1. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
2. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
3. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
4. Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Пятая лекция
Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
5. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
6. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
12. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменных, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.
15. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменных, конкретных натуральных чисел
при помощи композиции операций сложения, вычитания и
умножения и функции sin в произвольном порядке. Не
существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F1 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.
23. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многих
вещественных переменных, которые могут быть заданы
выражениями, построеными из переменных, конкретных
натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции
операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в
произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по
произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал,
имеет ли неравенство
Φ(χ1 , . . . , χm ) < 1
решение в вещественных числах.
24. Случай одной переменной
A(χ) = χ sin(χ)
B(χ) = χ sin(χ3 )
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что
|A(χ) − α| <
B(χ) − β = 0
Не ограничивая общности считаем, что
<1
39. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π
при достаточно большом K
40. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π
при достаточно большом K
B(χ) = β
41. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π
при достаточно большом K
B(χ) = β
|A(χ) − α| <
42. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
43. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| <
B(C (α, β)) = β
44. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| <
B(C (α, β)) = β
Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . ))
(k−1)
раз
45. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| <
B(C (α, β)) = β
Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . ))
(k−1)
раз
Лемма. Для любых вещественных чисел α1 , . . . , αn и любого
положительного числа
|Ak (χ) − αk | <
k = 1, . . . , n
где
χ = C (α1 , C (α2 , . . . , C (αk , 0) . . . ))
47. Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
48. Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
49. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство
Φ(χ) < 1
решение в вещественных числах.
50. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение
2Φ(χ) = 1
решение в вещественных числах.
51. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F1 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел
при помощи композиции операций сложения, вычитания и
умножения и функции sin в произвольном порядке. Не
существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ)
1
из класса F1 распознавал, имеет ли уравнение
2Φ(χ) = 1
решение в вещественных числах.
53. Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
либо
∃χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
либо
∀χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
54. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F2 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютная
величина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма,
1
который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F2
распознавал, справедливо ли равенство
2Φ(χ) = 1
при всех вещественных значениях χ.
74. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π
В любом решении этой системы дифференциальных уравнений
функция Π(τ ) является константой – числом π, и существует
решение, в котором эта фукция тождественно равна числу π.
94. Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0
Φ (0) = 1
Υ (τ ) = 0
Ψ(0) = 0
Φ(1) = 0
Ψ (τ ) +
3 ≤ Π(0) ≤ 4
Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ )
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )
=0
Ψ(1) = 0
В любом решении этой системы дифференциальных уравнений
функция Υ(τ ) является константой – некоторым целым
числом, и для любого целого числа n существует решение, в
котором фукция Υ(τ ) тождественно равна этому числу n.
105. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ )
.
.
.
=0
Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ )
= 0,
где P1 , . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами,
узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].
106. Следствие (трудное) DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
дифференциальному уравнению вида
P τ, Φ(τ ), Φ (τ ), . . . , Φ
n
(τ )
=0
где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеет
ли это уравнение решение на интервале [0, 1].
119. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ )
.
.
.
= 0,
Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ )
= 0,
где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде формального степенного
ряда, удовлетворяющего также условию
Φ1 (τ ) ≡ 0.
126. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ )
.
.
.
= 0,
Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ )
= 0,
где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенных
рядов
138. Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm
∞
y
y
τ1 1 . . . τmm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1
(∗)
y1 ,...,ym =0
∂
∂
, . . . , τm
∂τ1
∂τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1
Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в том
и только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет
(∗∗)
139. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольному многочлену Q с целыми коэффициентами
узнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частных
производных
∂
∂
Q τ1 , . . . , τm , ∂τ1 , . . . , ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1
решение в виде формального степенного ряда.
140. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
163. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
164. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
165. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
166. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
167. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
168. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
169. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
170. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
171. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Петр выбирает am
172. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Петр выбирает am
Николай выбирает xm
173. Диофантовы игры
Правила
James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Петр выбирает am
Николай выбирает xm
Николай объявляется победителем в том и только том случае,
когда значение многочлена оказывается равным нулю.
174. Диофантовы игры
Трудные ответы на простые вопросы
Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре,
задаваемой уравнением
(x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?
175. Диофантовы игры
Трудные ответы на простые вопросы
Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре,
задаваемой уравнением
(x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?
Подсказка. Победа гарантирована Петру в том и только том
случае, когда количество простых чисел вида n2 + 1 бесконечно.
182. Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939 – at the age of 13
183. Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical
processes
184. Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical
processes
Системы векторного сложения (systems of vector addition)
200. Проблема включения
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
201. Проблема включения
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема
включения для систем векторного сложения неразрешима.
202. Проблема включения
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема
включения для систем векторного сложения неразрешима.
203. Проблема эквивалентности
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый из
вектора A в одной из этих систем, достижим из
вектора A также и в другой системе?
204. Проблема эквивалентности
ВХОД:
Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
ВОПРОС:
Верно ли, что каждый вектор, достижимый из
вектора A в одной из этих систем, достижим из
вектора A также и в другой системе?
Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема
эквивалентности для систем векторного сложения
неразрешима.
206. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
δj,k ∈ Z
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
207. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
δj,k ∈ Z
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
208. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
δj,k ∈ Z
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
209. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
210. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
211. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
212. Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
220. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число.
221. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в
одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
222. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в
одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции
машины имеют вид
Si0 Ri1 . . . Ria
Sj0 Rj1 . . . Rjb
где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
223. Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в
одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции
машины имеют вид
Si0 Ri1 . . . Ria
Sj0 Rj1 . . . Rjb
где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
Шахматная машина является недетерминированной!
224. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb
225. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se
226. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
227. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты.
(∗)
228. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
229. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
230. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует
поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что
rj = y , re = 1.
231. Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
(∗)
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует
поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что
rj = y , re = 1.
3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций
машины.
245. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
246. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A .
247. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
248. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр
249. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние
250. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9.
251. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие
инструкции:
Sm+2
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...
...
Sm+2
Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm
Sm+3
Sm+2
Sm+3
Sb ,
Обозначим полученную машину через K A
252. Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие
инструкции:
Sm+2
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...
...
Sm+2
Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm
Sm+3
Sm+2
Sm+3
Sb ,
Обозначим полученную машину через K A , её начальным
состоянием объявим Sm+2 .
253. Машина K
B
B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ).
w times
w times
Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие
инструкции:
Sm+2
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...
...
Sm+2
Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm
Sm+3
Sm+2
Sm+3
Sb ,
Обозначим полученную машину через K
состоянием объявим Sm+2 .
B,
её начальным
255. Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
256. Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss
St Rj
257. Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss
St Rj
3. для каждого состояния Sk машины KB :
Ss
Sk
258. Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri
St
2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss
St Rj
3. для каждого состояния Sk машины KB :
Ss
Sk
St
Ss
4.
259. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
260. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
261. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
262. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
263. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
264. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
265. Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
K (A) ⊇ K (A)
¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)
⇐⇒
¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
266. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
267. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
268. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒
⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
269. Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒
⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
282. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
283. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима.
284. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое
доказательство этого факта с использованием неразрешимости
диофантовых уравнений.
285. Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое
доказательство этого факта с использованием неразрешимости
диофантовых уравнений.
W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема
унификации для исчисления предикатов второго порядка,
исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.