Aulas primitiv-regraspot

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Aulas primitiv-regraspot

  1. 1. Regras Praticas Para Primitivar ´Potencias de Funcoes Circulares e ˆ ¸˜ Hiperbolicas ´ Maria do Carmo Martins Dezembro 2006
  2. 2. Potˆncias pares de sen x, cos x, senh x ou cosh x e Passa-se para o ˆngulo duplo atrav´s das f´rmulas a e o 1 − cos(2x) sen 2 x = 2 1 + cos(2x) cos2 x = 2 cosh(2x) − 1 senh 2 x = 2 cosh(2x) + 1 cosh2 x = 2
  3. 3. Exemplos Calcule: 1 cos2 (4x) dx 2 senh 4 (6x) dx
  4. 4. Potˆncias ´ e ımpares de sen x, cos x, senh x ou cosh x Destaca-se uma unidade ` potˆncia ´ a e ımpar e o factor resultante passa-se para a co-fun¸˜o atrav´s das f´rmulas ca e o sen 2 x + cos2 x = 1 cosh2 x − senh 2 x = 1
  5. 5. Exemplos Calcule sen 3 x dx cosh5 x dx
  6. 6. Potˆncias pares ou ´ e ımpares de tg x, cotg x, tgh x oucotgh x Destaca-se tg 2 x, cotg 2 , tgh 2 x ou cotgh 2 x e aplica-se uma das f´rmulas o tg 2 x = sec2 x − 1 cotg 2 x = cosec 2 x − 1 tgh 2 x = 1 − sech 2 x cotgh 2 x = 1 + cosech 2 x
  7. 7. Exemplos Calcule tg 3 x dx cotg 3 x dx tgh 4 x dx cotgh 4 x dx
  8. 8. Potˆncias pares de sec x, cosec x, sech x ou cosech x e Destaca-se sec2 x, cosec 2 x, sech 2 x ou cosech 2 x e ao factor resultante aplica-se uma das f´rmulas o sec2 x = 1 + tg 2 x cosec 2 x = 1 + cotg 2 x sech 2 x = 1 − tgh 2 x cosech 2 x = cotgh 2 x − 1
  9. 9. Exemplos Calcule 1 cosec 4 x dx 2 sech 4 x dx
  10. 10. Potˆncias ´ e ımpares de sec x, cosec x, sech x ou cosech x Destaca-se sec2 x, cosec 2 x, sech 2 x ou cosech 2 x e primitiva-se por partes come¸ando por este factor. c
  11. 11. Exemplos Calcule 1 sec3 x dx 2 cosech 3 x dx

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