www.cursoraizes.com.brUNIVERSIDADE TIRADENTES – UNIT                          EDEN CARLOS MOTA DA SILVA                   ...
www.cursoraizes.com.brINTRODUÇÃO       Os conceitos de espaço e de localização (locus) derivam da prática social de produç...
www.cursoraizes.com.br       Antes de apresentarmos a definição formal de espaço métrico, apresentaremosinformalmente este...
www.cursoraizes.com.br                               OBJETIVOS:OBJETIVOS GERAISI - Propiciar ao aluno condições de:   •   ...
www.cursoraizes.com.brDefinição: MétricaSeja M um conjunto. Uma métrica em M é uma função d: M x M → ℜ tal que para quaisq...
www.cursoraizes.com.br        1. || v || ≥ 0 e || v || = 0 ⇔ v = 0        2. || λ .v || = | λ | . || v ||        3. || u +...
www.cursoraizes.com.brEsta métrica será chamada "métrica usual em ℜ                 n                                     ...
www.cursoraizes.com.brUma métrica ou distância em E é uma funçãod: ExE → R tal que1) Quaisquer que sejam x e y de E      d...
www.cursoraizes.com.brcomunicam indirectamente, através de terceiros, a distância de comunicação é dada pelomínimo de pass...
www.cursoraizes.com.brO conjunto E é um conjunto aberto. Por convenção o conjunto Ø também é aberto.Tente provar os seguin...
www.cursoraizes.com.brTeorema 5 A união de conjuntos fechados em número finito é um conjunto fechado.Aintersecção de qualq...
www.cursoraizes.com.brSeja a um ponto de acumulação de A.Então b é o limite de f no ponto a e escreve-se b = x→a lim f(x) ...
www.cursoraizes.com.brAs consequências do teorema 9 são muito importantes. Significam, por exemplo, que, paraum espaço Rn,...
www.cursoraizes.com.brBIBLIOGRAFIA:Lima, Elon Lages: Espaços Métricos. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, Rio ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Artigo francisco - espaço metrico

1.896 visualizações

Publicada em

0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.896
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
23
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Artigo francisco - espaço metrico

  1. 1. www.cursoraizes.com.brUNIVERSIDADE TIRADENTES – UNIT EDEN CARLOS MOTA DA SILVA JOSÉ FRANCISCO SANTOS MÔNICA SANTOS ALVES E SILVA ESPAÇO MÉTRICO Trabalho apresentado a disciplina TCC, ministrada pela Professora KATIA MARIA LIMEIRA apresentando a Universidade Tiradentes - UNIT, como um dos pré- requisitos para obtenção do grau de Licenciatura no Curso de Matemática. PROFESSOR ESPECIALISTA: ANDRÉ LUIZ NOGUEIRA ARACAJU – SE MAIO 2009 www.cursoraizes.com.br
  2. 2. www.cursoraizes.com.brINTRODUÇÃO Os conceitos de espaço e de localização (locus) derivam da prática social de produçãoe reprodução no contexto da divisão social do trabalho. Toda sociedade precisa de umterritório para viver; com a divisão social do trabalho esse território é estruturado como umespaço. Atividades, isto é, processos de produção e reprodução, requerem espaços(localizações), e entre essas localizações se estabelece uma interconexão de acordo com ainteração entre as atividades. Tal interconexão é o próprio estofo, matéria constituinte doespaço e define como ele está estruturado. A mais simples – a mais abstrata – representação do espaço é o espaço matemático.Em matemática o espaço é definido pelo modo segundo o qual as distâncias entre pontos sãomedidas: uma métrica. Em outros termos, espaço é formado por pontos – localizaçõesadimensionais – relacionados entre si de uma maneira específica, descrita pela métrica que odefine. Localização e espaço são definidas simultaneamente, a matéria constitutiva do espaçosendo o conjunto de relações entre as localizações nele contidas, e a especificidade do espaçoconsistindo na maneira específica pela qual as localizações são relacionadas entre si. No mundo concreto em que as sociedades vivem, tanto as localizações como asrelações entre as mesmas – que constituem o espaço econômico – precisam se materializar, epara tanto, precisam ser produzidas. As localizações, os ‘pontos’, se transformam emextensões finitas, delimitadas, de território, cuja expressão elementar é a forma jurídica depropriedade (ou, anteriormente, direito feudal) – uma porção de terra, uma área construída(fábrica, habitação, escritório etc.) – materializada em uma estrutura assentada (sobre, abaixoou acima) na superfície terrestre. Do mesmo modo, as relações que constituem o espaçoeconômico são caminhos, estradas, fios, cabos, tubulações, antenas, satélites etc, pelos quaisobjetos materiais e pessoas podem ser transportados de localização a localização. Sãoestruturas físicas – em seu conjunto uma infraestrutura – e devem ser construídas paraexistirem. Somente assim a distância entre duas localizações (em comprimento, em tempo, emcusto monetário), a estrutura do espaço e em última análise, o próprio espaço, se materializa.O espaço econômico é um produto do trabalho. www.cursoraizes.com.br
  3. 3. www.cursoraizes.com.br Antes de apresentarmos a definição formal de espaço métrico, apresentaremosinformalmente este conceito. Ara tanto, observemos que a própria palavra métrico nos sugeremedida. Assim, será fácil lembrarmos sempre que um espaço métrico é um conjunto no qualnós temos uma maneira de medir a distância entre seus pontos. Um dos exemplos mais instrutivos (que usaremos para motivar a definição de métrica)é certamente o plano R², onde a distância entre dois pontos é o comprimento do segmento dereta que os une. Observemos que esta distância satisfaz as seguintes propriedades; • A distância entre dois pontos nunca é negativa e só é zero a distância de um ponto a ele mesmo; • A distância é simétrica, isto é, a distância de p até q é igual a distância de q até p.; • A distância satisfaz a chamada desigualdade triangular que conhecemos da geometria plana e diz que o comprimento de qualquer lado de um triângulo é menor ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois. Qualquer função que satisfizer estas três propriedades servirá para "medir" a distânciaentre pontos de um conjunto. Tais funções serão chamadas métricas. Este conceito se tornapreciso através da seguinte definição. www.cursoraizes.com.br
  4. 4. www.cursoraizes.com.br OBJETIVOS:OBJETIVOS GERAISI - Propiciar ao aluno condições de: • Desenvolver sua capacidade de dedução. • Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado. • Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações matemáticas. • Desenvolver seu espírito crítico e criativo. • Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas de Matemática apresentadas ao longo do curso. • Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.III - Propiciar ao aluno condições de desenvolver sua capacidade de identificar e resolverproblemas novos em Matemática.OBJETIVOS ESPECÍFICOSPropiciar ao aluno condições de: • Dominar com rigor e detalhe os conceitos básicos de espaços métricos e os teoremas clássicos da Análise Matemática; • Desenvolver sua capacidade de aplicar as técnicas e resultados fundamentais da Análise à resolução de problemas. www.cursoraizes.com.br
  5. 5. www.cursoraizes.com.brDefinição: MétricaSeja M um conjunto. Uma métrica em M é uma função d: M x M → ℜ tal que para quaisquerx, y, z ∈ M tenhamos : 1. d (x , y) ≥ 0 e d (x , y) = 0 se e só se x = y ; 2. d (x , y) = d (y , x) ; 3. d (x , z) ≤ d (x , y) + d (y , z) .Agora podemos definir espaço métrico.Definição: Espaço MétricoO par (M, d), onde M é o conjunto e d uma métrica em M será chamado espaço métricoQuando a métrica d for facilmente subentendida podemos escrever apenas M para indicar oespaço métrico (M, d).Exemplos : • Consideremos o conjunto dos números reais ℜ e d (x , y) = | x – y | . Mostre que d é uma métrica em ℜ . • Seja M um conjunto qualquer. Consideremos d : M x M → ℜ definida porVerifique que d é de fato uma métrica. • Em ℜ ² consideremos : d1 ((x1 , x2) , (y1 , y2)) = | x1 – y1 | + | x2 – y2 | e d2 ((x1 , x2) , (y1 , y2)) = max {| x1 – y1 | , | x2 – y2 | }Verifique que d1 e d2, são realmente métricas me ℜ ².Espaços Métricos e Espaços VetoriaisPara podermos obter espaços métricos de maneira simples, a partir de espaços vetoriais,definiremos norma e produto interno num espaço vetorial. Uma norma num espaço vetorial éuma função | | . | | : V → ℜ tal que para quaisquer u, v ∈ V e λ escalar se tenha : www.cursoraizes.com.br
  6. 6. www.cursoraizes.com.br 1. || v || ≥ 0 e || v || = 0 ⇔ v = 0 2. || λ .v || = | λ | . || v || 3. || u + v || ≤ || u || + || v ||onde | λ | é o valor absoluto do escalar λ .Um espaço vetorial munido de uma norma é chamado espaço vetorial normado.Um produto interno num espaço vetorial real V é uma função < . > : V x V → ℜ tal que paraquaisquer u, v, w ∈ V e λ escalar se tenha : 1. < v , v > ≥ 0 e < v , v > = 0 ⇔ v = 0 2. < u , v > = < v , u > 3. < λ .u , v > = λ . < u , v > 4. < u + v , w > = < u , w > + < v , w >Exemplos:Dado um espaço vetorial normado V, obtemos imediatamente uma métrica em V definido d :V x V → ℜ por d (u , v) = || u – v ||. Verificar que d é uma métrica usando os axiomas dadefinição de norma.Assim como a partir de uma norma se obtém uma métrica, a partir de um produto interno seobtém uma norma. Para tanto colocamos: || v || =Verifique (usando as propriedades de produto interno) que são satisfeitos os axiomas dedefinição de norma, para verificar a terceira, ou seja, || u + v || ≤ || u || + || v || , você precisarádo lema abaixo.Lema 1 – Desigualdade de Cauchy- SchwarzSeja v um espaço vetorial com produto interno. Então || < u , v > || ≤ || u || . || v || , paraquaisquer u , v ∈ V.Consideremos o espaço vetorial ℜ n , se x = ( x1 , x2 , ... , xn ) e y = ( y1 , y2 , ... , yn ) sãopontos do ℜ n , definimos < x , y .> = x1.y1 + x2.y2 + ... + xn . yn . As propriedades de produtointerno são claramente verificadas. Portanto, pelo exposto anteriormente || x || = é uma norma em ℜ n e d (x , y) = || x – y || = é uma métrica em ℜ n . www.cursoraizes.com.br
  7. 7. www.cursoraizes.com.brEsta métrica será chamada "métrica usual em ℜ n " ou "métrica Euclidiana". Sempre queconsiderarmos o ℜ n sem explicitar a métrica que estamos considerando, será esta a métricasubentendida.Definição – As bolas nos espaços métricosSejam M um espaço métrico , a ∈ M e r > 0. 1. Chamaremos de bola aberta de centro a e raio r ao conjunto B (a ; r) = { x ∈ M / d (a , x ) < r }. 2. Chamaremos de bola fechada de centro a e raio r ao conjunto B [a ; r] = { x ∈ M / d (a , x ) ≤ r }. 3. Chamaremos de esfera de centro a e raio r ao conjunto S (a ; r) = { x ∈ M / d (a , x ) = r }.As denominações bola e esfera certamente são devidas ao ℜ ³, com a métrica usual, que é oespaço em que vivemos. Neste espaço métrico as bolas esferas possuem realmente as formasque em nossa linguagem cotidiana são designadas por bolas e esferas. Isto porém não severifica sempre nem mesmo em ℜ ³ se nele tomarmos outra métrica.Exemplos:Consideremos o plano ℜ ² e as métricas d (x , y) = , d1 (x , y ) = | x1 – y1 | + | x2 – y2 | e d2 (x , y) = max {| x1 – y1 | , | x2 – y2 | }, onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ).As bolas B [0 , 1] relativamente às métricas d , d1 e d2 possuem respectivamente as formas dasfiguras abaixo.As esferas S (0 , 1) relativamente às métricas d , d1 e d2 são os contornos das respectivasbolas.1. Distância. Espaço métricoSeja E um conjunto www.cursoraizes.com.br
  8. 8. www.cursoraizes.com.brUma métrica ou distância em E é uma funçãod: ExE → R tal que1) Quaisquer que sejam x e y de E d(x,y)≥02) d(x,y) = 0 se e só se x = y3) Quaisquer que sejam x e y de E d(x,y) = d(y,x)4) Quaisquer que sejam x, y, z de Ed(x,y)≤ d(x,z) + d(z,y)O conjunto E, depois de definida uma distância, passa a designar-se por espaço métricoExemplos;a) Num espaço Rnd(x,y) = [∑i=1n (xi-yi)2]1/2é uma distância, que se chama distância euclideanab) Seja C o conjunto de funções reais de variável real, limitadas e definidas num certoconjunto B e f e g duas funções de CEntãod(f,g) = sup B| f(x) - g(x) |é uma distânciac) Num espaço vectorial normadod(x,y) ≡ ||x-y||é um distânciad) Seja um rede de indivíduos que comunicam entre si. Para cada par de indivíduosatribuímos um número natural que designamos por distância de comunicação, assim definido:se dois indivíduos comunicam directamente a distância de comunicação entre eles é 1. Se www.cursoraizes.com.br
  9. 9. www.cursoraizes.com.brcomunicam indirectamente, através de terceiros, a distância de comunicação é dada pelomínimo de passos de comunicação que têm de ter para chegar ao outro. A distância decomunicação é uma distância no sentido acima exposto desde que se convencione que o valoré 0 para a comunicação de um indivíduo consigo próprio. Uma rede torna-se assim um espaçométrico.2. Diâmetro. Conjuntos limitados. Esferas abertasO Diâmetro de um conjunto A subconjunto de E é definido comoD(A) = sup{d(x,y)} para todos os x e y de A.Quando o diâmetro é finito o conjunto diz-se limitadoSeja E um espaço métricoSeja a um elemento de E e seja um número real r >0DefinimosEsfera aberta de centro a e raio r como sendo o conjuntoN(a,r) = {x de E | d(x,a) < r}3. Conjuntos abertos e fechadosSeja A um conjunto subconjunto de E.Diz-se que o elemento x de A é um ponto interior de A se e só se existe um número real r >0 tal queN(x,a) está contida em AAo conjunto de todos os pontos interiores de A, chamamos o Interior de A e designamos porInt(A).Claro que o Int(A) é subconjunto de A. Mas por vezes temos casos em queInt(A) = A. Diz-se então que o conjunto A é aberto, ou seja, é constituído apenas por pontosinteriores, www.cursoraizes.com.br
  10. 10. www.cursoraizes.com.brO conjunto E é um conjunto aberto. Por convenção o conjunto Ø também é aberto.Tente provar os seguintes teoremasTeorema 1. Toda a esfera aberta é um conjunto abertoTeorema 2 A união de uma família qualquer (finita ou infinita, numerável ou não) deconjuntos abertos é um conjunto abertoTeorema 3 A intersecção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto abertoNote-se que na condição do teorema 3 o número de conjuntos tem de ser finito. Por exemplo,é fácil de ver que na recta real os intervalos abertos à esquerda e à direita são conjuntosabertos (verificar). Mas já a intersecção dos intervalos abertos (-1/n, 1/n) para todos os nnaturais, que são em infinidade numerável, não é um conjunto aberto (porquê?).Seja a um ponto de E. Então Um conjunto A é uma vizinhança de a se a pertencer a A e Afor aberto.Exemplo: as esferas abertas de centro a e raio r formam uma família de vizinhanças de a.Seja um conjunto A. subconjunto de um espaço métrico.Então o elemento x de E é um ponto de acumulação do conjunto A se para cada vizinhançade x existem pontos de A distintos de x.Ou seja, para cada vizinhança V de x cumpre-se a condição(V- {x})∩A ≠ ØO conjunto de pontos de acumulação de A representa-se por A’ e chama-se o Derivado de A.O derivado de um conjunto A pode ser vazio, isto é um conjunto pode não ter pontos deacumulação.Quando o conjunto A’ está contido em A, ou seja, quando este contém todos os seus pontosde acumulação dizemos que o conjunto A é fechadoTeorema 4 Um conjunto A é fechado se e só se o complementar E - A for aberto www.cursoraizes.com.br
  11. 11. www.cursoraizes.com.brTeorema 5 A união de conjuntos fechados em número finito é um conjunto fechado.Aintersecção de qualquer número (finito ou infinito, numerável ou não) de conjuntos fechados éfechadoNote-se que um conjunto pode ser simultaneamente aberto e fechado (caso por exemplo de E)Um exemplo importante de conjunto fechado é a esfera fechada de raio r e centro a ou seja,o conjuntoN*(a,r) = {x de E | d(x,a)≤ r}4. Coberturas. Conjuntos compactosSeja A um conjunto subconjunto de E Uma família F de conjuntos subconjuntos de E tal queA está contido em no conjunto união de todos os conjuntos F pertencentes a F. Então F éuma cobertura do conjunto AUm conjunto A é compacto se toda a cobertura de A formada de conjuntos abertos admiteuma subcobertura finita (ou seja, uma família F*formada por um número finito de conjuntosabertos F* pertencentes a F)Teorema 6 Num espaço métrico qualquer um conjunto compacto é limitado e fechado. Numespaço Rn a inversa também é verdadeira, pelo que um conjunto é compacto se e só se forlimitado e fechado5. Limites num espaço métricoLimites de sucessõesSeja uma sucessão {xn} de elementos de um espaço métrico E.. Um ponto x de E é limite dasucessão se para cada vizinhança V de x existe um número natural N tal que para n ≥N se temxn a pertencer a V. Uma sucessão com limite diz-se convergente.Limites de funçõesSeja f uma função que a cada ponto x de um conjunto A subconjunto de um espaço métrico Efaz corresponder um ponto f(x) de um espaço métrico F. Seja d a distância definida em E e d*a distância definida em F. www.cursoraizes.com.br
  12. 12. www.cursoraizes.com.brSeja a um ponto de acumulação de A.Então b é o limite de f no ponto a e escreve-se b = x→a lim f(x) se a cada δ > 0 corresponderum ε > 0 tal quequalquer que seja x de A. com ε > d(x,a) > 0 se tem δ > d*(f(x),b)Teorema 7. O limite, a existir, é únicoTeorema 8. Se existe o limite b de f(x) quando x tende para a então para qualquer sucessão{xn} de elementos de A a tender para a tem-se a sucessão {f(xn)} a tender para bUm função definida no conjunto A é contínua no ponto a, ponto de acumulação de A, se x→alim f(x) = f(a)Uma sucessão {xn} é uma sucessão de Cauchy se, para cada número real δ > 0 existe umnúmero natural N tal que para todos os números n e n* não inferiores a N se temd(xn , xn*) < δToda a sucessão convergente é de Cauchy. Mas a inversa não é sempre verdadeira.Chamam-se completos os espaços métricos tais que toda a sucessão de Cauchy éconvergente.O espaço Rn para qualquer n é completo.Mas já o espaço Q dos números racionais não écompleto.6. IsotopiaDois espaços vectoriais E e F normados são topologicamente isomorfos se existe umtransformação T: E→ F, linear (isto é, tal que T(αx+βy) = αT(x) + βT(y)) contínua, nãosingular (isto é bijectiva) cuja inversa é também contínua.Dois espaços toplogicamente isomorfos têm as mesmas propriedades, são por assim dizerindistinguíveis nessas suas propriedades.Teorema 9 Dois espaços normados de dimensão finita são topologicamente isomorfos. www.cursoraizes.com.br
  13. 13. www.cursoraizes.com.brAs consequências do teorema 9 são muito importantes. Significam, por exemplo, que, paraum espaço Rn, não interessa qual a distância que se escolha, seja a euclideana seja outraqualquer, que chegaremos sempre às mesmas propriedades do espaço.CONCLUSÃOPodemos concluir que Espaço métrico é um conjunto munido de uma Métrica (ou distância),isto é, uma função tal que para quaisquer, é um número real, não negativo e finito (simetria)(desigualdade triangular). www.cursoraizes.com.br
  14. 14. www.cursoraizes.com.brBIBLIOGRAFIA:Lima, Elon Lages: Espaços Métricos. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, Rio deJaneiro: 1977.Iribarren, Ignacio T. (1973) Topologia de espacios métricos. Limusa-Wiley www.cursoraizes.com.br

×