Calculo 3 integrais duplas - coordenadas polares

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Calculo 3 integrais duplas - coordenadas polares

  1. 1. Integrais Duplas Coordenadas Polares Prof. Jailson de Abreu Cálculo 3
  2. 2. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.
  3. 3. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa u = u ( x , y ) e v = v ( x , y ). Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D , respectivamente, temos (3)
  4. 4. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v , dado por
  5. 5. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas A transformação que leva pontos (r,  ) do plano r  a pontos (x, y) do plano xy é dada por e seu jacobiano é dado por (4) Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por: (5)
  6. 6. Coordenadas Polares Obtenção da Fórmula Para que (4) seja bijetora, considera-se r  para os quais r e  satisfazem:
  7. 7. Coordenadas Polares Área  A’ do retângulo em D’ Área  A do retângulo polar em D
  8. 8. Coordenadas Polares
  9. 9. Coordenadas Polares
  10. 10. Coordenadas Polares dA = dxdy = rdrd 
  11. 11. Coordenadas Polares Integral Dupla em D’ Assim, obtemos o jacobiano r k da fórmula (5). Enumerando os retângulos polares e 1 a n , tome um ponto arbitrário ( x k , y k ) no k -ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por ( r k cos  k , r k sin  k ) é equivalente a onde  A ' k =  r k  k é a área do k -ésimo retângulo em D ’. que tem representação ( r k ,  k ) referente à região correspondente em D ’. Assim, a soma de Riemann
  12. 12. Coordenadas Polares Assim, se tomarmos limite com n   com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos dada pela fórmula (5). que equivale a integral
  13. 13. Coordenadas Polares x y P(x,y) = P(r,  ) r  x y Relações: r 2 = x 2 + y 2  = arctg(y/x) x = r.cos  y = r.sen  z = z
  14. 14. Coordenadas Polares
  15. 15. Coordenadas Polares y r x x  y P y = r sen  x = r cos  sen  = y/r cos  = x/r r 2 = x 2 + y 2  = arctg y/x retang.  polares polares  retang.
  16. 16. Curvas em Coordenadas Polares y  2 x  1  1     2 r = f (  )  P r 
  17. 17. Regiões em Coordenadas Polares y  2 x  1  1     2 f 1 (  )  r  f 2 (  ) r = f 2 (  ) r = f 1 (  ) R
  18. 18. Integrais Duplas em Coordenadas Polares y x   R  R k =  (r 1 2 - r 2 2 )(  -  )/2  r 1 r 2 R k = [(r 1 + r 2 )/2] (  r  ) unidade de área:  R k
  19. 19. Integrais Duplas em Coordenadas Polares
  20. 20. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares R:     r 1 (  )  r  r 2 (  )
  21. 21. Exercícios Exemplo: Calcular R é a região semicircular, x 2 + y 2 = 1, onde y é positivo. R = 1
  22. 22. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE Exemplo: Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x 2 + y 2 abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).
  23. 23. Exercícios
  24. 24. Exercícios
  25. 25. Cálculo de Volumes - Aplicações Para f ( x , y )  0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f ( x , y ), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D .
  26. 26. Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
  27. 27. Exercícios
  28. 28. Cálculo Áreas de Regiões Planas Fazendo f ( x , y ) = 1, a área da região de integração D é dada por:
  29. 29. Exercícios
  30. 30. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Loiuis Leithold. – O cálculo com Geometria Analítica volume 2, editora HARBRA. James Stewart. – Cálculo volume 2, editora CENGAGE LEARNING.

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