Clício Freire da Silva   Cláudio Barros VitorArnaldo Barbosa Lourenço        Manaus 2006
FICHA TÉCNICA                                Governador                               Eduardo Braga                       ...
SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
PERFIL DOS AUTORES                  Clício Freire da Silva                Licenciado em Matemática – UFAM                 ...
PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigad...
UNIDADE IConjuntos Numéricos
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos                                                                 do lado do q...
UEA – Licenciatura em Matemática    2.1.2 Um número infinito de algarismos que se                      10x = 7,777... (2) ...
Matemática Elementar II – Conjuntos NuméricosAlguns números irracionais são identificados              4. Números Reais (I...
UEA – Licenciatura em Matemática    Propriedades                                                      decimal:            ...
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocu-    padas pela plantação de g...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                                    b) y² – 7y + 10   → é ...
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos   Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy.                           Exemplos:   E...
UEA – Licenciatura em Matemática    Solução:    Para encontrar o perímetro, vamos adicionar    os polinômios que represent...
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricospolinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x.                     –14x + 5  ...
UEA – Licenciatura em Matemática                                                                   c) O polinômio que repr...
UNIDADE IIProdutos Notáveis e Fatoração
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração                                                             Conclu...
UEA – Licenciatura em Matemática    (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²    (a + b)(a – b) = a² – b²                        ...
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração   b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³         ...
UEA – Licenciatura em Matemática    = (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²]             8. Qual a expressão que devemo...
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração                                                                Na ...
UEA – Licenciatura em Matemática    Exemplos:    Fatorar os polinômios:    a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2)   ...
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração                                                                  c...
UEA – Licenciatura em Matemática    Exemplo:                                                  d) (x − 7) . (x + 19) = x 2 ...
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração8. A área de um quadrado é representada pelo   trinômio y² + 14ya +...
UEA – Licenciatura em Matemática    O denominador de uma fração algébrica deve    representar sempre um número real difere...
Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração4.1 Adição e Subtração                                             ...
UEA – Licenciatura em Matemática1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$                      1. Um carro percorreu x quil...
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  1. 1. Clício Freire da Silva Cláudio Barros VitorArnaldo Barbosa Lourenço Manaus 2006
  2. 2. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Silva, Clício Freire da. S586m Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 120 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
  3. 3. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07UNIDADE I – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 03 – Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 04 – Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24TEMA 05 – Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27TEMA 06 – Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 07 – Frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Cálculo do mmc e do mdc de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32UNIDADE III – Potências e radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37TEMA 09 – Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 10 – Usando potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40TEMA 11 – Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 12 – Equações do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47TEMA 13 – Equações literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50TEMA 14 – Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55UNIDADE IV – Inequações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 15 – Inequação do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 69UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75TEMA 18 – Equação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82TEMA 20 – Intervalo reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86UNIDADE VI – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89TEMA 21 – Função ou aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91TEMA 22 – Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95TEMA 23 – Função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TEMA 24 – Raiz ou zero da função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 25 – Função do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100TEMA 26 – Inequação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104TEMA 27 – Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
  4. 4. PERFIL DOS AUTORES Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAMPós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAMPós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM
  5. 5. PALAVRA DO REITORA realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigadaà sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado doAmazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados emdinamismo técnico-científico.Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-tenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhesuma visão multifacetada das maneiras de educar.Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a históriada educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafiosque se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  6. 6. UNIDADE IConjuntos Numéricos
  7. 7. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos do lado do quadrado não era um número TEMA 01 racional, pois essas medidas nunca podiam ser ambas expressas por números inteiros. Isso levou à criação dos números irracionais, CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: que não são inteiros e nem racionais, pois não INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL podem ser escritos como fração nem como decimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje, CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS que1. Introdução. 2. Número Racional (Q) É possível repartir igualmente vinte bolinhas de gude entre três crianças carentes? É qualquer número que pode ser escrito como Vejamos: quociente de dois números inteiros, sendo o divisor diferente de zero. 20 3 2 6 2.1 Forma decimal Nesse caso, não é possível, pois cada criança receberá seis bolinhas e ainda sobrarão duas Há duas formas de se representar um número bolinhas. racional: a forma fracionária e a forma deci- mal. Dada a forma fracionária, basta dividir o Conclui-se, então, que a divisão de dois nú- numerador pelo seu denominador para obter a meros inteiros nem sempre é possível de ser forma decimal. Veja os exemplos: realizada no conjunto Z. Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z para o conjunto dos a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços números racionais (Q), pois não existe número de comprimentos iguais, qual será o comprimen- inteiro que represente o quociente 20 : 3. to de cada pedaço? → representação fracionária. 1,875 → representação decimal. O comprimento de cada pedaço de cabo será de 1,875m. b) → representação fracionária. No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formou uma sociedade secreta e mística. Os membros dessa sociedade dedicaram-se ao estudo dos números, porque acreditavam que tudo que existe no Universo podia ser explicado por 1,333... → representação decimal. meio de números. Os pitagóricos conheciam os números inteiros A representação decimal de um número e as frações, que representavam comparações racional pode apresentar: entre duas grandezas de mesma espécie. 2.1.1 Um número finito de algarismos não- Com a descoberta do Teorema de Pitágoras, nulos. Nesse caso, o número racional é os pensadores verificaram que a razão entre a chamado de decimal exato, como no medida d da diagonal do quadrado e a medida exemplo a. 11
  8. 8. UEA – Licenciatura em Matemática 2.1.2 Um número infinito de algarismos que se 10x = 7,777... (2) → multiplicamos por 10, repetem periodicamente. Nesse caso, o pois o período tem um algarismo. número racional é chamado de dízima Subtraímos, membro a membro, a igual- periódica, como no exemplo b. dade (1) da igualdade (2). Numa dízima, os algarismos que se repetem 10x = 7,777... (2) periodicamente após a vírgula compõem o nú- x = 0,777... (1) mero chamado de período. Veja os exemplos: 9x = 7 d) 3,444... – período: 4. Assim: x = e) 2,535353... – período: 53. f) 4,01215215215... – período: 215. Logo, 0,777... = Quando a dízima não apresentar nenhum algarismo entre a vírgula e o período (como nos exemplos d e e), ela é chamada de dízima periódica simples. Caso contrário (como no exemplo f), ela é chamada de dízima periódica Determine a geratriz da dízima 4,151515... composta. Solução:2.2 Forma fracionária Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x. Para transformar um número da representação x = 4,151515... (1) decimal para a representação fracionária, te- Multiplicamos os dois membros dessa igual- mos dois casos a considerar: dade por 100. 1. O número dado é um decimal exato. 100x = 415,151515... (2) → multiplicamos por Nesse caso, a fração procurada tem como 100, pois o período tem dois algarismos. numerador o número dado, sem vírgula, e Subtraímos, membro a membro, a igualdade tem como denominador o algarismo 1 segui- (1) da igualdade (2). do de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Veja os exemplos: 100x = 415,151515... (2) a) 0,38 = b) 1,743 = x = 4,151515... (1) 99x = 411 duas casas três casas decimais = dois zeros decimais = três zeros Assim: x = 2. O número dado é uma dízima periódica. Logo, 4.151515... = Nesse caso, a fração procurada recebe o nome de fração geratriz da dízima periódica. Exemplo sobre a determinação da fração 3. Números Irracionais (II) geratriz. São todos os números que têm uma represen- Encontrar a fração geratriz da dízima tação decimal, infinita e não–periódica. 0,777... Os números irracionais não podem ser escritos Solução: em forma de fração. Indicamos a dízima periódica 0,777... por x. As raízes quadradas de números inteiros posi- x = 0,777... (1) tivos, que não são quadrados perfeitos, são números irracionais. Exemplos: Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10. e 12
  9. 9. Matemática Elementar II – Conjuntos NuméricosAlguns números irracionais são identificados 4. Números Reais (IR)por símbolos especiais. É o conjunto formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais. Em resumo, temos: O número π (pi)Há muitos anos, os egípcios descobriramque a razão entre o comprimento de uma cir-cunferência e o seu diâmetro é a mesma paraqualquer circunferência. É essa razão quehoje chamamos de π, representando um O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:número irracional de valor aproximadamenteigual a 3,1415... I ⊂ IR Q ∪ I = IR Q∩I=∅ IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR C––– = π 4.1 Representação geométrica dos números 2r reais.π = 3,1415... Para cada número real, há um ponto correspon-Logo, C = 2.π.r dente na reta e, para cada ponto da reta, há um número correspondente. Por isso, dizemos que existe uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma reta.A roda de um automóvel tem 0,6m dediâmetro. Nessas condições, responda:a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda?b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo Escreva entre que números inteiros consecu- automóvel? tivos fica cada um dos números reais abaixo.Solução: Identifique se ele é real racional ou real irracional.a) C = ? C = 2.π.r a) b) c) 8,666... d = 0,6 m Solução: = 0,3 m a) : real irracional; fica entre 5 e 6. C = 2 . 3,14 . 0,3 → c) : real racional; fica entre 2 e 3. C = 1,884m d) 8,666...: real racional; fica entre 9 e 8.b) N.° de voltas completas = 5000. 4.2 Operações em IR Distância percorrida pelo automóvel: No conjunto dos números reais, podemos efe- d = 5000 . 1,884 tuar as operações de adição, subtração, multi- d = 9420m plicação e divisão (divisor diferente de zero). 13
  10. 10. UEA – Licenciatura em Matemática Propriedades decimal: a) 5/4 b) 5/3 c) 5/6 d) Sendo a, b e c números reais quaisquer, podemos escrever as propriedades das se- guintes operações: 3. Represente com uma fração irredutível. a) Adição a) 0,45 b) 0,454545... c) 2,16 d) 5,444... • Fechamento: (a + b) ∈ IR Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR) 4. Considere – 1,444... e B = 0,7 – 0,777... • Comutativa: a + b = b + a Determine . Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17 • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12 5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso: • Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a a) –3 + 8 = 8 + 3 Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6 b) 5 . 8 = 8 . 5 • Elemento oposto: a + (−a) = 0 c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4 Ex.: 4 + (−4) = 0 d) (4 . 3) . 2 = 4 .(3 . 2) b) Subtração • Fechamento: (a – b) ∈ IR 6. Represente na reta numérica real os seguintes Ex.: 3 – 5 = 2 (−2 ∈ IR) números. c) Multiplicação a) b) c) d) • Fechamento: (a . b) ∈ IR Ex.: 3 . 5 = 15 (15 ∈ IR) • Comutativa: a . b = b . a 7. Determine o único conjunto cujos elementos Ex.: 9 . 3 = 3 . 9 = 27 são todos números racionais: • Associativa: a .(b . c) = (a . b) . c a) { 1/2; ; 3, 5, } c) {–3, –2, , 0} Ex: (4 . 5) . 6 = 4 .(5 . 6) = 120 b) {–1, 2/7, 0, , } d) { 0, , ; 5,7} • Elemento inverso: ,a≠0 8. Com auxílio de um diagrama, represente a Ex.: seguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos. • Elemento neutro: a . 1 = 1. a = a 9. Utilizando a propriedade distributiva da multi- Ex.: 3 . 1 = 1 . 3 = 3 plicação, desenvolva os produtos: • Distributiva: a . (b + c) = a.b + a.c a) 2 . (b + 3) c) – 4 . (x + 4) Ex.: 3 . (5 + 4) = 3 . 5 + 3 . 4 b) 17 . (c – 2) d) – 2 . (a – b) d) Divisão • Fechamento: (a : b) ∈ IR, b ≠0 10. Qual a correspondência existente entre os Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR) pontos de uma reta e os números reais? Justifique sua resposta. 11. Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional.1. Dados os números 0; 0,7; ; 7,7; –7; 0,70007... quais são: 12. O produto ou quociente de dois números irra- a) reais e racionais? cionais pode ser um número racional? b) reais e irracionais? 13. Quando um número decimal não–exato é um2. Represente os seguintes números na forma número irracional? 14
  11. 11. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocu- padas pela plantação de guaraná. Que fração das TEMA 02 terras dessa fazenda representa essa plantação?15. Uma roda de bicicleta tem raio de 40cm. Cal- POLINÔMIOS cule o comprimento da circunferência dessa 1. Introdução roda, considerando π = 3,14. A álgebra é a parte da matemática em que se16. Numa caixa, há bolas numeradas de 1 a 7. Ro- empregam letras para representar e genera- drigo retirou três bolas consecutivas sem reco- lizar situações envolvendo números. locá-las na caixa, para representar um número Pense e descubra. x. O número retirado na primeira bola repre- No retângulo da figura, usamos letras para in- sentará as unidades de x, o número da segun- dicar as medidas da base e da altura. da bola irá representar os décimos de x e o da terceira bola, os centésimos. Pela figura: a) Rodrigo retirou os números 6, 4, 2, nessa or- dem. Qual o número x formado nesse caso? Indique-o por uma fração irredutível. b) Se, em seguida, Rodrigo retirar mais três bolas, qual o maior número x possível que poderá ser • a representa a medida da base do retângulo. sorteado com a retirada dessas bolas? E o me- • b representa a medida da altura do retângulo. nor? Daí: O perímetro do retângulo é igual a duas vezes a medida da base mais duas vezes a medida da altura. Perímetro do retângulo: 2 . a + 2 . b ou 2a + 2b. A área do retângulo é igual ao produto da me- dida da base pela medida da altura. Área do retângulo = a . b ou ab. Logo, toda expressão matemática composta de números e letras, ou somente letras, é de- nominada expressão algébrica ou literal. 2. Valor numérico de uma expressão algébrica Considere a seguinte situação: Em um estacionamento, encontram–se x mo- tos e y carros. A expressão que representa o número total de rodas é 2x + 4y. Se forem 12 motos e 15 carros, o número total de rodas será: 2.(12) + 4.(15) = 24 + 60 = 84. Dizemos, então, que o valor numérico da ex- pressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y = 15 é 84. Exemplos: a) Calcular o valor numérico da expressão , para x = 4. 15
  12. 12. UEA – Licenciatura em Matemática b) y² – 7y + 10 → é um polinômio de três termos, também chamado de trinômio. c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³ → é um polinômio de portanto, o valor numérico da expressão quatro termos. algébrica para x = 4 é 4. Cuidado!!! b) A expressão não possui valor numérico real O grau de um monômio, com coeficientes não- quando a = 0, pois esse valor anula o deno- nulos, é indicado pela soma dos expoentes da minador. sua parte literal. Exemplos:3. Monômio ou termo algébrico • Determinação do perímetro de um quadrado de lado a. 4. Monômios semelhantes Expressão algébrica: 4.a = 4a Verifique: • Determinação do volume de um paralelepí- • Os monômios 5a³b² e a³b² apresentam a pedo retângulo de arestas a, b e c. mesma parte literal: a³b². • Os monômios 3m²n e m²n apresentam a mesma parte literal: m²n. Portanto conclui-se que dois ou mais monô- Expressão algébrica: a .b .c = abc mios são semelhantes quando apresentam a Portanto as expressões algébricas racionais mesma parte literal ou não possuem parte liter- inteiras representadas por um único produto al. são chamadas de monômios (ou termos algé- bricos). 5. Operações com monômios Exemplo: → coeficiente: 5; parte literal: x³y² a) 5x³y² 5.1 Adição algébrica de monômios. b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc Uma expressão algébrica em que todos os mo- c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa se- nômios são semelhantes pode ser simplificada mana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a y somando-se algebricamente os coeficientes nu- reais cada. Qual a expressão algébrica que repre- méricos e conservando-se a parte literal. senta o total arrecadado na venda desses veículos? Observe a figura: • Total arrecadado com a venda dos automóveis: 5x. • Total arrecadado com a venda das motos: 6y. • Total arrecadado com a venda desses veículos pode ser representado pela soma: 5x + 6y. Temos, aí, uma adição de monômios. • Área do retângulo ACDF é expressa pelo Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica de monômio: 9xy. monômios denomina-se polinômio. • Área do retângulo ABEF é expressa pelo Exemplo: monômio: 5xy. a) 5x + 8 → é um polinômio de dois termos, tam- • Área do retângulo BCDE é expressa pelo bém chamado binômio. monômio: 4xy. 16
  13. 13. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy. Exemplos: Exemplos: a) a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y b) b) 6xy – xy + xy = (6 – + )xy = ( ) xy5.2 Multiplicação de Monômios 5.5 Raiz quadrada de um monômio O produto de dois ou mais monômios pode ser A raiz quadrada de um monômio pode ser obti- obtido multiplicando-se os coeficientes numéri- da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente cos e as partes literais entre si. numérico e dividindo-se por 2 o expoente de Na figura: cada variável da parte literal. Exemplos: a) = 6 a²b³ b) O volume do paralelepípedo (V) é: V = (2ab).(3b).(c) 6. Grau de um polinômio V = (2 . 3 . 1) . (a . b . b . c) V= 6ab²c O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo Logo, o monômio 6ab²c representa o volume seu termo de maior grau não-nulo. desse paralelepípedo. Exemplos: Exemplo: • O polinômio x4y – x5y3 + 3x2yz é do 8.º grau. a) • O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau. b) 6.1 Polinômio com uma só variável = O grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura num dos5.3 Divisão de monômios termos não-nulos do polinômio. O quociente de dois monômios pode ser obti- Exemplos: do dividindo-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si. • O polinômio 6x3 + 2x2 + 4 é do 3.º grau. • O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau. Exemplo: a) 7. Operações com Polinômios b) 7.1 Adição de Polinômios Pense e responda: = Qual o polinômio reduzido que dá o perímetro5.4 Potenciação de monômios do triângulo ao lado? A potência de um monômio pode ser obtida elevando-se o coeficiente numérico e a parte li- teral à potência indicada. 17
  14. 14. UEA – Licenciatura em Matemática Solução: Para encontrar o perímetro, vamos adicionar os polinômios que representam as medidas dos lados. (3x + 5) + (2x + 1) + (x + 1) = Solução: 3x + 5 + 2x + 1 + x + 1 → eliminamos os Área I: parênteses. 3a.2a = 6a2 3x + 2x + x + 5 + 1 + 1 = Área II: = 6x + 7 → reduzimos os termos semelhantes. 3a.b = 3ab Total: Assim, o perímetro da figura é dado pelo Área I + II = 6a2 + 3ab polinômio 6x + 7. Ou, pela propriedade distributiva: Exemplo: Área total é igual a: Sendo A = 4x² + 3xy + y², B = −3x² + 4xy e C 3a.(2a+ b) = 3a . 2a + 3a . b = 6a² + 3ab. = x² − y², encontrar A + B + C. Exemplo: Solução: Calcular o produto: (−2x + 5).(6x² + 4x + 3). A + B + C = (4x² + 3xy + y²) + (−3x² + 4xy) + Solução: (x² − y²) (−2x + 5).(6x² + 4x + 3) = = 4x² + 3xy + y² − 3x² + 4xy + x² − y² → elimi- = –2x . 6x² – 2x . 4x – 2x . 3 + 5 . 6x² + 5 . 4x + 5 . 3 namos os parênteses. = –12x³ – 8x² – 6x + 30x² + 20x + 15 = 4x² − 3x² + x² + 3xy + 4xy + y² − y² = –12x³ – 8x² + 30x² – 6x + 20x + 15 = 2x² + 7xy → reduzimos os termos seme- = –12x³ + 22x² + 14x + 15. lhantes. Pelo dispositivo prático, temos:7.2 Subtração de polinômios Para subtrair dois polinômios, devemos adicio- nar o primeiro ao oposto do segundo, seguin- do a mesma seqüência do item anterior. Exemplo: Determine a diferença entre os polinômios 7.4 Divisão de polinômios A = 5x³ − 4x + 8 e B = 2x³ + 6x² – 2. • Divisão de polinômio por monômio Solução: Considere o retângulo abaixo: A − B = (5x³ − 4x + 8) − (2x³ + 6x² − 2) A − B = 5x³ − 4x + 8 − 2x³ − 6x² + 2 → eli- minamos os parênteses trocando o sinal dos termos do segundo polinômio. A − B = 5x³ − 2x³ − 6x² − 4x + 8 + 2 → agru- pamos os termos semelhantes. A − B = 3x³ − 6x² − 4x + 10 → reduzimos os A área desse retângulo é representada pelo termos semelhantes. polinômio 6x² + 9x, e a medida da altura pelo monômio 3x.7.3 Multiplicação de polinômios Vamos determinar o polinômio que representa Considere a seguinte situação: a base do retângulo. Observe a figura e determine a expressão al- Para isso, devemos dividir o polinômio: gébrica que representa a área total desses dois espaços. 6x² + 9x pelo monômio 3x, ou seja, achar o 18
  15. 15. Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricospolinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x. –14x + 5 14x + 7Esse polinômio é 2x + 3, pois: +123x . (2x + 3) = 6x² + 9x. Como o resto (12) tem grau zero, que é menorObserve que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido que o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, ficadividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x. encerrada a divisão. Logo:Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3 Quociente: 4x + 7 Resto: 12Exemplos:a) (18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –1b) (7x³y² – 5x²y4) : (–3x²y) = xy + y³ 1. Determine uma expressão algébrica que repre- senta a área total de um cubo planificado.• Divisão de polinômio por polinômio Solução:A divisão de polinômio por outro polinômionão-nulo será feita, considerando apenas ospolinômios com uma variável.Para facilitar essas divisões, devemos escreveros polinômios segundo as potências decres- Área total do cubo planificado: Atcentes da variável, e o polinômio dividendo de-ve ser escrito na forma geral. At = a . a + a . a + a . a + a . a + a . a + a . aExemplo: At = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por 2. Determine o polinômio que, dividindo por(2x + 1). 2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5.• Começamos dividindo o primeiro termo do Solução: dividendo (8x²) pelo primeiro termo do P |2x³ + 5x polinômio divisor (2x). Obtemos 4x. x+5 x² – 1 8x² – 10x + 5 |2x + 1 P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5 4x P = x² . 2x³ + x² . 5x – 1 . 2x³ – 1 . 5x + x + 5• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo P = 2x5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5 divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² + P = 2x5 + 3x³ – 5x + 5 4x); subtraímos esse produto do dividendo: 3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1. 8x² – 10x + 5 |2x + 1 –8x² – 4x 4x Solução: –14x + 5 Como o polinômio dividendo é incompleto, vamos ordenar o polinômio segundo a ordemRepetimos os passos anteriores para calcular decrescente das potências da variável x.o quociente de –14x + 5 por 2x + 1. 8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundo –8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1termo do quociente (–7). 4x² + 0x –1Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7. –4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1 2x – 1 Resto: 0Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obte- –2x + 1mos o resto (12). 08x² – 10x + 5 |2x + 1 Quando o resto é zero, dizemos que a–8x² – 4x 4x – 7 divisão é exata. 19
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática c) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que os dois acertaram juntos. 8. Calcule o valor numérico das expressões algé-1. Efetue as seguintes expressões algébricas, bricas: reduzindo os termos semelhantes : a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a a) , para x = 2 e y = 3. b) x²y – xy + 2x²y + 2xy – xy b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.2. Efetue os seguintes produtos: 9. Determine os valores das variáveis, para os quais as seguintes expressões não possuem a) (7m²n).(mn²).(–2mn) b) valor numérico real:3. Efetue as seguintes divisões: a) b) a) (–30a3b2c4) : (–6ab2c3) 10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veícu- b) lo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40,00 por hora de uso. Qual o polinômio que repre-4. Calcule as seguintes potências: senta o preço a ser pago por um locador que a) (–5a²bc³)³ b) (–4a3b4)2 utilizou o carro durante t horas? c) 11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra um caderno por x reais e o revende por y reais.5. Calcule a raiz quadrada: a) Qual a expressão algébrica que representa o lu- cro de Cláudia por caderno vendido? a) b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24 b) cadernos que foram comprados por R$ 3,20 e vendidos por R$ 8,70? c) 12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4, determine:6. De acordo com Lorentz, existe uma relação a) A . B b) B . C c) A . C ideal entre a altura T (em cm) e a massa M (em kg) de um indivíduo. Essa relação é dada pela 13. Determine os quocientes: seguinte expressão algébrica: a) (9x5 – 12x4 + 18x³ – x²) : (3x²) M = T – 100 – (T – 150), para um homem. b) (20x¹³ – 16x10 + 8x5) : (4x3) M = T – 100 – (T – 150), para uma mulher. 14. Determine o quociente e o resto: a) (8x² – 10x + 5) : (2x – 2) Com base nisso, responda: b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1) a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura? 15. Determine o polinômio que, dividido por b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é (x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3. 70kg? E de uma mulher de massa 55kg? 16. A área do retângulo abaixo é expressa pelo7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques e polinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio que acertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deu representa a medida da altura desse retângulo? y saques e acertou 60% desses saques menos 2. Nessas condições, determine: a) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que Paulo acertou. b) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que Lúcio acertou. 20
  17. 17. UNIDADE IIProdutos Notáveis e Fatoração
  18. 18. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração Conclusão: TEMA 03 O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o PRODUTOS NOTÁVEIS quadrado do segundo termo.1. Introdução Exemplos: a) (x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9 Por volta do ano 300 a.C, a idéia de variável ainda não fazia parte do mundo da matemática. b) Mesmo assim, a matemática desenvolvia-se bas- tante, porque matemáticos como Euclides eram 3. Quadrado da diferença de dois termos capazes de trabalhar com expressões algébric- Quadrado da diferença de dois termos a, e b, as por meio de construções geométricas. é indicado por (a – b)². Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² Demonstração Gráfica Considere a figura abaixo: A álgebra geométrica grega foi-nos transmitida principalmente por meio do livro II da obra Elementos, de Euclides (325 – 265 a.C)2. Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a, e b, é Qual o polinômio que representa a área do indicada por (a + b)². Desenvolvendo esse quadrado cujo lado mede (a – b)? produto, obtemos: Área do quadrado cujo lado mede (a – b) é (a + b)² = ( a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b² igual a (a – b)² = a² – 2ab + b². (a + b)² = a² + 2ab + b² Conclusão: Demonstração geométrica: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo Exemplo: a) (x – y)² = x² – 2xy + y² b) A = Área do quadrado de lado c = a + b: A = c2 4. Produto da soma pela diferença de dois termos A = (a + b)2 = (a + b) . (a + b) O produto da soma pela diferença de dois ter- A = a2 + ab + ab + b2 mos a, e b, é indicado por (a + b).(a – b). A = a2 + 2ab + b2 Desenvolvendo esse produto, obtemos: 23
  19. 19. UEA – Licenciatura em Matemática (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² (a + b)(a – b) = a² – b² TEMA 04 Demonstração Geométrica Na figura abaixo, queremos conhecer o poli- 5. Cubo da soma de dois termos nômio que representa a área do retângulo em O cubo da soma de dois termos a, e b, é indi- negrito. A base desse retângulo mede (a + b), cado por (a + b)³. Desenvolvendo esse produ- e a altura (a – b). to, obtemos: Portanto a área é (a + b)(a – b). (a + b)³ = (a + b)².(a + b) (a + b)³ = (a² + 2ab + b²).(a + b) (a + b)³ = a² . a + a² . b + 2ab . a + 2ab . b + b² . a + b² . b (a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Conclusão: O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três Área do retângulo maior: a . (a + b) vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. a.(a + b) = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b) a2 + ab = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b) Exemplos: a2 – b2 = b.(a – b) + a.(a – b) a) (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ a2 – b2 = (a + b).(a – b) b) (a² + 2b)³ Conclusão: = (a²)³ + 3(a²)².(2b) + 3.a².(2b)² +(2b)³ = O produto da soma pela diferença de dois ter- a6 + 6a4b + 12a²b² + 8b³ mos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 6. Cubo da diferença de dois termos Exemplos: O cubo da diferença de dois termos a e b é a) (x + y)(x – y) = x² – y² indicado por (a – b)³. Desenvolvendo esse pro- duto, obtemos: b) (a – b)³ = (a – b)².(a – b) (a – b)³ = (a² – 2ab + b²).(a – b) (a – b)³ = a² . a – a².b – 2ab . a + 2ab . b + b². a – b² . b (a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³ (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ Conclusão: O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo. Exemplos: a) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ 24
  20. 20. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³ Exemplos: 6 4 = a – 9a b + 27a²b² – 27b³ a) (x + 4)(x + 3) = x² + (4 + 3) . x + 4 . 3 = x² + 7x + 127. O quadrado da soma de três termos b) (x –1)(x + 5) = x² + (–1 + 5) x + (–1) . 5 (a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c) = x² + 4x – 5 (a + b + c)² = a . a + a . b + a . c + b . a + b.b+b.c+c.a+c.b+c.c (a + b + c)² = a² + ab + ac + ab + b² + bc a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + ab² + ac + bc + c² + ba² – b . ab + b . b² (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc (a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ Conclusão: Logo: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³ O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a do segundo termo, mais o quadrado do terceiro . b² – ba² – b . ab – b . b² termo, mais duas vezes o primeiro pelo segun- do termo, mais duas vezes o primeiro pelo ter- (a – b)(a² + ab + b² = a³ + a²b + ab² – a²b ceiro termo, mais duas vezes o segundo pelo – ab² – b³ terceiro termo. logo: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³ Demonstração gráfica: c) a² + b² = (a + b) ² – 2ab Calcular a área do quadrado, cuja medida do d) (a–b)par = (b–a)par lado mede: = a + b + c e) (a–b)ímpar = – (b–a)ímpar Exemplos: a) (x + 5)(x² – 5x + 25) = x³ + 5³ = x³ + 125 b) (x – 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 3³ = x³ – 27 c) 52 + 3² = (5 + 3)² – 2 . 5 . 3 ∴ 34 = 64 – 30 = 34 d) (5 – 3)² = (3 – 5)² ∴ 4 = 4 e) (5 – 3)³ = – (3 – 5)³ ∴ 8 = 8 A= ² = (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c) A = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² A = ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc Exemplos: 1. Se a² + b² = 34 e (a + b)² = 64, calcule o valor a) ( x + 2y + z)² = x² + (2y)² + z² + 2x . 2y + 2 . x de 6ab. . z + 2 . 2y . z = x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz Solução: b) (x + 3y + 5)² = x² + (3y)² + 5² + 2x . 3y + 2x . Sabemos que: (a + b)² = a² + 2ab + b² 5 + 2 . 3y . 5 = x² + 9y² + 25 + 6xy + 10x + 30y 2ab = (a + b)² – (a² + b²)8. Produto de Stevin 2ab = 64 – 34 2ab = 30 ∴ ab = 30/2 ∴ ab = 15 O produto de Stevin é indicado por (x +a)(x + b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: logo 6ab = 6 . 15 = 90 (x + a)(x + b) = x . x + x . b + a . x + a . b 2. Simplifique a expressão (2 a + b)² – (a – b)². (x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab Solução: (x + a)(x + b) = x² + (a + b) . x + ab (2a + b)² – (a – b)² = 25
  21. 21. UEA – Licenciatura em Matemática = (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²] 8. Qual a expressão que devemos subtrair de = 4a² + 4ab + b² – a² + 2ab – b² a² + b² para obtermos o quadrado de (a – b)? = 3a² + 6ab 9. Sendo A = (x + 2)², B = (x + 3).(x – 3) e3. Calcule o valor da expressão: C = (x – 1)², determine o valor de A + B + C. (5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4). Solução: 10. Qual a expressão que deve ser somada a (5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4) = a² + 6a²b² – 12 a²b para que resulte o quadra- = (5x)² – 2 . 5x . 6 + 6² – [(5x)² – 4²] do de 2a – 3b? = 25x² – 60x + 36 – [25x² – 16] = 25x² – 60x + 36 – 25x² + 16 11. Se a² + b² = 34 e ab = 15, calcule o valor de = – 60x + 52 . 12. Simplifique a expressão: (y + 5)² – y(y + 10).1. Aplicando as regras dos produtos notáveis, calcule: 13. Usando as regras dos produtos notáveis, de- termine o polinômio que representa: a) (2x + 10)² a) A área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) b) unidades. b) O volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y) c) (5x – 1)² unidades. d) (x³ – 1/2)² e) (x² + 1).(x² – 1) 14. O professor de matemática pediu à classe para desenvolver a expressão (4x – y³)². Um dos f) (ab + .(ab – ) ) alunos deu como resposta o polinômio 4x² – 8xy³ + y6. A resposta desse aluno está cor-2. Calcule os cubos: reta? Se não estiver, escreva a resposta correta. a) (3x + 2)³ b) (x – 2)³ 15. A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a: c) d) (1 – 2x)³ a) (x – 1)5 b) x³ – 2x² + x c) x³ + x² – 2 d) x³ + x² – 2x e) x³ + 2x² + 13. Desenvolva: a) (x² + y + 1)² b) (2x – y – 1)² 16. Na figura, ABCD e EBFG são quadrados. A área do quadrado menor é 9. Qual o trinômio4. Desenvolva: que representa a área do quadrado ABCD? a) (x – 3).(x² + 3x + 9) b) (2a + b).(4a² – 2ab + b²)5. Calcule: a) (x + 5)( x – 3) b) (x + a).(x – 2b)6. Se (a – b)² = 16 e a² + b² = 106, calcule o valor de .7. Sabe-se que a + b = 13 e a² – b² = 39, então calcule o valor de a. 26
  22. 22. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração Na forma fatorada, os fatores são: TEMA 05 • Fator comum. • O quociente da divisão da expressão pelo FATORAÇÃO fator comum.1. Introdução 3. Fatoração por agrupamento. Fatorar um número significa escrevê-lo como Calcular as áreas(A) das figuras que represen- um produto de dois ou mais fatores. tam retângulos de base x + y e altura a + b: Vejamos a forma fatorada completa do número 150 = 2 . 3 . 5². Fatorar um polinômio, quando possível, signifi- ca escrevê-lo na forma de um produto de poli- nômios mais simples. Vejamos: A = A1 + A2 + A3 + A4 = ax + ay + bx + by A figura representa um retângulo de base b e altura h. O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras: A = (A1 + A2)+ (A3 + A4)= a(x + y) + b(x + y) 2b + 2h (polinômio) ou 2(b + h), forma fatorada. a) Qual o fator comum aos dois termos do po- linômio? b) Que posição ele ocupa na forma fatorada? Na forma fatorada, notamos que 2, é um fator comum a todos os termos do polinômio, que foi colocado em evidência. A = base × altura = (x + y) . (a + b) O outro fator (b + h) é o mesmo que: Como as três figuras têm a mesma área, pode- (2b : 2) + (2h : 2) ou mos escrever: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)2. Fatoração pela colocação de um fator em = (x + y)(a + b) evidência Escrevendo o polinômio ax + ay + bx + by na forma fatorada: Exemplos: ax + ay + bx + by → agrupamos os termos a) A área da figura pode ser indicada por: ax + bx que possuem fator comum. ou x.(a + b); fator comum (x). a(x + y) + b(x + y) → em cada grupo, colo- camos o fator comum em evidência. (x + y)(a + b) → colocamos, novamente, o b) a3 + 2a = a.(a2 + 2) fator comum em evidência. c) 12a4b6 − 20a5b8 + 8a³b² = O polinômio ax + ay + bx + by foi fatorado por = 4a³b².(3ab4 − 5a²b6 + 2) agrupamento. 27
  23. 23. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplos: Fatorar os polinômios: a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2) 1. Sabendo que os números m e n representam as medidas do comprimento e da largura de = (h – 2).(x + 5) um terreno de forma retangular, e que tem 32 b) 2bc + 5c² – 10b – 25c unidades de área e 24 unidades de perímetro; = c.(2b + 5c) – 5.(2b +5c) = (2b + 5c)(c – 5) nessas condições, dado o polinômio 3m²n + 3mn², qual é o seu valor numérico?4. Fatoração da diferença de dois quadrados Solução: Consideremos o quadro-de-giz de nossa sala de aula de forma quadrada, de lado a, sobre o qual colocamos um outro quadrado de lado b, conforme figura abaixo. 3m²n + 3mn² = 3.m.n(m + n) A área maior da figura é (a² − b²), excluindo o Área = m.n = 32 quadrado menor, que corresponde a uma dife- Perímetro = 2m + 2n = 24; m + n = 12 rença de dois quadrados. Logo, o valor numérico é: 3 m²n + 3mn² = 3mn (m + n) = 3.32.12 = 1152 2. A área de um sítio de forma retangular é dada pelo polinômio 4x² − 1. Nessas condições, Recortando a figura e juntando as duas partes, pede–se: conforme o desenho, obtemos: a) As medidas do comprimento e da largura desse sítio. FIGURA 1 FIGURA 2 b) Qual o polinômio que expressa o perímetro des- se sítio? Solução: A = 4x² − 1 A = 4x² − 1 = (2x + 1)(2x – 1) a) 2x + 1 e 2x – 1 Observe que a área da figura 1, expressa por a² – b², é igual a área da figura 2, que pode ser b) Perímetro: 2x + 1 + 2x + 1 + 2x – 1 + 2x – 1 = 8x expressa por (a – b)(a + b). Logo a² – b² = (a – b)(a + b) Exemplos: Fatorar os polinômios: a) a² – 25 = (a + 5).(a – 5) b) 28
  24. 24. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração c) a6 – 10a³b² + 25b² é diferente de (a³ – 5b)² ↓ ↓ Verificação TEMA 06 a³ 5b 2 . a³ . 5b ≠ 10a³b² 6. Fatoração da soma ou da diferença de dois5. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO cubos PERFEITO Observe as seguintes multiplicações: Considere os quadrados nas figuras abaixo: a) (a + b).(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + FIGURA 1 FIGURA 2 a²b – ab² + b³ = a³ + b³ Logo, podemos escrever: a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²) b) (a – b).(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³ Temos, então: a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²) A área do quadrado da figura 1 pode ser indi- Exemplos: cada de duas maneiras: a² + 2ab + b² ou (a + b).(a + b) 1) Fatorar os polinômios: Então, podemos escrever as igualdades: a) x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 3²) a² + 2ab + b² = (a + b).(a + b) = (a + b)² = (x + 3).(x² – 3x + 9) A área da parte sombreada na figura 2 pode b) ser indicada por (a – b)². Temos que: a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b² 7. Trinômio do 2.° grau a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b² Sabemos, pelo produto de Stevin, que: x² + (a + b).x + ab = (x + a).(x + b) ou Daí: a² – 2ab + b² = (a – b)² x² + Sx + P = (x + a).(x + b); Então, podemos escrever a igualdade: a+b=Sea.b=P a² – 2ab + b² = (a – b).(a – b) = (a – b)² Exemplos: Identificando um trinômio quadrado perfeito: Fatorar os polinômios: a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 ∴ 6x = 2 . x . 3 = 6x (sim) a) x² + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4) b) (x – 5)² = x² – 10x + 25 ∴ 10x = 2 . x . 5 (sim) c) x² + 4x + 25 ∴ 4x ≠ 2 . x . 5 (não) Na verificação, multiplicamos por 2 o produto b) x² – 6x – 40 = (x – 10).(x + 4) das duas raízes. Se o resultado for igual ao termo restante do trinômio dado, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito. Exemplos: 8. Fatorando mais de uma vez Fatorar os trinômios, quando possível: Fatorar o polinômio a³ – ax². a) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² ↓ ↓ Verificação Colocamos o fator comum em evidência: 2x 3 2 . 2x . 3 = 6x a³ – ax² =a.(a² – x²) b) 4m²n² – 4mcn + c² = (2mn – c)² Fatorando novamente o fator (a² – x²) que repre- ↓ ↓ Verificação senta uma diferença de dois quadrados temos: 2mn c 2 . 2m . n . c = 4mnc a³ – ax² = a.(a² – x²) = a.(a + x).(a – x) 29
  25. 25. UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: d) (x − 7) . (x + 19) = x 2 + Sx + P = x2 + 12x − 133 Fatorar a expressão: x³ – 4x² + 4x. S = −7 + 19 = 12 x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) P = (− 7) . 19 = − 133 Logo, podemos fatorar novamente o fator (x² – 4x + 4). Daí: x² – 4x + 4 = (x – 2)², pois 4x = 2. x. 2. 1. Fatore os polinômios: x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) = x.(x – 2)² a) x³ – x² – xy b) 6x²y + 8x c) 2x + ax + 2y + ay d) ax – y – x + ay Observe a figura abaixo e: e) 4x² – 12x + 9 f) 36a² + 60ab + 25b² g) m² – 100 h) x² – 6x – 16 i) x² + 7x + 10 j) 8a³ – 125b³ 2. Fatore completamente as expressões: a) Exprima a área da parte hachurada em a) 3x² – 75 função de x. b) x4 – 16 b) Sendo a área da parte hachurada igual a c) a² – x² + a + x 133, determine: d) 2x² – 12x + 18 • a área do quadrado PQRS; e) x³ + 14x² + 49x • o comprimento x do quadrado ABCD; • o perímetro do quadrado PQRS. 3. X e Y são as medidas dos lados de um retân- c) Verifique que: x² + 12x = 133. gulo de área 20 e perímetro 18. Qual o valor d) Desenvolva o produto (x – 7)(x + 19). numérico da expressão 5x²y + 5xy²? Solução: 4. Para que 9x² – 24x + n seja um trinômio a) Área do quadrado ABCD: x . x = x² quadrado perfeito, devemos ter: Área dos 4 retângulos: 4.(3.x) = 12x a) n = 4 Área da figura sombreada: x² + 12x b) n = 16 c) n = 36 b) Área da figura sombreada = 133 d) n = 64 Área do quadrado PQRS = Área da figura sombreada + 4 x área do quadrado de lado 3 5. Sabendo que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45, cal- Área do quadrado PQRS = 133 + 4.9 = 169 cule o valor numérico da expressão a² – b². Área do PQRS = 169 ∴ L² = = 13 6. Qual é a forma fatorada do trinômio Perímetro do quadrado PQRS = 4.13 = 52 O comprimento x do quadrado ABCD: ? 7. Se x + y = 13 e x – y = 10, calcule o valor c) Verificação: numérico da expressão x2 + 12x = 133 ∴ 72 +12 . 7 = 49 + 84 = 133 (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²). 30
  26. 26. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração8. A área de um quadrado é representada pelo trinômio y² + 14ya + 49a². Determine a medi- TEMA 07 da do lado.9. Seja N o resultado da operação 375² – 374². A FRAÇÕES ALGÉBRICAS soma dos algarismos de N é: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 1. Introdução A história conta que as frações surgiram quan-10. A expressão (a + b)² – 2ab é igual a: do o homem sentiu a necessidade de medir. a) a² – b² b) a² – 4ab + b² c) a² + 4ab + b² d) a² + b²11. Fatorando a expressão ab + 2b – 3a – 6, obte- Tábua suméria de argila mos: Os babilônios usavam as frações para registrar a) (a – 2).(b + 3) as transações comerciais, representando com b) (a + 2).(b – 3) frações valores monetários próprios. Os hin- c) (a – 2).(b – 3) dus, em meados do segundo milênio antes de Cristo, usavam frações de numerador 1, como, d) (a + 2).(b + 3) por exemplo, metade ou meio ( ), que12. Fatore: chamavam ardlha, e a quarta parte ou um a) x² – 5x + 6 quarto ( ), que chamavam pada. b) x² + 2y² + 3xy + x + y c) 4x² – 9y² Os egípcios usavam frações da unidade para representar outras frações, usadas em proble-13. Calcule o valor de 54.321² – 54.320², sem efe- mas que envolviam colheitas. tuar as potências. Consideremos as seguintes situações: 1. A velocidade média de um veículo é obtida14. Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, deter- dividindo-se a distância percorrida pelo mine xy. tempo gasto. Portanto, se um veículo per- correu 400km em t horas, qual a expressão15. Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em algébrica que representa a velocidade uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos média, em quilômetros por hora, desse veí- que descobrissem o valor da expressão culo? ac + ad + bc + bd; sendo que a, b, c e d são as idades de seus filhos na ordem crescente, levando em conta que a soma das idades dos dois mais velhos é 59 anos e a soma das 2. Qual a expressão que representa o quo- idades dos dois mais novos é 34 anos. Qual o ciente (20a²b) : (5ax)? valor numérico da expressão proposta pelo professor? Conclusão: as expressões e apresentam variáveis no denominador e, por isso, são chamadas de frações algébricas. 31
  27. 27. UEA – Licenciatura em Matemática O denominador de uma fração algébrica deve representar sempre um número real diferente TEMA 08 de zero, pois não faz sentido dividir por zero.2. Simplificação de uma fração algébrica 3. CÁLCULO DO MMC E DO MDC DE Para simplificar uma fração algébrica, devemos POLINÔMIOS. dividir os seus termos por um divisor comum, diferente de zero, de modo a obter uma fração • Máximo Divisor Comum (MDC) equivalente mais simples. Fatoramos as expressões algébricas conside- Exemplos: radas e calculamos o m.d.c entre elas, que será obtido pelo produto dos fatores primos Simplificar as frações algébricas. comuns tomados aos menores expoentes. Dividindo o numerador e o denominador por • Mínimo Múltiplo Comum (MMC) a) 2.3.ab2 Fatoramos as expressões consideradas e cal- culamos o mmc entre elas, que será obtido pelo produto dos fatores primos comuns e não Só podemos simplificar os termos de uma comuns, tomados aos seus maiores expoen- fração após transformá-las em produtos. tes. Fatorando o numerador e b) Exemplos: o denominador, temos: a) Achar o mdc e o mmc das expressões abaixo: 8x4y²; 16x5yz³; 2x6y4z c) Fatorando o numerador e Solução: o denominador, temos: Fatorando cada termo, temos: 8x4y² = 23 x4y², 16x5yz³ = 24x5yz³ e 2x6y4z mdc = 2. x4y mmc = 24.x6y4z = 16 x6y4z b) Calcule o m.d.c e o m.m.c dos polinômios: 2x + 10; x² –10x + 25; x² – 25 Solução: Fatorando cada expressão Observe que na forma fatorada não há fator comum entre eles, exceto o valor 1, portanto, o mdc é 1. mdc = 1 mmc = 2(x + 5)(x – 5)² 4. Operações com frações algébricas Efetuamos as operações com frações algébri- cas da mesma maneira que operamos com números fracionários. 32
  28. 28. Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração4.1 Adição e Subtração b) As operações com frações algébricas são efe- tuadas de modo semelhante ao das frações Solução: numéricas. Seqüencia Prática: • Reduza as frações algébricas ao mesmo denominador. Para dividir frações algébricas, devemos • Efetue as adições ou subtrações dos nume- multiplicar a primeira fração pelo inverso da se- radores, mantendo o mesmo denominador. gunda, simplificando o resultado, quando pos- sível. • Simplifique, se possível, o resultado. Exemplos: 2. Efetue as divisões: Exemplos: Calcular: a) a) Solução: Solução: mmc (2,x,4x²) = 4x² b) Solução: b) 4.3 Potenciação de frações algébricas Solução: Para elevar uma fração algébrica a uma potên- mmc (4a,6b) = 12ab cia, elevamos o numerador e o denominador à potência indicada. Exemplos: 1. Calcule as seguintes potências:4.2 Multiplicação e divisão de frações algébricas a) Para multiplicar frações algébricas, efetue os seguintes procedimentos: Solução: • Indique o produto dos numeradores e de- nominadores. • Faça os cancelamentos possíveis. b) • Faça as multiplicações restantes, obtendo o resultado. Solução Exemplos: 1. Determine os seguintes produtos: a) c) Solução: Solução: 33
  29. 29. UEA – Licenciatura em Matemática1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$ 1. Um carro percorreu x quilômetros com y litros 100,00, perguntas-se: de gasolina. Um segundo carro percorreu o a) Que fração algébrica representa o preço de uma dobro dessa distância com y + 5 litros de ga- delas? solina. Registre, no caderno, a fração algébrica b) Alessandra deu y reais na compra de uma pizza. que representa o consumo médio de gasolina: Que fração algébrica representa o troco dessa a) do primeiro carro; b) do segundo carro. compra? 2. Para que valores de a a expressão não Solução: a) Divide–se o valor total pela quantidade x de representa uma fração algébrica? pizza: 3. A fração algébrica pode ser reduzida b) Valor de (y) pago por Alessandra, menos o a um número inteiro. Que número é esse? valor de uma pizza: 4. A fração algébrica pode ser2. Laura, Lenara e Rodrigo reuniram-se para re- solver a seguinte expressão: reduzida a um binômio. a) Determine esse binômio. b) Determine o valor numérico desse binômio para x= . Laura resolveu a expressão do primeiro parên- tese, Lenara resolveu a expressão do colchete 5. Participando de uma gincana escolar, a equipe e Rodrigo ficou encarregado de efetuar a mul- de Ana recebeu a tarefa de resolver a seguinte tiplicação. expressão: . Determine a resposta encontrada por: a) Laura b) Lenara c) Rodrigo O resultado dessa expressão reverterá em Solução: igual número de pontos para essa equipe. Se alguém da equipe de Ana responder correta- a) mente, quantos pontos a equipe dela ganhará? 6. Simplifique as seguintes expressões algébricas: a) b) c) 7. Efetue as seguintes adições algébricas: a) b) b) 8. Calcule os seguintes produtos: a) b) 9. Calcule os seguintes quocientes: c) a) b) 34

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