Matemática elementar iii

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Matemática elementar iii

  1. 1. Domingos Anselmo Moura da Silva Genilce Ferreira Oliveira Dário Souza RochaMatemática Elementar III Manaus 2006
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice−Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice−Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró−Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró−Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Pós−Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico−gramatical João Batista Gomes Silva, Domingos Anselmo Moura da. S586m Matemática elementar III / Domingos Anselmo Moura da Silva, Genilce Ferreira Oliveira, Dario Souza Rocha. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Oliveira, Genilce Ferreira. II. Rocha, Dario Souza. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – A função e o cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Funções injetivas e sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13TEMA 03 – Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15UNIDADE II – Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 04 – Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19TEMA 05 – Função composta e sua linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19UNIDADE III – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25TEMA 06 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 07 – Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 08 – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28UNIDADE IV – Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33TEMA 09 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35TEMA 10 – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 11 – Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37UNIDADE V – Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 12 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 13 – Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41TEMA 14 – Bases Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 15 – Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 16 – Propriedades dos logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 17 – Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44UNIDADE VI – Equações e inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 18 – Módulo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 19 – Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 20 – Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57UNIDADE VII – Funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 21 – Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61UNIDADE VIII – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73TEMA 22 – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 23 – Seqüência de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77UNIDADE IX – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 24 – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83TEMA 25 – Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85TEMA 26 – PA monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88TEMA 27 – Extremos e meios em uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 28 – Representação prática dos termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90TEMA 29 – Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92TEMA 30 – Soma dos n primeiros termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93UNIDADE X – Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103TEMA 31 – Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TEMA 32 – Fórmula do termo geral da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107TEMA 33 – Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110TEMA 34 – Representação prática de três termos em PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111TEMA 35 – Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112TEMA 36 – Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 37 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
  4. 4. PERFIL DOS AUTORESDomingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática - UFAM Especialista em Matemática - UFAM Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Especialista em Matemática - UFAM
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico−científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE I Funções
  7. 7. Matemática Elementar III – Funções Para perceber essa relação, vamos usar como exemplo uma flor, que aos olhos de um admi- TEMA 01 rador representa a beleza, o amor e a paz, e aos olhos de um sensível observador, a ima-A FUNÇÃO E O COTIDIANO gem do nosso mundo, com fatores individu- ais, físicos, econômicos, humanos e sociais.Como o homem percebeu que tudo e todosestão relacionados de forma que nenhum Na linguagem do dia−a−dia, é comum ouvir-efeito tem origem numa única causa? mos frases como “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. NãoAo lermos um jornal ou uma revista, diaria- é raro também abrirmos revistas ou jornais emente nos deparamos com gráficos, tabelas e encontramos gráficos sobre os mais variadosilustrações. Estes são instrumentos muito uti- assuntos, mostrando a dependência entre oslizados nos meios de comunicação. Um textocom ilustrações é muito mais interessante, fatores em estudo.chamativo, agradável e de fácil compreensão. A idéia de um fator variar em função do outro eNão é só nos jornais ou nas revistas que de se representar essa variação por meio deencontramos gráficos. Os gráficos estão pre- gráficos, de certa forma, já se tornou familiarsentes nos exames laboratoriais, nos rótulos em nossos dias. No entanto essa forma de re-de produtos alimentícios, nas informações de presentação não foi sempre assim. O conceitocomposição química de cosméticos, nas bulas de função sofreu várias interpretações até che-de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao gar ao modernamente utilizado.interpretarmos esses gráficos, verificamos anecessidade dos conceitos de plano carte- No século XVIII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−siano. 1716) considerou como função as quantidades geométricas variáveis, relacionadas com umaO Sistema ABO dos grupos sangüíneos é ex- curva.plicado pela recombinação genética dos alelos(a,b,o), e este é um bom exemplo de uma apli- Posteriormente, Leornhard Euler enfatizou me-cação do conceito de produto cartesiano. Uma nos a representação analítica e deixou anteveraplicação prática do conceito de relação é a como conceito de função toda variável quediscussão sobre a interação de neurônios (cé- dependa de outra, ou seja, se a segunda vari-lulas nervosas do cérebro). ar, a primeira também irá variar.Ao relacionarmos espaço em função do tem- Já no século XIX, matemáticos como Dirichletpo, número do sapato em função do tamanho e Lagrange deram novas contribuições para odos pés, intensidade da fotossíntese realizada estudo das funções.por uma planta em função da intensidade de A Idéia de Funçãoluz a que ela é exposta ou pessoa em funçãoda impressão digital, percebemos quão impor- O canto dos grilos é um som familiar no campotantes são os conceitos de funções para com- numa noite quente. O ritmo em que os grilospreendermos as relações entre os fenômenos cantam depende da temperatura: quando estáfísicos, biológicos, sociais... quente, eles cricrilam mais do que em qual- quer outro tempo. A tabela abaixo mostra co-Vamos ler um pouco mais. mo o ritmo e a temperatura estão relacionados.As necessidades do homem, com os mais vari-ados propósitos, fizeram dele, através dos tem- Temperatura em 50 60 70 80 Graus Farenheit (*)pos, um estudioso dos problemas naturais,bem como das suas causas e dos seus efeitos. Número de cricrilos 10 20 30 40 em 15sEssa busca nos fez perceber que tudo e todosestão relacionados de tal forma que nenhum (*) A relação entre graus Farenheit (F) e grausefeito tem origem numa única causa. Celsius (C) é dada pela equação: F = C x 1,8 + 32 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática Para cada temperatura desta tabela, existe um Substituindo n = 40, obtemos correspondente número de cricrilos em quinze C = 0,6 x 40 + 4 = 28 segundos. Observe que, para cada temperatu- A tabela é : ra, existe um único número correspondente. Um matemático diria que o número de cricrilos em Temperatura em 0 10 20 30 40 quinze segundos é uma função da temperatura. Graus Farenheit (*) Uma maneira de representar uma função é Número de cricrilos 4 10 16 22 28 com uma tabela exposta acima. Uma outra ma- em 15 s neira é escrever uma fórmula. Na tabela acima, cada número da segunda linha é o correspon- Resumindo, se temos dois conjuntos S e T, por dente número da primeira linha menos 40. Se uma função ou aplicação de S em T, enten- chamamos F a temperatura em graus Fahre- demos uma correspondência (ou regra, ou nheit e n representa o número de cricrilos em mecanismo), que associa para cada elemento 15 segundos, podemos escrever. S um único elemento de T. O conjunto S é n = F − 40 ou F = n + 40 usualmente chamado de domínio da função, e o conjunto T é chamado de contradomínio. As duas letras nas fórmulas acima são variá- veis. Na primeira, n varia de acordo com a vari- Notação e vocabulário ação de F, isto é, n é função de F. na segunda, Já foram discutidos vários aspectos da teoria F varia de acordo com a variação de n, isto é F dos conjuntos: operações, elementos, etc. Nes- é função de n. te capítulo, olhamos a teoria dos conjuntos sob A fórmula de uma função permite-nos escrever um outro ponto de vista. Na verdade, cuidamos a correspondente tabela. Basta escrever os de aplicações de um conjunto noutro. números que queremos para a primeira linha e Por quê? substituí-los na fórmula para achar o número correspondente da segunda linha. Por várias razões, como poderemos ver adian- te. É uma noção útil e leva−nos para resultados Por exemplo, uma fórmula para a temperatura importantes. Podemos descrever muitos fatos em graus Celsius, C, como uma função do matemáticos como estudo de funções apropri- ritmo do canto dos grilos em 15 segundos, n, é adas. Em outras palavras, o conceito de apli- C = 0,6n + 4 cação (ou função) que já estamos a estudar é Para ver isso, basta observar que F = C x 1,8 + 32. muito usado e constitui-se num dos pontos Como: mais importante da matemática. F = n + 40, temos: C x 1,8 + 32 = n + 40, ou A seguir, vamos tratar de alguns conceitos so- C x 1,8 = n + 40 − 32 = n + 8, ou ainda: bre funções. Para facilitar nossa comunicação, C = 0,6n + 4 (*) vamos introduzir alguma notação e vocabu- lário. Para escrever a tabela dessa função, escolhe- mos alguns números n: 0, 10, 20, 30, 40 e Seja f uma função de um conjunto S para T. substituímos então esses números na fórmu- Podemos denotar esse fato com a notação: la(*) para encontrar os correspondentes nú- f:S→T meros de segunda linha. Se s é um elemento de S e t ∈ T é o elemento Substituindo n = 0, obtemos C = 0,6 x 0 + 4 = 4 que está associado pela função f a s, denota- Substituindo n = 10, obtemos C = 0,6 x 10 + mos este fato por: t = f(s). Chamamos t como 14 = 10 sendo a imagem de s pela função f. Algumas Substituindo n = 20, obtemos C = 0,6 x 20 + vezes, dizemos que t é o valor que f assume em 14 = 16 s, ou que f leva s em t. Chamamos o conjunto Substituindo n = 30, obtemos C = 0,6 x 30 + Im f = {t∈T|existe s∈S; f(s) = t} de imagem da 4 = 22 função f. 12
  9. 9. Matemática Elementar III – Funções TEMA 02FUNÇÕES INJETIVAS E SOBREJETIVASSeja S o conjunto das pessoas que moram narua A, e seja N o conjunto dos inteiros posi-tivos. Se s é um dos residentes da rua A, defi-nimos f(s) como sendo o número da residênciade s na rua A . Portanto, se o Sr. Silva mora nacasa de número 25 da rua A, Observe, no diagrama de flecha, que elemen- tos distintos do conjunto A estão em corres-f (Sr. Silva) = 25. Observe que, se Maria é a pondência com elementos distintos do con-esposa do Sr. Silva, então f(Maria) = 25. junto B.Consideramos o conjunto S das pessoas resi- Então, a função é injetora.dentes na rua A e N o conjunto dos inteirospositivos. Suponha que o sistema da identifi- Exemplo 2cação da polícia seja perfeito, de modo que Mostre que a função polinomial do 1.o grau écada pessoa tenha sua carteira de identidade injetiva.com o respectivo número, independente se éhomem, mulher, criança. Definimos a função Solução:g : S → N por g(s) = número da carteira de Seja f uma função polinomial do 1.o grau, de-identidade da pessoa s. Observe que, quais- finida por f(x) = ax+b, onde, a, b ∈ R e a ≠ 0quer duas pessoas distintas, s1 e s2, são tais Dizemos que f é injetiva ⇔ ∀ x1, x2∈IR, comque g(s1) ≠ g(s2). Observe, então, que esta f(x1) = f(x2) ⇒ x1= x2função aqui definida é distinta da função fdefinida acima, quanto a esse aspecto. Lá, f(Sr. Sendo assim,Silva) = f(Maria). Isto é, dois elementos distin- f(x1) = f (x2) ⇒ ax1 + b = ax1 +b ⇒ ax1 = ax2tos de S podem ter a mesma imagem. Aqui, ⇒ x1 = x2ocorre que elementos distintos de S têm ima- ∴ f é injetivagens distintas. Nesse caso, dizemos, então,que g é injetiva ( ou injetora). Exemplo 3:Assim, h : S → T é injetiva (ou injetora) se, e Sejam N conjunto dos inteiros positivos e T con-somente se, para todo par juntos dos inteiros positivos ímpares. Definimos s1 , s2 ∈ S, com s1 ≠ s2 ⇒ h(s1) ≠ h(s2). f : N → T por f(n) = 2n − 1, para cada n ∈ N. Assim,Ou, equivalentemente, dizemos que h é injetivase, e somente se, para todo par f(1) = 2.1 − 1 = 2 − 1 = 1s1, s2 ∈ S, com h(s1) = h(s2) ⇒ s1 = s2 f(10) = 2.10 − 1 = 20 − 1 = 19Exemplos f(35) = 2.35 − 1 = 70 − 1 = 69Exemplo 1: f define uma função de N em T. Observe que, como no Exemplo 2, f é injetiva, ou seja,Sejam os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3}, B= {2, 4,6, 8, 10} e f: A → B uma função, definida por ∀n,m ∈ N, se f(n) = f(m), entãof(x) = 2x + 2. 2n − 1 = 2m − 1 ⇒ 2n = 2m ⇒ n = m. 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo 4: Exemplo 8: A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é A função f:IR → IR definida por f(x) = 2x não é injetora, pois sempre que tomamos dois va- sobrejetora, pois o número −1 é elemento do lores diferentes para x, obtemos dois valores contradomínio IR e não é imagem de nenhum diferentes para f(x) (Veja o exemplo 2). elemento do domínio. Exemplo 5: Exemplo 9: A função f:IR → IR definida por f(x) = x² + 5 Para qualquer conjunto não vazio podemos não é injetora, pois para x = 1, temos f(1) = 6 definir i : S → S por i(s) = s, para cada s ∈ S. e para x = −1, temos f(−1) = 6. Esta função aplica cada elemento de S sobre Mostraremos, a seguir, que a função f do ele próprio. A função i é chamada função iden- exemplo 3 possui uma propriedade que a fun- tidade. Algumas vezes, notamos a função iden- ção do Exemplo 1 não possui. De fato, seja x tidade por id. qualquer inteiro positivo ímpar; podemos es- crever x como sendo É fácil ver que a função identidade é injetiva e sobrejetiva. x = 2r – 1 para algum inteiro positivo r. Agora, f(r) = 2r − Para refletir 1 = x. Isso significa dizer que qualquer elemen- Definimos f : Z → N por: to de T aparece como imagem de um elemen- to de N. Esta propriedade de f é muito impor- (i) f(n) = 1, se n é para todo inteiro negativo. tante, e dizemos que f é uma função sobrejeti- (ii) f(0) = 101 va (ou sobrejetora). (iii) f(n) = n, se n é inteiro positivo. Então, uma função f :S → T é sobrejetiva (ou A função f é injetiva? É sobrejetiva? sobrejetora ) se, para qualquer t ∈ T, existe um elemento s ∈ S tal que, f (s) = t. Reforçando: Equivalentimente,dizemos que f é sobrejetiva Dizemos que uma função é sobrejetora (ou se, e somente se, o conjunto imagem da fun- sobrejetiva) se, para qualquer t ∈ T, existe um ção f é igual ao contradomínio da função f. elemento s ∈ S tal que, f (s) = t, equivalente- Exemplo 6: mente, se o conjunto imagem for igual ao con- A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é junto C(f), ou seja, Im(f) = C(f). sobrejetora, pois todo elemento de IR é ima- gem de um elemento de IR pela função, ou seja, ∀ y ∈ IR existe ∈ IR tal que f(x) = f( ) = y. Exemplo 7: Mostre que a função f: IR → IR+ definida por f(x) = x2 é sobrejetiva. Solução: Basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ a ∈ IR tal que f(a) = b. Tome a = . Sendo assim f(a) = a2 = ( )2 = b, para qualquer b ∈ IR+. Então, concluímos que f é sobrejetiva. 14
  11. 11. Matemática Elementar III – Funções Solução: TEMA 03 De fato, basta mostrar que ∀ a,b ∈ IR+, com a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f (b). Sendo a,b ∈ IR+, quaisquer, com a ≠ b. Temos,FUNÇÕES INVERSÍVEIS então, que ou a > b, ou a < b, em qualquer dosDados dois conjuntos S e T não-vazios, pode casos a2 ≠ b2 ⇒ f(a) ≠ f (b). Logo f é injetiva.existir uma função f : S → T tal que f seja inje- Afirmo que f é sobrejetiva.tiva e sobrejetiva. Nesse caso, f é chamadauma função bijetiva ou bijetora ou uma bijeção. De fato, basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ pelo menos um a ∈ IR+ tal que f(a) = b.Essa definição sugere uma certa simetria emrelação ao fato de ser bijetiva. Isto é, a defini- Tome a = . Sendo assim, f(a) = a2 = ( )2ção fala de uma função bijetiva f de S para T. = b, para qualquer b ∈ IR+.Mas, nesse caso, também existe uma função Assim, concluímos que f é sobrejetiva.bijetiva de T para S, e essa função será chama-da de a inversa de f, sendo usualmente deno- Exemplo 3:tada por f−1. Na expressão não podemos atribuir oVamos mostrar, em seguida, que se f : S → Té bijetiva, então existe g : T → S bijetiva. valor 2 para x, pois teríamos queDemonstração: consiste em uma impossibilidade matemática.De fato, como f é bijetiva, em particular f é Assim, para que a fórmula possa repre-sobrejetiva. Logo, dado qualquer elemento t de sentar uma função, teríamos de eliminar a pos-T, existe algum s de S tal que f(s) = t. Como f é sibilidade de x vir a ser 2. Desse modo, podetambém injetiva, s é único; isto é, s é o único ser definida f : IR – {2} → IR, tal queelemento de S com a propriedade de que f(s)= t. Ou seja, não existe ambigüidade em levar- f(x) = é uma função bem definida. Nessemos t naquele elemento s tal que t = f(s). Esse caso, IR – {2} é o domínio da função, e IR é oelemento s será chamado g(t). Essa regra contradomínio.associa cada elemento de T num único ele-mento de S, em outras palavras, define uma A função f definida acima é injetiva?função g: T → S. Esta função é chamada a Sim. De fato, para cada x, y ∈ IR – {2}, cominversa de f e é comumente denotada por f−1. x ≠ y, suponha por absurdo que f(x) = f(y), istoExemplos significa que = , ou seja,Exemplo 1: (x + 1).(y − 2) = (x − 2). (y + 1), e portanto 3xSeja g : Z → Z tal que g(s) = s – 6. É fácil ver que = 3y, que resulta em x = y, que é uma con-g é injetiva e sobrejetiva. Qual é a inversa de g? tradição. Logo, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) , concluímos que a função é injetiva.Solução: f é sobrejetiva?Considere t um elemento de Z.Sabemos que g−1(t) = x, tal que g(x) = t. Mas, Não. Pois não existe s∈IR tal que f(s) = 1. Deg(x) = x – 6 = t. Portanto x = t + 6. fato, se 1 = f(s) = teríamos 3 = 0, que éAssim, g−1(t) = t + 6, para todo t ∈ Z. uma contradição.Exemplo 2: Agora considere g : IR − {2} → IR – {1}, tal queAfirmo que a função f: IR+ → IR+ definida por g(x) = . Pelo que vimos acima, g é injeti-f(x)= x2 é bijetiva, ou seja, f é injetiva e sobre-jetiva. va e sobrejetiva. 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática Sendo assim, temos que a função g tem uma inversa, que vamos denotar por g−1 a qual vamos determinar . Fazendo g(x)= = y, temos =y⇒ y(x − 2) = x + 1 ⇒ yx − 2 = x + 1 ⇒ yx − x = 1 + 2y ⇒ x(y − 1) = 1 + 2y ⇒ x = Portanto g−1(y) = Para refletir Quando podemos dizer que duas funções f e g são iguais? Duas funções f e g são iguais se, e somente se, f(x) = g(x), para todo x ∈ D(f), D(f) = D(g) e C(f) = C(g). Para refletir Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi- tivos e f : IR+ → IR+uma função, tal que f(x) =1/x, para cada x ∈ IR+. A função f é injetiva? É sobrejetiva? 16
  13. 13. UNIDADE IIFunções Compostas
  14. 14. Matemática Elementar III – Funções Compostas TEMA 04 TEMA 05FUNÇÕES COMPOSTAS FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEMNo estudo de funções, há um caso muito inte- FORMALressante que vale a pena estudar pela sua Considerando as funções f: A → B e g: B → C,oportunidade de generalização e conseqüente temos que a função composta de g com f é autilidade. função gof: A → C, sendo (go f) (x) = g (f(x)).Sejam S um conjunto não-vazio e f, g duas fun-ções definidas de S para S, isto é, f,g: S → S. Ses ∈ S, então g(s) ∈ S e, como qualquer ele-mento de S, pode ser aplicado pela função f,resultando no elemento f(g(s)) ∈ S. A partirdessa observação, podemos definir a chama-da função composta, denotada por fog, defini-da como fog: S → S, tal que (fog) (x) = f(g(x)),para cada x ∈ S.Observe o diagrama de flecha abaixo: Exemplos Exemplo 1: Sejam f,g: IR → IR funções definidas por f(s) = 5s + 6 e g(s) = . Determine fog e gof. Solução: Sendo assim, temos: (f o g) (s) = f(g(s)) = f( ) = 5( )+ 6 = = e (gof)(x) = g(f(x)) = g(5x + 6)= =Sendo h, g e f funções, definimos assim a OBSERVAÇÃO:função h por gof, ou seja, h = gof De modo geral, gof ≠ fog, como no exemplo acima, temos: (fog) (0) = f(g(0)) = f(1) = 5.1 + 6 = 11 e (gof) (0) = g(f(0)) = g(6) = Observe que fog ≠ gof, isto é, a composição de funções não comuta. Exemplos 2: 19
  15. 15. UEA – Licenciatura em Matemática Dadas as funções f, g, h : IR → IR definidas Exemplo 5: por: f(x) = x+2, g(x) = x2 – 1 e h(x) = . Sejam f e g duas funções reais, tais que Imf ⊂ Dg. Se g(f(x)) = x2 – x – 3 e f(x) = 3 – x, Determine as funções compostas gof, fog, determine g(x). hof e fof. Solução: Solução: Sendo f(x) = 3 – x ⇒ x = 3 – f(x). a) Vamos determinar gof : (gof)(x) = g(f (x) ) = g(x + 2) = ( x + 2)2 – 1 Logo, substituindo x = 3 – f (x) em = x2 + 4x + 4 – 1= x2 + 4x + 3 g(f(x)) = x2 − x − 3, temos 2 portanto (gof)(x) = x + 4x + 3 g(f(x)) = (3 – f(x))2 – (3 – f(x)) – 3 b) Vamos determinar fog: g(f(x)) = 9 – 6 f(x) + (f(x))2 – 6 + f(x) (fog)(x) = f(g(x) = (x2 – 1) = x2 – 1 + 2 = x2+1 c) Vamos determinar hof: g(f(x)) = (f(x))2 – 5 f(x) +3 (hof)(x) = h(f(x)) = h(x + 2) = Dessa forma, concluímos que g(x) = x2 – 5x + 3 IMPORTANTE: = Sendo f : S → T uma aplicação bijetiva de S d) Vamos determinar f o f: sobre T, podemos definir a inversa de f, a (fof)(x) = f(f(x))= f(x+2) = (x+2) + 2 = x+4 qual vamos denotar por f−1, onde f−1 é uma aplicação de T em S (f−1 : T → S), ou seja, Exemplo 3: f(s) = t ⇔ f−1(t) = s ∀ s ∈ S e ∀ t ∈ T Seja f: IR → IR uma função real. Exemplo 6: Se f (x – 3) = x2 – 4x + 1, determine f(x). Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi- Solução: tivos e f : IR+ → IR+, tal que f(x) = , para Sendo f (x – 3) = x2 – 4x + 1, faça x – 3 = u → x= u + 3, logo cada x ∈ IR+. Temos que f é injetiva e sobreje- tiva. Quem é f−1? f(u) = (u + 3)2 – 4. (u + 3) +1 Solução: = u2 + 6u + 9 – 4u – 12+1 Vamos mostrar um fato surpreendente : = u2 +2u – 2 Assim, concluímos que f(x) = x2 + 2x – 2 f(x) = f−1(x) para cada x de IR+, ou seja, f = f−1. De fato, f−1(x) = s ⇔ f(s) = x. Sendo Exemplo 4: f(s) = = x, concluímos que S = . Sejam f e g duas funções reais, tais que Imf ⊂ Dg. Se g (f(x))= x2 – x + 1 e g(x) = , Logo, f−1(x) = S = = f(x) determine f(x). De modo geral, se f : S → T é uma função bi- Solução: jetiva, onde f−1 é a inversa de f. Pergunta–se: Sendo g(x) = , temos que g(f (x)) = Que função resultará de f−1of e fof−1? Se s ∈ S, então (f−1of)(s) = f−1(f(s)). Entretanto, Dessa forma, = x2 – x + 1 ⇒ f(x) – 1 = pela definição de f−1 se t = f(s), então f−1 (t) = s. Em outras palavras, (f−1 o f) (s) = f−1 (f(s)) = 2(x2 – x + 1) ⇒ f(x) – 1 = 2x2 – 2x + 2 ⇒ f(x) = 2x2 – 2x + 3 = f−1 (t) = s. 20
  16. 16. Matemática Elementar III – Funções CompostasOu seja: (f−1of)(s) = s, para todo s ∈ S. Isso sig- (i) Se f e g são injetiva, fog é injetiva?nifica dizer que (f−1of) =ids, que é a aplicação (ii) Se f e g são sobrejetiva, fog e sobrejetiva?identidade de S sobre ele próprio. Demonstração:De modo análogo, para cada t ∈ T, (fof−1) (t) = t.Ou seja, f o f−1 = idT, que é a identidade de T A resposta é afirmativa para ambas as questões:sobre T. (i) Suponha que as funções g : S → T e f: T → W −1 −1Essas duas relações, fof = idT e f of = ids são injetivas. Sejam s1, s2 ∈ S tais que:facilitam o entendimento de que f−1: T → S é (fog) (s1) = (fog) (s2).uma aplicação bijetiva. Queremos saber se s1 = s2.De fato, suponha que f−1(t1) = f−1(t2), com t1, t2 Para isso, (fog) (s1) = (fog) (s2) ⇒∈ T. Aplicando f em cada lado da igualdade, f(g (s1)) = f(g (s2)).obtemos: Como f é injetiva, temos que g (s1) = g(s2).f (f−1( t1)) = f (f−1( t2)), que é a mesma coisa de: Como g é injetiva, s1 = s2. Logo, fog é in-(fof−1) (t1) = t1 = (fof−1) (t2) = t2 ⇒ t1 = t2 jetiva.Portanto f−1 é, de fato, injetiva. (ii) Suponha que ambas as funções g : S → TPor que f−1 é sobrejetiva? e f: T → W são sobrejetivas.Seja s ∈ S, queremos exibir algum elemento t Queremos mostrar que dado w ∈ W, existe∈ T tal que s = f−1(t). Para isso, seja t = f(s),então f−1(t) = f−1(f(s)) = (f−1of) (s) = idS(s) = s. so ∈ S tal que (fog) (so) = w. De fato, como f é sobrejetiva, existe to ∈ TLogo, f−1 é sobrejetiva. tal que f(to) = w.PARA REFLETIR Agora, como g: S → T é sobre, existe so ∈ S tal que g(so) = to .Sejam f e f−1 duas funções, tais que f−1 seja ainversa de f. Mostre que f é bijetiva se, e Mas, então:somente se, f−1 é bijetiva. (fog) (so) = f(g(so)) = f(to) = W. Portanto, f o g é sobrejetiva.PROPRIEDADES IMPORTANTESAs aplicações identidades idS, idT têm algumas PARA REFLETIRpropriedades algébricas importantes, que Se g: S → T e f: T → W são ambas bijetivas,comentaremos a seguir. então f o g : S → W é bijetivaPropriedade 1:Seja f : S → T uma função e seja idT: T → T aaplicação identidade de T. Pelas definições def e idT, mostre idTof = fDemonstração:Se s ∈ S, então (idTof ) (s) = idT (f (s) ) = f (s).Ou seja, (idTof ) (s) = f(s), para todo s ∈ S. Istosignifica que idTof = f.Propriedade 2:Sejam g: S → T e f : T → W duas funções. Nessascondições, podemos definir: fog : S → W.Sendo assim, temos que duas questões po-dem ocorrer naturalmente: 21
  17. 17. UEA – Licenciatura em Matemática] a enfatizar a importância da matemática e do método experimental para o desenvolvimento da ciência. Ele previu, entre outros inventos, o OS PRIMEIROS GRÁFICOS automóvel, o submarino e o avião. Contudo, devido a interesses pessoais e à ignorância, a Em 476, com a queda do último imperador visão científica de Aristóteles manteve-se pre- romano do Ocidente frente aos bárbaros, tem ponderante até por volta do século XVII. início, na Europa, o período histórico deno- No fim da Idade Média, porém, verificou−se minado Idade Média. Nessa reviravolta, a certa efervescência positiva nas universida- Igreja Católica foi a única instituição ocidental des européias representada, por exemplo, a permanecer razoavelmente bem-estruturada. pelas tentativas de transformar as idéias de Precisando de pessoal para suas fileiras a fim Aristóteles sobre movimento em resultados de perpetuar-se, teve de fundar escolas em quantitativos. seus mosteiros, já que o ensino também se Um fruto dessa linha de investigação é a cha- desintegrara. Até por volta da metade do sé- mada Lei da Velocidade Média, enunciada culo XI, as escolas dos mosteiros foram as pela primeira vez por William de Hentisbery, únicas da Europa. O ensino ministrado ali era do Merton College, de Oxford, no início do sé- bastante precário, especialmente nos primei- culo XIV. Em linguagem moderna, essa lei es- ros séculos do período medieval. tabelece que, ao fim de um intervalo de tem- No caso da matemática, por exemplo, apenas po t, a velocidade de um corpo que sai do alguns rudimentos da Aritmética e Geometria repouso em movimento uniformemente ace- eram estudados. Mas, a partir do século XII, o lerado, com aceleração a, é dada por v = at. saber clássico, especialmente o grego, já ha- Paralelamente, outros intelectuais do Merton via sido resgatado substancialmente, e a se- College começaram a explorar a idéia de re- de de conhecimento, gerada em circunstân- presentar a velocidade, bem como outras cias mais favoráveis, era muito grande. Isso quantidades variáveis, por meio da Geometria. levou à fundação das primeiras universidades – a primeira foi a de Bolonha, em 1088, com O mais bem-sucedido nesse intento foi o fran- uma faculdade de Direito. cês Nicole Orêsme (1325−1382). Formado em Várias outras universidades foram fundadas teologia pela universidade de Paris, Oresme nas décadas seguintes, mas os cursos ofere- revelar-se-ia um intelectual versátil e profundo, cidos não passavam de quatro: Artes Liberais tendo sido considerado o maior matemático (básico), Direito, Medicina e Teologia. do século XIV e o maior economista do perío- do medieval. Antecipose a Copérnico no que De modo geral, os primeiros mestres dessas se refere à teoria do movimento da Terra, con- universidades escolheram Aristóteles como guia científico infalível. Afinal, ele escrevera trariando, assim, os ensinamentos de Aristó- sobre quase tudo de maneira bastante con- teles sobre essa questão. vincente para os intelectuais da época, ainda Oresme expôs seu método para representar não habituados ao método experimental. geometricamente fenômenos de uma variável Mas a obra de Aristóteles não considerava numa obra publicada em 1350. Sua idéia con- certos aspectos, o que acabou prejudicando sistia em construir o que ele chamava de con- o desenvolvimento da ciência. figuração, ou seja, uma figura geométrica for- Aristóteles negava, por exemplo, a velocidade mada de um eixo sobre o qual marcava va- instantânea, e isso se tornou um obstáculo à lores da variável, que ele chamava de longi- representação matemática dos fenômenos tudes, e uma sucessão de segmentos cons- do movimento. truídos verticalmente sobre o eixo, cujas medi- É claro que nem todos os intelectuais da épo- das eram chamadas de latitudes, para marcar ca aceitavam os ensinamentos de Aristóteles os valores correspondentes às longitudes. cegamente. Entre os que se opunham a eles, A figura era construída respeitando-se a pro- porcionalidade dos valores envolvidos. Como o mais eloqüente foi Roger Bacon (1214- 1292), um homem cuja vasta cultura o levava se nota, as coordenadas atuais, abscissas e 22
  18. 18. Matemática Elementar III – Funções Compostas c) 4x2 + 1 ordenadas, têm como antecessores as latitudes e as longitudes de Oresme. d) 4x2 − 1 Oresme estudou o caso em que a velocidade de e) 4x2 − 4x + 1 um corpo cresce uniformemente com o tempo a 4. (FEI−SP) Se g(1 + x) = , então g(3) vale: partir de um valor AO. Numa situação como essa, as latitudes correspondem aos instantes a) 0 de tempo, e as longitudes às velocidades. b) 3 A constatação a que chegou Oresme nesse c) 1/2 caso é que as extremidades das latitudes situ- d) 3/10 am-se sobre o segmento AB, em que B é a longitude correspondente ao repouso. Isso e) 2/5 significa, em linguagem moderna, que o grá- 5. (UNIFENAS) Sendo f(x) = então f(f(x)) vale fico é uma linha reta. Oresme chegou a sugerir a extensão de suas a) −1 idéias para a terceira dimensão. Nesse caso, b) 1 os gráficos seriam superfícies em vez de retas ou curvas. O mais notável, entretanto, é que c) ele foi além, insinuando a quarta dimensão, possivelmente pela primeira vez na história da d) matemática. e) x 6. (UEL − PR)Dados os conjuntos A = {0; 1; 2}, B {1; 2; 3; 4} e C = {0; 1; 2; 3; 4} sejam as funções f: A → B e g:B → C definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 4 − x. Nessas condições, a função gof é igual a:1. (ESAL−MG) Se f(x) = x2 + 1, então f(f(x)) é a) {(0, 2) ; (1, 3) ; (2, 1)} igual a: b) {(0, 1) ; (1, 2) ; (2, 3)} a) x4 + 2x2 + 2 c) {(0, 3) ; (1, 2) ; (2, 1)} b) x4 + 2 d) {(0, 3) ; (1, 1) ; (2, 2)} c) x4 + 1 e) {(0, 1) ; (1, 3) ; (2, 2)} d) x + 1 e) 1 7. (CEFET−PR) Se f(g(x)) = 4 x2 − 8x + 6 e g(x) = 2x − 1, então f(2) é igual a:2. (INATEL−MG) Sendo f(x) = x2 + 2x e a) −2 g(x) = 3x + 4 a função fog é: b) −1 a) 9x2 + 20x + 24 c) 3 b) x2 + 30 x + 24 d) 5 c) 9 x2 + 30 x + 24 e) 6 d) x2 + 20 x + 24 e) n.d.a. 8. (FGV−SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 − 1. Então, as raízes da equação3. (FISS−MG) Se f(x) = 2x − 1, então f(f(x)) é igual a: f(g(x)) = 0 são: a) 4x − 3 a) inteiras; b) 4x − 2 b) negativas; 23
  19. 19. UEA – Licenciatura em Matemática c) racionais não inteira; d) inversas uma da outra; e) opostas.9. (CESGRANRIO) Sejam A = {1, 2, 3} e f : A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f (3) = 2. O conjunto solução de f(f(x)) = 3 é: a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) ∅10. (UFMG) Sejam A { 0, 1, 2, 3, 4 } e f : A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f( 4) = 1. Determine x ∈ A tal que (fofofof)(x) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 24
  20. 20. UNIDADE IIIEquações Exponenciais
  21. 21. Matemática Elementar III – Equações exponenciais TEMA 06 TEMA 07FUNÇÃO EXPONENCIAL POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL Como surgiu a notação exponencial ? Sejam a um número real e n um número natu- ral. A potência de base a e expoente n é oA utilização de numerais indo-arábicos como número an tal que :expoentes de uma base nem sempre foi tãoóbvia como nos dias de hoje.Hoje, a idéia de se escrever xx = x² ou x.x.x =x³ parece-nos óbvia, mas a utilização de Dessa definição decorre que:numerais indo-arábicos como expoentes de a1 = 1uma de-terminada base, na forma utilizada a2 = a . ahoje, ocorreu somente por volta de 1637,sendo atribuída ao grande matemático francês a3 = a . a . aRené Descartes. De modo geral, para p natural e p ≥ 2, temos que ap é o produto de p fatores iguis a a.A história já nos mostrou, várias vezes, quesoluções brilhantes dependem de experimen- Exemplos:tos, erros e acertos realizados por outros. 1) 25 = 2.2.2.2.2 = 32Nesse caso, não foi diferente; há registro da 2) 32 = 3.3.3 = 32utilização de potências aproximadamente em 3) 52 = 5.5 = 251000 a.C., em algumas tabelas babilônicas. 4) 106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000Por volta de 1360, o bispo francês Nicole Ores-me deixou manuscritos com notações utilizan- 5) 43 = 4.4.4 = 64do potências com expoentes racionais e irra-cionais e regras sistematizadas para operar com PROPRIEDADES DA PÔTENCIApotências. Ainda na França, em 1484, o médi- Se a∈IR, b∈IR, m∈IN e n∈IR, então valem asco Nicolas Chuquet utilizou potências com seguintes propriedades:expoente zero. i) am . an = am+nAlém desses, outros matemáticos contribuíram ii) am : an = am−npara o desenvolvimento da notação exponen- iii) (am)n = am.ncial, até que Descartes nos deixasse a notaçãode potência utilizada hoje. iv) (a/b)m = am/bm, onde b ≠ 0Um sistema de numeração posicional, na sua v) a−m = 1/am, onde a ≠ 0escrita usual, ‘‘esconde” o que podemoschamar de forma polinômica de um número.No entanto é nela que ele se estrutura, levandoem conta a sua base de agrupamento e rea-grupamentos.Observamos que, no sistema indo-arábico,cuja base é 10, 1989 ‘‘esconde” a expressão:1 . 10³ + 9 . 10¹ + 9 . 10, assim como sua re-presentação no sistema babilônico, de base60, ‘‘esconde” a expressão 33 . 60¹ + 9 . 60. 27
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática ⇒ 3x2 − 3x − 2x − 2 = 0 ⇒ 3x2 − 5x − 2 = 0 TEMA 08 Resolvendo a equação do segundo grau, vem: EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente. Exemplos: 3. 3x − 1 − 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 306 Colocando 3x − 1 em evidência, teremos 1) 3x = 81 (a solução é x = 4) 3x − 1(1 − 3 + 32 + 33) = 306 ⇒ x−5 2) 2 = 16 (a solução é x = 9) 3x − 1. 34 = 306 ⇒ 3) 16x − 42x − 1 − 10 = 22x − 1 (a solução é x = 1) 4) 32x − 1 − 3x − 3x − 1 + 1 = 0 (as soluções são ⇒ 3x − 1 = 9 ⇒ 3x − 1 = 32 ⇒ x’ = 0 e x’’ = 1) x−1=2⇒x=3 Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são: 4. 4x − 20 . 2x + 64 = 0 • Método de redução a uma base comum. ⇒ (22)x − 20 . 2x + 64 = 0 • Método que utiliza o conceito e as pro- ⇒ (2x)2 − 20 . 2x + 64 = 0 priedades de logaritmos. Fazendo y = 2x obtemos: Trataremos aqui apenas do primeiro método. Método de redução a uma base comum Este método, como o próprio nome diz, con- siste no uso de técnicas que permitam, por meio de transformações baseadas nas pro- Substituindo y1 e y2 na equação acima, temos priedades de potências, reduzir ambos os que: membros de uma equação a uma potência de x=2 ex=4 mes-ma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução. 5. 4x + 2 . 14x = 3 . 49x Sendo assim, teremos que ab = ac ⇔ b = c Dividindo por 49x, temos: (0 < a ≠ 1), ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.Resolva as equações.1. Fazendo , vem: y2 + 2y − 3 = 0 ⇒ y1 = 1 e y2 = −3 (não con- 2−1 vém. Por quê?)2. 8x = 4x + 1 ⇒ (23)x 2−x 2 − x) = (22)x + 1 ⇒ 23(x = 22(x + 1) =1⇒x=0 ⇒ 3(x2 − x) = 2(x + 1) ⇒ 3x2 − 3x = 2x + 2 S = {0} 28
  23. 23. Matemática Elementar III – Equações exponenciais6. 3x = 81 5. Determinar o valor de x para o qual . Como 3x = 81, podemos escrever 3x = 34 ⇒ x = 4. 6. Determinar o valor de x para o qual7. 9x = 1 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ⇒ x = 0. 7. Qual é o conjunto-solução da equação expo- nencial 5x + 2 = 125x?8. 23x − 1 = 322x 23x − 1 = 322x ⇒ 23x − 1 = (25)2x ⇒ 23x − 1 = 210x ⇒ 8. Determinar o conjunto-solução de 2x = 5x. 3x − 1 = 10x ⇒ 7x − 1 ⇒ x = 9. Qual é o conjunto-solução de 73x − 9 − 49 = 0?9. Resolva a equação 32x − 6 . 3x − 27 = 0. 10. Determinar o conjunto-solução da equação 4x + 3(2x + 1) = 16. Vamos resolver esta equação por meio de uma transformação: 11. Determinar o conjunto-solução da equação 32x − 6 . 3x − 27 = 0 ⇒ (3x)2 − 6 . 3x − 27 = 0 22x − 12 . 2x = −32 Fazendo 3x = y, obtemos: 12. Se 3 é a raiz quadrada de 3, obter o conjun- y − 6y − 27 = 0; aplicando Bhaskara, encon- 2 to-solução da equação ( 3 )x + 1 = 243. tramos y’= −3 e y’’ = 9 13. Determinar o conjunto-solução da equação Para achar o x, devemos voltar os valores para 3x . 7x = (441)1/4. a equação auxiliar 3x = y: y’ = −3 ⇒ 3x’ = −3 ⇒ não existe x’, pois potên- 14. Determinar o conjunto-solução da equação cia de base positiva é positiva 3x − 34 − x = 24 y’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2 15. Determinar o conjunto-solução do sistema com as duas equações exponenciais: Portanto a solução é x = 2 3x + y = 81 e 3x − y = 110. 3x − 1 = 81 16. Determine o conjunto-solução do sistema de Vamos transformar a equação dada numa igual- equações: dade de porências de mesma base: 32x + y = 4 e 2x + y 3x − 1 = 81 ⇒ 3x − 1 = 34 17. Resolver o sistema de equações: Igualando as expoentes, temos: x−1=4⇒x=5 Logo, a soloção x igual a 5. 18. Determinar o conjunto-solução para a equação 5x = 625. 19. Obter o conjunto-solução para a equação .1. Determinar os valores de x para os quais 2x = 32. 20. Determinar o conjunto-solução para a equação 22x + 3 = 16.2. Determinar os valores de x para os quais 2x = 1. 21. Determinar as soluções para a equação 2 3x − 5x + 6 = 1.3. Resolver a equação 27x = 243. 22. Determinar todas as soluções para a equação 4 24. Resolver a equação 625x = 25. 4x − 13x + 36 = 1. 29
  24. 24. UEA – Licenciatura em Matemática HISTÓRIA E IDÉIAS DE APLICAÇÕES 23. (CESGRANRIO − RJ) Se 8x = 32, então x é igual a: Conta a lenda que um rei solicitou aos seus a) 5/2 súditos que lhe inventassem um novo jogo, a b) 5/3 fim de diminuir o seu tédio. O inventor do mel- hor jogo teria direito a realizar qualquer dese- c) 3/5 jo. Um dos seus súditos inventou, então, o d) 2/5 jogo de xadrez. e) 4 O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, 24. (UEPG−PR) Se 8x − 9 = 16x/2, então é igual a: então, o inventor do jogo e disse que ele po- a) 1 deria pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do b) 2 jogo de xadrez fossem preenchidas com c) 4 moedas de ouro, seguindo a seguinte d) 5 condição: na primeira casa, seria colocada e) n.d.a. uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na 25. (PUC−SP) O valor de x que satisfaz a equação casa anterior. 33x − 1 . 92x+3 = 273 − x é: O Rei considerou o pedido fácil de ser aten- a) 1 dido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os b) 3 tesoureiros do reino lhe apresentaram a c) 5/2 suposta conta, o que corresponde a aproxi- d) 1/3 madamente 9 223 300 000 000 000 000 = e) 2/5 9,2233.1018 moedas de ouro. O rei estava falido! 3 26. (FUVEST−SP) Sendo x = (22)3, y = 22 e A lenda apresenta-nos uma aplicação de 2 z = 23 , calcule x . y . z : funções exponenciais, especialmente da função y = 2x. a) 221 b) 210 As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. c) 223 Elas desempenham papéis fundamentais na d) 24 Matemática e nas ciências envolvidas com e) 220 ela, como Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e 27. (VUNESP−SP) Se , outras. então: Um exemplo de aplicação da teoria das expo- nenciais é encontrado no estudo de taxas de a) m = 0,1 juros e aplicações financeiras, em que elas b) m = (0,1)2 desempenham um importante papel. c) m = (0,1)3 d) m = (0,1)4 e) m = (0,1)5 30
  25. 25. Matemática Elementar III – Equações exponenciais28. (UFRN) Se 2x = 2048, então, x vale : 33. (UFMG) A soma das raízes da equação a) 7 é: b) 11 c) 13 a) 0 d) 17 b) −1 e) 19 c) 129. (PUC−SP) Se , então os valores de x d) 7 são: e) 8 a) 1 e 3 34. (UFPA) A raiz da equação b) 2 e 3 é um número: c) 1 e 2 a) irracional negativo; d) 1 e 4 b) irracional positivo; e) 2 e 4 c) par;30. (FCC−BA) A solução da equação d) inteiro negativo; 0,52x = 0,251 − x é um número x, tal que: e) inteiro positivo. a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 35. (PUC−RS) Se 3x − 32 − x = 23, então 15 − x2 vale: c) 2 < x < 3 a) 16 d) x > 3 b) 15 e) x < 0 c) 14 d) 11 3 −x + 2 1/231. (CEFET−PR) Se (7 ) = ,x valerá: e) 6 a) 36. (UFBA) O conjunto-solução da equação b) −9 2x − 2−x = 5 (1 − 2−x) é: c) 49 a) {1; 4} d) 3 b) {1 ; 2} e) 1 c) {0; 1} d) {0; 2}32. (UEL−PR) Se 2x = u e 3−x = t, o valor da expressão 12x + 18−x é: e) ∅ a) 37. (UEPG−PR) A soma das raízes da equação 32x − 12 . 3x + 27 = 0 pertence ao intervalo: b) a) [10, 12] b) [0, 3] c) c) [1, 2] 2 2 d) u + t d) (10, 12) 3 3 e) u + t e) (1, 3) 31
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática38. (UFPR) Se 2x + 2−x = 3, então o valor de a) 5 8x + 8−x é: b) 6 a) 12 c) 8 b) 18 d) 9 c) 21 e) 10 d) 24 e) 27 44. (CESGRANRIO−RJ) Os números inteiros x e y satisfazem 2x + 1 + 2x = 3y + 2 − 3y . Então, x é:39. (FUVEST−SP) Se 416 . 525 = x . 10n, com 1 ≤ x < a) 0 10, então n é igual a: b) 1 a) 24 c) 2 b) 25 c) 26 d) 3 d) 27 e) 4 e) 2840. (FGV−SP) A equação 4x + 6x = 2.9x tem como solução o conjunto: a) {1} b) {2} c) {3} d) {0} e) n.d.a.41. (UECE) Se 7m − 32n = 1672 e − 3n = 22, então mn é igual a: a) 16 b) 64 c) 128 d) 256 e) n.d.a.42. (PUC − MG) A expressão é igual a: a) 2x b) 2−x c) 2−3 d) 7 e) 843. (UFCE) A soma das raízes da equação xf(x) = 1, em que f(x) = x2 − 7x + 12, é igual a: 32
  27. 27. UNIDADE IVFunções Exponenciais
  28. 28. Matemática Elementar III – Funções exponenciais No caso da função exponencial ela é cres- cente se, e sómente se, a > 1. E descres- TEMA 09 cente se, e somente se, 0 < a < 1. A demons- tração da propriedade não será feita aqui.FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial é injetora, pois paraChamamos de funções exponenciais aquelas todo par x1 e x2 ∈IR com x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).nas quais temos a variável aparecendo em Esta propriedade é decorrência direta da pro-expoente. priedade acima.Definição: A função f:IR → IR+ definida por Como a base a é maior que zero, temos quef(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função ax > 0 para todo x real. Daqui segue que oexponencial de base a. O domínio dessa fun- conjunto-imagem da função exponencial é oção é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é conjunto dos números reais positivos,sendoIR+ (reais, maiores que zero). assim temos que a função exponencial é sobrejetiva. E portanto a função exponencial eObservações e propriedades bijetiva, logo, admite inversa.A função exponencial é definida somente para Sendo o conjunto imagem IR+, conclui-se quebase a positiva, uma vez que se a é negativo, a curva representativa (gráfico) da função estáteremos valores da imagem ax não pertencente toda acima do eixo dos x.ao conjunto dos números reais. Por exemplo,para a = −2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadra- Gráfico da Função Exponencialda de −2, que pertence ao conjunto dos nú-meros complexos, contradizendo a definição A função exponencial f:IR → IR+ definida porda função exponencial. f(x)=ax, com a∈IR+ e a ≠ 1 tem como represen- tação gráfica as seguintes curvas:A base também tem de ser diferente de 1porque para todo x real teríamos como ima- Exponencial crescente: base a > 1gem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 eleva-do a x é igual a 1 para qualquer que seja o x.Em outras palavras, a imagem seria o conjuntounitário {1}, o que também contradiz a defi-nição. E a não pode ser zero, pois teríamosuma indeterminação para x = 0.A função obtida acima é denominada de fun-ção constante, f(x) = c, x real, em que c = 1.Qualquer que seja a função exponencial,temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ouseja, o par ordenado (0, 1) pertence à função Exponencial decrescente: base 0 < a < 1para todo a no conjunto dos reais positivosdiferente de 1. Isto significa que o gráfico carte-siano da função exponencial corta o eixo y noponto de ordenada 1.Definição: Uma função f é dita crescente sedados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio,então as imagens correspondentes obedecemà relação f(x1) < f(x2).Definição: Uma função f é dita descrescentese x1 < x2 então f(x1) > f(x2). 35
  29. 29. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 TEOREMAS Principais Teoremas sobre as Funções Exponenciais. Teorema 1. Dados a e x pertencentes ao con- Para refletir junto dos reais, a > 1, então: 1. Observe o gráfico das funções f(x) = 2x, ax > 1 ⇔ x > 0 f1(x) = 2x + 1, f2(x) = 2x + 2 e f3(x) = 2x+3. O que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a Não será apresentada a demonstração que f(x) = 2x? depende de outros fatos não tratados aqui. Teorema 2. Dados a, x1 e x2 pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então: ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2 Demonstração: Daqui, pelo teorema 1, temos: 2. Sejam as funções f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x x1 − x2 > 0 ⇔ x1 > x2 ilustradas abaixo. Teorema 3. Dados a e x pertencentes ao con- junto dos reais, 0 < a < 1, então: ax > 1 ⇔ x < 0 Demonstração: Como 0 < a < 1, então >1 Em cada caso, escolha uma das opções apre- Pelo teorema 1, vem que: sentadas. a) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função f(x) = 2x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes. Teorema 4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos b) Se a variável x é negativa e assume valores conjunto dos reais, 0 < a < 1, então: absolutos crescentes muito grandes, a fun- ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2 ção f(x) = 2x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes. A demonstração deste teorema leitor fica a cargo do leitor. c) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função g(x) = 2−x admite valores: muito próximo de zero Exemplo: ou muito grandes. A partir do gráfico da função f(x) = 2x, e sendo d) Se a variável x é negativa e assume valores g(x)=2x + 2 e h(x) = 2−x, descreva, grafica- absolutos crescentes muito grandes, a fun- mente, o que ocorre com g = g(x) e h = h(x) ção g(x) = 2−x admite valores: muito próxi- em relação a f = f(x). mo de zero ou muito grandes. 36
  30. 30. Matemática Elementar III – Funções exponenciais Porém 4x < 1 ⇒ 4x < 40. TEMA 11 Como a base (4) é maior que 1, obtemos: 4x < 40 ⇒ x < 0. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Portanto S = IR− (reais negativos). Chamamos de inequações exponenciais toda 2. Determinar o conjunto solução para a inequação em que a incógnita aparece em expoente. desigualdade 25x − 7 > 8. Exemplos de inequações exponenciais: Resolução: 1) 3x > 81 (a solução é x > 4). A inequação 25x − 7 > 8 pode ser escrita como 2) 22x − 2 ≤ 2x 2 − 1 (que é satisfeita para todo x 25x − 7 > 23 ⇒ 5x − 7 > 3 ⇒ 5x > 10 real). 3) (que é satisfeita para x ≤ −3). Portanto temos S = {x∈IR| x > 2}. 4) 25x − 150 . 5x + 3125 < 0 (que é satisfeita para todo x real). Resolvendo Inequações Para resolver inequações exponenciais, deve- mos realizar dois passos importantes: 1. (UFCE) Se f(x) = 161+1/x, então f(−1) + f(−2) + 1.o redução dos dois membros da inequação a f(−4) é igual a: potências de mesma base; a) 11; 2.o aplicação da propriedade: b) 13; a>1 c) 15; a > a ⇒ m > n(a ≥ a ⇒ m ≥ n) m n m n d) 17; (as desigualdades têm mesmo sentido). e) n.d.a. 0<a<1 2. (UFMG) Se , então am > an m < n(am ≥ an ⇒ m ≤ n) (as desigualdades têm sentidos diferentes). f(0) − f (3/2) é igual a: a) 5/2; b) 5/3; c) 1/3; d) −1/2;1. 4x−1 +4 −4 x x+1 > e) −2/3. Resolução: 3. (PUC−SP) Se y = 10x é um número entre 1000 A inequação pode ser escrita assim: e 100 000, então x está entre: a) −1 e 0; b) 2 e 3; Multiplicando ambos os lados por 4, temos: c) 3 e 5; 4x + 4 . 4x − 16 . 4x > −11, ou seja: d) 5 e 10; (1 + 4 − 16) . 4x > −11 ⇒ −11 . 4x > −11 e daí, e) 10 e 100. 4x < 1. 37
  31. 31. UEA – Licenciatura em Matemática4. (PUC−MG) Seja a função f(x) = ax. É correto 9. (FATEC−SP) Seja f IR → IR onde f(x)=2x/2. O afirmar que : conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1/8 é: a) ela é crescente se x > 0; a) (3, 8); b) ela é crescente se a > 0; b) (∞, −1/3 ); c) ela é crescente se a > 1; c) (∞, −6); d) ela é decrescente se a ≠ 1; d) (−1/3, 0); e) ela é decrescente se 0 < x < 1. e) IR − { 0, 8 }.5. (FGV−SP) Assinale a afirmação correta: 10. (PUC−MG) Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução a) (0,57)2 > (0,57)3 da inequação f(x) > g(2 − x) é: b) (0,57)7 < (0,57)8 a) x > 0; c) (0,57)4 > (0,57)3 b) x > 0,5; d) (0,57)0,57 > (0,57)0,50 c) x > 1; e) (0,57)−2 < 1 d) x > 1,5; e) x > 26. (UEL − PR) Os números reais x são soluções da inequações 251 − x < 1/5 se, e somente se: 11. (FGV−SP) A solução da inequação a) x > −3/2; é: b) x > 3/2; a) x ≤ 0 c) −3/2 < x < 3/2; b) −5 ≤ x ≤ 0 d) x < 3/2; c) 0 ≤ x e) x < −3/2. d) x ≤ −5 ou 0 ≤ x e) n.d.a.7. (PUC−RS) Seja a função f: IR → IR definida por f(x) = 2x . Então, f(a+1) − f (a) é igual a: 12. (MACK−SP) Assinale a única afirmação corre- a) 2; ta: b) 1; a) 0,212 > 0,213 c) f(a); b) 0,210,21 > 0,210,20 d) f(1); c) 0,217 < 0,218 e) 2 f(a). d) 0,214 > 0,213 e) 0,21−2 < 18. (PUC−MG) Os valores de a IR que tornam a função exponencial f(x) = (a − 3)x decrescente são: a) 0 < a < 3; b) 3 < a < 4; c) a < 3 e a ≠ 0; d) a > 3 e a ≠ 4; e) a < 3. 38
  32. 32. UNIDADE VFunções Logarítmicas
  33. 33. Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas TEMA 12 TEMA 13INTRODUÇÃO LOGARITMOA Matemática, por ser uma ciência de base, Definiçãoapresenta inúmeras aplicações em outros cam- Chamamos de logaritmo de a, na base b, aopos de estudo e em outras ciências. Qualquer número real c, com a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1 , ou seja,que seja o ramo do conhecimento humano ao logb a = c.qual direcionemos nossas habilidades, iremosdefrontar-nos, cedo ou tarde, com a Matemá- Onde:tica e os seus “mistérios”. Os logaritmos são a = logaritmando;bons exemplos desta aplicabilidade da Mate- b = base;mática. Eles surgiram a partir da necessidadehumana de resolver problemas com números c = logaritmo.muito grandes, como os que temos ao estudar Uma observação importante sobre o estudoastronomia, ou números muito pequenos, dos logaritmos diz respeito ao seu domínio oucomo os que aparecem no estudo das molé- campo de existência. Só existem logaritmos deculas. A fim de facilitar operações de multipli- números positivos, com bases também positi-cação e divisão entre os números, foram de- vas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular osenvolvidas as teorias sobre logaritmos. Neste logb a = c é necessário que a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1.desenvolvimento, merece destaque o mate-mático Jonh Napier (1550−1617), que, após Sendo assim, dizemos que logba = c ⇒ a = bcvinte anos de trabalho, publicou as obrasDescrição das normas dos logaritmos maravi- Exemploslhosos e Cálculo das normas dos logaritmos 1. Determine log6 36maravilhosos. Resolução:Na atualidade, com o advento das calculado- Façaras e dos computadores, os logaritmos perder- log6 36 = x ⇒ 6x = 36 ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2am muito da sua utilidade inicial. No entantomuitas aplicações foram desenvolvidas com 2. O domínio da função f(x) = log3 (x − 5) ébase na teoria dos logaritmos. Entre elas, po- restrito pela sua condição de existência. Ademos destacar o cálculo do nível de intensi- base 3 já é positiva e diferente de 1, deve-dade sonora, a escala Richter, para avaliar a mos então ver a restrição imposta ao loga-intensidade de terremotos, e os cálculos de ph ritmando, ou seja:e poh na Química. x – 5 > 0 –> x > 5, assim: D = {x IR| x > 5}O princípio dos logaritmos baseia-se no fato dealgumas operações serem mais acessíveis do 3. Determine log2 4que outras. Desse modo, com a utilização dos Resolução:logaritmos, podemos transformar multiplica-ções em somas, divisões em subtrações e Façapotências em multiplicações. log2 4 = x ⇒ 4 = 2x ⇒ 22 = 2x ⇒ x = 2 4. Determine log3 90 Resolução: Faça log3 9 = x ⇒ 9 = 3x ⇒ 32 = 3x ⇒ x = 2 41

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