Calculo 3 integrais duplas - volumes

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Calculo 3 integrais duplas - volumes

  1. 1. Integrais Duplas Volumes Prof. Jailson de Abreu Cálculo 3
  2. 2. Integrais Duplas - Volume <ul><li>Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida . Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla . </li></ul>
  3. 3. f : IR 2  IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] <ul><li>Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado </li></ul>R = [a,b] x [c,d] = { (x,y)  IR 2 | a < x < b, c < y < d } y b a x d c R
  4. 4. f  0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y)  IR e 0  z  f(x,y)} Q R Volume de Q = V = ? <ul><li>e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). </li></ul><ul><li>Seja Q o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de Q, ou seja, </li></ul><ul><ul><li>Q = {(x,y,z)  IR 3 | (x,y)  R, </li></ul></ul><ul><li>0  z  f(x,y)} </li></ul>x y z
  5. 5. <ul><li>O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [x i-1 , x i ], de mesmo comprimento  x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [y j-1 , y j ], de mesmo comprimento  y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. </li></ul>R ij = [x i-1 ,x i ] x [y j-1 ,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área  A =  x  y. Partição de R
  6. 6. Partição de R x i  x b a x d c R y x 1 x 2 x i-1 y 1 y 2 y j-1 y j  y R ij (x ij , y ij )                                                      
  7. 7. Integrais Duplas - Volume <ul><li>Se escolhermos um ponto arbitrário (x ij ,y ij ) em cada R ij , podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada R ij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base R ij e altura f(x ij ,y ij ). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:. </li></ul>V ij = f(x ij ,y ij )  A.
  8. 8. Integrais Duplas - Volume Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q: Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.
  9. 9. V = x y z Q R f (x ij , y ij ) (x ij , y ij ) V ij Integrais Duplas - Volume
  10. 10. Integrais Duplas - Volume
  11. 11. Definição <ul><li>Considere uma função z = f ( x , y ) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy . </li></ul><ul><li>Traçando retas paralelas aos eixos x e y , recobrimos a região D por pequenos retângulos. </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Considere somente os retângulos R k que estão totalmente contidos em D , numerando-os de 1 a n . </li></ul><ul><li>Em cada retângulo R k , tome o ponto P k = ( x k , y k ) e forme a soma </li></ul><ul><li>SOMA DE RIEMANN: </li></ul>onde  A k =  x k .  y k é a área do retângulo R k . <ul><li>Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y , os retângulos ficam cada vez menores. </li></ul><ul><li>Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos R k tende a zero quando n tende ao infinito. </li></ul>Definição
  13. 13. <ul><li>Então, se </li></ul>existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f ( x k , y k )  A k sobre a região D . Denota-se por: Definição
  14. 14. Interpretação Geométrica <ul><li>Se f ( x , y )  0, f ( x k , y k )  A k representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo R k e cuja altura é f ( x k , y k ). </li></ul><ul><li>A soma de Riemann é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D . </li></ul>
  15. 15. Interpretação Geométrica <ul><li>Assim, se z = f ( x , y )  0 , então </li></ul>é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f ( x , y ) e inferiormente pela região D .
  16. 16. Interpretação Geométrica Se f ( x , y ) = 1   P ( x , y )  D , então, V = 1.área D . Logo: Área da Região D
  17. 17. Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
  18. 18. Cálculo de Volumes - Aplicações Para f ( x , y )  0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f ( x , y ) , inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D .
  19. 19. Exemplos <ul><li>Representamos na Figura a região R (base deste sólido): </li></ul>Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Resposta: V = 15/4 u.v. <ul><li>Assim, 0  x  2 e , logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo: </li></ul>
  20. 20. Teorema de Fubini
  21. 21. Teorema de Fubini
  22. 22. Exercícios 1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante. 3 3
  23. 23. Exercícios 2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x 2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0. Resposta: 32 u.v
  24. 24. Exercícios 3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2 . Resposta: 2a 3 /3 u.v. a a a
  25. 25. Exercícios 4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2 x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contorno da região D limitada pelas curvas y = x 2 – 4 e
  26. 26. Exercícios Resposta: -22/15 u.v.
  27. 27. Exercícios 5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x 2 + 2y 2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Resposta: 48 Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície e acima de
  28. 28. Exercícios 6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x 2 + y 2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2 . Resposta: 216/35 y = 2x y = x 2
  29. 29. Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
  30. 30. Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Resposta: 1/3
  31. 31. Exercícios
  32. 32. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Loiuis Leithold. – O cálculo com Geometria Analítica volume 2, editora HARBRA. James Stewart. – Cálculo volume 2, editora CENGAGE LEARNING.

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