Primitivacao de Funcoes Racionais         ¸˜        ¸˜        Maria do Carmo Martins            Dezembro 2006
Defini¸˜o     ca  Chama-se fun¸˜o racional a toda a fun¸˜o do tipo              ca                       ca                ...
Quando a fun¸˜o ´ impr´pria            ca e      o       D(x)   Se        for uma fun¸˜o impr´pria, isto ´, se o grau do n...
Quando a fun¸˜o ´ pr´pria            ca e o              r (x)   Quanto a         , que ´ uma fun¸˜o pr´pria, temos duas  ...
Decomposi¸˜o de Fun¸˜es Racionais Pr´prias         ca        co               o          r (x)   Sendo        uma fun¸˜o r...
Ra´ reais simples  ızes  Consideremos d(x) um polin´mio de grau n com coeficientes reais                                   ...
Ra´ reais simples - continua¸˜o  ızes                      ca   Portanto, tem-se          r (x)       1               r (x...
Ra´ reais m´ltiplas  ızes     u                   r (x)   Consideremos          , onde d(x) = a0 (x − a)α (x − b)β com a e...
Ra´ reais m´ltiplas - continua¸˜o  ızes     u                  ca   onde os coeficientes                  A0 , A1 , · · · ,...
Caso de uma ra´ real m´ltipla              ız      u   Vejamos o caso x = a ser raiz real com grau de multiplicidade α:   ...
Eemplo  Calcule            2x 3 + 5x 2 + 6x + 2                                 dx                 x(x + 1)3
Ra´ reais ou imagin´rias simples ou m´ltiplas  ızes             a                 u         r (x)   Seja        , com     ...
Ra´ reais ou imagin´rias simples ou m´ltiplas -  ızes             a                 ucontinua¸˜o        ca   Para determin...
Exerc´     ıcios propostos   Calcule                   3x 2     1                      dx;             x 4 + 5x 2 + 4     ...
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  1. 1. Primitivacao de Funcoes Racionais ¸˜ ¸˜ Maria do Carmo Martins Dezembro 2006
  2. 2. Defini¸˜o ca Chama-se fun¸˜o racional a toda a fun¸˜o do tipo ca ca D(x) d(x) em que D(x) e d(x) s˜o dois polin´mios, sendo d(x) n˜o a o a identicamente nulo. Uma fun¸˜o deste tipo diz-se pr´pria se o grau do numerador for ca o inferior ao do denominador. Caso contr´rio diz-se impr´pria. a o
  3. 3. Quando a fun¸˜o ´ impr´pria ca e o D(x) Se for uma fun¸˜o impr´pria, isto ´, se o grau do numerador ca o e d(x) for maior ou igual ao do denominador, efectua-se a divis˜o, vindo a D(x) = d(x)Q(x) + r (x). Assim, D(x) r (x) = Q(x) + , d(x) d(x) sendo Q(x) um polin´mio facilmente primitiv´vel. o a
  4. 4. Quando a fun¸˜o ´ pr´pria ca e o r (x) Quanto a , que ´ uma fun¸˜o pr´pria, temos duas e ca o d(x) alternativas: ou podemos primitiv´-la imediatamente, a Exemplo: x3 x dx = x− dx x2 + 1 x2 +1 x = x dx − dx x2 + 1 x2 = − log(x 2 + 1) + c. 2 ou temos que a decompor (situa¸˜o esta que abordaremos em ca pormenor seguidamente).
  5. 5. Decomposi¸˜o de Fun¸˜es Racionais Pr´prias ca co o r (x) Sendo uma fun¸˜o racional pr´pria, esta pode decompor-se ca o d(x) numa soma de “frac¸˜es simples” (sendo a decomposi¸˜o unica), co ca ´ cujos denominadores s˜o divisores de d(x). a Podemos considerar os seguintes casos: 1 d(x) admite apenas ra´ reais simples. ızes 2 d(x) admite ra´ reais m´ltiplas. ızes u 3 d(x) admite ra´ reais e imagin´rias (simples ou m´ltiplas). ızes a u
  6. 6. Ra´ reais simples ızes Consideremos d(x) um polin´mio de grau n com coeficientes reais o e sejam x1 ,x2 ,...,xn , n ra´ reais distintas. Ent˜o, ızes a d(x) = a0 (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ). Assim, r (x) r (x) = . d(x) a0 (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) r (x) A frac¸˜o ca decomp˜e-se em n frac¸˜es (tantas quantas as o co d(x) ra´ ızes) onde os numeradores s˜o constantes a determinar e cujos a denominadores s˜o os factores da decomposi¸˜o. a ca
  7. 7. Ra´ reais simples - continua¸˜o ızes ca Portanto, tem-se r (x) 1 r (x) = d(x) a0 (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn )   1  A 1 A2 An  = + + ··· + .   a0  x − x1 x − x2 x − xn   n frac¸˜es co A determina¸˜o dos coeficientes A1 , A2 , · · · , An poder´ ser feita ca a pelo M´todo dos coeficientes indeterminados ou pela regra do e “tapa”. Exemplo: x 2 − 5x + 6 dx x
  8. 8. Ra´ reais m´ltiplas ızes u r (x) Consideremos , onde d(x) = a0 (x − a)α (x − b)β com a e b d(x) reais. Nesta decomposi¸˜o de d(x) em factores, a e b s˜o ra´ ca a ızes reais do polin´mio, com graus de multiplicidade α e β o respectivamente. Neste caso, a frac¸˜o ir´ decompor-se na seguinte forma ca a  r (x) 1  A 0 A1 Aα−1 = + + ··· + +  d(x) a0  (x − a)  α (x − a)α−1 (x − a) α frac¸˜es co  B0 B1 Bβ−1  + + + ··· +  (x − b)β (x − b)β−1 (x − b)   β frac¸˜es co
  9. 9. Ra´ reais m´ltiplas - continua¸˜o ızes u ca onde os coeficientes A0 , A1 , · · · , Aα−1 , B0 , B1 , · · · , Bβ−1 ir˜o ser determinados pelo M´todo dos coeficientes de Taylor a e (“Tapa” generalizado).
  10. 10. Caso de uma ra´ real m´ltipla ız u Vejamos o caso x = a ser raiz real com grau de multiplicidade α: r (x) A0 = d1 (x) x=a 1 r (x) A1 = 1! d1 (x) x=a 1 r (x) A2 = 2! d1 (x) x=a 1 r (x) A3 = 3! d1 (x) x=a . . . onde d1 (x) ´ a express˜o que se obt´m ao suprimir a d(x) a e a e express˜o (factor) (x − a)α . a
  11. 11. Eemplo Calcule 2x 3 + 5x 2 + 6x + 2 dx x(x + 1)3
  12. 12. Ra´ reais ou imagin´rias simples ou m´ltiplas ızes a u r (x) Seja , com d(x) d(x) = a0 (x − a)α (x − b)β (x 2 + px + q)γ (x 2 + sx + t)δ onde α + β + 2γ + 2δ = n ´ o grau do polin´mio d(x). Ent˜o a frac¸˜o e o a ca ir´ decompˆr-se em: a o r (x) 1 A0 A1 Aα−1 = + + ··· + + d(x) a0 (x − a)α (x − a)α−1 (x − a) B0 Bβ−1 + β + ··· + + (x − b) (x − b) P0 x + Q0 Pγ−1 x + Qγ−1 + 2 γ + ··· + 2 + (x + px + q) x + px + q S0 x + T0 Sδ−1 x + Tδ−1 + 2 δ + ··· + 2 (x + sx + t) x + sx + t
  13. 13. Ra´ reais ou imagin´rias simples ou m´ltiplas - ızes a ucontinua¸˜o ca Para determinar os coeficientes para as ra´ imagin´rias, ızes a recorremos ao M´todo dos coeficientes Indeterminados. e Exemplo: 1 dx x3 + x
  14. 14. Exerc´ ıcios propostos Calcule 3x 2 1 dx; x 4 + 5x 2 + 4 x2 − x 2 dx; x 4 + 3x 2 + 2 x 3 dx; (x − 1)(x + 1)2 2x 2 + 4x + 1 4 dx; x 3 + 2x 2 + x x − 2x 2 − 9 5 dx; 2x 3 + 3x 8x 2 + x + 1 6 dx. x3 − x

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