Aulas ppp

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Aulas ppp

  1. 1. Primitivacao Por Partes ¸˜ Maria do Carmo Martins Dezembro 2006
  2. 2. Introdu¸˜o ca Este m´todo geral ´ consequˆncia imediata da regra de deriva¸˜o e e e ca do produto. Sendo f e g duas fun¸˜es diferenci´veis no intervalo I , co a sabemos que (fg ) = f g + fg . Sendo o primeiro membro integr´vel em I , se algum dos produtos a do segundo membro for primitiv´vel o outro tamb´m ser´. a e a
  3. 3. Teorema Sejam f e g s˜o fun¸˜es diferenci´veis no intervalo I . Ent˜o o a co a a produto f g ´ primitiv´vel em I se, e s´ se, fg o for, tendo-se e a o f (x)g (x) dx = f (x)g (x) − f (x)g (x) dx.
  4. 4. Observa¸˜o ca Na pr´tica procura-se decompor a fun¸˜o a primitivar num produto a ca de dois factores,em que um dos quais, pelo menos, ´ necess´rio e a saber primitivar (esse factor corresponde ` fun¸˜o f ). Este a ca m´todo resulta se soubermos tamb´m primitivar o produto fg . e e
  5. 5. Exemplo 1 x2 1 x2 x log x dx = log x − dx 2 x 2 f =x g = log x x2 1 = log x − x dx 2 2 x2 x2 = log x − +c 2 4
  6. 6. Exemplo 2 xe x dx = xe x − e x dx f = ex g =x = xe x − e x + c = e x (x − 1) + c
  7. 7. Exemplo 3 log x dx = 1 × log x dx f =1 g = log x 1 = x log x − x dx x = x log x − dx = x log x − x + c.
  8. 8. Exemplo 4 arctg x dx = arctg x dx f =1 g = arctg x x = xarctg x − dx 1 + x2 1 2x = xarctg x − dx 2 1 + x2 1 = xarctg x − log(1 + x 2 ) + c 2 = xarctg x − log 1 + x 2 + c
  9. 9. Exemplo 5 x 3e x dx = x 3 e x − 3x 2 e x dx f = ex g = x3 = x 3e x − 3 x 2 e x dx PPP = x 3e x − 3 x 2e x − 2 xe x dx = x 3 e x − 3x 2 e x + 6 xe x dx PPP = x 3 e x − 3x 2 e x + 6 xe x − e x dx = x 3 e x − 3x 2 e x + 6xe x − 6e x + c.
  10. 10. Exemplo 6 e x cos x dx = e x sen x − e x sen x dx f = cos x f = sen x g = ex g = ex = e x sen x − −e x cos x − −e x cos x dx = e x sen x + e x cos x − e x cos x dx.
  11. 11. Continua¸˜o do Exemplo 6 ca Assim, tem-se e x cos x dx = e x (sen x + cos x) − e x cos x dx ⇔ ⇔2 e x cos x dx = e x (sen x + cos x) + c1 ⇔ ex ⇔ e x cos x dx = (sen x + cos x) + c. 2
  12. 12. Exemplo 7 sen 2 x dx = sen x sen x dx f = sen x g = sen x = −sen x cos x − − cos x cos x dx = −sen x cos x − − cos2 x dx = −sen x cos x − (1 − sen 2 x) dx = −sen x cos x − x − sen 2 x dx.
  13. 13. continua¸˜o do exemplo 7 ca Tem-se ent˜o a sen 2 x dx = −sen x cos x − x − sen 2 x dx ⇔ ⇔2 sen 2 x dx = −sen x cos x − x + c1 ⇔ 1 ⇔ sen 2 x dx = − sen x cos x − x + c. 2
  14. 14. Exemplo 8 Seja n ∈ N, com n ≥ 2. cosn x dx = cosn−1 x cos x dx f = cos x g = cosn−1 x = cosn−1 x sen x − (n − 1) cosn−2 x(−sen x)sen x dx = cosn−1 x sen x + (n − 1) cosn−2 x sen 2 x dx = cosn−1 x sen x + (n − 1) cosn−2 x (1 − cos2 x dx = cosn−1 x sen x + (n − 1) cosn−2 x dx− − (n − 1) cosn x dx.
  15. 15. continua¸˜o do exemplo 8 ca Assim, cosn x dx = cosn−1 x sen x + (n − 1) cosn−2 x dx− − (n − 1) cosn x dx n cosn x dx = cosn−1 x sen x + (n − 1) cosn−2 x dx 1 1 cosn x dx = cosn−1 x sen x + 1 − cosn−2 x dx n n
  16. 16. Exerc´ ıcios Calcule x arcsen x 1 √ dx; 1 − x2 x 2 x sen 2 dx; 2 3 sen x cos(3x) dx; 4 (1 − x)e 1+2x dx; 5 e −x sen (3x) dx;

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