Aulas serie

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Aulas serie

  1. 1. Series Numericas ´ ´Maria do Carmo Martins Novembro de 2006
  2. 2. Defini¸˜o e generalidades ca Seja (un ) uma sucess˜o de n´meros reais. Chama-se s´rie a u e num´rica ou s´rie de n´meros reais ou soma infinita ` e e u a express˜o que se obt´m somando todos os termos de (un ). a e Simbolicamente: ∞ u1 + u2 + u3 + · · · + un + . . . = un n=1 ∞ = un 1 = un
  3. 3. Defini¸˜o e generalidades ca Considerando a s´rie e un , tem-se  u1  u2     .  . . termos da s´rie e un     .  .  .  em que un ´ o termo geral da s´rie. e e
  4. 4. Observa¸˜o ca Por vezes ´ conveniente considerar s´ries do tipo ∞ un , ou mais e e n=0 ∞ geralmente, n=p un , onde p ´ um n´mero natural. Assim, s˜o e u a tamb´m s´ries as express˜es e e o ∞ un = u2 + u3 + · · · + un + . . . n=2 ∞ un = u8 + u9 + · · · + un + . . . n=8
  5. 5. Sucess˜o associada a uma s´rie a e Considere-se a s´rie num´rica e e un . Define-se S1 = u1 primeiro termo da s´rie e S2 = u1 + u2 soma dos dois primeiros termos da s´rie e S3 = u1 + u2 + u3 soma dos trˆs primeiros termos da s´rie e e . . . Sn = u1 + u2 + · · · + un soma dos n primeiros termos da s´rie e . . .
  6. 6. Sucess˜o associada a uma s´rie a e  S1   S2     . .  . somas parciais da s´rie e un Sn     . .   .  (Sn )n∈N ou (Sn ) ´ uma sucess˜o de n´meros reais chamada e a u sucess˜o das somas parciais da s´rie a e un ou sucess˜o a associada ` s´rie. a e Exerc´ ıcio: 1 Considere a s´rie e n. Calcule S2 , S3 , S10 e Sn .
  7. 7. Sucess˜o associada a uma s´rie a e Considere-se a s´rie e un . Ent˜o a Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Sn−1 = u1 + u2 + · · · + un−1 Sn − Sn−1 = (u1 + · · · + un−1 + un ) − (u1 + · · · + un−1 ) = un . Assim, Sn − Sn−1 = un . n Exemplo: Seja Sn = n+1 o termo geral geral da sucess˜o das a somas parciais da s´rie e un . Determine un .
  8. 8. Convergˆncia da sucess˜o associada ` s´rie e a a e Considere-se a s´rie num´rica e e un e seja (Sn ) a sua sucess˜o a associada. Ent˜o a (Sn ) converge ⇔ un converge.
  9. 9. Natureza de uma s´rie e Diz-se que a s´rie de termo geral un ´ convergente se existir e e em R o lim Sn = S. n→∞ O n´mero real S diz-se a soma da s´rie u e un . Escreve-se ent˜o, a un = S. Diz-se que a s´rie de termo geral un ´ divergente se a e e sucess˜o associada ` s´rie for divergente, isto ´, se a a e e lim Sn = ∞ ou ∃ lim Sn . Chama-se natureza de uma s´rie ` propriedade de ser e a convergente ou divergente.
  10. 10. Observa¸˜o ca Note-se que sendo (Sn ) uma sucess˜o, o c´lculo do limite de Sn a a obedece `s propriedades alg´bricas dos limites das sucess˜es, a e o podendo aplicar-se, sempre que seja poss´ıvel, as regras pr´ticas j´ a a estudadas.
  11. 11. Exemplos Estude a natureza das s´ries: e 1 1 ; n(n + 1) 2 c, com c ∈ R {0}; 3 0; 4 (−1)n+1 5.
  12. 12. Resto de uma s´rie e Seja un uma s´rie num´rica. Chama-se resto de ordem p da e e s´rie e un ` s´rie que se obt´m suprimindo os p primeiros termos a e e da s´rie. Simbolicamente e ∞ Rp = up+1 + up+2 + · · · = up+n . n=1 Exemplo: 1 Escreva o resto de ordem 4 da s´rie e n.
  13. 13. Observa¸˜o ca Suponhamos que un ´ uma s´rie num´rica convergente cuja e e e soma ´ S. Ent˜o e a S= un = u1 + u2 + · · · + un + un+1 + un+2 + . . . Sn Rn ou seja, S = Sn + Rn Rn = S − Sn .
  14. 14. Observa¸˜o (continua¸˜o) ca ca Tomando limites, tem-se: lim Rn = lim (S − Sn ) = lim S − lim Sn = S −S = 0. Concluimos ent˜o que uma s´rie ´ convergente se o resto de ordem a e e n for um infinit´simo, isto ´: e e un ´ convergente ⇔ lim Rn = 0 e
  15. 15. S´rie geom´trica e e Chama-se s´rie geom´trica a toda a s´rie da forma e e e ∞ ar n−1 = ar n = a + ar + ar 2 + ar 3 + · · · + ar n + . . . n=0 Refira-se que, numa s´rie geom´trica cada termo pode obtido a e e partir do termo anterior multiplicando pela raz˜o r . a Exemplo: 1 Verifique que a s´rie e 2n ´ geom´trica e indique a raz˜o. e e a
  16. 16. Natureza da s´rie Geom´trica (1) e e Estudemos a natureza (convergente ou divergente) da s´rie e geom´trica. Escrevendo a sucess˜o das somas parciais, e a multiplicando por r e subtraindo, vem Sn = a + ar + ar 2 + · · · + ar n−1 rSn = ar + ar 2 + ar 3 · · · + ar n−1 + ar n Sn − rSn = a + ar + · · · + ar n−1 − ar + · · · + ar n−1 + ar n Sn − rSn = a − ar n Sn (1 − r ) = a − ar n
  17. 17. Natureza da s´rie Geom´trica (2) e e Consideremos os seguintes casos: 1) Se r = 1, ent˜o Sn = a−ar . a 1−r Calculemos o limite de Sn : a − ar n lim Sn = lim 1−r a ar n = lim − 1−r 1−r a ar n = − lim 1−r 1−r a a = − lim r n 1−r 1−r Sendo r n uma exponencial, o limite vai depender da base.
  18. 18. Natureza da s´rie Geom´trica (3) e e Assim, teremos de considerar os casos: 1 |r | < 1; 2 |r | > 1; 3 r = −1. Analisemos cada caso: a Se |r | < 1, ent˜o lim r n = 0 e assim lim Sn = 1−r . a Sendo (Sn ) convergente, ent˜o a s´rie a e ar n−1 ´ convergente e a e a sua soma ´ S = 1−r . e
  19. 19. Natureza da s´rie geom´trica (4) e e Se |r | > 1, ent˜o lim r n = ∞ e assim lim Sn = ∞. a Sendo (Sn ) divergente, ent˜o a s´rie a e ar n−1 ´ divergente. e Se r = −1, ent˜o a ar n−1 ´ divergente, pois: e a a Se n ´ par, ent˜o Sn = 1−(−1) − 1−(−1) = 0, pelo que e a lim Sn = 0. a a e ımpar, ent˜o Sn = 1−(−1) − − 1−(−1) = a, pelo que Se n ´ ´ a lim Sn = a. Assim, Sn = a para n ´ ´ ımpar e Sn = 0 para n par. E sabido que esta sucess˜o n˜o tem limite e, portanto, a s´rie ´ divergente. a a e e
  20. 20. Natureza da s´rie geom´trica (5) e e 2) Se r = 1, ent˜o Sn = na. Calculando o limite de Sn tem-se: a lim Sn = lim na = ∞ Como (Sn ) ´ divergente, ent˜o e a ar n−1 ´ divergente. e Conclus˜o: a A s´rie geom´tica e e ar n−1 converge se, e s´ se, |r | < 1. Neste o caso, a sua soma ´e a S= . 1−r
  21. 21. Exemplos Determine a natureza das seguintes s´ries e, em caso de e convergˆncia, calcule a respectiva soma: e 2 1 ; 3n n 5 2 . 4
  22. 22. S´rie de Mengoli e Chama-se s´rie de Mengoli1 a toda a s´rie cujo termo geral pode e e ser escrito numa das seguintes formas: un = an − an+1 ; (1) un = an − an+2 ; (2) un = an − an+p , p ∈ N. (3) 1 Pietro Mengoli, matem´tico italiano que em em 1650 estabeleceu s soma a de grande n´mero de s´ries de termos positivos e a divergˆncia da s´rie u e e e harm´nica o
  23. 23. Exemplos Verifique que s˜o de Mengoli as seguintes s´ries: a e 1 1 ; n(n + 1) 1 2 . n(n + 3)
  24. 24. S´rie de Mengoli e Analisemos cada um dos casos da defini¸˜o anterior. Consideremos ca o caso (1). Admitamos que existe uma sucess˜o (an ) tal que a un = an − an+1 . Tem-se Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un = (a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + · · · + (an−1 − an ) + (an − an+1 ) = a1 − an+1 . Calculemos o limite de Sn : lim Sn = lim(a1 − an+1 ) = lim a1 − lim an+1 = a1 − lim an+1
  25. 25. S´rie de Mengoli e Portanto, (Sn ) converge ⇔ (an ) converge un converge ⇔ (an ) converge Conclus˜o: A s´rie de Mengoli a e un = (an − an+1 ) converge se, e s´ se, (an ) for convergente. A sua soma ´ o e S = a1 − lim an .
  26. 26. S´rie de Mengoli e Consideremos o caso (2). Admitamos que existe uma sucess˜o a (an ) tal que un = an − an+2 . Tem-se Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un = (a1 − a3 ) + (a2 − a4 ) + (a3 − a5 ) + · · · + (an−2 − an ) + +(an−1 − an+1 ) + (an − an+2 ) = a1 + a2 − an+1 − an+2 . Calculemos o limite de Sn : lim Sn = lim(a1 + a2 − an+1 − an+2 ) = a1 + a2 − lim an+1 − lim an+2
  27. 27. S´rie de Mengoli e Portanto, (Sn ) converge ⇔ (an ) converge un converge ⇔ (an ) converge Conclus˜o: A s´rie de Mengoli a e un = (an − an+2 ) converge se, e s´ se, (an ) for convergente. A sua soma ´ o e S = a1 + a2 − 2 lim an .
  28. 28. S´rie de Mengoli e Consideremos, finalmente, o caso (3). Admitamos que existe uma sucess˜o (an ) tal que un = an − an+p , com p ∈ N. Tem-se a Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un = (a1 − a1+p ) + (a2 − a2+p ) + · · · + (an−1 − an−1+p ) + +(an − an+p ) = a1 + a2 + · · · + ap − an+1 − an+2 − · · · − an+p . Calculemos o limite de Sn : lim Sn = lim(a1 + a2 + · · · + ap − an+1 − an+2 − an+p ) = a1 + a2 + · · · + ap − lim an+1 − lim an+2 − lim an+p = a1 + a2 + · · · + ap − p lim an
  29. 29. S´rie de Mengoli e Conclus˜o: A s´rie de Mengoli a e un = (an − an+p ), com p ∈ N, converge se, e s´ se, (an ) for convergente. A sua soma o ´ e S = a1 + a2 + · · · + ap − p lim an .
  30. 30. Exerc´ ıcio Calcule a soma das s´ries das seguintes s´ries e e 1 1 ; n(n + 1) 1 2 . n(n + 3)
  31. 31. S´rie Aritm´tica e e Chama-se s´rie artm´tica a toda a s´rie em que ´ constante a e e e e diferen¸a entre um termo e o seu antecedente. c Portanto, a s´rie e un ´ uma s´rie aritm´tica se un+1 − un = r , e e e com r constante. Tem-se assim, u1 + un Sn = u1 + u2 + · · · + un = n 2 soma de n termos de uma p.a. Como lim Sn = ∞, a s´rie aritm´tica ´ sempre divergente. e e e Exemplo: Determine a natureza da s´rie e 2n.
  32. 32. S´rie geom´trica-aritm´tica e e e Chama-se s´rie geom´trica-aritm´tica a toda a s´rie da forma e e e e nar n−1 = a + 2ar + 3ar 2 + 4ar 3 + · · · + nar n−1 + . . . Exemplo: n Verifique que a s´rie e 2n ´ uma s´rie geom´trica-aritm´tica. e e e e
  33. 33. Natureza da s´rie geom´trica-aritm´tica (1) e e e Estudemos a natureza da s´rie e nar n−1 , procedendo de modo an´logo ao das s´ries geom´tricas. a e e Sn = a + 2ar + 3ar 2 + · · · + (n − 1)ar n−2 + nar n−1 rSn = ar + 2ar 2 + 3ar 3 · · · + (n − 1)ar n−1 + nar n Sn − rSn = a + ar + ar 2 + · · · + ar n−2 + ar n−1 −nar n soma de n termos de uma p.g. a − ar n Sn (1 − r ) = − nar n 1−r
  34. 34. Natureza da s´rie geom´trica-aritm´tica (2) e e e Consideremos os seguintes casos: a−ar n nar n 1) Se r = 1, ent˜o Sn = (1−r )2 − a 1−r . Calculemos o limite de Sn : a − ar n nar n lim Sn = lim − (1 − r )2 1 − r Sendo r n uma exponencial, o limite vai depender da base. Assim, teremos de considerar os casos: 1 |r | < 1; 2 |r | > 1; 3 r = −1. Analisemos cada caso:
  35. 35. Natureza da s´rie geom´trica-aritm´tica (3) e e e Se |r | < 1, ent˜o a a − ar n nar n lim Sn = lim − (1 − r )2 1 − r a ar n anr n = lim − − (1 − r )2 (1 − r )2 1 − r Ora, se |r | < 1, ent˜o: a lim r n = 0 n lim nr n = lim 1 n =2 0. r a Assim, lim Sn = (1−r )2 . Sendo (Sn ) convergente, ent˜o a s´rie a e n−1 ´ convergente e a sua soma ´ S = a nar e e (1−r )2 . 2 Recorde-se que a exponencial de base maior que 1 evolui mais rapidamente do que qualquer potˆncia do seu expoente e
  36. 36. Natureza da s´rie geom´trica-aritm´tica (4) e e e Se |r | > 1, a − ar n nar n Sn = − (1 − r )2 1 − r a − ar n − nar n )(1 − r ) = (1 − r )2 a − [ar n − nar n (1 − r )] = (1 − r )2 a−r n [a + na(1 − r )] = (1 − r )2 Assim lim Sn = ∞. Sendo (Sn ) divergente, ent˜o a s´rie a e nar n−1 ´ divergente. e
  37. 37. Natureza da s´rie geom´trica-aritm´tica (5) e e e Se r = −1, ent˜o a nar n−1 ´ divergente, pois: e Se n ´ par, ent˜o Sn = −na , pelo que lim Sn depende do sinal e a 2 de a. e ımpar, ent˜o Sn = a+na , pelo que Se n ´ ´ a 2 a + na +∞ se a > 0 lim Sn = lim = 2 −∞ se a < 0 Assim, n˜o existe lim Sn e, portanto, a s´rie ´ divergente. a e e
  38. 38. Natureza da s´rie geom´trica-aritm´tica (6) e e e an+an2 2) Se r = 1, ent˜o Sn = a 2 . Calculando o limite de Sn tem-se: an2 + an lim Sn = lim =∞ 2 Como (Sn ) ´ divergente, ent˜o e a nar n−1 ´ divergente. e Conclus˜o: A s´rie geom´trica-aritm´tica a e e e nar n−1 converge se, e s´ se, |r | < 1. Neste caso, a sua soma ´ o e a S= . (1 − r )2
  39. 39. Teorema 1 - Crit´rio Geral de Cauchy e Para que uma s´rie e un seja convergente ´ necess´rio e suficiente e a que ∀δ > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |Sn+p − Sn | < δ, ∀p ∈ N isto ´, e ∀δ > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un+1 + un+2 + · · · + un+p | < δ, ∀p ∈ N Note-se que: Teorema (Crit´rio de Cauchy para as sucess˜es) Seja (un ) e o uma sucess˜o num´rica. a e (un ) converge ⇔ ∀δ > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un+p −un | < δ, ∀p ∈ N.
  40. 40. Corol´rio 1 - Condi¸˜o necess´ria para a convergˆncia a ca a e(s´rie) e Se a s´rie e un ´ convergente, ent˜o lim un = 0. e a Observa¸˜o: O corol´rio anterior diz-nos que ca a un converge ⇒ lim un = 0. No entanto, lim un = 0 ⇒ un converge.
  41. 41. Exemplo Aplicando o crit´rio geral de convergˆncia determine a natureza da e e 1 s´rie e n .
  42. 42. Corol´rio 2 a Se un ´ uma s´rie tal que lim un = 0, ent˜o a s´rie e e a e un ´ e divergente. lim un = 0 ⇒ un ´ divergente. e n+1 Exemplo: Determine a natureza da s´rie e 3n−1 .
  43. 43. Teorema 2 Se c ´ uma constante n˜o nula, ent˜o as s´ries e a a e un e c un s˜o a da mesma natureza e, no caso de convergˆncia, se for S a soma de e un , ent˜o c S ser´ a soma de a a c un . Exemplo: Estude a natureza das s´ries: e 1 1 3n(n + 1) a 2 ,a = 0 n 1 3 5e n
  44. 44. Teorema 3 Sejam un e vn duas s´ries convergentes, cujas somas s˜o e a respectivamente S e S . Ent˜oa 1 A s´rie e (un + vn ) ´ convergente e a sua soma ´ S + S . e e 2 A s´rie e (un − vn ) ´ convergente e a sua soma ´ S − S . e e 4 2 Exemplo: Mostre que ( 2n−1 − n2 +3n ) ´ convergente. e
  45. 45. Corol´rio a Se a s´rie e un ´ convergente e a s´rie e e vn ´ divergente (ou e vice-versa), ent˜o a s´rie (un + vn ) ´ divergente. a e e Exemplo: Determine a natureza das s´ries e 1 1 1 ( − ) 4n 4n 2 (2 + e)
  46. 46. Conclus˜o a un convergente ⇒ (un + vn ) convergente. vn convergente un convergente ⇒ (un + vn ) divergente. vn divergente un divergente nada se pode concluir acerca ⇒ vn divergente da natureza da s´rie (un + vn ). e
  47. 47. Teorema 4 Se uma s´rie, e un , ´ convergente, ent˜o a s´rie, e a e un , que se obt´m associando dois a dois os termos consecutivos da s´rie de e e forma a construir novos termos ´ tamb´m convergente e tˆm a e e e mesma soma. Corol´rio: a Se un ´ divergente, ent˜o e a un ´ divergente. e
  48. 48. Teorema 5 A natureza de uma s´rie n˜o se altera se modificarmos um n´mero e a u finito dos seus termos, isto ´, e - Se duas s´ries diferem de um n´mero finito de termos elas e u tˆm a mesma natureza. e Nota: As s´ries e an e an tˆm a mesma natureza, mas podem e n˜o ter a mesma soma. a Exemplo: Determine a natureza da s´rie e 1 1 1 1 un = 1 + 2 + 3 + + + + + ··· 2 4 8 16 e, em caso de convergˆncia, calcule a soma. e
  49. 49. S´ries de termos n˜o negativos e a Uma s´rie e un diz-se de termos n˜o negativos se a un ≥ 0, ∀n ∈ N. Exemplo: 1 n ´ de termos n˜o negativos. e a 2 n2 ´ de termos n˜o negativos. e a 3 (n − 5) n˜o ´ de termos n˜o negativos. a e a 4 (n − 1) ´ de termos n˜o negativos. e a
  50. 50. S´rie de termos n˜o positivos e a Uma s´rie e un diz-se de termos n˜o positivos se a un ≤ 0, ∀n ∈ N. Exemplo: 1 −n ´ de termos n˜o positivos. e a 2 −n2 ´ de termos n˜o positivos. e a 3 (n − 5) n˜o ´ de termos n˜o positivos. a e a 4 (1 − n) ´ de termos n˜o positivos. e a
  51. 51. Observa¸˜o ca Suponhamos que an ´ uma s´rie de termos n˜o positivos. e e a Ent˜o, por defini¸˜o an ≤ 0, ∀n ∈ N. Mas, a ca an ≤ 0, ∀n ∈ N ⇔ −an ≥ 0, ∀n ∈ N pelo que, a s´rie (−an ) = − an ´ uma s´rie de termos n˜o e e e a negativos. Assim, o estudo de uma s´rie de termos n˜o positivos e a reduz-se ao estudo de uma s´rie de termos n˜o negativos, uma vez e a que as s´ries e an e −an tˆm a mesma natureza. e
  52. 52. Teorema 6 - Condi¸˜o necess´ria e suficiente de ca aconvergˆncia de uma s´rie de termos n˜o negativos e e a ´ E condi¸˜o necess´ria e suficiente para que uma s´rie de termos ca a e n˜o negativos seja convergente que a sucess˜o (Sn ), das somas a a parciais da s´rie, seja limitada superiormente. e 1 Exemplo: Prove que n! ´ convergente, utilizando o teorema e anterior.
  53. 53. Teorema 7 - Crit´rio de compara¸˜o e ca Sejam un e vn duas s´ries de termos n˜o negativos, tais que e a un ≤ vn , ∀n ∈ N. Ent˜o a 1 Se vn converge, ent˜o a un converge 2 Se un diverge, ent˜o a vn diverge
  54. 54. S´rie majorante e s´rie minorante e e Chama-se s´rie majorante de uma s´rie e e un ` s´rie a e vn , tal que un ≤ vn , ∀n ∈ N. vn ´ a s´rie majorante da s´rie e e e un un ´ a s´rie minorante da s´rie e e e vn O teorema anterior pode ser enunciado do seguinte modo: 1 A convergˆncia da s´rie majorante implica a convergˆncia da e e e s´rie minorante. e 2 A divergˆncia da s´rie minorante implica a divergˆncia da s´rie e e e e majorante.
  55. 55. Observa¸˜o ca Como a natureza de uma s´rie n˜o depende dos seus primeiros e a termos (em n´mero finito), o teorema anterior ainda ´ v´lido para u e a o caso em que a condi¸˜o un ≤ vn se verifica apenas a partir de ca uma certa ordem, isto ´, se e ∃n0 ∈ N : n ≥ n0 ⇒ un ≤ vn . 1 Exemplo: Determine a natureza da s´rie e 5n (n+1) , aplicando o crit´rio de compara¸˜o. e ca
  56. 56. Exemplos 1 Utilizando o crit´rio de compara¸˜o, conclua que a s´rie e ca e 1 √ ´ divergente. n e 1 2 Determine a natureza da s´rie e nn .
  57. 57. Corol´rios a Corol´rio 1: Sejam a un uma s´rie de termos n˜o negativos e e a vn uma s´rie de termos positivos. Se existir um c > 0, tal que a e condi¸˜o ca un ≤c vn se verifica a partir de uma certa ordem, ent˜o: a 1 Se vn ´ convergente, ent˜o e a un converge. 2 Se un ´ divergente, ent˜o e a vn diverge. Corol´rio 2: Sejam a un e vn duas s´ries de termos positivos. e Se existirem c > 0 e d > 0 tais que c ≤ un ≤ d, a partir de uma v n certa ordem, ent˜o as s´ries a e un e vn s˜o da mesma natureza. a
  58. 58. Corol´rio 3 - Crit´rio de compara¸˜o por limites a e ca Sejam un e vn duas s´ries de termos positivos. Ent˜o: e a 1 Se lim un = = 0, +∞ (ent˜o) as s´ries v n a e un e vn s˜o da a mesma natureza. 2 Se lim un = 0, ent˜o a convergˆncia de v n a e vn implica a convergˆncia de e un ou a divergˆncia de e un implica a divergˆncia de e vn . 3 Se lim un = +∞, ent˜o a convergˆncia de v n a e un implica a convergˆncia de e vn ou a divergˆncia de e vn implica a divergˆncia de e un .
  59. 59. Exemplo Utilizando o crit´rio de compara¸˜o por limites, estude a natureza e ca da s´rie e n+1 . n · 4n
  60. 60. Corol´rio 4 - Compara¸˜o de raz˜es a ca o Sejam un e vn duas s´ries de termos positivos. Se existir uma e ordem p, a partir da qual uun ≤ vn+1 , ent˜o: n+1 vn a Se vn converge, ent˜o a un converge. Se un diverge, ent˜o a vn diverge. Exemplo: Estude a natureza das s´ries: e 2n + 5 1 3n − 11 log n 2 n 1 + sen n 3 2n 3 4 log(1 + ) n
  61. 61. S´ries de Dirichlet e 1 Chama-se S´rie de Dirichlet3 a toda a s´rie da forma e e nα , sendo α um n´mero real. u Exemplo: 1 1 (s´rie harm´nica); α = 1. e o n 1 2 ; α = 3. n3 1 3 ; α = −9. n−9 1 5 4 ;α = − . −5 2 n 2 3 Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805-1859), matem´tico Alem˜o, foi a a professor em Berlin e G¨ttingen e deu importantes contribui¸˜es para a An´lise o co a e Teoria dos N´meros u
  62. 62. Teorema 8 Seja (un ) uma sucess˜o de termos n˜o negativos e decrescente. a a Ent˜o as s´ries a e ∞ ∞ un e 2k · u2k 1 k=0 s˜o da mesma natureza. a
  63. 63. Corol´rio a 1 A s´rie e nα converge para α > 1 e diverge para α ≤ 1.
  64. 64. Exemplos n+1 1 Estude a natureza da s´rie e √ . 3n3 + 2 2 Recorrendo ao crit´rio de compara¸˜o por limites, determine a e ca natureza das seguintes s´ries: e n+4 1 √ 3 n7 + 2 3 2 log(1 + ) n3 1 sen n 3 √ n3 + 2
  65. 65. S´ries de Bertrand e Chama-se S´rie de Bertrand a toda a s´rie da forma e e ∞ 1 , com α, β ∈ R. nα (log n)p n=2 Observa¸˜o: Note-se que: ca Se α > 1, a s´rie de Bertrand converge ∀β ∈ R; e Se α < 1, a s´rie diverge ∀β ∈ R; e Se α = 1, ent˜o a Se β > 1 a s´rie converge; e Se β ≤ 1 a s´rie diverge. e
  66. 66. Exemplos ∞ 1 1 ; S´rie de Bertrand convergente α = 2 > 1. e n2 log n 2 ∞ 1 2 ; S´rie de Bertrand convergente α = 1 e e n2 (log n)3 2 β = 3 > 1. ∞ 1 3 ; S´rie de Bertrand divergente α = 1 e β = 1. e n log n 2
  67. 67. Teorema 9 - Crit´rio da raz˜o e a Seja un uma s´rie de termos positivos. e 1 Se existir k > 0 tal que un+1 ∃p ∈ N : n ≥ p ⇒ ≤ k < 1, un ent˜o a s´rie converge. a e 2 Se un+1 ∃p ∈ N : n ≥ p ⇒ ≥ 1, un ent˜o a s´rie diverge. a e
  68. 68. 4Corol´rio 1 - Crit´rio D’Alembert a e Seja un uma s´rie de termos positivos. Suponhamos que e un+1 lim = ( finito ou infinito) un 1 Se < 1, ent˜o a un ´ convergente e 2 Se > 1, ent˜o a un ´ divergente e 3 Se = 1, nada se pode concluir quanto ` natureza da s´rie a e un . 4 Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783), not´vel matem´tico, fil´sofo e a a o escritor Francˆs do tempo dos enciclopedistas, foi secret´rio perp´tuo da e a e Academdia Francesa.
  69. 69. Observa¸˜o ca Sendo lim uun = 1, nada se pode concluir, no entanto, n+1 se lim uun = 1+ (por valores superiores a 1), ent˜o a s´rie n+1 a e un ´ divergente. e Se lim uun = 1− , ent˜o nada se pode concluir quanto ` n+1 a a natureza de un .
  70. 70. Exemplo Aplicando o Crit´rio D´Alembert, estude a natureza das s´ries e e 1 1 . n 1 2 . n2 n 3 . n+1
  71. 71. Corol´rio 2 a Seja un uma s´rie de termos positivos. e 1 Se lim uun < 1, ent˜o n+1 a un converge 2 Se lim uun > 1, ent˜o n+1 a un diverge.
  72. 72. Resumo Dada a s´rie e un , com un > 0, ∀n ∈ N,    < 1, un converge un+1  > 1, un diverge lim = un   = 1+ , un diverge = 1− , nada se pode concluir.  un+1 lim uun < 1, n+1 un converge ∃ lim e se un lim uun , n+1 un diverge
  73. 73. Nota O crit´rio de D’Alembert aplica-se `s s´ries que apresentam no seu e a e termo geral: - produtos - potˆncias e - factoriais
  74. 74. Exemplo Determine a natureza das s´ries: e n+3 1 (n + 2)! n3 2 n! n + 2 + 2n 3 5n
  75. 75. Teorema 10 - Crit´rio da Raiz e Seja un uma s´rie de termos n˜o negativos. e a √ 1 Se existir uma ordem a partir da qual n un ≤ k < 1 (k > 0), ent˜o a s´rie a e un ´ convergente. e √ 2 Se existir uma ordem a partir da qual n un ≥ 1, ent˜o a s´rie a e un ´ divergente. e
  76. 76. Corol´rio 1 - Crit´rio de Cauchy a e Seja un uma s´rie de termos n˜o negativos. Suponhamos que e a √ lim n u = n 1 Se < 1, ent˜o a un ´ convergente e 2 Se > 1, ent˜o a un ´ divergente e 3 Se = 1, nada se pode concluir quanto ` natureza da s´rie. a e
  77. 77. Observa¸˜o ca √ Se lim n un = 1+ , ent˜o a s´rie a e un ´ divergente. e √ Se lim n un = 1− , ent˜o nada se pode concluir quanto ` a a natureza da s´rie e un .
  78. 78. Corol´rio 2 a Seja un uma s´rie de termos n˜o negativos: e a √ 1 Se lim n un < 1, ent˜o a un converge. √ 2 Se lim n un > 1, ent˜o a un diverge.
  79. 79. Exemplo Estude a natureza das s´ries e 1 2 1 (1 + )n n |sen n| 2 n n2 1 1 3 [n2 log(1 + )tg ]n 2n n
  80. 80. Resumo Dada a s´rie e un , com un ≥ 0, ∀n ∈ N    < 1, un converge √  > 1, un diverge lim n un =   = 1+ , un diverge = 1− , nada se pode concluir.  √ √ lim n un < 1, un converge ∃ lim n un e se √ lim n un , un diverge
  81. 81. Nota O crit´rio de Cauchy aplica-se nos casos em que todos os factores e do termo geral da s´rie est˜o elevados, pelo menos, ao expoente n, e a isto ´, utiliza-se quando un est´ elevado a n, n2 , n3 , · · · . e a
  82. 82. Teorema 11 Seja (un ) uma sucess˜o de termos positivos. Ent˜o: a a u √ 1 lim n+1 ≤ lim n u un n √ 2 lim n un ≤ lim uun n+1
  83. 83. Corol´rio a Seja (un ) uma sucess˜o de termos positivos. Se lim uun = A, a n+1 √ ent˜o lim n un = A. a
  84. 84. Crit´rio de Raabe5 e Seja un uma s´rie de termos positivos tal que e lim[n( uun − 1)] = (finito ou n˜o). Ent˜o: n+1 a a 1 Se > 1, ent˜o a un converge 2 Se < 1, ent˜o a un diverge. 5 Joseph L. Raabe (1801-1859) foi um dos percursores da somabilidade das s´ries pela m´dia das somas parciais, m´todo que utilizou para alguns tipos e e e especiais de s´ries e
  85. 85. Observa¸˜o ca Se lim[n( uun − 1)] = 1+ , ent˜o nada se pode concluir quanto n+1 a ` natureza da s´rie. a e Se lim[n( uun − 1)] = 1− , ent˜o a s´rie n+1 a e un ´ divergente. e
  86. 86. Exemplos 1 Aplicando o crit´rio de Raabe estude a natureza das s´ries: e e √ √ 1 n+1− n; 1·3·5···(2n−1) 2·4·6···2n . 2 2 Aplicando o crit´rio de Raabe, determine os valores de a para e os quais a s´rie e a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n − 1) n! ´ convergente. e

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