Matemática aula 02 - radiciação

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Matemática aula 02 - radiciação

  1. 1. RADICIAÇÃODEFINIÇÃO:n a = b ¤ b n = a Onde a é um número Real e n um número naturalnão nulo. Dizemos que b é raiz enésima de a, se e somente se, a resulta de belevado a n. Exemplos:1) 2 4 = 2, pois 2 2 = 42) 2 9 = 3, pois 3 2 = 93) 3 8 = 2, pois 2 3 = 84) 3 - 8 = -2, pois (-2) 3 = -85) 3 1 = 1, pois 1 3 = 16) 10 0 = 0, pois 0 10 = 0Observação 1 : 2 - 9 œ ¬ , pois não existe nenhum número real queelevado a expoente par fique negativo. Pelo mesmo motivo, 4 - 16 œ ¬ ,8 - 1 œ ¬ e assim por diante.Portanto, se a é negativo e n é par então não existe raiz enésima de a,em ¬ .Observação 2 : Por convenção o índice dois da raiz quadrada pode seromitido, assim 2 4 = 4 ; 2 7 = 7Cuidado, embora 2 2 = 4 e (-2) 2 = 4 tomamos como raiz de 4 apenas oresultado estritamente positivo. Assim: 4 =2- 4 = -2± 4 = ±2 4 ≠ ±2PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO1) n a . n b = n a.b ou n a.b = n a . n bExemplos:a) 2 . 8 = 2.8 = 16 = 4 32 = 16 . 2 = 4. 2b) 3 3 .3 9 = 3 3.9 = 3 27 = 3 8 = 4.2 = 4 . 2 = 2. 2c) 2. 3. 6 = 2.3.6 = 36 = 6 3 81 = 3 27.3 = 3 27 .3 3 = 33 3 n a a a na2) =n ou n = n b b b nb
  2. 2. Exemplos: 8 8 10 10 10a) = = 4 =2 = = 2 2 9 9 3 3 81 81 3 9 39 39b) =3 = 27 = 3 3 = = 3 3 3 8 38 23) ( a) = n m n am ou n am = ( a) n mExemplos:a) ( 2) = 4 2 4 = 16 = 4 45 = ( 4 ) = (2) = 32 5 5b) ( 2 ) = = ( 8 ) = (2 ) = 4 3 4 3 2 2 4 23 = 4 8 82 34) n m a = n.m a ou n.m a =n m aExemplos:a) 3 2 64 = 3.2 64 = 6 64 = 2 6 4 = 3.2 4 = 3 4 =3 2b) 5 3 32 = 5.3 32 = 3.5 32 = 3 5 32 = 3 2 4 9 = 2.2 9 = 9= 3 n. p5) a m. p = n a m ou n a m = n.b a m.b_________________________________________________________Exemplos: 3.6 5 = 2 31 .6 51 = 2.3 31.3 .6 5 = 6 3 3 .6 5 =a) 6 2 4 = 3.2 2 2.2 = 3 2 2 = 3 4 = 6 27 .6 5 = 6 27.5 = 6 135b) 9 5 6 = 3.3 5 2.3 = 3 5 2 = 3 25Potência com expoente fracionário (racional )Definição: n Dado um número racional e um número real não negativo a, m n npodemos dizer que a m = m a n ou m an = a mExemplos: 3a) 2 5 = 5 23 = 5 8
  3. 3. 1b) 7 = 3 7 1 3 1c) 5 6 = 5 61 = 6 3 1d) 3 = 3 =3 2 1 2Obs.: A partir dessa propriedade e das propriedades da potenciação,podemos definir todas as propriedades da radiciação.Exemplo: 1 1 1n a .n b = n a 1 .n b 1 = a n .b n = (a.b )n = n a.bRacionalização de denominadores Racionalizar consiste em eliminar todos os radicais (raízes) queaparecem na forma de denominador de uma fração, sem alterar o valornumérico das mesmas. Para racionalizar, multiplicamos o numerador e o denominador dafração pelo mesmo valor. Ao multiplicar e dividir pelo mesmo valor, nãoestamos alterando o valor numérico da fração, pois, na realidadeestamos multiplicando a fração por 1 ( um ). Nesta aula, vamos separar a racionalização em dois tipos:1 – Quando, no denominador, tivermos uma raiz quadrada: 3 3 2 3. 2 3. 2 3. 2a) = . = = = 2 2 2 2.2 22 2 5 5 3 5. 3 5. 3 5. 3b) = . = = = 3 3 3 3.3 3 2 3 2 2 7 2. 7 2. 7 2. 7 2. 7c) = . = = = = 3. 7 3. 7 7 3. 7.7 3. 7 2 3.7 212 – Quando, no denominador, tivermos uma raiz enésima: 3 3 3 22 3.3 2 2 3.3 2 2 3.3 4a) = . = = = 3 2 3 2 3 22 3 2.2 2 3 23 2 5 4 4 23 4.5 23 4.5 23 4.5 8b) = . = = = = 2.5 8 5 22 5 22 5 23 5 2 2.23 5 25 2 1 1 1 5 33 1.5 33 5 3 3 5 27c) 5 = = . = = = 9 5 2 3 5 2 5 3 3 3 5 2 3 3 .3 5 5 3 3
  4. 4. Exercícios resolvidos1) calcule o valor de:a) 2. 2. 2. 4b) 1 + 32.3 4 + 16c) 3 9. 3. 9Resolução:a) 2. 2. 2. 4 = 2. 2. 2.2 = 2. 2. 4 = 2. 2.2 2. 4 = 2.2 = 4= 2b) 1 + 32.3 4 + 16 = 1 + 32.3 4 + 4 = 1 + 32.3 8 = 1 + 32.2 = 1 + 64 = 1 + 8 = 9 = 3c) 3 9. 3 9 = 3 9. 3.3 = 3 9.3 = 3 27 = 32) O produto 2 .3 4 pode ser escrito como:a) 8 b) 3 8 c) 6 8 d) 6 6 e)2. 6 2Resolução:- Primeiro tiramos o mínimo múltiplo comum ( mmc ) entre os índices das raízes.Mmc ( 2, 3 ) = 6- Para transformar o índice dois da raiz quadrada em seis, multiplicamos o índice e o expoente por 3 ( para não mudar o valor numérico da expressão ).2 21 = 2.3 21.3 = 6 2 3- Para transformar o índice três da Segunda raiz em seis, multiplicamos o índice e o expoente por dois.3 4 = 3 2 2 = 3.2 2 2.2 = 6 2 4Assim: 2.3 4 = 6 2 3.6 2 4 = 6 2 3.2 4 = 6 2 3+ 4 = 6 2 7Assim: 2 .3 4 = 6 2 3 .6 2 4 = 6 2 3.2 4 = 6 2 3+ 4 = 6 2 7Obs.: Como podemos notar, não existe nenhuma alternativa 6 27 ,portanto devemos continuar a resolução.
  5. 5. 6 2 7 = 6 2 6 +1 = 6 2 6 .21 = 6 2 6 .6 21 = 2.6 2Resposta e3) Dados os números 2, 3 3, 4 5 e 6 6 . Qual a ordem correta?a) 2 <3 3<4 5<6 6b) 6 6 <4 5<3 3< 2c) 6 6 < 2 <3 3<4 5d) 3 3< 2<6 6<4 5e) 4 5<3 3< 2 <6 6Resolução:- Tirando o mínimo entre os índices 2, 3, 4 e 6 das raízes, obtemos: 2, 3, 4, 6 2 1, 3, 2, 3 2 1, 3, 1, 3 3 1, 1, 1, 1 2.2.3 = 12- A seguir transformamos todos os índices em 12 2 = 2 21 = 2.6 21.6 = 12 2 6 = 12 643 3 = 3 31 = 3.4 31.4 = 12 3 4 = 12 814 5 = 4 51 = 4.3 51.3 = 12 5 3 = 12 1256 6 = 6 61 = 6.2 61.2 = 12 6 2 = 12 36Podemos notar que 36<64<81<125 e, portanto, 6 6 < 2 <3 3<4 5Resposta cEXERCÍCIOS:1) Calcule o valor de 10 + 3. 23 + 2 + 4 3 22) O valor de 16 - 27 é: 4 3a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 53) O produto 2 . 3 5 pode ser escrito como:a) 10 b) 3 10 c) 6 10 d) 6 100 e) 6 200 274) Racionalizar o denominador da fração 5 9
  6. 6. 3 1 15) O valor da expressão (81 - 16 ) 4 4 2 é:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Resolução:1) 10 + 3. 23 + 2 + 4 = 10 + 3. 23 + 2 + 2 = 10 + 3. 23 + 4 = 10 + 3. 23 + 2 = 10 + 3. 25 = 10 + 3.5 = 25 = 5 3 22) 16 4 - 27 3 = 4 16 3 - 3 27 2 = ( 4 16 ) 3 - (3 27 ) 2 = (2) 3 - (3) 2 = 8 – 9 = -1Resposta b3) 2 . 3 5 = 2 21 .3 51 = 2.3 21.3 .3.2 51.2 = 6 2 3 .6 5 2 = 6 2 3.5 2 = 6 8.25 = 6 200Resposta e 27 27 5 3 3 27.5 3 3 27.5 3 3 27.5 3 34) 5 = . = = = = 9.5 27 9 5 3 2 5 3 3 5 2 3 3 .3 5 3 5 3 3 1 1 1 1 1 15) (81 - 16 ) 4 4 2 = ( 81 - 16 ) = [( 81) - 16 ] = [(3) - 2] = (27 - 2) 4 3 4 1 2 4 3 4 2 3 2 2 = 1 = (25) = 2 2 251 = 5Resposta e

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