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  1. 1. esta aula, veremos, entre outros resultados, que linear é injetora,N se, e somente se, o núcleo de é o subespaço nulo. Além disso, aplicaremos o importante Teorema do Núcleo e da Imagem, o qual relaciona as dimensões donúcleo de e da imagem de com , a dimensão do . Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: definir núcleo e ima- gem de uma transformação linear ; dar exemplos de transformações lineares injetoras; e aplicar o Teorema do Núcleo e da Imagem. Aula 14 Álgebra Linear I 1
  2. 2. Seja uma transformação linear. O núcleo de , indicado por ,éo conjunto e a imagem de , denotado por , é o conjunto Assim, e . Você ainda deve observar que é um subespaço vetorial do espaço euclidiano . De fato, i) , pois (já que ); ii) se , temos e . Logo, , de modo que ; iii) se e , temos . Então, ,e . Lembre-se da aula 6 (Espaços vetoriais), na qual (i), (ii) e (iii) nos dizem que é um subespaço de . Também, você pode provar que é um subespaço de . Atividade 1 Prove que é um subespaço de .2 Aula 14 Álgebra Linear I
  3. 3. Exemplo 1 Se , a transformação identidade. Note que , isto é, a imagem de é o espaço todo ,e ou seja, o núcleo de é o subespaço nulo. Exemplo 2 Seja , a transformação “zero”. Veja que , isto é, a imagem da transformação “zero” é o subespaço nulo,enquanto Como a igualdade é sempre verdadeira, isso significa que o núcleo da transfor-mação “zero” é o espaço todo . Exercício resolvido 1 Seja definida por . 1i) Mostre que é linear.ii) Determine e .iii) é injetora? Aula 14 Álgebra Linear I 3
  4. 4. Solução i) Lembre-se de que para provar que é linear, devemos verificar a validade das duas condições abaixo: a) ; b) . Sejam . Então, , a) enquanto b) Portanto, é linear. ii) . Assim, , se, e somente se, . Resolvendo esse sistema homogêneo, vemos facilmente que a única solução é a trivial, ou seja, . Logo, é o subespaço nulo. Agora, iii) Finalmente, para verificar se é injetora, sejam com4 Aula 14 Álgebra Linear I
  5. 5. Isso implica Como , substituindo o valor de na primeira equação de , obtemos . Logo, , o que prova que é injetora.Exercício resolvido 2 Seja a transformação linear definida por 1i) Determine .ii) é injetora? Solução i) Ora, Note que , se, e somente se, é solução do sistema homogêneo ou Lembre-se de que para resolver esse sistema usando o método de Gauss- Jordan, consideramos a matriz (I) , a qual é equivalente por linhas à matriz escalonada (II) (substitua de (I) por ). A matriz (II) corresponde ao sistema ou Aula 14 Álgebra Linear I 5
  6. 6. Assim, o espaço solução do sistema original (I) é, portanto, arbitrário arbitrário Fazendo , por exemplo, obtemos que , isto é, podemos dizer que . ii) Para ver se é injetora, sejam com isto é, com Será que , ou seja, será que ? Note que , mas e . Com certo esforço você deve perceber, por exemplo, que mas que, obviamente, . Portanto, não é injetora. No Exercício resolvido 1, encontramos e injetora, en- quanto no Exercício resolvido 2, obtemos e não injetora. De um modo geral, vale o critério seguinte. Teorema 1 Uma transformação linear é injetora, se, e somente se, .6 Aula 14 Álgebra Linear I
  7. 7. Prova Demonstração da parte “somente se”. Hipótese – é injetora. Queremos provar que . Para isso, seja . Então, . Mas, sabemos que . Assim, . Como é injetora,segue que . Isso prova que , ou seja, é formado somente pelo zero. Demonstração da parte “se”. Hipótese – . Queremos provar que é injetora. Para isso, considere com . Então, . Como é linear, segue que . Isso nos diz que . Mas, , de modo que e, conseqüentemente, , o que prova ser injetora,completando a demonstração do resultado. eja a base canônica do .S Seja minar as dimensões do ; lembre-se de que uma transformação linear. Estamos interessados em deter- e da , e relacioná-las com a dimensão do indica a dimensão do núcleo de e éadimensão da imagem de .Observação – Você deve notar que como geram , então, geram . De fato, seja . Como ,para alguns números reais (escalares) e, sendo linear, obtemos Isso prova que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linearde , ou seja, geram . Aula 14 Álgebra Linear I 7
  8. 8. Exercício resolvido 3 Considere a mesma transformação linear do Exercício resolvido 2, 1 Encontre e . Solução Seja a base canônica do . Pela observação feita anteriormente, sabemos que geram , mas Para encontrar , você deve encontrar uma base para e contar o número de elementos (vetores) dessa base. Note que para encontrar uma base para , basta encontrar uma base para o espaço gerado pelos vetores e . Para tanto, você deve efetuar operações elementares sobre as linhas da matriz e obter a matriz escalonada , equivalente por linhas à . Atividade 2 Prove que a matriz (obtida por você na solução anterior) do Exercício re- solvido 3, é dada por8 Aula 14 Álgebra Linear I
  9. 9. Isso significa que os vetores e geram e como, claramente,são linearmente independentes, obtemos que é uma basepara , concluindo que . Finalmente, para encontrar ,observe que encontrar uma base para é equivalente a encontrar uma base para oespaço solução do sistema homogêneo i) do Exercício resolvido 2. Como é arbitrário é arbitráriotemos que é gerado por e, sendo , segue que é uma base de ou, equivalentemente, é uma base de . Logo, . Você deve perceber que (domínio de ) Esse resultado vale, em geral, para o seguinte teorema. Teorema 2 (do Núcleo e da Imagem) Se é uma transformação linear, então, Prova Isso será demonstrado na disciplina Álgebra Linear II, para transformações lineares , em que e são espaços vetoriais quaisquer. Provaremos as seguintes conseqüências imediatas.Corolário 1 – Seja uma transformação linear. Se , então, não éinjetora. Prova Hipótese – . Queremos provar que não é injetora. Suponha o contrário, isto é, que é injetora.Nesse caso, pelo Teorema 1, . Mas, pelo Teorema 2, temos Aula 14 Álgebra Linear I 9
  10. 10. Como , temos . Substituindo esse valor em , obte- mos . Sendo um subespaço de , concluímos que ,o que contradiz a hipótese. Portanto, não é injetora. Corolário 2 – Seja uma transformação linear. Se , então não é sobrejetora. Prova Hipótese – . Queremos provar que não é sobrejetora. Suponha o contrário, isto é, que é so- brejetora. Isso significa que . Assim, . Pelo Teorema 2, temos Substituindo o valor em , obtemos . Isso implica , o que contradiz a hipótese. Portanto, não é sobrejetora. Corolário 3 – Seja uma transformação linear bijetora. Então, . Prova Suponha que . Pelo Corolário 1, segue que não é injetora, o que é uma contradição. Agora, supondo que , então, pelo Corolário 2, obtemos que não é sobrejetora, e temos novamente uma contradição. Portanto, . Finalizamos esta aula com o seguinte teorema. Teorema 3 Seja linear. Então, é injetora, se, e somente se, levar todo subconjunto linearmente independente de em um conjunto linearmente in- dependente de . Prova Demonstração da parte “somente se”. Hipótese – é injetora. Queremos provar que leva todo subconjunto linearmente independente de em um subconjunto linearmente independente de . Suponha o contrário, isto é, que existe um10 Aula 14 Álgebra Linear I
  11. 11. subconjunto linearmente independente de tal queseja linearmente dependente. Isso significa que um dos vetores, digamos , é combi-nação linear dos demais. Assim, existem escalares tais que . Como é linear, obtemos , e sendoinjetora, temos , ou seja, é linearmente depen-dente, o que contradiz o fato de que é linearmente independente. Logo, leva todo subconjunto linearmente independente de em um subconjunto linearmenteindependente de . Demonstração da parte “se”. Hipótese – leva todo subconjunto linearmente independente de em um subcon-junto linearmente independente de . Queremos provar que é injetora. Suponha o contrário, isto é, que não é injetora.Pelo Teorema 1, temos . Seja Considere o conjunto . Sabemos que é linearmente independente. Mas, é claramentelinearmente dependente, o que contradiz a hipótese. Portanto, é injetora. Resumo Você aprendeu nesta aula que o núcleo e a imagem de uma transfor- mação linear são subespaços vetoriais de e , respectivamente. Além disso, foi apresentado um critério para saber quando é injetora, a saber: é injetora . Também, o Teorema do Núcleo e da Imagem nos diz que . Aula 14 Álgebra Linear I 11
  12. 12. Seja a transformação linear definida por . i) Encontre . Se , quais as condições sobre para que o vetor ? Qual a ? ii) Encontre . iii) Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem, determine . Exercícios propostos 1) Seja definida por . a) Verifique que é linear. b) Sem fazer qualquer cálculo, diga se pode ser sobrejetora. Justifique. c) Determine e . d) Determine e . e) é injetora? Justifique. 2) Seja uma transformação linear tal que . Demonstre que é um número par. 3) Seja a transformação linear definida por . Ache .12 Aula 14 Álgebra Linear I
  13. 13. ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-man, 2001.BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. SãoPaulo: Editora Harbra Ltda, 1986. Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes de resolvê-las. Respostas dos exercícios propostos 1) b) Sugestão: veja o Corolário 2. c) d) e) Sim. Veja o Teorema 1. 2) Sugestão: use o Teorema do Núcleo e da Imagem. 3) . Aula 14 Álgebra Linear I 13

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