Exercicios resolvidos -_aulas_01_e_02

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  1. 1. UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL – UABUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE – UFSCENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR À DISTÂNCIA – CESADDISCIPLINA: VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICAPROFESSORA: MARTA ÉLIDTUTORES: JOSEFA RAFAELA DE ANDRADE LUCIENE CUNHA MARIANO NUNES DOS SANTOS PAULA CARVALHO PAULA REGINA DOS SANTOS MATOSCONTEÚDOS: AULAS 01 e 02 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – AULAS 01 e 021) Calcular o módulo (ou comprimento) do vetor v = (2, 4). Em seguida, responda os itens abaixo.Dica: Para calcular o módulo de um vetor, você deve aplicar a seguinte fórmula:| v | = = | a, b | = a2 + b2 , onde “a” e “b” são as coordenadas do vetor. Fazendo asubstituição de a = 2 e b = 4, teremos: | v |= 22 + 4 4 = 4 + 16 = 20 = 2 5| v |= 2 5 (Lê–se: Módulo do vetor v ) a) o vetor v é unitário?Obs.: Se o módulo deste vetor fosse igual a 1, ele seria unitário! O que não aconteceu!Resp: Não, pois | v | = 2 5 ≠ 1 . b) Explicite um vetor que tenha a mesma direção e sentido do vetor v e comprimento igual a 1.Dica: Para que dois vetores u e v tenham mesma direção e sentido é necessário que v =λ. u , com λ > 0.Lembre–se que todo vetor possui um versor. E o versor do vetor v , é o vetor unitário de vmesma direção e mesmo sentido de v e é dado pela fórmula w = . |v|Logo, podemos escrever um vetor que tenha as mesmas características de v e ainda possuao comprimento igual a 1.Assim, w = v = (2,4) =  1 , 2  =  5 , 2 5  , w =  5 , 2 5  é o vetor unitário que       |v| 2 5  5 5  5  5    5  5 estávamos procurando. Se calcularmos o módulo de w teremos w = 1 .
  2. 2.  3 c) O vetor v é paralelo ao vetor u = 1,  ? Justifique sua resposta.  2  3Dica: Verifique se é possível escrever u = λ.v ou seja, 1,  = λ.(2,4 ) .  2Veja no livro texto a condição de paralelismo de dois vetores.2) Escreva o vetor u = (5,3) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 1) e v 2 = (0, 2).Solução: a + 0 = 5(5, 3) = a.(1, 1) + b.(0, 2) ⇒  ⇒ Resolvendo o sistema de equações com duas a + 2b = 3variáveis, obtemos a = 5 e b = – 1. Logo, podemos escrever: (5, 3) = 5.(1, 1) + (– 1).(0, 2)3) Determine os valores de m e n para que os vetores u = (m + 1, 3, 4 ) e v = (10, n + 4, m + 5n) sejam iguais.Solução:Igualando as coordenadas temos:♦ m + 1 = 10 m = 9.♦ 3=n+4 n = – 1.4) Defina Base de um Espaço Vetorial e dê exemplos.Solução: Veja a definição que está no “Livro texto”.5) Calcule a projeção do vetor u = (2, 1) sobre o vetor v = (4, - 1) .Solução: Veja a fórmula do “Livro texto”, para substituir os valores.6) Dados os pontos A(–3, 1, –2), B(4, –2, 5) e C(2, 0, 2), determine o vetor u = 4 AB − 3BC + AC .Solução: Vamos definir cada um dos vetores AB , BC e AC .AB = B − A = (4,−2,5) − (−3,1,−2) = (7,−3,7)BC = C − B = (2,0,2) − (4,−5,2) = (−2,5,0)AC = C − A = (2,0,2) − (−3,1,−2) = (5,−1,4)Agora, fazendo as devidas substituições, temos:u = 4 AB − 3BC + AC
  3. 3. u = 4.(7,−3,7) − 3.( −2,5,0) + (5,−1,4) = (28,−12,28) − (−6,15,0) + (5,−1,4) = (28 + 6 + 5, − 12 − 15 − 1, 28 + 0 + 4)u = (39, - 28, 32)7) Determine os valores de x e y para que os vetores u = (2 x + 1, 3y - 2) e v = ( y + 3, 3x + 4) sejam iguais.Solução: Considerando que os vetores são iguais, temos: temos então que e .Fazendo as devidas adequações chegaremos ao sisteminha:Resolvendo o sistema encontraremos e .8) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir:(Livro – 1ª, pág. 27)a) ( V ) Se u = v , então | u | =| v | . Just: Dois vetores só são iguais se tiverem mesmomódulo, direção e sentido.b) ( F ) Se | u | =| v | , então u = v . Just: Ter o mesmo módulo não implica em possuirmesma direção e sentido, então não podemos afirmar que são iguais.c) ( F ) Se u || v , então u = v . Just: Quando u || v , eles têm apenas a mesma direção, enão necessariamente mesmo sentido e mesmo módulo.d) ( V ) Se u = v , então u || v . Just: Para serem iguais, eles têm que ter mesma direção,sentido e módulo e, possuindo mesma direção, satisfaz a condição para serem paralelos.9) Determine o vetor x em função de u e v nas figuras a seguir. (Livro – 3ª, pág. 27–28)Solução: a) u − v b) −u −v
  4. 4. c) u + v 110) Dados os vetores u , v e w , de acordo com a figura, construir o vetor 2 u - 3 v + w=s. 2 Solução:11) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Completar convenientemente: a) AD + AB b) BA + DA c) AC – BC d) AN + BC e) MD + MB 1 f) BM – DC 2
  5. 5. 12) Dados os vetores u e v da figura, mostrar um representante do vetor através de um gráfico. (Livro – 2ª, Pág. 27) – (Gráfico feito no “Geogebra”)a) b)c) d)

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