Polinômios (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131TEMA 31 – Divisão de Polinômios (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133TEMA 32 – Divisão de Polinômios (parte III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135UNIDADE IX – Equaçãoes algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141TEMA 33 – Equações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143TEMA 34 – Multiplicidade das raízes e raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146TEMA 35 – Raízes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148TEMA 36 – Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Audemir Lima de Souza Licenciado em Matemática – UFAMBacharel em Processamento de Dados – UFAMEspecialista em Engenharia de Produção – UFAM Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico−científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE IRazões trigonométricas no triângulo
  7. 7. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo podem ser calculadas, através da trigonome- tria, alturas de montanhas, larguras de rios, TEMA 01 distância entre corpos celestes, etc. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO1.1 Um pouco de história As dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos pri- 1.2 Alguns conceitos de ângulos meiros a calcular as distâncias entre a Terra, a Lua e o Sol; o matemático grego Arquimedes Ângulo é a reunião de duas semi-retas de (287 a.C. – 212 a.C.) estimou o número de mesma origem, mas não contidas na mesma grãos de areia necessários para preencher o reta. O ponto O é chamado de vértice, e as Universo conhecido até então; o físico alemão semi-retas e são os lados do ângulo. Albert Einstein (1879–1955) avaliou o raio do Denotaremos o ângulo pelo símbolo A^ OB. Universo, que, de acordo com seus estudos, é finito. O papiro de Rhind, escrito no Egito em 1650 a. C. aproximadamente, é uma das principais fon- tes de informação sobre a matemática egípicia. Esse documento, constituído de um texto ma- temático com 85 problemas, apresenta no pro- blema 56 um dos mais antigos registros co- Ângulo Raso é o ângulo formado por duas nhecidos sobre trigonometria. semi-retas opostas. Na construção de pirâmides, era essencial manter uma inclinação constante nas faces, e pode ter sido essa preocupação que levou os construtores a usar razões entre medidas dos lados de triângulos, chamadas atualmente de razões trigonométricas. Ângulo de uma volta e ângulo nulo são for- mados por duas semi-retas coincidentes. Interior do ângulo A^ é a intersecção de OB dois semiplanos cujas origens são retas con- correntes. Hoje, com o auxílio de um teodolito (instru- mento portátil utilizado em topografia e em as- tronomia com a finalidade de medir ângulos) 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática Os pontos do interior de um ângulo são pon- O ângulo que mede menos que 90o é chama- tos internos ao ângulo. do ângulo agudo, e o ângulo cuja medida está entre 90o e 180o é chamado de ângulo obtuso. Exterior de ângulo A^ é o conjunto dos pon- OB tos que não pertencem nem ao ângulo A^ OB Dois ângulos são complementares se, e so- nem ao seu interior. mente se, a soma de suas medidas é 90o. 1.3 Triângulo Três pontos A, B e C, não colineares, deter- ⎯ ⎯ ⎯ minam três segmentos de reta: AB, BC e AC. ⎯ ⎯ ⎯ A reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC é chamado de Triângulo ABC. Os pontos do exterior de um ângulo são pon- tos externos ao ângulo. Unidade de medida de ângulos Consideraremos um ângulo raso A^ OB. Divi- dindo esse ângulo em 180 partes iguais, Vértices: A, B e C. ⎯ ⎯ ⎯ chama-se ângulo de 1o (um grau) ao ângulo Lados: AB, BC e AC. ⎯ ⎯ ⎯ que corresponde a do ângulo raso. Medidas dos lados: AB = c, BC = a e AC = b. 1.4 Razões trigonométricas no triângulo retân- gulo Dado um ângulo agudo qualquer de medida α, considere os infinitos triângulos retângulos que possuem ângulos de medida α. Alguns desses triângulos são: Submúltiplos do grau Dois submúltiplos do grau merecem destaque: o minuto e o segundo. Observe que os triângulos OAB, OCD, OEF e Um minuto (1’) é igual a do grau: OGH são semelhantes. Assim, a razão entre dois lados quaisquer de um deles é igual à ra- zão entre os lados correspondentes dos outros dois, ou seja: Um segundo (1”) é igual a do minuto: Dois ângulos são suplementares se, e so- mente se, a soma de suas medidas é 180o. Se dois ângulos são adjacentes (um lado co- As constantes r1, r2 e r3 dependem exclusiva- mum, mas não têm pontos internos comuns), mente da medida α, e não das dimensões do suplementares e têm medidas iguais, então triângulo escolhido para obtê-las. Como os cada um deles é chamado de ângulo reto e infinitos triângulos retângulos que possuem o sua medida é 90o. ângulo agudo de medida α são semelhantes 12
  9. 9. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo entre si, as constantes r1, r2 e r3 podem ser ob- Medimos, com o auxílio da régua, os lados do tidas, de maneira análoga, a partir de qualquer triângulo ABO. Temos: um deles, ou seja: AB = 2,7cm; AO = 3,0cm; BO = 4,1cm. Calculamos: ; ; Nota: Com o uso da régua, cometemos, inevi- tavelmente, erros de aproximação. Portanto os resultados obtidos são valores aproximados. Estas razões trigonométricas r1, r2 e r3 são cha- Existem métodos mais eficientes, que calculam madas, respectivamente, de seno do ângulo esses valores com precisão desejada. (sen α), co-seno do ângulo (cosα) e tangente do ângulo (tg α). 2. Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 e Dado o triângulo retângulo abaixo: tg 36° = 0,72. Calcular o valor de x em cada figura: a) Podemos dizer que: b) Exemplos:1. Com o auxílio de régua graduada e transfe- ridor, calcular sen 42°, cos 42° e tg 42°. Solução: c) Construímos um ângulo de 42°: Solução: Traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo e obtemos o seguinte triângulo a) A razão trigonométrica que deve ser apli- retângulo: cada é aquela que se relaciona com os elementos (queremos cateto oposto e te- mos a hipotenusa). A razão é o seno. Temos: Logo, x = 5,8cm 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática b) Temos a hipotenusa e queremos encontrar cateto adjacente ao ângulo de 36°. A razão é o co-seno. 1. Dado o triângulo ABC retângulo em A, calcule: Logo, x = 4m c) Temos o cateto oposto e queremos o cate- to adjacente, ao ângulo de 36°. A razão é a tangente. a) sen^ B b) cos^ B c) tg^ B d) sen^ C e) cos^ C f) tg^ C Logo, x = 27,8km (aprox.). 2. Calcule as razões trigonométricas seno, co- seno, tangente dos ângulos agudos do tri-3. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. ângulo retângulo em que um dos catetos me- Para isso, fixa um ponto A na margem em que de 3 e a hipotenusa 2 . se encontra e um ponto B na margem oposta (conforme a figura). A seguir, desloca-se 40m 3. Num triângulo ABC reto em A, determine as perpendicularmente à reta até o ponto C e medidas dos catetos, sabendo que a hipo- mede o ângulo A^ obtendo 44°. Qual é a lar- CB, tenusa vale 50 e . gura do rio? (Dados: sen 44º = 0,69, cos 44º = 0,71 e tg 44º = 0,96) 4. Seja ABC um triângulo retângulo em A. São dados e hipotenusa a = 6. Calcule os catetos b e c. 5. Sabendo que sen 28º = 0,46, cos 28º = 0,88 e tg 28º = 0,53, calcule o valor de x na figura: a) Solução: Relacionando com ângulo de 44°, queremos calcular o cateto oposto e temos a medida b) do cateto adjacente que é 40m. A razão trigo- nométrica que usaremos é a tangente. Logo, temos: A largura do rio é 38,4m. c) 6. Um alpinista deseja calcular a altura de uma 14
  11. 11. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80m do pé da encosta (con- forme a figura) e visualiza o topo sob um ângu- lo de 55° com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sen 55° = 0,81, cos 55° = 0,57 e tg 55° = 1,42) b) Usando a régua graduada para medir seg- mentos, complete as igualdades abaixo com as medidas em centímetros (com uma casa decimal): OA = ....................... CC’ = ....................... DD’ = ....................... OD’ = .......................7. Um teleférico deve unir os topos A e B de dois OE’ = ....................... morros. Para calcular a quantidade de cabos ⎯ de aço necessária para unir A e B, um en- c) Considerando a medida do raio OA como genheiro mediu as alturas dos morros em uma unidade u, complete as igualdades relação a um mesmo plano horizontal, obtendo abaixo com as medidas na unidade u (com uma casa decimal): 108m e 144m. A seguir, mediu o ângulo que a reta forma com a horizontal, obtendo 32°. OA = ....................... a) Desenhe na figura abaixo um esquema que CC’ = ....................... represente a situação. DD’ = ....................... OD’ = ....................... OE’ = ....................... d) Usando as medidas que você obteve, com- plete as igualdades: sen 30º = ....................... sen 45º = ....................... cos 45º = ....................... cols 60º = ....................... tg 45º = ....................... b) Calcule a distância entre os pontos A e B, sabendo que sen 32º = 0,52, cos 32º = 0,84 9. Se as medidas dos lados de um triângulo re- e tg 32º = 0,62. tângulo estão expressas em uma mesma uni- dade tal que a hipotenusa mede 1, complete as sentenças de modo a torná-las verdadeiras:8. A figura a seguir mostra um de uma circun- a) O seno de qualquer ângulo agudo desse ferência de centro O dividido em seis partes triângulo é a própria medida do cateto congruentes. Com o auxílio do esquadro, trace ............... a esse ângulo. pelos pontos B, C, D, E e F as retas per- b) O co-seno de qualquer ângulo agudo desse pendiculares ao raio OA, que cruzam esse raio triângulo é a própria medida do cateto nos pontos B’, C’, D’, E’ e F’, respectivamente. ............... a esse ângulo. 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática (Dado ) a) 16,6m1. (U. Católica de Salvador–BA) Na figura abaixo, b) 15,5m tem-se o triângulo ABC, retângulo em B, no ⎯ ⎯ c) 14,4m qual o lado BC = 8cm. A altura BH, relativa ao vértice B, mede 4,8cm. A tangente do ângulo d) 13,3m B^ é igual a: AH e) 12,2m 5. O valor de sen 30° – cos 60° é: a) 0 b) 1 c) a) b) d) c) 1 d) e) e)2. (U. F. Santa Maria–RS) Num triângulo retân- gulo, o co-seno de um ângulo é e a hipo- tenusa mede 10cm. A soma dos catetos, em centímetros, é: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 103. (UFRS) No triângulo retângulo da figura, ⎯ ⎯ BC = 10 e cos α = 0,8. O valor de AB é: a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 24. Se os raios solares formam um ângulo α com o solo, qual é, aproximadamente, o comprimento da sombra de um prédio com 10m de altura? 16
  13. 13. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo Se x é a medida de um dos ângulos agudos de TEMA 02 um triângulo retângulo, temos: sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental) RELAÇÕES ENTRE SENO, CO-SENO E Calculemos agora o valor da tangente de um TANGENTE dos ângulos agudos, por exemplo, o ângulo ^ A. Temos:2.1 Propriedades e relação fundamental Veremos algumas relações muito importantes entre as razões trigonométricas estudadas. Notemos que: Observe o triângulo retângulo ABC da figura abaixo. Logo, (o mesmo ocorre com ^ C). Então, concluímos: Se x é a medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, temos: Observação – Você verá mais adiante que as Temos: e relações acima são verdadeiras para outros Logo, sen A = cos C ângulos. Exemplos: Temos ainda: e Se α e β são as medidas dos ângulos agudos Logo, sen C = cos A de um triângulo retângulo e , deter- Concluímos, então: minar sen β, cos β, cos α, tg α e tg β. Se dois ângulos são complementares (soma igual a 90°), o seno de um deles é igual ao co- Solução: seno do outro. Como α + β = 90° , temos que sen α = cos β, Calculemos agora o valor da expressão então: . (sen A)2 + (cos A)2, a qual também indicamos por sen2 A + cos2 A. Como sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ Como e temos: sen2 A + cos2 A = . Mas a2 + c2 = b2 pelo teorema de Pitágoras. Sabendo que cos α = sen β, temos que Portanto: . ⇒ sen2 A + cos2 A = 1 Calculando as tangentes, temos: Observe que esse resultado não depende do ângulo ^ De modo análogo, teremos para o A. ^ que, sen2 C + cos2 C = 1. Então, ângulo C concluímos: 17
  14. 14. UEA – Licenciatura em Matemática Traçando a altura CH, temos que, sendo um triângulo eqüilátero, ela será também mediana ⎯ de AB e bissetriz de^ C. Observação – No triângulo retângulo, a hipo- tenusa é o maior dos lados; concluímos que para 0º < α < 90º temos: 0 < sen α < 1; 0 < cos α < 1 ; tg α > 0.2.2 Razões trigonométricas especiais Os valores do seno, do cosseno e da tangente podem ser determinadas utilizando-se uma calculadora científica ou fazendo-se uso de ta- belas, chamadas tábuas. Para alguns ângulos, esses valores podem ser determinados facilmente, conforme veremos. A medida da altura será determinada aplicando a) Ângulo de 45° o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AHC: Consideremos um quadrado cujo lado mede a unidades (ver figura abaixo). O teorema . de Pitágoras fornece-nos a diagonal d: Então, . Desse modo, temos: a2 + a2 = d2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d = a . Então, no triângulo retângulo ABC, temos: c) Ângulo de 30° Como 30° + 60° = 90° (30° e 60° são com- plementares), temos: b) Ângulo de 60º Consideremos um triângulo eqüilátero cujo lado mede a unidades (ver figura abaixo). Como todo triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, cada um de seus ângulos me- Observação – Os valores encontrados não de- de 60°. pendem do valor de a. 18
  15. 15. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo Essas razões trigonométricas podem ser co- locadas numa tabela de dupla entrada: θ sen θ cos θ tg θ 30º 45º 1 60º Solução: Temos: Exemplos:1. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um ângulo de inclinação de 60° (ver figura). De- x = 50 . ⇒ x ≈ 86,7m. terminar a altura do foguete após 4s, supondo a trajetória retilínea e a velocidade constante. 2.3 Como calcular os valores das razões trigo- nométricas com o auxílio de calculadora científica ou da tábua trigonométrica Vimos exemplos apenas com ângulos que co- nhecemos os valores trigonométricos, casos particulares (30°, 45° e 60°). Veremos como calcular as razões trigonomé- tricas de um ângulo agudo qualquer. Para usar uma calculadora científica, é neces- sário primeiramente dar uma boa lida no ma- nual de instruções para saber quais teclas serão utilizadas em seus cálculos. Tenha o cuidado de verificar a unidade de me- dida de ângulos com que a calculadora está operando, ou seja, se o “modo” está em graus ou não. Solução: As calculadoras usam as seguintes teclas: Após 4s, ele percorre 4.(200m) = 800m . Seno – sin para encontrar o seno do ângulo Temos que: que está no visor; sin–1 para encontrar o ângu- lo cujo seno está mostrado no visor. Cosseno – cos para encontrar o co-seno do ângulo que está no visor; cos–1 para encontrar A altura é aproximadamente 692,8m. o ângulo cujo cosseno está mostrado no visor.2. Uma pessoa está na margem de um rio, onde Exemplos: existem duas árvores (B e C na figura). Na ou- 1. Calcular sen 42°. tra margem, em frente a B, existe uma árvore A, Solução: vista de C segundo um ângulo de 30°, com Verifique se o “modo” está em DEG; se não relação a B. Se a distância de B a C é de 150m, estiver, coloque-o. Depois digite 42 e pressione Qual é a largura do rio, nesse trecho? sin. Deverá aparecer 0,6691 (aproxim.). 19
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática2. Sendo^ um ângulo de um triângulo retângulo A Exemplos: tal que cos ^ = 0,8290, determinar quantos A 1. Calcular: graus mede o ângulo ^ A. a) sen 71º Solução: b) cos 50º Verifique o “modo”, digite 0,8290 e pressione Solução: sin–1. Aparecerá 42° (aproxim.) a) O ângulo de 71° não consta em nossa Veremos como operar, no caso de não poder- tábua, pois ela só vai até 45°. Mas sen mos contar com este recurso. 71º = cos 19º (ângulos complementares) Para isso, necessitamos da seguinte tábua, na Esse valor está na tábua. qual apareçam os senos e cossenos dos ân- Como cos 19º = 0,9455, temos que gulos de 1° a 45°. sen 71º = 0,9455 Tábua dos senos e cossenos b) O ângulo de 50° também não consta na tábua, mas cos 50º = sen 40º e como sen 40º = 0,6428, temos que cos 50º = 0,6428 2. Calcular tg 23º. Solução: Na tábua, não existe coluna referente à tan- gente (há tábuas que possuem). No entanto temos que: 1. Determine o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo de um triângulo ABC, onde a, b e c são as medidas dos seus lados, nos casos: a) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo ^ é reto. C b) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo ^ é reto. B 2. O perímetro de um triângulo retângulo mede 264m e a hipotenusa mede 110m. Qual o seno do menor ângulo agudo desse triângulo? 3. Um triângulo retângulo ABC é reto em ^ Sa- B. be-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede 15cm. Ache o perímetro do triângulo. 4. Sendo α e β as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, determine: a) cos α, sen β, cos β, tg α e tg β, sabendo que . 20
  17. 17. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo b) sen α, cos α, sen β, tg α e tg β, sabendo que a) 12m . b) 33,3m c) 17m5. Em um triângulo retângulo um ângulo agudo d) 66,6m mede 30°, e o lado oposto a esse ângulo mede e) 50m 120m. Calcule quanto mede cada um dos ou- tros lados. 4. (COVEST–89) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m seguindo uma6. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede direção que forma um ângulo de 30° com uma 60m, e um dos seus ângulos mede 60°. De- das margens. Assinale a alternativa certa para termine o perímetro desse triângulo. a distância percorrida pelo barco para atra- vessar o rio.7. O menor cateto de um triângulo retângulo me- de 15cm e o maior dos ângulos agudos mede a) 100m 60°. Ache a hipotenusa. b) 200m8. Utilizando a tábua de senos e co-senos, cal- c) m cule: d) 150m a) sen 39º b) cos 16º e) 250m c) sen 70º d) cos 85º e) tg 47º f) tg 29º 5. Uma rampa lisa de 20m de comprimento faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se ver- ticalmente: a) 17m b) 10m1. Sabendo que sen 15º ≅ 0,2588, podemos dizer c) 15m que cos 75º (aprox.), é igual a: d) 5m a) 0,9659; e) 8m b) 0,3256; c) 0,2588; d) 0,0872; e) nenhuma das respostas anteriores.2. Um terreno triangular tem frentes de 6m e 8m, em ruas que formam um ângulo de 90°. A me- dida do terceiro lado do triângulo é igual a: a) 9m b) 10m c) 11m d) 12m e) 13m3. (CESEP–82) Num terreno de forma triangular em que o lado maior mede 100m, o maior ân- gulo entre os lados é 90° e um dos outros dois ângulos é a metade do outro, seu lado menor mede: 21
  18. 18. UEA – Licenciatura em Matemática 3.3 Lei dos senos TEMA 03 Iremos aprender agora uma relação muito im- portante, envolvendo as medidas dos lados com os senos dos ângulos de um triângulo. Essa RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS relação é chamada lei dos senos. Mostraremos que ela é verdadeira apenas quan-3.1 Introdução do um triângulo for acutângulo. Mais adiante, no momento oportuno, você verá como ela é Vamos estender para quaisquer triângulos as aplicada para qualquer tipo de triângulo. propriedades trigonométricas aplicáveis aos triângulos retângulos. Trataremos não só de Assim sendo, tomemos um triângulo acutân- seus lados e tipos de ângulos, mas também de gulo ABC, no qual a, b e c são as medidas de sua área. Por tratarmos de triângulos obtusân- seus lados, e mostremos que é verdadeira a gulos, apresentaremos senos e cossenos de seguinte afirmação: ângulos suplementares. (Lei dos senos)3.2 Ângulos suplementares Para isso, observe a figura a seguir. Os valores dos senos de dois ângulos suple- Traçamos a altura relativa ao lado AB. mentares coincidem, isto é: sen(180° – x) = sen x, sendo x a medida de um ângulo de um triângulo. Exemplo: Sendo x = 45°, temos: A figura acima mostra que: Logo, sen(180º – x) = sen(180º – 45) = sen 135º ⇒ Os valores dos co-senos de dois ângulos su- (1) plementares diferem apenas no sinal, ou seja: cos( 180° – x) = – cos x, sendo x a medida de Na figura abaixo, temos o mesmo triângulo com um ângulo de um triângulo. a altura relativa ao lado BC. Exemplo: Sendo x = 60°, temos: Logo, cos( 180° – x) = cos( 180° – 60) = cos 120° ⇒ Temos que: Observação – Para o caso particular de x = 90°, temos sen 90° = 1 e cos 90° = 0. 22
  19. 19. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo mostremos que é verdadeira a seguinte afir- (2) mação: De (1) e (2), concluímos que é verdadeira a afir- a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A mação: (Lei dos co-senos) Demonstração: (Lei dos senos) No triângulo retângulo CHB, da figura abaixo, pelo teorema de Pitágoras, temos a2 = h2 + n2, Exemplo: como h = c – m, podemos escrever que Na figura abaixo, determinar os valores de x e y. a2 = h2 + (c – m)2. Solução: Temos que α + 45° + 60° = 180°, portanto α = 75°. Como A lei dos senos permite escrever: Portanto, como h = b . sen A e m = b . cos A, temos: a2 = (b . sen A)2 + (c – b . cos A)2 Nessa igualdade de três razões, podemos en- contrar os valores das variáveis igualando duas a2 = b2 . sen2 A + c2 – 2 . b . c . cos A + b2 . cos2 A a duas, de forma que cada igualdade fique . c . cos A apenas com uma variável. 1. Temos que: Dessa forma, concluímos: a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A (Lei dos co-senos) De modo análogo, demonstra-se que: b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B 2. Temos também que: e c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C Exemplo: Dado o triângulo ABC (ver figura), determinar x, α e β. Então, os lados medem: x ≅ 7,32cm e y ≅ 8,97cm.3.4 Lei dos co-senos Assim com a lei dos senos, a lei dos co-senos é muito importante para determinação de la- dos e ângulos de um triângulo. Consideremos um triângulo acutângulo ABC e 23
  20. 20. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: Exemplo: Pela lei dos cossenos, temos: Determine, em centímetros quadrados, a área x2 = 502 + 402 – 2 . 50 . 40 . cos 60° do triângulo representado na figura abaixo. Substituindo cos 60° por 0,5, obtemos: x2 = 2100, portanto x ≅ 45,83. Aplicando a lei dos senos, temos: Temos: . Com o auxílio de calculadora científica ou con- sultando a tábua trigonométrica, teremos: α ≅ 71°. Como sen 30° = 0,5 Como β = 180° – 60° – α, temos que: β ≅ 180° – 60° – 71°, portanto β ≅ 49°. Logo,3.5 Cálculo da área de um triângulo em função A = 10cm2 das medidas de dois lados e do ângulo compreendido por eles. Para calcular a área do triângulo MNP, vamos indicar por h a medida da altura relativa ao lado ⎯ NP: 1. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem cm e 2cm e formam entre si um ân- gulo de 30°. Calcule a medida da maior dia- gonal desse paralelogramo. 2. Seja ABC um triângulo isósceles tal que ⎯ ⎯ AB = AC = 18cm e , onde α é a medi- Assim, a área A desse triângulo é dada por: da do ângulo B^ Sendo M o ponto médio do AC. ⎯ ⎯ ⎯ lado AB e P o ponto de AC tal que AP = 6cm, (I) calcule o perímetro do quadrilátero MPCB. No triângulo MNQ, temos , ou ainda: 3. Dois lados consecutivos de um paralelogramo h = a . sen α (II) medem 5cm e 10cm e formam entre si um ân- gulo de 120°. Calcule as medidas das diago- Substituindo (II) em (I), obtemos a área do tri- nais desse polígono. ângulo em função de a, b e α: 4. Um triângulo ABC está inscrito numa circun- ⎯ ferência de raio r. A medida do lado BC é igual ou seja: a r. Calcule a medida do ângulo ^ A. 5. (Vunesp) Os lados de triângulo medem 2 ângu- , e3+ . Determine a lado de medida lo oposto ao medida do . Observe que esse cálculo foi feito para α < 90°; porém o resultado vale também para α = 90° ou α > 90°. 24
  21. 21. Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo tivamente, então a tangente do ângulo oposto1. (Fuvest) Um triângulo ABC é retângulo em ^ A. ao menor lado é: Se o seno do ângulo B^ é 0,8, qual o valor da a) 2 tangente de ^ C? a) 0,25 b) b) 0,50 c) 0,75 c) d) 1,00 e) 1,25 d)2. (UEPB) Com uma velocidade constante de e) 3 30km/h, um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta um ângulo 6. (UF–PI) Sejam e os ângulos internos de um tri- de 30°. Após 4h de percurso, a que distância o ângulo retângulo, satisfazendo a condição móvel se encontra da reta ? sen α = 2 sen β. Se a medida do lado oposto a) 60km ao ângulo α mede 20cm, a medida, em cen- b) 60 km tímetros, do lado oposto ao ângulo β é: c) 120km a) 10 b) 20 d) 75km c) 30 d) 40 e) 50km e) 503. (UF–PI) Um avião decola, percorrendo uma tra- 7. (Cefet–MG) Uma escada que mede 6m está jetória retilínea, formando com o solo um ân- apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela gulo de 30° (suponha que a região sobrevoada forma com solo um ângulo α e que , pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, a altura atingida pelo avião, em a distância de seu ponto de apoio na parede metros, é: até o solo, em metros, é: a) 500 a) 4 b) 750 b) 5 c) 1000 c) 2 d) 1250 d) 3 e) 1500 e)4. (UF–CE) Sejam α e β os ângulos agudos de 8. (UF–PR) Calcule o seno do maior ângulo de um um triângulo retângulo. Se sen α = sen β e se triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros. a medida da hipotenusa é 4cm, a área desse triângulo (em cm2) é: a) b) a) 2 b) 4 c) d) c) 8 d) 12 e) e) 165. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um 9. (Mackenzie–SP) Num retângulo de lados 1cm triângulo retângulo medem 2a e 4a, respec- e 3cm, o seno do menor ângulo formado pelas 25
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática diagonais é: um pneu circular cujo diâmetro mede 1m. Quan- do o pneu tiver dado 100 voltas, o menino terá a) b) percorrido aproximadamente: a) 156m c) d) b) 314m e) c) 412m d) 628m10. (Unifor–CE) Um terreno de forma triangular tem e) n.d.a. frentes de 10m e 20m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120°. A medida do ter- 15. (UF–CE) Um relógio marca que faltam 15 minu- ceiro lado do terreno, em metros, é: tos para as 2 horas. Então, o menor dos dois ângulos formados pelos ponteiros das horas e a) 10 dos minutos mede: b) 10 a) 142°30’ c) 10 b) 150° d) 26 c) 157°30’ e) 20 d) 135°11. (Unifor–CE) As medidas de dois lados conse- e) 127°30’ cutivos de um paralelogramo são x cm e x cm, e a diagonal maior tem medida 2xcm. Então, a medida da outra diagonal, em cen- tímetros, é igual a: a) x b) x c) x d) x e) x12. (U.F.Ouro Preto–MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista circular de raio 200m. O número aproximado de voltas que ele deve dar é: a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 50013. (UFAM) A medida do menor ângulo central for- mado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 10h30min, em graus, é: a) 150 b) 120 c) 105 d) 135 e) 11514. (PUC–MG) Ao mesmo tempo em que anda em uma pista, um menino acompanha e faz girar 26
  23. 23. UNIDADE IITrigonometria na Circunferência
  24. 24. Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência Medida de um arco TEMA 04 A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de ARCOS E ÂNGULOS arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco é o número4.1 Introdução de vezes que o arco u cabe no arco . Trabalhamos com várias relações envolvendo Na figura abaixo, a medida do arco é 5 as medidas de lados e ângulos de um triân- vezes a medida do arco u. Denotando a me- gulo. Entre as relações estudadas, estavam as dida do arco por m( ) e a medida do razões trigonométricas de ângulos agudos: se- arco u por m(u), temos m( )=5 m(u) no, cosseno e tangente. O ramo da matemática que estuda esses tipos de relações é chamado trigonometria (do gre- go trígonon, triângulo, e metria, medição, ato de medir). O vocábulo foi criado em 1595, pelo matemático alemão Bartholomäus Pitiscus A medida de um arco de circunferência é a (1561-1613). mesma em qualquer um dos sentidos. A medi- Nesta unidade, prepararemos o terreno para o da algébrica de um arco AB desta circunfe- estudo das funções trigonométricas. Essas fun- rência é o comprimento deste arco, associado ções são muito importantes, pois inúmeros a um sinal positivo se o sentido de A para B for fenômenos que ocorrem em nossa volta são anti-horário, e negativo se o sentido for horário. descritos por funções desse tipo. Por exemplo, ocorre com a eletricidade, com as ondas so- O número pi noras, com os estudos topográficos, etc. Para toda circunferência, a razão entre o perí- metro e o diâmetro é constante. Esta constante4.2 Arcos e ângulos é denotada pela letra grega , que é um número Se um ponto móvel em uma circunferência par- irracional, isto é, não pode ser expresso como tir de A e parar em M, ele descreve um arco a divisão de dois números inteiros. Uma apro- . O ponto A é a origem do arco, e M é a ximação para o número é dada por: extremidade do arco. π = 3,141592653589793238462643383... Quando escolhemos um dos sentidos de per- curso, o arco é denominado arco orientado e Unidades de Medidas de arco simplesmente pode ser denotado por se o sentido de percurso for de A para B e quan- A unidade de medida de arco do Sistema In- do o sentido de percurso for de B para A. ternacional (SI) é o radiano, mas existem ou- tras medidas utilizadas pelos técnicos que são Quando não consideramos a orientação dos o grau e o grado. Este último não é muito usa- arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não- ori- do, por isso não falaremos sobre ele.. entados sendo A e B as suas extremidades. Radiano – Medida de um arco que tem o mes- mo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim, o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que de- notaremos por 1 rad. 29
  25. 25. UEA – Licenciatura em Matemática Observação: 0° = 0 rad. O grau tem seus submúltiplos. Sabemos que: 1° = 60’ e que 1’ = 60”. Faremos algumas operações com medidas em graus, minutos e segundos. Grau – Medida de um arco que corresponde a Adição do arco completo da circunferência na Na adição de duas medidas em graus, minu- tos e segundos, somamos separadamente, os qual estamos medindo o arco. Portanto a cir- graus, os minutos e os segundos. cunferência tem 360°. Podemos estabelecer os resultados seguintes: Exemplos: 1. Efetuar: 32°45’17” + 26°36’50” Solução: Podemos expressar esse arco por: 90° ou . Como 60”= 1’, podemos escrever 67’ = 1’7”. Logo, 58° 82’ 67” = 58° 82’ 7” Temos, ainda, que 60’ = 1°, o que nos permite escrever 82’ = 1°22’. Temos a metade da circunferência que cor- Logo, 58° 81’ 7” = 28° 22’ 7” responde a 180° ou π rad Subtração: 2. Efetuar: 53° 26’ 17” – 53° 34’ 15” Solução: 3. Considerando-se um relógio com ponteiro das Corresponde 270° ou rad. horas e dos minutos, calcular: a) O deslocamento do ponteiro das horas em 1 hora. b) O deslocamento do ponteiro das horas em 1 minuto. c) O deslocamento do ponteiro dos minutos em 1 hora. d) O deslocamento do ponteiro dos minutos em 1 minuto. Temos uma volta completa na circunferência, e) O menor arco determinado pelos ponteiros que corresponde 360° ou 2πrad. quando for 3h10min. 30
  26. 26. Matemática Elementar IV – Trigonometria na CircunferênciaSolução:a) Veja o que ocorre, por exemplo, das 3h às 4h. Às 3h, o arco das horas era de 3 . 30, ou seja 90°. Nos 10min, o ponteiro das horas deslocou- O mostrador está dividido em 12 partes se 10 . 0,5º grau, ou seja, 5° (aumentou o iguais; para cada hora, corresponderá um arco). deslocamento de 360 dividido por 12, ou Nos mesmos 10min, o ponteiro dos minutos seja, em 1 hora o ponteiro das horas deslo- deslocou-se 10 . 6°, ou seja, 60°. Para ca-se 30°. encontrarmos o arco procurado, efetuamosb) Sabemos que em 1 hora (60 min) o ponteiro uma subtração do percurso feito pelo pon- das horas se desloca 30°. Efetuamos, teiros das horas com o percurso feito pelo então, uma regra de três simples e direta: ponteiro dos minutos. Tempos (min) Deslocamento (graus) Temos: (90° + 5°) – 60° = 35° 60 → 30 Então, o menor arco às 3h10min mede 35°. 1 → x Conversão de Graus para radiano e vice- Temos que: versa. Dado um arco em graus, para conhecermos seu valor em radianos, ou vice-versa, usaremos Então, em cada minuto o ponteiro das ho- a relação (considerada mais simples): ras desloca-se 0,5°. 180° - - - - - - - - π radc) Em 1 hora, o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, ou seja, o deslocamento é Exemplos: de 360°. 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos:d) Em 1 hora (60 min), o ponteiro dos minutos se desloca 360°. Temos a regra de três sim- Solução: ples e direta: 180° - - - - - - - - π rad Tempos (min) Deslocamento (graus) 60° - - - - - - - - - x 60 → 360 Como é uma regra de três simples e direta, 1 → x podemos escrever: Temos que: rad. 2. Determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano. Então, em cada minuto o ponteiro dos mi- nutos desloca-se 6°. Solução:d) Vamos analisar o que ocorre desde as 3h 180° - - - - - - - - π rad até 3h10min. x - - - - - - - - - - 1 rad 31
  27. 27. UEA – Licenciatura em Matemática 2. Numa circunferência que tem 28cm de diâme- Temos que: tro, um arco tem 12cm de comprimento. Qual é a medida (em rad) do ângulo central corre- (como π ≅ 3,14), x ≅ 57,32° spondente?4.3 Medida de um ângulo central Um ângulo, com vértice no centro de uma cir- cunferência, é chamado de ângulo central. A figura abaixo mostra o ângulo central A^ OB. Solução: Se o diâmetro mede 28cm, então o raio mede 14cm. Temos a seguinte regra de três simples e direta: Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm) O número que exprime a medida de um ângu- 2.π 2 . π . 14 lo A^ (central) é o mesmo que exprime a OB medida do arco . Assim, se a medida do x 12 arco for em graus, o ângulo terá sua medida Temos que: em graus; se a medida do arco for em radianos, o ângulo terá sua medida em radianos. Portanto o ângulo central mede aproximada- Exemplos: mente 0,86rad.1. A circunferência abaixo tem 8cm de raio. Um inseto parte do ponto A e anda sobre ela até o 3. Determinar quanto mede o raio de uma circun- ponto B. Sabendo que a medida do ângulo ferência, sabendo que um arco que mede central A^ é 60°, determinar quantos cen- OB 10cm corresponde a um ângulo central de tímetros andou o inseto. radianos. Solução: Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm) 2.π 2.π.r 10 Temos que: Solução: Lembrando que o comprimento da circunfe- rência é C = 2 . π . r e que o raio r = 8cm, te- mos a seguinte regra de três simples: Portanto o raio da circunferência mede 12cm. Ângulo central comprimento do arco 360° ----------------------------------- 2 . π . 8 60° ----------------------------------- x Então: 1. Efetue: a) 50º 35’ 40” + 27º 30’ 35” O inseto andou aproximadamente 8,37cm. b) 30º – 23º 7’ 30” 32
  28. 28. Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência2. Exprima em radianos: c) d) a) 60° c) 270° b) 120° d) 330° e)3. Usando π = 3,14, determine: 2. O ângulo agudo formado pelos ponteiros de a) O comprimento de um arco de circunferên- um relógio quando ele marca 1h20min é: cia (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio, e o ângulo central correspondente mede a) 120° 20°. b) 110° b) O ângulo central (em rad) correspondente a c) 100° um arco de 15cm de comprimento, saben- d) 90° do que ela tem raio de 20cm. e) 80° c) A medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central 3. (UFPI) Supondo que o movimento dos ponteiros de 15° corresponde a um arco de 30cm. de um relógio seja contínuo (não aos saltos), o ângulo que esses ponteiros formam quando o4. A roda dianteira de uma bicicíeta tem 40cm de relógio marca 11 horas e 45 minutos é: raio. a) 60°30’ a) Quantos metros ela percorre ao dar 5000 voltas? b) 72° b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer c) 60° 9420m? d) 82°30’ e) 85°5. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, o pneu era bem borrachudo e tinha 35cm de raio. Nessa época, para ir de sua casa à esco- 4. (Faap–SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmo la, o pneu girava 345 vezes. Depois de muito sentido, uma pista circular de 50 metros de diâ- uso, o pneu ficou “careca”, tendo perdido 0,5 metro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5m a cm de sua casca. Quantas vezes a roda da mais do que o segundo. Supondo que man- bicicleta deverá girar para fazer o mesmo traje- tenham o mesmo ritmo, o primeiro ciclista terá to, agora com pneu “careca”? (Usar π = 3,14) percorrido 1 radiano a mais do que o segundo após:6. Numa pista de autorama, uma curva tem 60cm a) 20 voltas; e é arco de uma circunferência. Se o ângulo b) 15 voltas; central correspondente é de , determine c) 10 voltas; o raio da circunferência. d) 5 voltas; e) 2,5 voltas.1. (Fesp–SP) A medida em radianos de uma arco de 12° é: a) b) 33
  29. 29. UEA – Licenciatura em Matemática Os quadrantes são usados para localizar pon- tos e a caracterização de ângulos trigonomé- TEMA 05 tricos. Por convenção, os pontos situados so- bre os eixos não pertencem a qualquer um dos CICLO TRIGONOMÉTRICO quadrantes. 5.2 Arcos com mais de uma volta5.1 Noções gerais Em Trigonometria, algumas vezes precisamos Considere uma circunferência de raio unitário considerar arcos cujas medidas sejam maiores com centro na origem de um sistema carte- do que 360°. Por exemplo, se um ponto móvel siano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A parte de um ponto A sobre uma circunferência será tomado como a origem dos arcos orien- no sentido anti-horário e para em um ponto M, tados nessa circunferência, e o sentido posi- ele descreve um arco . A medida desse tivo considerado será o anti-horário. A região arco (em graus) poderá ser menor ou igual a contendo essa circunferência e todos os seus pontos interiores é denominada círculo trigo- 360° ou ser maior do que 360°. Se essa medi- nométrico. da for menor ou igual a 360°, dizemos que esse arco está em sua primeira determinação. Acontece que o ponto móvel poderá percorrer Nos livros de língua inglesa, a palavra “círculo” refere-se à curva envolvente da região circular, a circunferência uma ou mais vezes em um enquanto circunferência de círculo é a medida determinado sentido, antes de parar no ponto dessa curva. No Brasil, a circunferência é a M, determinando arcos maiores do que 360° curva que envolve a região circular. ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferen- Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigo- tes, cuja origem é o ponto A e cuja extremi- nométrico em quatro quadrantes, que são enu- dade é o ponto M. merados como segue: Seja o arco , cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parta de A e pare em M pode ter várias me- didas algébricas, dependendo do percurso. 1.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada: positiva; 0° < ângulo < 90° 2.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada: positiva; 90° < ângulo < 180° 3.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada: negativa; 180° < ângulo < 270° 4.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada: negativa; 270° < ângulo < 360° 34
  30. 30. Matemática Elementar IV – Trigonometria na CircunferênciaSe o sentido for o anti-horário, o ponto M da k = –3circunferência trigonométrica será extremidadede uma infinidade de arcos positivos de medi- k = –4das algébricas.m, m + 2π, m + 4π, m + 6π... ...Se o sentido for o horário, o ponto M será ...extremidade de uma infinidade de arcos nega-tivos de medidas algébricas. k = –nm – 2π, m – 4π, m – 6π... 5.3 Arcos côngruos e ângulosTemos, assim, uma coleção infinita de arcos comextremidade no ponto M. Arcos côngruos – Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo deGeneralizando esse conceito, se m é a medida 2π.da primeira determinação positiva do arco AM, Exemplo: Arcos de uma mesma família sãopodemos representar as medidas desses arcos arcos côngruos.por: µ( ) = m + 2 . k . π, onde k é umnúmero inteiro. Ângulos – As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas paraFamília de arcos – Uma família de arcos { } ângulos, uma vez que cada arco da cir-é o conjunto de todos os arcos com ponto ini- cunferência trigonométrica corresponde a umcial em A e extremidade em M. ângulo central determinado pelas semi-retas → →Exemplo: OA e OM.Se um arco de circunferência tem origem em A Como no caso dos arcos, podemos considerare extremidade em M, com a primeira determi- dois ângulos orientados: um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a corres-nação positiva medindo , então os arcos pondente ao arco e outro negativo (sen- tido horário) com medida b = a – 2π corres-desta família { }, medem: pondente ao arco .Determinações positivas: Existem também ângulos com mais de uma volta, e as mesmas noções apresentadas parak=0 arcos aplicam-se para ângulos.k=1k=2k=3...... 5.4 Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX.k=n Sejam os arcos e na circunferênciaDeterminações negativas: trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M simétricos em relação ao eixo horizontal OX.k = –1 Se a medida do arco é igual a m, então a medida do arco é dada por:k = –2 µ( ) = 2π – m. 35
  31. 31. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: 1. Obter a primeira determinação positiva dos arcos cujas medidas são: a) 125° b) 1250° c) d) 380°30’5.5 Arcos de mesma origem, simétricos em Solução: relação ao eixo OY. a) 125° Sejam os arcos e na circunferência Como 0° < 125° < 360°, então a primeira trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M determinação positiva é 125°. simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a b) 1250° medida do arco for igual a m, então a Observando que cada 360° corresponde a medida do arco será dada pela expressão uma volta no ciclo, temos que: µ( ) = π – m. portanto 1250º = 3 . 360 + 170º. Então, a primeira determinação positiva é 170°. c) Lembrando que cada 2π rad corresponde a uma volta no ciclo, temos: Os arcos da família { }, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M, medem: µ( )= 2kπ + π – m = (2k + 1)π – m, em que assim sendo, a primeira determinação po- k é um número inteiro. sitiva é .5.6 Arcos de mesma origem, simétricos em c) 380°30’ relação à origem. Temos que: Sejam os arcos e na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M Então, a primeira determinação positiva é simétricos em relação a origem (0,0). 20°30’. 2. Calcular a primeira determinação positiva, e a primeira determinação negativa dos arcos cujas medidas são: a) –45° b) 400° c) –800° d) Solução: Se a medida do arco é igual a m, então a a) –45° medida do arco é dada por: Essa é a primeira determinação negativa. µ( )= π + m. Como a primeira determinação negativa do arco trigonométrico µ(AM) = m + k . 360º, Arcos genéricos com origem em A e extremi- com k ∈ , ocorre quando k = –1, temos dade em M medem: que: µ( )= 2kπ + π + m = (2k + 1)π + m –45º = m – 1 . 360 ⇒ m = 360º – 45º = 315º 36

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