Inducao

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Inducao

  1. 1. Matemática Discreta Indução Matemática Elaboração: Prof. Raimundo Barreto Profa. Virgínia Brilhante DCC/ICE/UFAM
  2. 2. Prova por Indução Matemática Para provar sentenças lógicas a respeito dos números naturais (ℕ)  também aplicável a inteiros positivos Primeiro Princípio da Indução  notação: P(n) representa que o inteiro positivo n tem a propriedade P (1) P(1) é verdade (2) ∀k P(k) é verdade → P(k +1) é verdade (1) ∧ (2) → P(n) é verdade para todo inteiro positivo
  3. 3. Primeiro Princípio da Indução Prova usando o primeiro princípio da indução  Precisamos provar que as duas hipóteses são verdadeiras  Prova da proposição (1) – passo básico ou base da indução  mostrar que o número 1(ou 0, ou o menor inteiro positivo em questão) tem a propriedade P  Prova da proposição (2) – passo indutivo  Supor que P(k) – hipótese da indução – é verdadeiro para um inteiro positivo arbitrário k (técnicas da demonstração direta e particularização universal)  Usando a suposição acima, mostrar que P(k+1) é verdadeiro
  4. 4. Primeiro Princípio da Indução Resumo:  Passo 1: prove a base da indução  Passo 2: suponha P(k)  Passo 3: prove P(k +1)
  5. 5. Demonstrações por Indução Exemplo 1:  Suponha que uma pessoa teve 2 filhos. Cada um desses dois filhos também teve 2 filhos. Isto continua de geração em geração. Se denotarmos por P(n) o número de descendentes em cada geração n, prove por indução que P(n) = 2n
  6. 6. Demonstrações por Indução Passo básico: P(1) = 21 = 2  isto é verdade uma vez que nos foi dito que a pessoa que deu origem à 1ª. geração teve 2 filhos Passo indutivo: ∀k P(k) → P(k+1)  vamos assumir que P(k) é verdade para uma geração arbitrária k: P(k) = 2k  nesta família, cada descendente tem dois filhos, de modo que o número de descendentes na geração k + 1 será o dobro do número de descendentes na geração k, ou seja, P(k +1) = 2P(k)  pela hipótese da indução P(k) = 2k, logo, P(k +1) = 2P(k) = 2(2k) = 2k +1
  7. 7. Demonstrações por Indução Exemplo 2:  Prove que a equação 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n  1 = 12 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42 ... prova por exaustão não é possível!
  8. 8. Demonstrações por Indução P(1): 1 = 12 (verdade!) P(k): 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 P(k + 1): 1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] =? (k + 1)2  a chave de uma demonstração por indução é encontrar um modo de relacionar o que queremos saber – P(k + 1) – com o que supusemos – P(k)  o lado esquerdo da possível equação em P(k + 1) pode ser desenvolvido como: P(k + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1] = k2 + [2(k + 1) - 1] = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
  9. 9. Demonstrações por Indução Exemplo 3:  Prove que para qualquer inteiro positivo n, 2n > n  P(1): 21 > 1 ∴ 2 > 1 (verdade!)  P(k): 2k > k ?  P(k+1): 2k+1 > k+1⇔ 2k . 2 > k+1 ?  pela hipótese de indução: 2k > k  multiplicando a hipótese por 2:  2k . 2 > 2 . k = k + k ≥ k + 1  como k + k > k + 1, ∀ k >1, então  2k+1 > k + 1
  10. 10. Demonstrações por Indução Exercícios: 1. Prove que 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n+1 - 1 para todo n ≥ 1 2. Prove que a 1 + 2 + 3 + ... + n = (n(n + 1))/2 para qualquer inteiro positivo n 3. Prove que para qualquer inteiro positivo n, o número 22n - 1 é divisível por 3
  11. 11. Demonstrações por Indução Exercício 1:  Prove que 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n+1 - 1 para todo n ≥ 1  P(1): 1 + 2 = 21+1 - 1 ∴ 3 = 3 (verdade!)  P(k): 1 + 2 + 22 + ... + 2k = 2k+1 – 1  P(k + 1): 1 + 2 + 22 + ... + 2k+1 =? 2(k+1) + 1 – 1  o lado esquerdo da possível equação em P(k + 1) pode ser desenvolvido como:  1 + 2 + 22 + ... + 2k + 2k+1 = 2k+1 - 1 + 2k+1 = 2(2k+1) – 1 = 2k+1+1 – 1  portanto:  1 + 2 + 22 + ... + 2k + 2k+1 = 2k+1+1 - 1
  12. 12. Demonstrações por Indução Exercício 2:  Prove que a 1 + 2 + 3 + ... + n = (n(n + 1))/2 para qualquer inteiro positivo n  P(1): 1 = 1(1+1)/2 ∴ 1 = 1 (verdade!)  P(k): 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2  P(k + 1): 1 + 2 + ... + (k + 1) =? [(k + 1)(k + 1 + 1)]/2 = [(k + 1)(k + 2)]/2  desenvolvendo o lado esquerdo da possível equação em P(k + 1):  1 + 2 + ... + k + (k + 1) = [k(k + 1)/2] + (k + 1) = [k(k + 1) + 2(k + 1)]/2 colocando (k + 1) em evidência: = [(k + 1)(k + 2)]/2
  13. 13. Demonstrações por Indução Exercício 3:  Prove que para qualquer inteiro positivo n, o número 22n - 1 é divisível por 3  P(1): 22(1) - 1 = 4 – 1 = 3 ∴ 3 é divisível por 3 (verdade!) 2k  P(k): 2 - 1 é divisível por 3 ⇔ 22k - 1 = 3m ⇔ 22k = 3m + 1  P(k + 1): 22(k+1) - 1 é divisível por 3?  22(k+1) - 1 = 22k+2 - 1 = 22k.22 - 1 = (3m + 1).22 - 1 pela hipótese de indução = 12m + 4 – 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1) que é divisível por 4
  14. 14. Demonstrações por Indução Exemplo 4:  Prove que n2 > 3n, para n ≥ 4  P(4): 42 > 3.4 ∴ 16 > 12 (verdade!)  P(k): k2 > 3k, ∀k ≥ 4  P(k + 1): (k + 1)2 >? 3(k + 1)  (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 k2 + 2k + 1 > 3k + 2k + 1 pela hipótese de indução ≥ 3k + 8 + 1 já que k ≥ 4 > 3k + 3 = 3(k+1)  logo, (k+1)2 > 3(k+ 1)
  15. 15. Demonstrações por Indução Exemplo 5:  Prove que 2n+1 < 3n, para n > 1  P(2): 22+1 < 32 (verdade!)  P(k): 2k+1 < 3k  P(k + 1): 2(k+1)+1 <? 3k+1  2(k+1)+1 = 2.2k+1  2k+1 < 3k hipótese de indução  2k+1 < 3k (×2) = 2.2k+1 < 2.3k < 3.3k = 3k+1  logo, 2(k+1)+1 < 3k+1
  16. 16. Segundo Princípio da Indução (ou Indução Forte) 1º. princípio: no passo indutivo, prova-se P(k + 1) assumindo-se que P(k), P para o número anterior k, é verdade Em alguns casos, esta suposição não é forte o suficiente e é necessário assumir que P para todos os números menores que k + 1 é verdade (1’) P(1) é verdade (2’) ∀k [P(r) é verdade para todo r, 1 ≤ r ≤ k → P(k+1) é verdade] (1’) ∧ (2’) → P(n) é verdade para todo inteiro positivo n
  17. 17. Demonstrações por Indução Exemplo 6:  Prove que, para todo n ≥ 2, n é um número primo ou é um produto de números primos  P(2): 2 é primo  passo indutivo: ∀k P(r), 2 ≤ r ≤ k → P(k+1)
  18. 18. Demonstrações por Indução sub-passo dados meta 0 - ∀k P(r), 2 ≤ r ≤ k → P(k +1) 1 P(r), 2 ≤ r ≤ k P(k+1), ou seja, (k +1é primo) ∨ (k +1é um produto de primos) 2 P(r), 2 ≤ r ≤ k k +1é um produto de primos← divisível por k +1 não é primo números pede o 2º. princípio da menores que k +1= ab indução já que P(k) apenas si mesmo não é suficiente 1< a < k+1⇔ 2 ≤ a ≤ k 1< b < k+1⇔ 2 ≤ b ≤ k 3 P(a) P(b) k +1é um produto de primos
  19. 19. Demonstrações por Indução Exemplo 7:  Prove que qualquer quantia para postagem maior ou igual a 8 centavos pode ser composta usando-se apenas selos de 3 e 5 centavos  P(8): 8 = 3 + 5 (verdade!)  o k + 1 mínimo componível seria 11= 8+3, já que o k mínimo é 8. Assumir P(k) com k ≥ 10 não é suficiente para determinar P(k+1). É necessário verificar também P(9) e P(10). Por isso o uso do 2º. princípio.  P(9): 9 = 3 + 3 + 3  P(10): 10 = 5 + 5
  20. 20. Demonstrações por Indução  passo indutivo: ∀k P(r), 8 ≤ r ≤ k → P(k+1)  P(r), 8 ≤ r ≤ k (V)  k + 1 ≥ 11 já que verificamos P(r) para r = 8, 9 e 10  (k + 1) – 3 = k – 2 ≥ 8 subtraímos 3 de k + 1 a fim de usarmos a hipótese de indução  P(k – 2) é V k – 2, pela hipótese de indução, pode ser escrito como uma soma de números iguais a 3 ea5  (k – 2) + 3, que é uma soma de números iguais a 3 e a 5, é igual a k + 1; logo P(k + 1).

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