Aulas primiti

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Aulas primiti

  1. 1. Primitivacao ¸˜Maria do Carmo Martins Novembro de 2006
  2. 2. Primitiva Seja I um intervalo de R e f : I → R n˜o degenerado (isto ´, com a e mais de um ponto). Diz-se que F ´ uma primitiva de f em I se e F : I → R ´ tal que e F (x) = f (x), ∀x ∈ I . Nestas condi¸˜es, diz-se que f ´ primitiv´vel. co e a
  3. 3. Exemplo x3 A fun¸˜o F (x) = ca 3 ´ uma primitiva de f (x) = x 2 em R, pois para e cada x ∈ R, 3x 2 F (x) = = x 2. 3 Notemos que esta n˜o ´ a unica primitiva de f em R. a e ´ x3 Efectivamente, sendo c uma constante a fun¸˜o F (x) + c = ca 3 +c ´ tamb´m ma primitiva de f , pois e e [F (x) + c] = F (x) + 0 = f (x), ∀x ∈ R.
  4. 4. Observa¸˜o ca Seja I um intervalo de R, f : I → R e c ∈ R. Se F ´ uma primitiva e de f em I , ent˜o F + c ´ tamb´m uma primitiva de f em I . a e e Conclui-se deste modo que, se f admite uma primitiva em I , ent˜o a admite uma infinidade de primitivas em I . O problema da Primitiva¸˜o ´ assim um problema indeterminado. ca e
  5. 5. Observa¸˜o ca Se F1 e F2 s˜o suas primitivas de f em I , ent˜o a a [F1 − F2 ] = F1 − F2 = f − f = 0. Assim, F1 − F2 ´ uma fun¸˜o constante em I . Portanto, sendo F e ca uma primitiva de f em I , ent˜o todas as primitivas de f em I s˜o a a da forma F + c, com c ∈ R. Diz-se que, F (x) + c ´ a express˜o geral das primitivas de f nesse intervalo, sendo c e a uma constante.
  6. 6. Observa¸˜o ca Notemos que nem toda a fun¸˜o ´ primitiv´vel. Por exemplo, a ca e a fun¸˜o de Heaviside h : R → R definida por ca 0, se x <0 h(x) = 1, se x ≥0 n˜o ´ primitiv´vel em R, uma vez que se o fosse, qualquer a e a primitiva H restringida ao intervalo ] − ∞, 0[ seria da forma x + c, com c ∈ R. Por outro lado, tamb´m a restri¸˜o de H ao intervalo e ca ]0, +∞[ seria da forma k, com k ∈ R. Portanto,
  7. 7. Observa¸˜o - continua¸˜o ca ca k, se x <0 H(x) = . x + c, se x ≥0 Como facilmente se verifica, a fun¸˜o H n˜o tem derivada em ca a x = 0 independentemente do valor dado a H(0). Assim, H n˜o ´ a e uma primitiva de h em R, pelo que h n˜o ´ primitiv´vel. a e a
  8. 8. Nota¸˜o ca sendo f uma fun¸˜o primitiv´vel (num dado intervalo que muitas ca a vezes n˜o ser´ necess´rio especificar) usaremos o s´ a a a ımbolo f ou f (x) dx, para designar o conjunto de todas as primitivas de f (no intervalo considerado). Assim, pelo que j´ foi dito a f (x) dx = F (x) + c, com c ∈ R.
  9. 9. Primitiva¸˜o Imediata ca Como j´ foi referido, a opera¸˜o de primitiva¸˜o ´ inversa da de a ca ca e deriva¸˜o. Isto significa que, as regras de primitiva¸˜o s˜o obtidas ca ca a invertendo-se as de deriva¸˜o. As primitivas que s˜o determinadas ca a aplicando simplesmente essas regras s˜o denominadas por a primitivas imediatas. Vejamos alguns exemplos:
  10. 10. Fun¸˜o Constante ca k dx = kx + c, com k constante, para todo o x ∈ R. Exemplo: 1 2 dx = 2x + c; √ √ 2 − 5 dx = − 5x + c.
  11. 11. Potˆncia e x m+1 x m dx = m+1 + c, com m ∈ R {−1}, para todo o x ∈ R+ . Generaliza¸˜o: ca f m+1 (x) f m (x) f (x) dx = + c, m+1 para m ∈ R {−1}, em qualquer intervalo de R onde f ´ e diferenci´vel e f (x) > 0. a
  12. 12. Exemplo x6 1 x 5 dx = 6 + c; (x 2 +5)4 2 (x 2 + 5)3 2x dx = 4 + c.
  13. 13. Logar´ ıtmo 1 x dx = log |x| + c, em qualquer intervalo de R que n˜o contenha a o ponto x = 0. Generaliza¸˜o: ca f (x) dx = log |f (x)| + c, f (x) em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e f (x) = 0. e a
  14. 14. Exemplo 1 (5 + x)−1 dx = log |5 + x| + c; e x+6 2 1+e x dx = e 6 log(1 + e x ) + c; 1 3 x log x dx = log | log x| + c.
  15. 15. Exponencial de base e e x dx = e x + c, para todo o x ∈ R. Generaliza¸˜o: ca e f (x) f (x) dx = e f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel. e a
  16. 16. Exemplo 1 1 e 4x dx = 4 e 4x + c; x x 2 e 3 dx = 3e 3 + c.
  17. 17. Exponencial ax ax dx = + c, log a com a ∈ R+ {1}, para todo o x ∈ R. Generaliza¸˜o: ca af (x) af (x) f (x) dx = + c, log a com a ∈ R+ {1}, em qualquer intervalo de R onde f ´ e diferenci´vel. a
  18. 18. Exemplo 5x 1 5x dx = log 5 + c; 3x 2 −23x dx = − 3 2 2 + c. log
  19. 19. Fun¸˜o Cosseno ca cos x dx = sen x + c, para todo o x ∈ R. Generaliza¸˜o: ca f (x) cos f (x) dx = sen f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel. e a
  20. 20. Exemplo 1 x 2 cos x 3 dx = 1 sen x 3 + c; 3 1 2 2x cos 2x dx = log 2 sen 2 x + c.
  21. 21. Fun¸˜o Seno ca sen x dx = − cos x + c, para todo o x ∈ R. Generaliza¸˜o: ca f (x) sen f (x) dx = − cos f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel. e a
  22. 22. Exemplo sen ( arctgx) 1 1+x 2 dx = − cos(arctg x) + c; √ √ sen ( x 3 +3x) 2 2 √ x 3 +3x dx = − 3 cos( x 3 + 3x) + c.
  23. 23. Secante ao quadrado sec2 x dx = tg x + c, π em qualquer intervalo de R que n˜o contenha pontos a 2 + kπ com k ∈ Z. Generaliza¸˜o: ca f (x) sec2 f (x) dx = tg f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e cos f (x) = 0. e a
  24. 24. Exemplo 2x+1 1 cos2 (x 2 +x) dx = tg (x 2 + x) + c; 1 2 e 3x sec2 (e 3x ) dx = 3 tg (e 3x ) + c.
  25. 25. Cossecante ao quadrado cosec 2 x dx = −cotg x + c, em qualquer intervalo de R que n˜o contenha nenhum dos pontos a kπ com k ∈ Z. Generaliza¸˜o: ca f (x)cosec 2 f (x) dx = −cotg f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e sen f (x) = 0. e a
  26. 26. Exemplo 1 1 sen 2 (8x) dx = − 1 cotg (8x) + c; 8 √ √ cosec 2 ( x) 2 √ x dx = −2cotg ( x) + c.
  27. 27. Secante tangente sec x tg x dx = sec x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) sec f (x) tg f (x) dx = sec f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e cos f (x) = 0. e a
  28. 28. Exemplo 1 1 sec(4x)tg (4x) dx = 4 sec(4x) + c; √ √ sen ( x) 2 √ √ x cos2 ( x) dx = 2 sec( x) + c.
  29. 29. Cossecante cotangente cosec x cotg x dx = −cosec x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) cosec f (x) cotg f (x) dx = −cosec f (x) + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e sen f (x) = 0. e a
  30. 30. Exemplo 1 1 x cosec (x 2 ) cotg (x 2 ) dx = − 2 cosec (x 2 ) + c; √ √ √ cosec ( x) cotg ( x) 2 √ x dx = −2cosec ( x) + c.
  31. 31. Cotangente cos x sen x dx = cotg x dx = log |sen x| + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) cotg f (x) dx = log |sen f (x)| + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e sen f (x) = 0. e a
  32. 32. Exemplo dx 1 tg x = 5 log |sen x| + c; 5 x 3 sen (x 4 ) 1 2 cos x 4 dx = 4 log |sen (x 4 )| + c.
  33. 33. Tangente sen x cos x dx = tg x dx = − log | cos x| + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) tg f (x) dx = log | cos f (x)| + c, em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e cos f (x) = 0. e a
  34. 34. Exemplo √ √ tg ( x) 1 √ x dx = −2 log | cos( x)| + c; 1 2 xtg (x 2 + 1) dx = − 2 log | cos(x 2 + 1)| + c.
  35. 35. Secante sec x dx = log | sec x + tg x| + c π x = log tg + + c, 4 2 em qualquer intervalo de R que n˜o contenha nenhum dos pontos a π 2 + kπ com k ∈ Z. Generaliza¸˜o: ca f (x) sec f (x) dx = log | sec f (x) + tg f (x)| + c π f (x) = log tg + + c, 4 2 em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e cos f (x) = 0. e a
  36. 36. Cossecante cosec x dx = log |cosec x − cotg x| + c x = log tg + c, 2 em qualquer intervalo de R que n˜o contenha nenhum dos pontos a kπ com k ∈ Z. Generaliza¸˜o: ca f (x)cosec f (x) dx = log |cosec f (x) − cotg f (x)| + c f (x) = log tg + c, 2 em qualquer intervalo de R onde f ´ diferenci´vel e sen f (x) = 0. e a
  37. 37. Cosseno hiperb´lico o cosh x dx = senh x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) cosh f (x) dx = senh f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel. e a
  38. 38. Exemplos cosh 1 1 x4 x3 dx = − 1 senh x13 + c; 3 1 2 2x cosh 2x dx = log 2 senh 2 x + c.
  39. 39. Seno hiperb´lico o senh x dx = cosh x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x)senh f (x) dx = cosh f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel. e a
  40. 40. Exemplos 2 √ 1 1 √ cosech 3 x x − 3 dx = 3 cosh 3 x + c; log x senh (log2 x) 2 x dx = 1 2 cosh(log2 x) + c
  41. 41. Secante hiperb´lica o sech 2 x dx = tgh x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) sech 2 f (x) dx = tgh f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel. e a
  42. 42. Exemplos 1 √ √ 1 √ x cosh2 x dx = 2tgh x + c; 2 x sech 2 (x 2 ) dx = 1 tgh (x 2 ) + c 2
  43. 43. Cossecante hiperb´lica o cosech 2 x dx = −cotgh x + c, para todo o x ∈ R {0}. Generaliza¸˜o: ca f (x) cosech 2 f (x) dx = −cotgh f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel e senh f (x) = 0. e a
  44. 44. Exemplos 1 1 cosech 2 (2x) dx = − 2 cotgh (x 2 ) + c; 1 √ √ 2 √ xsenh 2 x dx = −2cotgh x + c;
  45. 45. Secante tangente sech x tgh x dx = −sech x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) sech f (x) tgh f (x) dx = −sech f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel. e a
  46. 46. Exemplos 1 − senh 2 x+1 dx = sech (x + 1) + c; cosh (x+1) 1 2 5x sech (5x ) tgh (5x ) dx = − log 2 sech (5x ) + c.
  47. 47. Cosecante cotangente cosech x cotgh x dx = −cosech x + c, para todo o x ∈ R {0}. Generaliza¸˜o: ca f (x) cosech f (x) cotgh f (x) dx = −cosech f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel e senh f (x) = 0 e a
  48. 48. Exemplos 1 1 −cotgh (sen 2x)cosech (sen 2x) dx = − 2 cosech (sen 2x) + c; cosh 6x 2 senh 2 6x dx = − 1 cosech 6x + c. 6
  49. 49. cotangente hiperbolica cosh x dx = senh x cotgh x dx = log |senh x| + c, para todo o x ∈ R {0}. Generaliza¸˜o: ca f (x) cotgh f (x) dx = log |senh f (x)| + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel e senh f (x) = 0. e a
  50. 50. Exemplos dx 1 tgh x = 5 log |senh x| + c; 5 x 3 senh (x 4 ) 1 2 cosh x 4 dx = 4 log |senh (x 4 )| + c.
  51. 51. Tangente hiperb´lica o senh x cosh x dx = tgh x dx = log | cosh x| + c. Generaliza¸˜o: ca f (x) tgh f (x) dx = log | cosh f (x)| + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel. e a
  52. 52. Exemplos √ √ tgh ( x) 1 √ x dx = 2 log | cosh( x)| + c; 1 2 xtgh (x 2 + 1) dx = 2 log | cosh(x 2 + 1)| + c.
  53. 53. secante hiperb´lica o sech x dx = arctg (senh x) + c = 2arctg e x + c. Generaliza¸˜o: ca f (x)sech f (x) dx = arctg f (x) + c = 2arctg e f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel e a
  54. 54. Cossecante hiperb´lica o x cosech x dx = log tgh +c 2 = −2arccotgh e x + c = log(cosech x − cotgh x) + c Generaliza¸˜o: ca f (x) f (x) cosech x dx = log tgh +c 2 = −2arccotgh e f (x) + c = log (cosech f (x) − cotgh f (x)) + c, em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel e senh f (x) = 0. e a
  55. 55. √ 1 dx = arcsen x + c, para todo o x ∈] − 1, 1[. 1−x 2Generaliza¸˜o: ca √f (x) dx = arcsen f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ e 1−f 2 (x)diferenci´vel e |f (x)| < 1. a
  56. 56. Exemplos x 1 √ e x dx = 1 arcsen (2e x ) + c. 1−4e 2 √ 3x 3 5x 2 2 16−25x 4 dx = 10 arcsen ( 4 ) + c;
  57. 57. √ 1 dx = − arccos x + c, para todo o x ∈] − 1, 1[. 1−x 2Generaliza¸˜o: ca √f (x) dx = − arccos f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ e 1−f 2 (x)diferenci´vel e |f (x)| < 1. a
  58. 58. 1 1+x 2 dx = arctg x + c.Generaliza¸˜o: ca f (x) 1+f 2 (x) dx = arctg f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ ediferenci´vel. a
  59. 59. Exemplo 5x 2 9+x 4 dx = 6 arctg x3 + c. 5
  60. 60. 1 1+x 2 dx = −arccotg x + c.Generaliza¸˜o: ca f (x) 1+f 2 (x) dx = −arccotg f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ ediferenci´vel. a
  61. 61. √ 1 dx = arcsenh x + c, para todo o x ∈ R. 1+x 2Generaliza¸˜o: ca √f (x) dx = arcsenh f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ e 1+f 2 (x)diferenci´vel. a
  62. 62. Exemplos x 1 √ e x dx = 1 arcsenh (2e x ) + c. 1+4e 2 √ 3x 3 5x 2 2 16+25x 4 dx = 10 arcsenh ( 4 ) + c;
  63. 63. √ 1 dx = arccosh x + c, para todo o x ≥ 1. x 2 −1Generaliza¸˜o: ca √ f 2 (x) dx = arccosh f (x) + c, em qualquer intervalo onde f ´ e f (x)−1diferenci´vel. a
  64. 64. Exemplos x 1 √ ex dx = 1 arccosh (2e x ) + c. 4e −1 2 √ 3x 3 5x 2 2 25x 4 −16 dx = 10 arccosh ( 4 ) + c;
  65. 65. 1 dx = arctgh x + c 1 − x2 = arccotgh x + cGeneraliza¸˜o: ca f (x) dx = arctgh f (x) + c 1 − f 2 (x) = arccotgh f (x) + c,em qualquer intervalo onde f ´ diferenci´vel. e a
  66. 66. Exemplo 5x 5 x2 dx = arctgh +c 9 − x4 6 3 5 x2 = arccotgh + c. 6 3
  67. 67. Observa¸˜o ca Seja m ∈ N. Se f1 , f2 , . . . , fm s˜o m fun¸˜es primitiv´veis num a co a intervalo I , ent˜o qualquer combina¸˜o linear k1 f1 + · · · + km fm , a ca (com k1 , . . . , km ∈ R), tamb´m ´ primitiv´vel em I , tendo-se e e a (k1 f1 + · · · + km fm ) dx = k1 f1 dx + · · · + km fm dx.
  68. 68. Exemplo x2 x x2 x 3 +√ dx = 3 dx + √ dx 1+x 4 + x2 1+x 4 + x2 1 3x 2 1 = dx + x(4 + x 2 )− 2 dx 3 1 + x3 1 1 1 = log |1 + x 3 | + 2x(4 + x 2 )− 2 dx 3 2 1 1 (4 + x 2 )− 2 +1 = log |1 + x 3 | + +c 3 −1 + 1 2 1 = log |1 + x 3 | + 4 + x 2 + c 3

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