FUNÇÃO                                                                                                       b) Se a<0 o g...
a>0Im = [yv, +  )a<0Im =(+  , yv]                  Prof. Jailson de Abreu   2
5. SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA                                                                                  b) Determin...
16. (UFMG) O conjunto de todos os valores reais m    para os quais o conjunto imagem de f(x)=x²+mx-    - 1 seja B= y  IR...
6. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU                                          A resolução de inequações desse tipo é semelhante à     ...
Exemplo:1. Resolver a inequação – 4x + 4< x² – 7x < 2x – 18.Resolução: desmembrando a inequação: x 2  7x  2x  18  x 2...
Zeros da Eq.(1): x1 = 3 e x2 = 6          a>0                                  e y são dados em metros. Oscar acerta o    ...
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Apostila de matemática função2ºgrau

  1. 1. FUNÇÃO b) Se a<0 o gráfico a parábola passa a ter1. FUNÇÃO DO 2º GRAU concavidade para baixo: y 2Uma função f de IR em IR é chamada quadrática oudo 2º grau, se a cada x  IR, associa o elemento(ax²+bx+c)  IR (a  0). Ex.: y = - x² -2 -1 0 0 1 2 x 3f: IR  IR x  ax²+bx+c (a  0) -22. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU III) Se  < 0, então a função não possui raízes reais, isto é, o gráfico da parábola não toca o eixo dos x.O gráfico dessa função é uma parábola. a) Se a>0 Ex.: y = x²+1 yPara construirmos o gráfico da função quadrática 4devemos primeiramente encontrar os zeros(raízes) dafunção em seguida fazer uma análise gráfica.Devemos considerar 3 possíveis casos. 2I) Se  >0, então teremos duas raízes distintas. 0 x -2 -1 0 1 2 3a)Se a>0 o a parábola fica voltada para cima: y b) Se a<0 Ex.: y = –x²–1Ex.: y = x²– 3x + 2 y 2 0 x -2 -1 0 1 2 3 0 x -2 -2 -1 0 1 2 3 -4b) Se a<0 o gráfico a parábola passa a ter concavidade para baixo: 3. COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLAEx.: y = – x²+1 2 y O vértice é formado pela abscissa xv e a ordenada yv: y 0 x  b   -2 -1 0 1 2 3 V  ,   2a 4a  -2 2 xv x y-2 v 0II) Se  =0, então teremos duas raízes iguais (raízes -1 0 1 2 V duplas) Obs.: Para a>0, o ponto V do vértice é ponto de mínimo da função.a) Se a>0 o a parábola fica voltada para cima: Para a<0 o ponto V do vértice é ponto de máximo da função.Ex.: y = x² y 2 4. IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 0 x A imagem dessa função é obtida projetando-se -2 -1 0 1 2 3 ortogonalmente os pontos da parábola no eixo y. Desse modo a ordenada yv será sempre um dos extremos do intervalo do conjunto imagem, observe: -2 y f(X2) Prof. Jailson de Abreu f(X1) 1 2 xv x X1 X2 yv 0 -2 -1 0V 1 2
  2. 2. a>0Im = [yv, +  )a<0Im =(+  , yv] Prof. Jailson de Abreu 2
  3. 3. 5. SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA b) Determine a imagem da função. c) Estabeleça quando a função é crescente. Para estudarmos o sinal da função y=ax²+bx+c devemos levar me consideração o discriminante  e 2. Determine o valor máximo ou mínimo das o sinal do coeficiente de x² (a), então temos; funções: a) f(x) = –3x² + x + 2 I)  >0 b) y = x² + 5x a) Se a>0 b) Se a<0 0 3. Determine m de modo que Im = [4,+  ) seja 2 -2 X1 -1 0 1 X2 2 imagem da função real f(x) = 3x² + 2x + m -1. + + + Resp. -8/3 X1 – X2 – -2 –-2 -1 0 0 1 2 4. Sendo 4 abscissa do mínimo da função y = 4x²– – (3m-1)x + 3, determine m. Resp. 11 Conclusão: -4 -2 X1 5. Para que valores de x  IR f(x) = -x² – 4x -12 é X2 crescente? Resp. x < –2 m/a c/a m/a 6. Determine os valores de a e c de modo que o gráfico da função y = ax² - x + c passe pelos pontos (1, 2) e (-3, 5). Resp. a = –1/8, c = 25/8 II)  =0 7. (Unb) O trinômio x²- mx + 6 possui um valor a) Se a>0 b) Se a<0 1 mínimo igual a  , se m não é negativo, calcule 4 2 o valor de m. Resp. 5 + + X1=X2 8. (UC–MG) O valor máximo da função f(x) = -x² + 0 0-2 -1 X1=X2 0 1 2 -2 – -1 0 1 – 2 +2x + 2 é: Resp. 3 -2 -2 9. Determine os valores de k de modo que a função 1 Conclusão: y = –3x² + (k-1)x + k - seja negativa para todo -4 12 X1=X2 valor de x. Resp.: -10 < K < 0 m/a m/a 10. Determine os valores de m de modo que f(x) = x²- III)  <0 - 8x + 3m - 2 seja positiva para todo os valores de x. Resp.: m > 6 a) Se a>0 b) Se a<0 11. O vértice da parábola y = x² - 4x + 1 está no 2 ponto (2, b). Calcule b. Resp.: b = –3 + 0 + f(x) é estritamente negativa 12. (MACK - SP) O vértice da parábola y = x² + kx + -2 -1 + 0 1 2 – – – 0 + m é o ponto V(-1, -4). O valor de K + m é: -2 -2 -1 0 1 2 Resp.: –1 f(x) é estritamente positiva 13. O Gráfico da função f(x) = kx² + x -1, k  IR, é -2 -4 uma parábola que possui dois pontos distintos em comum com eixo Ox. Determinar os possíveis Conclusão: valores de k. Resp.: Se  <0 e a<0  f(x)>0 ( x  IR) 1 k0ek 4 Se  <0 e a>0  f(x)<0 ( x  IR) 14. Determinar o conjunto imagem da função f: [-2, 2[  IR tal que f(x) = x² - 2x - 3. Resp.:  4  y  5 ou Im  [4, 5] EXERCÍCIOS 1. Dada a função real f(x)=–x² + 2x + 3. 15. Para que valores de x a função f(x) =mx² + 3x + 1 possui duas raízes reais e distintas? Resp.: m  0 e m  9 4 a) Construa o gráfico da função, identificando o vértice e as raízes. Prof. Jailson de Abreu 3
  4. 4. 16. (UFMG) O conjunto de todos os valores reais m para os quais o conjunto imagem de f(x)=x²+mx- - 1 seja B= y  IR, y  2 2a) {0} b) {-2, 2} c) {- 5 , 5} *d) {- 10 , 10 } Prof. Jailson de Abreu 4
  5. 5. 6. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU A resolução de inequações desse tipo é semelhante à resolução de inequações produto ou quociente do 1ºDada a função f(x)=ax²+bx+c, a  0, toda inequação grau.que adquire uma das formas: f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0 ou f ( x)  0 é chamada de Exemplos:inequação do 2º grau.Para resolvermos as inequações do 2º grau é 1. Determine o valor de x em:necessário que se faça o estudo da variação do sinal (x²-x+6).(-x²+2x-1)<0dessa função.Exemplos: Resolução: Se f(x)= x²-x+6 e g(x)= -x²+2x-1, então:1. Estudar o sinal da função do 2º grau f(x)=x²+x–6.Resolução: Zeros de f(x): x1 = –2 e x2 = 3 a>0Zeros de f(x): x1 = –3 e x2 = 2 + – + Xa>0 m/a -2 c/a 3 m/a + – + X Zeros de g(x): x1 = x2 = 1 a<0 m/a -3 c/a 2 m/a – – X m/a 1 m/af(x)=0  x= -3 ou x=2f(x)>0  x>2 ou x< -3 Quadro do produto f(x).g(x)f(x)<0  -3 < x < 2 –2 1 32. Sendo f(x)= -x² + 2x - 1, determinar x tal que f(x) + – – + f(x)<0. g(x) – – – –Resolução: f(x).g(x) – + + –Zeros de f(x): x1 = x2 = 1a<0 S = { x  IR / x  2 ou x  3 } – – X m/a 1 m/a 2. Determine o valor de x na inequação: x 4 2f(x)=0  x=1 0Resp.: f(x)<0  x  1 x  5x  6 2 Resolução: Se f(x)= x²- 4 e g(x)= x²-5x+6, então:3. Resolver a inequação: Zeros de f(x): x1 = –2 e x2 = 2 a>0–6x²+5x+1  0 + – + X m/a -2 c/a 2 m/aResolução: 1Zeros de f(x): x1 = – e x2 = 1 Zeros de g(x): x1 = 2 e x2 = 3 a>0 6 + – + Xa<0 m/a 2 c/a 3 m/a – + – X Quadro do quociente f(x)/g(x) m/a 1 c/a 1 m/a - 6 –2 2 3Logo: f(x) + – + + g(x) + + – + 1 f(x)/g(x) + – – +f(x)  0, para   x 1 6 1 S = { x  IR / x  2 ou x  3 } 1S ={– , 1} ou S ={ x  IR /   x  1 } 6 6 8. INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS DO 2º GRAU7. INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO São inequações do tipo g(x) < f(x) < h(x), onde peloQUOCIENTE DO 2º GRAU menos uma dessas equações é do 2º grau. Prof. Jailson de Abreu 5
  6. 6. Exemplo:1. Resolver a inequação – 4x + 4< x² – 7x < 2x – 18.Resolução: desmembrando a inequação: x 2  7x  2x  18  x 2  9x  18  0 (1) 4x  4  x  7x  x  3x  4  0 (2) 2 2 Prof. Jailson de Abreu 6
  7. 7. Zeros da Eq.(1): x1 = 3 e x2 = 6 a>0 e y são dados em metros. Oscar acerta o + – + X arremesso e o centro da bola passa pelo centro m/a c/a m/a da cesta, que está a 3m de altura. Determine a 3 6 distância do centro da cesta ao eixo y.Zeros da Eq.(2): x1 = -1 e x2 = 4 a>0 + – + X 6. (PUC-MG) Com relação à função do 2º grau y = m/a c/a m/a x² - 2x - 15, é incorreto afirmar que: -1 4 3 6 a) Se -3 < x < 5, então f(x) < 0.S1 b) Se x < –3 ou x > 5, então f(x) > 0. –1 4 c) f(x)  –16, x  IR .S2 d) *Se x > 1, então f(x) é decrescente. e) Se x =–3 ou x = 5, então f(x) = 0.S=S1  S2 4 6 7. Quantos números inteiros e estritamente positivosS ={ x  IR / 4  x  6 } x2 x2 satisfazem a inequação  ? EXERCÍCIOS GERAIS x2 x21. (Cesgranrio - RJ) Os valores de x, tais que a) nenhum *b) um c) dois d) três e) infinitos 4x  1  0 , são aqueles que satisfazem: ta 8. (U.F. S. Maria–RS) A figura representa x  2x  1 2 graficamente, no plano cartesiano, a função 1 1a) x > 4 b) x  4 *c) x  d) x  1 e) x  polinomial do 2º grau f(x)=ax²+bx+c, em que a, b, 4 4 e c são constantes reais e f(x1) =f(x2)=0, então de acordo com a figura, a afirmação correta é:2. (FGV -SP) O conjunto solução da inequação a) a.b.c < 0 y 4 yx3 b) a < 0 e c < 0  x  1 é: c) 4ac > b²x2 d) b < 0 e c < 0 2 e) b > 0 e c > 0a) { x  IR / 1  x  2 } b) { x  IR / x  2 } c) { x  IR / x  1} *d) { x  IR / x  2 } e) { x  IR / x  0 } 0 xx -1 0 0 1 X1 2 X2 3 43. Determine o domínio da função real: 9. (U.F - Viçosa - MG) A temperatura de uma estufa, x 2  4x  5 em graus centígrados, é regulada em função dof(x) = x2  1 tempo t de acordo com a lei f dada por t24. (FGV-SP) Resolvendo a inequação f (t)    4t  10 , sendo t  0. Pode-se 2(x²-3)(x²-9)  0, obtemos: afirmar que: a) A estufa nunca atinge zero grau.a)  3  x  3 ou x  3 b) A temperatura é sempre positiva. c) A temperatura mais alta é atingida para t=2.b)  3  x  3 d) *O valor da temperatura máxima é 18 graus.c) x   3 ou x  3 e) A temperatura é positiva só para 0 < t < 5.d)  3  x   3 ou 3 x3 10. Quero Construir uma quadra de futebol de salãoe) x  3 ou  3  x  3 ou x  3 retangular, par acercá-la disponho de 60m de alambrado pré - fabricado, e , por uma questão de economia, devo aproveitar o muro do quintal5. Oscar arremessa uma bola de basquete cujo (figura abaixo). Quais devem ser as dimensões centro segue uma trajetória plana vertical de dessa quadra para que a sua área seja máxima? 1 2 8 muro equação y  x  x  2 , na qual os valores x 7 7 x x Prof. Jailson de Abreu 7 y
  8. 8. Prof. Jailson de Abreu 8

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