Matemática aula 06 - funções ii

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Matemática aula 06 - funções ii

  1. 1. MATEMÁTICA Aula 6 FUNÇÕESTÓPICOS - Sobrejetora, Injetora e Bijetora - Função Composta - Função InversaFUNÇÃO SOBREJETORADefinição: f:A ÆB f é sobrejetora ¤ "y Œ B, existe x Œ A tal que f(x) = y. “Não sobram elementos no contradomínio B”. A f B • • • • • • • Im(f ) = contradomínio B
  2. 2. FUNÇÃO INJETORADefinição:f:A ÆBf é injetora ¤ "x1 , x2 Œ A se x1 ≠ x2 fi f(x1 ) ≠ f(x2 )“Elementos diferentes se associam a imagens diferentes”. A f B • • • • • • • • • f injetora : x1 ≠ x2 fi f(x1 ) ≠ f(x2 )
  3. 3. FUNÇÃO BIJETORADefinição:f:A ÆBf é bijetora ¤ f é sobrejetora e injetora.i) É sobrejetora A B f • • • • • • • • - Im(f ) = contradomínio Bii) É injetora A B f • • • • • • • • - Se x1 ≠ x2 fi f(x1 ) ≠ f(x2 )
  4. 4. A B f • • • • • • • • f bijetora : - Sobrejetora - InjetoraFUNÇÃO COMPOSTAFunção h capaz de levar diretamente de A para C, sem passar por B, isto é,numa única etapa. B f(x) •A c f gx • • g(f(x)) h Notação: h(x) = g(f(x)) = (g o f )(x) lê-se “g” de “f” de x ou g bola f(x).
  5. 5. Exemplo: B 2 • 4 • f(x)=2.x g(x)=3.x 6 • A C 1• •6 2• • 12 3• • 18 h(x) Obtenção da composta: g(x) = 3.x g(f(x)) = 3.f(x) g(f(x)) = 3.2x g(f(x)) = 6.x fi h(x) = 6.xFUNÇÃO INVERSASeja f uma função bijetora de A em B.Existe uma função capaz de nos levar de B para A. Essa função é a inversa. A B A B f f-1 • • • • • • • • • • • • f:A ÆB -1 Notação: f :B Æ A f bijetora
  6. 6. Observações: A B A B -1 f f • • • • • • • • • • • • D =A D =B Im = B Im = A Exemplo: A B A B 1 2 1 2 2 4 2 4 f:A ÆB f -1 :B Æ A x a y = 2.x x xay= 2 “Se a função dobra um número do domínio, a inversa dividi por dois”.
  7. 7. Obtenção formal da inversa: Seja a função y = 2.x I) Trocar x por y e y por x: x = 2.y x II) Isola-se o y: 2.y = x fi y= 2 INVERSA f-1Graficamente verifica-se uma simetria entre o gráfico da função e o gráficoda inversa. São simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares,isto é, a reta y=x. y y=x y = 2.x 2 1 x y= 2 x 1 2
  8. 8. Exercícios:1)Dadas as funções f e g de ¬ de ¬ , sendo g(x) = 4x – 5 ef(g(x)) = 13 – 8x, obter f(x).2)Obtenha a inversa da função bijetora y = 2.x – 3, e represente nummesmo diagrama função e inversa.
  9. 9. Resoluções:1) g(x) = 4x - 5 f(g(x)) = 13 - 8.x g(x) + 5 = 4x È g(x) + 5 ˘ f(g(x)) = 13 - 8.Í ˙ Î 4 ˚ 4x = g(x) + 5 f(g(x)) = 13 - 2.[g(x) + 5] g(x) + 5 x= 4 f(g(x)) = 13 - 2.g(x) - 10 f(g(x)) = 3 - 2.g(x) f(x) = 3 - 2.x2) y = 2.x - 4 x f yI) x = 2.y - 4II) x + 4 = 2.y 0 -4 2.y = x + 4 x+4 2 0 2 y= 2 -1 x+4 x f = -4 2 2 -4

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