SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 302
Baixar para ler offline
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами

Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами

Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта

Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Что можно делать
с вещественными числами
и нельзя делать с целыми
числами
Часть 2. Десятая проблема Гильберта
Пятая лекция

Ю. В. Матиясевич
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова РАН
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)
Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое
перечислимое множество является диофантовым.
Диофантова альтернатива
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0
Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0
π = 3.14159...
Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0
π = 3.14159...

D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ) = 0
Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменных, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.
Только натуральные коэффициенты
sin(ψ) = 0

2≤ψ≤4
Только натуральные коэффициенты
sin(ψ) = 0

2≤ψ≤4

D 2 (χ1 , . . . , χm )+
sin2 (ψχ1 ) + · · · + sin2 (ψχm ) +
sin2 (ψ) + (1 − (ψ − 3)2 − ζ 2 )2 = 0
Следствие DPRM-теоремы
Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменных, конкретных натуральных чисел
при помощи композиции операций сложения, вычитания и
умножения и функции sin в произвольном порядке. Не
существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F1 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}

∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}

∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Альтернативы
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}

∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}

∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
∀χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) > 1}

Φ(χ1 , . . . , χm ) = B 2 (χ1 , . . . , χm ) + 1 D 2 (χ1 , . . . , χm )+
sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm )
Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многих
вещественных переменных, которые могут быть заданы
выражениями, построеными из переменных, конкретных
натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции
операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в
произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по
произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал,
имеет ли неравенство
Φ(χ1 , . . . , χm ) < 1
решение в вещественных числах.
Случай одной переменной
A(χ) = χ sin(χ)
B(χ) = χ sin(χ3 )
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что
|A(χ) − α| <
B(χ) − β = 0
Не ограничивая общности считаем, что

<1
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α|
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

где |χ∗ − χ0 | < δ
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

где |χ∗ − χ0 | < δ

= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

где |χ∗ − χ0 | < δ

= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

где |χ∗ − χ0 | < δ

= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
< (2K π + 3)δ
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

где |χ∗ − χ0 | < δ

= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
< (2K π + 3)δ
<
Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2
2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

где |χ∗ − χ0 | < δ

= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
< (2K π + 3)δ
<

при δ =

2K π + 3
Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3
Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π
при достаточно большом K
Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π
при достаточно большом K

B(χ) = β
Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π
при достаточно большом K

B(χ) = β
|A(χ) − α| <
Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| <

B(C (α, β)) = β
Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| <

B(C (α, β)) = β

Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . ))
(k−1)

раз
Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| <

B(C (α, β)) = β

Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . ))
(k−1)

раз

Лемма. Для любых вещественных чисел α1 , . . . , αn и любого
положительного числа
|Ak (χ) − αk | <

k = 1, . . . , n

где
χ = C (α1 , C (α2 , . . . , C (αk , 0) . . . ))
Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}

Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}

Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство

Φ(χ) < 1
решение в вещественных числах.
Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение

2Φ(χ) = 1
решение в вещественных числах.
Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F1 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел
при помощи композиции операций сложения, вычитания и
умножения и функции sin в произвольном порядке. Не
существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ)
1
из класса F1 распознавал, имеет ли уравнение

2Φ(χ) = 1
решение в вещественных числах.
Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
либо
∃χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
либо
∀χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F2 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и
символа числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютная
величина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма,
1
который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F2
распознавал, справедливо ли равенство

2Φ(χ) = 1
при всех вещественных значениях χ.
Снова полиномиальные уравнения
Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
sin Π(τ )τ

cos Π(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

A sin Π(τ )τ

cos Π(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

A sin Π(τ )τ

B cos Π(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ

Φ(0) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π

В любом решении этой системы дифференциальных уравнений
функция Π(τ ) является константой – числом π, и существует
решение, в котором эта фукция тождественно равна числу π.
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

sin Π(τ )Υ(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

sin Π(τ )Υ(τ )τ

cos Π(τ )Υ(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

A sin Π(τ )Υ(τ )τ

cos Π(τ )Υ(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

A sin Π(τ )Υ(τ )τ

B cos Π(τ )Υ(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
⇒ Υ(τ ) = n
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
⇒ Υ(τ ) = n
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0
Ψ(0) = 0

Φ(1) = 0

Ψ (τ ) +

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ )

Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )

=0

Ψ(1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ (τ ) = 0
Ψ(0) = 0

Φ(1) = 0

Ψ (τ ) +

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ )

Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )

=0

Ψ(1) = 0

В любом решении этой системы дифференциальных уравнений
функция Υ(τ ) является константой – некоторым целым
числом, и для любого целого числа n существует решение, в
котором фукция Υ(τ ) тождественно равна этому числу n.
Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ1 (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ1 (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...

Υm (τ ) = 0

Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...

Ψ1 (0) = 0

Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ )

Ψm (1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ1 (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...

Υm (τ ) = 0

Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...

Ψ1 (0) = 0

Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ )

Ψm (1) = 0

...
Ψm (0) = 0

Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ )

Ψm (1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ1 (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...

Υm (τ ) = 0

Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...

Ψ1 (0) = 0

Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ )

Ψm (1) = 0

...
Ψm (0) = 0

Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ )
D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0

Ψm (1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

Π (τ ) = 0
Φ(0) = 0

Φ (0) = 1

Υ1 (τ ) = 0

Φ(1) = 0

3 ≤ Π(0) ≤ 4

Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...

Υm (τ ) = 0

Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...

Ψ1 (0) = 0

Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ )

Ψm (1) = 0

...
Ψm (0) = 0

Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ )
D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0

Ψm (1) = 0
Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4
Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4
1
2
Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4
1
2
∆(α) = β
Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4
1
2
∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ ) − β = (τ − α)Ω(τ )
Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ )
.
.
.

=0

Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ )

= 0,

где P1 , . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами,
узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].
Следствие (трудное) DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
дифференциальному уравнению вида
P τ, Φ(τ ), Φ (τ ), . . . , Φ

n

(τ )

=0

где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеет
ли это уравнение решение на интервале [0, 1].
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0

Ψ (τ ) = 0,

τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0

Ψ (τ ) = 0,

τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

∞

∞
k

τ Φ (τ ) =

ψ0 φk τ k

kφk τ =
k=0

k=0
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0

Ψ (τ ) = 0,

τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

∞

∞
k

τ Φ (τ ) =

ψ0 φk τ k

kφk τ =
k=0

kφk = ψ0 φk

k=0

k = 0, 1, 2, . . .
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0

Ψ (τ ) = 0,

τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

∞

∞
k

τ Φ (τ ) =

ψ0 φk τ k

kφk τ =
k=0

kφk = ψ0 φk
Вырожденное решение: ∀k

k=0

k = 0, 1, 2, . . .
φk = 0
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0

Ψ (τ ) = 0,

τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

∞

∞
k

τ Φ (τ ) =
k=0

k=0

k = 0, 1, 2, . . .

kφk = ψ0 φk
Вырожденное решение: ∀k
Невырожденное решение:
∃k

ψ0 φk τ k

kφk τ =

φk = 0

φk = 0
Формальные степенные ряды
∞

ψk τ k

Ψ(τ ) =
k=0

Ψ (τ ) = 0,

τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

∞

∞
k

τ Φ (τ ) =
k=0

kφk = ψ0 φk
Вырожденное решение: ∀k
Невырожденное решение:
∃k

ψ0 φk τ k

kφk τ =
k=0

k = 0, 1, 2, . . .
φk = 0

φk = 0 ⇒ ψ0 = k
Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ),
Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ),
D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0
Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ),
D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0
Φ1 (τ ) . . . Φm (τ ) ≡ 0
Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ )
.
.
.

= 0,

Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ )

= 0,

где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде формального степенного
ряда, удовлетворяющего также условию
Φ1 (τ ) ≡ 0.
Сходящиеся степенные ряды
Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0
τ 2Φ

(τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0
τ 2Φ

(τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0
Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0
τ 2Φ

(τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − φ1 = 0
Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0
τ 2Φ

(τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − φ1 = 0
(k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − φk = 0,

k >1
Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0
τ 2Φ

(τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − φ1 = 0
(k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − φk = 0,

k >1

φ0 = 1 φk = −ψ0 (1 − ψ0 )(2 − ψ0 ) . . . (k − 1 − φ0 ).
Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ )
.
.
.

= 0,

Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ )

= 0,

где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенных
рядов
Уравнения в частных производных
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y
y
ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y
y
ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

τk

∂
∂τk

y
y
τk k = yk τk k
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y
y
ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

τk

D τ1

∂
∂τk

y
y
τk k = yk τk k

∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
y
y
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

(∗)
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

D τ1

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
y
y
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1

(∗)
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

D τ1

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
y
y
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
ψy1 ,...,ym =

1
D(y1 , . . . , ym )

(∗)
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

D τ1

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
y
y
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
ψy1 ,...,ym =

1
D(y1 , . . . , ym )

Дифференциальное уравнение (*) имеет решение в том и
только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет

(∗)
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
y1 ,...,ym =0

(∗)
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =

(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1

(∗)

y1 ,...,ym =0

∂
∂
, . . . , τm
∂τ1
∂τm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1

(∗∗)
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
D τ1
∂τ1
∂τm

∞
y
y
τ1 1 . . . τmm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =

(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1

(∗)

y1 ,...,ym =0

∂
∂
, . . . , τm
∂τ1
∂τm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1

Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в том
и только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет

(∗∗)
Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольному многочлену Q с целыми коэффициентами
узнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частных
производных
∂
∂
Q τ1 , . . . , τm , ∂τ1 , . . . , ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1

решение в виде формального степенного ряда.
Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂
∂
∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂
∂
∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
∂
∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · =
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2
∂τm
Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂
∂
∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
∂
∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · =
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2
∂τm
∞
k
φk τ1

Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0
Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂
∂
∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
∂
∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · =
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2
∂τm
∞
k
φk τ1

Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

D τ1

∂
∂
, . . . , τm
∂τ1
∂τm

Ψ(τ1 , . . . , τm ) =

Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

D τ1
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

D τ1

∞
y
y
τ2 1 . . . τmm

k
φk τ1

=
k=0

y2 ,...,ym
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

D τ1

∞
y
y
τ2 1 . . . τmm

k
φk τ1

=

y2 ,...,ym

k=0
∞

y
y
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm

=
y1 ,...,ym =0
Уравнения в частных производных
∂
∂
, . . . , τm
Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1
∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

D τ1

∞
y
y
τ2 1 . . . τmm

k
φk τ1

=

y2 ,...,ym

k=0
∞

y
y
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm

=
y1 ,...,ym =0

D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
y1 ∈ M =⇒ φy1 = 0
Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
y1 ∈ M =⇒ φy1 = 0

D(y1 , . . . , ym ) = 0 ⇒ ψy1 ,...,ym =

φy1
D(y1 , . . . , ym )
Уравнения в частных производных
n = 1, 2
a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
Уравнения в частных производных
n = 1, 2
a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}

∂
∂
∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

= Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂
∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm )

= ··· =

∂
∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm )

=0
Уравнения в частных производных
n = 1, 2
a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}

∂
∂
∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

= Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂
∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm )

= ··· =

∂
∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm )

=0

∞

φn,k τ k

Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

a ∈ Mn =⇒ φn,a = 0
Уравнения в частных производных
∞

φ1,k τ k

a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0

φ2,k τ k

Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0

k=0
∞

Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0
Уравнения в частных производных
∞

φ1,k τ k

a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0

φ2,k τ k

Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0

k=0
∞

Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
Уравнения в частных производных
∞

φ1,k τ k

a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0

φ2,k τ k

Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0

k=0
∞

Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1,

a = 0, 1, . . .
Уравнения в частных производных
∞

φ1,k τ k

a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0

φ2,k τ k

Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0

k=0
∞

Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1,

a = 0, 1, . . .

M = {a | φ1,a = 0}
Уравнения в частных производных
∞

φ1,k τ k

a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0

φ2,k τ k

Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0

k=0
∞

Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1,

a = 0, 1, . . .

M = {a | φ1,a = 0}
a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M
Уравнения в частных производных
∞

φ1,k τ k

a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0

φ2,k τ k

Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =

a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0

k=0
∞

Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
k=0

(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1,

a = 0, 1, . . .

M = {a | φ1,a = 0}
a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M
a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a ∈ M
Диофантовы игры
Правила
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Петр выбирает am
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Петр выбирает am
Николай выбирает xm
Диофантовы игры
Правила

James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957],
ввел диофантовы игры.
P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
Петр выбирает a1
Николай выбирает x1
Петр выбирает a2
Николай выбирает x2
...............................................
Петр выбирает am
Николай выбирает xm
Николай объявляется победителем в том и только том случае,
когда значение многочлена оказывается равным нулю.
Диофантовы игры
Трудные ответы на простые вопросы

Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре,
задаваемой уравнением
(x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?
Диофантовы игры
Трудные ответы на простые вопросы

Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре,
задаваемой уравнением
(x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?
Подсказка. Победа гарантирована Петру в том и только том
случае, когда количество простых чисел вида n2 + 1 бесконечно.
Теорема (Jones[1982]) Николай имеет выигрышную
стратегию, но не имеет вычислимой выигрышной стратегии в
игре
{a1 + a6 + 1 − x4 }2 ·
+

(a6 + a7 )2 + 3a7 + a6 − 2x4

2

(x9 − a7 )2 + (x10 − a9 )2 (x9 − a6 )2 + (x10 − a8 )2 ((x4 − a1 )2

+ (x10 − a9 − x1 )2 ) (x9 − 3x4 )2 + (x10 − a8 − a9 )2 (x9 − 3x4 − 1)2
+ (x10 − a8 a9 )2 − a12 − 1
+ [x5 + a13 − x9 a4 ]2
+ 3x6 + x5 − 2a5

2

+

2

+ [x10 + a12 + a12 x9 a4 − a3 ]2

− x13 − 1 {a1 + x5 + 1 − a5 }

(x5 − x6 )2

(a10 − x6 )2 + (a11 − x8 )2 (a10 − x5 )2

+ (a11 − x7 )2 ((a5 − a1 )2 + (a11 − x8 − a2 )2 ) (a10 − 3a5 )2
+ (a11 − x7 − x8 )2 (a10 − 3a5 − 1)2 + (a11 − x7 x8 )2 − x11 − 1
+ [a11 + x11 + x11 a10 x3 − x2 ]2 + [a11 + x12 − a10 x3 ]2

= 0.

2
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia:
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939 – at the age of 13
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical
processes
Формализмы для описания
параллельных/распределенных вычислений
Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August
1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical
processes
Системы векторного сложения (systems of vector addition)
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
∆k = δk,1 , . . . , δk,n

δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , α n

δj,k ∈ Z
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N

A → A + ∆ j1
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N

A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N

A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
Системы векторного сложения
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N
A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N

A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
Проблема достижимости
Проблема достижимости
ВХОД:

Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и
два вектора A и B
Проблема достижимости
ВХОД:

Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и
два вектора A и B

ВОПРОС:

Верно ли, что вектор B достижим из вектора A
в этой системе?
Проблема включения
Проблема включения
ВХОД:

Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
Проблема включения
ВХОД:

Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A

ВОПРОС:

Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?
Проблема включения
ВХОД:

Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A

ВОПРОС:

Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?

Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема
включения для систем векторного сложения неразрешима.
Проблема включения
ВХОД:

Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A

ВОПРОС:

Верно ли, что каждый вектор, достижимый
из вектора A во второй системе, достижим из
вектора A также и в первой системе?

Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема
включения для систем векторного сложения неразрешима.
Проблема эквивалентности
ВХОД:

Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A

ВОПРОС:

Верно ли, что каждый вектор, достижимый из
вектора A в одной из этих систем, достижим из
вектора A также и в другой системе?
Проблема эквивалентности
ВХОД:

Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk }
и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A

ВОПРОС:

Верно ли, что каждый вектор, достижимый из
вектора A в одной из этих систем, достижим из
вектора A также и в другой системе?

Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема
эквивалентности для систем векторного сложения
неразрешима.
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.
∆k = δk,1 , . . . , δk,n

δj,k ∈ Z
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Обобщенные кони на многомерной шахматной доске
∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n
.
.
.

δj,k ∈ Z

∆k = δk,1 , . . . , δk,n
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
Сравнение проблем
Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на
которых может побывать конь, начав свой путь с поля
α1 , . . . , αn
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
Специальные кони
δ1 , . . . , δ n

δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони
δ1 , . . . , δ n
δi1 = · · · = δia = −1

δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони
δ1 , . . . , δ n
δi1 = · · · = δia = −1
δj1 = · · · = δjb = 1

δm ∈ {−1, 0, 1}
Специальные кони
δ1 , . . . , δ n

δm ∈ {−1, 0, 1}

δi1 = · · · = δia = −1
δj1 = · · · = δjb = 1
δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
Специальные кони
δ1 , . . . , δ n

δm ∈ {−1, 0, 1}

δi1 = · · · = δia = −1
δj1 = · · · = δjb = 1
δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }

i1 , . . . , ia

j1 , . . . , jb
Специальные кони
δ1 , . . . , δ n

δm ∈ {−1, 0, 1}

δi1 = · · · = δia = −1
δj1 = · · · = δjb = 1
δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }

i1 , . . . , ia

j1 , . . . , jb

Ri1 . . . Ria

Rj1 . . . Rjb
Шахматная машина
Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число.
Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в
одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в
одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции
машины имеют вид
Si0 Ri1 . . . Ria

Sj0 Rj1 . . . Rjb

где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
Шахматная машина
Шахматная машина имеет конечное количество регистров
R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно
большое натуральное число. Машина может находиться в
одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции
машины имеют вид
Si0 Ri1 . . . Ria

Sj0 Rj1 . . . Rjb

где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
Шахматная машина является недетерминированной!
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn
где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты.

(∗)
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn

(∗)

где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn

(∗)

где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn

(∗)

где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует
поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что
rj = y , re = 1.
Вычисления на шахматной машине
Определение. Пусть в некоторой шахматной машине
выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние
Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
Поместим коня на поле
r1 , . . . , rn

(∗)

где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры
пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет
функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то
rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует
поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что
rj = y , re = 1.
3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций
машины.
Сложение чисел
S1 I4

S2 O6

S1 I5

S2 O6

S1

S3

S2

S1
Умножение чисел
S1 I6

S2

S2 I7

S3 R8 O9

S3

S2

S3

S4

S4 R8

S1 I7

S1

S4

S1

S5
Сложение функций
Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие
функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы
можем построить машину K, вычисляющую функцию
F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
Сложение функций
Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие
функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы
можем построить машину K, вычисляющую функцию
F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).

S1 I4

S2 O6

S1 I5

S2 O6

S1

S3

S2

S1
Умножение функций
Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие
функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы
можем построить машину K, вычисляющую функцию
F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
Умножение функций
Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие
функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы
можем построить машину K, вычисляющую функцию
F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).

S1 I6

S2

S2 I7

S3 R8 O9

S3

S2

S3

S4

S4 R8

S1 I7

S1

S4

S1

S5
Альтернативы
D(x1 , . . . , xm ) = 0
Альтернативы
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Альтернативы
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
Альтернативы
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
Альтернативы
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
либо
∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )}
либо
∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
Альтернативы
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
либо
∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )}
либо
∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
Машина K A
A(x1 , . . . , xm )
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A .
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9.
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие
инструкции:
Sm+2
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...

...

Sm+2

Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm

Sm+3

Sm+2

Sm+3

Sb ,

Обозначим полученную машину через K A
Машина K A
A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ),
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие
инструкции:
Sm+2
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...

...

Sm+2

Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm

Sm+3

Sm+2

Sm+3

Sb ,

Обозначим полученную машину через K A , её начальным
состоянием объявим Sm+2 .
Машина K

B

B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ).
w times

w times

Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть
Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной
регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных
регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие
инструкции:
Sm+2
Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1
...

...

Sm+2

Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm

Sm+3

Sm+2

Sm+3

Sb ,

Обозначим полученную машину через K
состоянием объявим Sm+2 .

B,

её начальным
Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri

St
Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri

St

2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss

St Rj
Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri

St

2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss

St Rj

3. для каждого состояния Sk машины KB :
Ss

Sk
Машина K
Добавим к машине KA следующие инструкции
1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss Ri

St

2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 :
Ss

St Rj

3. для каждого состояния Sk машины KB :
Ss

Sk

St

Ss

4.
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .

K (A) ⊇ K (A)

⇐⇒

¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .

K (A) ⊇ K (A)

⇐⇒

¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .

K (A) ⊇ K (A)

¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)

⇐⇒

∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .

K (A) ⊇ K (A)

¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒
K (A) ⊇ K (A)

⇐⇒

∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .

K (A) ⊇ K (A)

¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

K (A) ⊇ K (A)

⇐⇒

¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Машина K
Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к
ней добавлены все регистры машины KA .

K (A) ⊇ K (A)

¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

⇐⇒

K (A) ⊇ K (A)

⇐⇒

¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)

K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒
⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
Включение и эквивалентность
Проблема включения
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
Проблема эквивалентности
ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A
ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)

K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒
⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
Включение и эквивалентность
K

K
Включение и эквивалентность
K

K
Ri1 . . . Ria

Rj1 . . . Rjb
Включение и эквивалентность
K

K
Ri1 . . . Ria
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Ri1 . . . Ria

Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Включение и эквивалентность
K

K
Ri1 . . . Ria
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Ri1 . . . Ria

Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Rj1 . . . Rjb

Ri1 . . . Ria
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Ri1 . . . Ria

Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Включение и эквивалентность
K

K
Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2

Ri1 . . . Ria
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Ri1 . . . Ria

Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Включение и эквивалентность
K

K

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Ri1 . . . Ria
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+6 Sm+2
Sm+8
Tm+7 Sm+2
Включение и эквивалентность
K

K

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2
Tm+4
Tm+5

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Ri1 . . . Ria
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+6 Sm+2
Sm+8
Tm+7 Sm+2
Включение и эквивалентность
K

K

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2
Tm+4
Tm+5

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Ri1 . . . Ria
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+6 Sm+2
Sm+8
Tm+7 Sm+2
Tm+4
Tm+5
Tm+6
Tm+7
Включение и эквивалентность
K

K

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2
Tm+4
Tm+5

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Ri1 . . . Ria
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+6 Sm+2
Sm+8
Tm+7 Sm+2
Tm+4
Tm+5
Tm+6
Tm+7

K
Включение и эквивалентность
K

K

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2
Tm+4
Tm+5

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Ri1 . . . Ria
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+6 Sm+2
Sm+8
Tm+7 Sm+2
Tm+4
Tm+5
Tm+6
Tm+7

K

K
Включение и эквивалентность
K

K

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+4 Ri1 . . . Ria
Tm+5 Rj1 . . . Rjb
Tm+5 Ri1 . . . Ria
Tm+4 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+4 Sm+2
Sm+8
Tm+5 Sm+2
Tm+4
Tm+5

Ri1 . . . Ria
Rj1 . . . Rjb
Tm+6 Ri1 . . . Ria
Tm+7 Rj1 . . . Rjb
Tm+7 Ri1 . . . Ria
Tm+6 Rj1 . . . Rjb
Sm+8
Tm+6 Sm+2
Sm+8
Tm+7 Sm+2
Tm+4
Tm+5
Tm+6
Tm+7

K

K
K ⊇K

⇐⇒ K = K
Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима.
Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое
доказательство этого факта с использованием неразрешимости
диофантовых уравнений.
Унификация (невсеобщее равенство)
E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
Проблема унификации для чистого исчисления предикатов
первого порядка разрешима.
Проблема унификации для исчисления предикатов третьего
порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое
доказательство этого факта с использованием неразрешимости
диофантовых уравнений.
W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема
унификации для исчисления предикатов второго порядка,
исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
Как перемножать термы?
Tn = F (F (. . . F (x) . . . ));
n times
Как перемножать термы?
Tn = F (F (. . . F (x) . . . ));
n times

Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn
Как перемножать термы?
Tn = F (F (. . . F (x) . . . ));
n times

Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn
Умножение n × m: ?
Одна история
Одна история
Разрешима ли проблема так называемой одновременной
жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich
20131027 h10 lecture5_matiyasevich

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕGarik Yenokyan
 
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
 ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/ ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/Khishighuu Myanganbuu
 
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляЛинейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляDEVTYPE
 
Основы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - IОсновы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - IDEVTYPE
 
ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18kuzinolga
 
Matemat526
Matemat526Matemat526
Matemat526tesla21
 
Линейная алгебра - II
Линейная алгебра - IIЛинейная алгебра - II
Линейная алгебра - IIDEVTYPE
 
Разбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика lРазбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика lDEVTYPE
 
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".silvermlm
 
1.3 Описательная статистика
1.3 Описательная статистика1.3 Описательная статистика
1.3 Описательная статистикаDEVTYPE
 
1.2 Выборка. Выборочное пространство
1.2 Выборка. Выборочное пространство1.2 Выборка. Выборочное пространство
1.2 Выборка. Выборочное пространствоDEVTYPE
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture0220110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02Computer Science Club
 
Мысль №6
Мысль №6Мысль №6
Мысль №6rasparin
 
решение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравненийрешение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравненийЛюдмила Щецова
 
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_iPrimenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_iDimon4
 
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-0620101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06Computer Science Club
 
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
1742  повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с1742  повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118сpsvayy
 

Mais procurados (20)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
 
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
 ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/ ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
ИНТЕГРАЛ ТАЛБАЙ /Integral/
 
000
000000
000
 
Integral1
Integral1Integral1
Integral1
 
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляЛинейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
 
Основы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - IОсновы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - I
 
8
88
8
 
ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18ЕГЭ_№18
ЕГЭ_№18
 
Matemat526
Matemat526Matemat526
Matemat526
 
Линейная алгебра - II
Линейная алгебра - IIЛинейная алгебра - II
Линейная алгебра - II
 
Разбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика lРазбор задач модуля Комбинаторика l
Разбор задач модуля Комбинаторика l
 
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ "Задание 3,4,5".
 
1.3 Описательная статистика
1.3 Описательная статистика1.3 Описательная статистика
1.3 Описательная статистика
 
1.2 Выборка. Выборочное пространство
1.2 Выборка. Выборочное пространство1.2 Выборка. Выборочное пространство
1.2 Выборка. Выборочное пространство
 
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture0220110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
20110224 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture02
 
Мысль №6
Мысль №6Мысль №6
Мысль №6
 
решение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравненийрешение тригонометрических уравнений
решение тригонометрических уравнений
 
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_iPrimenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
Primenenie svojstv funkcij_k_resheniyu_uravnenij_i
 
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-0620101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
20101030 reals and_integers_matiyasevich_ekb_lecture05-06
 
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
1742  повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с1742  повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
1742 повторяем математику за курс средней школы арефьева и.г-2015 -118с
 

Destaque

20081116 auctions nikolenko_lecture10
20081116 auctions nikolenko_lecture1020081116 auctions nikolenko_lecture10
20081116 auctions nikolenko_lecture10Computer Science Club
 
20121006 uralcsslub fall_term_opening
20121006 uralcsslub fall_term_opening20121006 uralcsslub fall_term_opening
20121006 uralcsslub fall_term_openingComputer Science Club
 
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonovComputer Science Club
 
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture0220111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02Computer Science Club
 
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevichComputer Science Club
 
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_timeComputer Science Club
 
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
20080323 machine learning_nikolenko_lecture0520080323 machine learning_nikolenko_lecture05
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05Computer Science Club
 
20120309 formal semantics shilov_lecture02
20120309 formal semantics shilov_lecture0220120309 formal semantics shilov_lecture02
20120309 formal semantics shilov_lecture02Computer Science Club
 

Destaque (9)

20131106 h10 lecture6_matiyasevich
20131106 h10 lecture6_matiyasevich20131106 h10 lecture6_matiyasevich
20131106 h10 lecture6_matiyasevich
 
20081116 auctions nikolenko_lecture10
20081116 auctions nikolenko_lecture1020081116 auctions nikolenko_lecture10
20081116 auctions nikolenko_lecture10
 
20121006 uralcsslub fall_term_opening
20121006 uralcsslub fall_term_opening20121006 uralcsslub fall_term_opening
20121006 uralcsslub fall_term_opening
 
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
20130429 dynamic c_c++_program_analysis-alexey_samsonov
 
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture0220111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
20111015 inroduction to_combinatorics_on_words_frid_lecture02
 
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
20130915 lecture1 2-tarski_matiyasevich
 
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
20111204 computer graphics_galinsky_lecture12_real_time
 
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
20080323 machine learning_nikolenko_lecture0520080323 machine learning_nikolenko_lecture05
20080323 machine learning_nikolenko_lecture05
 
20120309 formal semantics shilov_lecture02
20120309 formal semantics shilov_lecture0220120309 formal semantics shilov_lecture02
20120309 formal semantics shilov_lecture02
 

Semelhante a 20131027 h10 lecture5_matiyasevich

Многочлены наилучших среднеквадратичных приближений
Многочлены наилучших среднеквадратичных приближенийМногочлены наилучших среднеквадратичных приближений
Многочлены наилучших среднеквадратичных приближенийTheoretical mechanics department
 
задачи с параметрами (аналит.)
задачи с параметрами (аналит.)задачи с параметрами (аналит.)
задачи с параметрами (аналит.)NovikovaOG
 
Мысль №6
Мысль №6Мысль №6
Мысль №6rasparin
 
Квадратные уравнения
Квадратные уравненияКвадратные уравнения
Квадратные уравненияyuzina-76
 
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-1020081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10Computer Science Club
 
Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл
Определенный интегралssuser4d8a9a
 
Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"
Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"
Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"Nikolay Grebenshikov
 
L6: Метод опорных векторов
L6: Метод опорных векторовL6: Метод опорных векторов
L6: Метод опорных векторовTechnosphere1
 
Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...
Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...
Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...aleksashka3
 
L3: Линейная и логистическая регрессия
L3: Линейная и логистическая регрессияL3: Линейная и логистическая регрессия
L3: Линейная и логистическая регрессияTechnosphere1
 
Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение"
Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение" Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение"
Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение" Technosphere1
 
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргументаТригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргументаFormula.co.ua
 
Use of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signatureUse of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signatureAndrei Poliakov
 
Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1
Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1
Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1simple_people
 
приложение 1. материал для занятий
приложение 1. материал для занятийприложение 1. материал для занятий
приложение 1. материал для занятийNarine Gevorgyan
 
решение квадратных неравенств
решение квадратных неравенстврешение квадратных неравенств
решение квадратных неравенствkravhenko
 

Semelhante a 20131027 h10 lecture5_matiyasevich (20)

4
44
4
 
Многочлены наилучших среднеквадратичных приближений
Многочлены наилучших среднеквадратичных приближенийМногочлены наилучших среднеквадратичных приближений
Многочлены наилучших среднеквадратичных приближений
 
задачи с параметрами (аналит.)
задачи с параметрами (аналит.)задачи с параметрами (аналит.)
задачи с параметрами (аналит.)
 
Мысль №6
Мысль №6Мысль №6
Мысль №6
 
Квадратные уравнения
Квадратные уравненияКвадратные уравнения
Квадратные уравнения
 
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-1020081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
20081116 structuralcomplexitytheory lecture09-10
 
Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл
Определенный интеграл
 
urok_10_1
urok_10_1urok_10_1
urok_10_1
 
Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"
Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"
Лекция №16. Поиск подстрок. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки данных"
 
Matanal 31oct
Matanal 31octMatanal 31oct
Matanal 31oct
 
L6: Метод опорных векторов
L6: Метод опорных векторовL6: Метод опорных векторов
L6: Метод опорных векторов
 
Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...
Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...
Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.Равносильные формулы лог...
 
L3: Линейная и логистическая регрессия
L3: Линейная и логистическая регрессияL3: Линейная и логистическая регрессия
L3: Линейная и логистическая регрессия
 
Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение"
Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение" Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение"
Лекция №10 "Алгоритмические композиции. Завершение"
 
презентация к уроку 3
презентация к уроку 3презентация к уроку 3
презентация к уроку 3
 
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргументаТригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргумента
 
Use of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signatureUse of eliptic curves for generating digital signature
Use of eliptic curves for generating digital signature
 
Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1
Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1
Лекция 12 Теоретико-числовые алгоритмы Часть 1
 
приложение 1. материал для занятий
приложение 1. материал для занятийприложение 1. материал для занятий
приложение 1. материал для занятий
 
решение квадратных неравенств
решение квадратных неравенстврешение квадратных неравенств
решение квадратных неравенств
 

Mais de Computer Science Club

20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugsComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugsComputer Science Club
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugsComputer Science Club
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture1220140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12Computer Science Club
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
20140427 parallel programming_zlobin_lecture1120140427 parallel programming_zlobin_lecture11
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11Computer Science Club
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture1020140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10Computer Science Club
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture0920140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09Computer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
20140329 graph drawing_dainiak_lecture0220140329 graph drawing_dainiak_lecture02
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02Computer Science Club
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
20140329 graph drawing_dainiak_lecture0120140329 graph drawing_dainiak_lecture01
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01Computer Science Club
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-0420140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04Computer Science Club
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture0120140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01Computer Science Club
 
20130928 automated theorem_proving_harrison
20130928 automated theorem_proving_harrison20130928 automated theorem_proving_harrison
20130928 automated theorem_proving_harrisonComputer Science Club
 

Mais de Computer Science Club (20)

20141223 kuznetsov distributed
20141223 kuznetsov distributed20141223 kuznetsov distributed
20141223 kuznetsov distributed
 
Computer Vision
Computer VisionComputer Vision
Computer Vision
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
 
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture02_find_scary_cpp_bugs
 
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
20140531 serebryany lecture01_fantastic_cpp_bugs
 
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture1220140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
20140511 parallel programming_kalishenko_lecture12
 
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
20140427 parallel programming_zlobin_lecture1120140427 parallel programming_zlobin_lecture11
20140427 parallel programming_zlobin_lecture11
 
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture1020140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
20140420 parallel programming_kalishenko_lecture10
 
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture0920140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
20140413 parallel programming_kalishenko_lecture09
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
20140329 graph drawing_dainiak_lecture0220140329 graph drawing_dainiak_lecture02
20140329 graph drawing_dainiak_lecture02
 
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
20140329 graph drawing_dainiak_lecture0120140329 graph drawing_dainiak_lecture01
20140329 graph drawing_dainiak_lecture01
 
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-0420140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
20140310 parallel programming_kalishenko_lecture03-04
 
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
20140223-SuffixTrees-lecture01-0320140223-SuffixTrees-lecture01-03
20140223-SuffixTrees-lecture01-03
 
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture0120140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
20140216 parallel programming_kalishenko_lecture01
 
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
20131013 h10 lecture4_matiyasevich20131013 h10 lecture4_matiyasevich
20131013 h10 lecture4_matiyasevich
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
20131006 h10 lecture3_matiyasevich20131006 h10 lecture3_matiyasevich
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
 
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
20131006 h10 lecture3_matiyasevich20131006 h10 lecture3_matiyasevich
20131006 h10 lecture3_matiyasevich
 
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
20131006 h10 lecture2_matiyasevich20131006 h10 lecture2_matiyasevich
20131006 h10 lecture2_matiyasevich
 
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
20130922 h10 lecture1_matiyasevich20130922 h10 lecture1_matiyasevich
20130922 h10 lecture1_matiyasevich
 
20130928 automated theorem_proving_harrison
20130928 automated theorem_proving_harrison20130928 automated theorem_proving_harrison
20130928 automated theorem_proving_harrison
 

20131027 h10 lecture5_matiyasevich

  • 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 4. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Пятая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  • 5. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  • 6. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  • 7. Диофантова альтернатива D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 9. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0 sin(πχ1 ) = 0 . . . sin(πχm ) = 0
  • 10. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0 sin(πχ1 ) = 0 . . . sin(πχm ) = 0 π = 3.14159...
  • 11. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0 sin(πχ1 ) = 0 . . . sin(πχm ) = 0 π = 3.14159... D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ) = 0
  • 12. Следствие DPRM-теоремы Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественных переменных, которые могут быть заданы выражениями, построены из переменных, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0 решение в вещественных числах.
  • 14. Только натуральные коэффициенты sin(ψ) = 0 2≤ψ≤4 D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (ψχ1 ) + · · · + sin2 (ψχm ) + sin2 (ψ) + (1 − (ψ − 3)2 − ζ 2 )2 = 0
  • 15. Следствие DPRM-теоремы Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественных переменных, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменных, конкретных натуральных чисел при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F1 распознавал, имеет ли уравнение Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0 решение в вещественных числах.
  • 16. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  • 17. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  • 18. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  • 19. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  • 20. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0} ∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
  • 21. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0} ∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
  • 22. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0} ∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) > 1} Φ(χ1 , . . . , χm ) = B 2 (χ1 , . . . , χm ) + 1 D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm )
  • 23. Следствие DPRM-теоремы Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многих вещественных переменных, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменных, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство Φ(χ1 , . . . , χm ) < 1 решение в вещественных числах.
  • 24. Случай одной переменной A(χ) = χ sin(χ) B(χ) = χ sin(χ3 ) Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < B(χ) − β = 0 Не ограничивая общности считаем, что <1
  • 25. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α
  • 26. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
  • 27. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α|
  • 28. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
  • 29. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )|
  • 30. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
  • 31. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
  • 32. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ
  • 33. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ < (2K π + 3)δ
  • 34. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ < (2K π + 3)δ <
  • 35. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ < (2K π + 3)δ < при δ = 2K π + 3
  • 37. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0
  • 38. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3
  • 39. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3 > 2π при достаточно большом K
  • 40. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3 > 2π при достаточно большом K B(χ) = β
  • 41. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3 > 2π при достаточно большом K B(χ) = β |A(χ) − α| <
  • 42. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
  • 43. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β. |A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β
  • 44. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β. |A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . )) (k−1) раз
  • 45. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β. |A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . )) (k−1) раз Лемма. Для любых вещественных чисел α1 , . . . , αn и любого положительного числа |Ak (χ) − αk | < k = 1, . . . , n где χ = C (α1 , C (α2 , . . . , C (αk , 0) . . . ))
  • 46. Случай одной переменной либо ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} либо ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
  • 47. Случай одной переменной либо ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} либо ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1} Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
  • 48. Случай одной переменной либо ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} либо ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1} Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ)) либо ∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < } либо ∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
  • 49. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной 1 фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство Φ(χ) < 1 решение в вещественных числах.
  • 50. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной 1 фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение 2Φ(χ) = 1 решение в вещественных числах.
  • 51. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F1 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ) 1 из класса F1 распознавал, имеет ли уравнение 2Φ(χ) = 1 решение в вещественных числах.
  • 52. Тождества либо ∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < } либо ∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
  • 53. Тождества либо ∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < } либо ∀χ{Ψ(χ) ≥ 1} −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− либо ∃χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0} либо ∀χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
  • 54. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F2 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютная величина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма, 1 который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F2 распознавал, справедливо ли равенство 2Φ(χ) = 1 при всех вещественных значениях χ.
  • 58. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
  • 59. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 sin Π(τ )τ cos Π(τ )τ
  • 60. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 A sin Π(τ )τ cos Π(τ )τ
  • 61. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 A sin Π(τ )τ B cos Π(τ )τ
  • 62. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
  • 63. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
  • 64. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
  • 65. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ Φ(0) = 0
  • 66. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
  • 67. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
  • 68. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1
  • 69. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
  • 70. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0
  • 71. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
  • 72. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  • 73. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π
  • 74. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π В любом решении этой системы дифференциальных уравнений функция Π(τ ) является константой – числом π, и существует решение, в котором эта фукция тождественно равна числу π.
  • 75. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  • 76. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  • 77. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
  • 78. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 sin Π(τ )Υ(τ )τ
  • 79. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 sin Π(τ )Υ(τ )τ cos Π(τ )Υ(τ )τ
  • 80. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 A sin Π(τ )Υ(τ )τ cos Π(τ )Υ(τ )τ
  • 81. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 A sin Π(τ )Υ(τ )τ B cos Π(τ )Υ(τ )τ
  • 82. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
  • 83. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
  • 84. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0
  • 85. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
  • 86. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
  • 87. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )
  • 88. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
  • 89. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0
  • 90. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
  • 91. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ ⇒ Υ(τ ) = n
  • 92. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ ⇒ Υ(τ ) = n
  • 93. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Ψ(0) = 0 Φ(1) = 0 Ψ (τ ) + 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) =0 Ψ(1) = 0
  • 94. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Ψ(0) = 0 Φ(1) = 0 Ψ (τ ) + 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) =0 Ψ(1) = 0 В любом решении этой системы дифференциальных уравнений функция Υ(τ ) является константой – некоторым целым числом, и для любого целого числа n существует решение, в котором фукция Υ(τ ) тождественно равна этому числу n.
  • 95. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  • 96. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1
  • 97. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0
  • 98. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0 ... Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) Ψm (1) = 0
  • 99. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0 ... Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0 Ψm (1) = 0
  • 100. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0 ... Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0 Ψm (1) = 0
  • 102. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4 1 2
  • 103. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4 1 2 ∆(α) = β
  • 104. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4 1 2 ∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ ) − β = (τ − α)Ω(τ )
  • 105. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольной системе дифференциальных уравнений вида P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) . . . =0 Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0, где P1 , . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами, узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].
  • 106. Следствие (трудное) DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по дифференциальному уравнению вида P τ, Φ(τ ), Φ (τ ), . . . , Φ n (τ ) =0 где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеет ли это уравнение решение на интервале [0, 1].
  • 108. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
  • 109. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 k=0
  • 110. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 kφk = ψ0 φk k=0 k = 0, 1, 2, . . .
  • 111. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 kφk = ψ0 φk Вырожденное решение: ∀k k=0 k = 0, 1, 2, . . . φk = 0
  • 112. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = k=0 k=0 k = 0, 1, 2, . . . kφk = ψ0 φk Вырожденное решение: ∀k Невырожденное решение: ∃k ψ0 φk τ k kφk τ = φk = 0 φk = 0
  • 113. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = k=0 kφk = ψ0 φk Вырожденное решение: ∀k Невырожденное решение: ∃k ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 k = 0, 1, 2, . . . φk = 0 φk = 0 ⇒ ψ0 = k
  • 114. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
  • 115. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . .
  • 116. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . . Ψm (τ ) = 0, τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ),
  • 117. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . . Ψm (τ ) = 0, τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ), D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0
  • 118. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . . Ψm (τ ) = 0, τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ), D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0 Φ1 (τ ) . . . Φm (τ ) ≡ 0
  • 119. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольной системе дифференциальных уравнений вида P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) . . . = 0, Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0, где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать, имеет ли эта система решение в виде формального степенного ряда, удовлетворяющего также условию Φ1 (τ ) ≡ 0.
  • 121. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
  • 122. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0
  • 123. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0 −ψ0 φ0 − φ1 = 0
  • 124. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0 −ψ0 φ0 − φ1 = 0 (k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − φk = 0, k >1
  • 125. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0 −ψ0 φ0 − φ1 = 0 (k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − φk = 0, k >1 φ0 = 1 φk = −ψ0 (1 − ψ0 )(2 − ψ0 ) . . . (k − 1 − φ0 ).
  • 126. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольной системе дифференциальных уравнений вида P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) . . . = 0, Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0, где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать, имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенных рядов
  • 127. Уравнения в частных производных
  • 128. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0
  • 129. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0 ∞ y y ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0
  • 130. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0 ∞ y y ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 τk ∂ ∂τk y y τk k = yk τk k
  • 131. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0 ∞ y y ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 τk D τ1 ∂ ∂τk y y τk k = yk τk k ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1
  • 132. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 (∗)
  • 133. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm D τ1 ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1 (∗)
  • 134. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm D τ1 ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1 ψy1 ,...,ym = 1 D(y1 , . . . , ym ) (∗)
  • 135. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm D τ1 ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1 ψy1 ,...,ym = 1 D(y1 , . . . , ym ) Дифференциальное уравнение (*) имеет решение в том и только том случае, когда диофантово уравнение D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет (∗)
  • 136. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 (∗)
  • 137. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = (1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 (∗) y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm ∂τ1 ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 (∗∗)
  • 138. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = (1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 (∗) y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm ∂τ1 ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в том и только том случае, когда диофантово уравнение D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет (∗∗)
  • 139. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольному многочлену Q с целыми коэффициентами узнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частных производных ∂ ∂ Q τ1 , . . . , τm , ∂τ1 , . . . , ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 решение в виде формального степенного ряда.
  • 140. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
  • 141. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
  • 142. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) ∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0 ∂τ2 ∂τm
  • 143. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) ∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0 ∂τ2 ∂τm ∞ k φk τ1 Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0
  • 144. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) ∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0 ∂τ2 ∂τm ∞ k φk τ1 Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 D τ1 ∂ ∂ , . . . , τm ∂τ1 ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) (1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
  • 145. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1
  • 146. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∞ y y τ2 1 . . . τmm k φk τ1 = k=0 y2 ,...,ym
  • 147. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∞ y y τ2 1 . . . τmm k φk τ1 = y2 ,...,ym k=0 ∞ y y D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm = y1 ,...,ym =0
  • 148. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∞ y y τ2 1 . . . τmm k φk τ1 = y2 ,...,ym k=0 ∞ y y D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm = y1 ,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
  • 149. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
  • 150. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1 y1 ∈ M =⇒ φy1 = 0
  • 151. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1 y1 ∈ M =⇒ φy1 = 0 D(y1 , . . . , ym ) = 0 ⇒ ψy1 ,...,ym = φy1 D(y1 , . . . , ym )
  • 152. Уравнения в частных производных n = 1, 2 a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
  • 153. Уравнения в частных производных n = 1, 2 a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ), ∂ ∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂ ∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0
  • 154. Уравнения в частных производных n = 1, 2 a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ), ∂ ∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂ ∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0 ∞ φn,k τ k Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 a ∈ Mn =⇒ φn,a = 0
  • 155. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0
  • 156. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
  • 157. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .
  • 158. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . . M = {a | φ1,a = 0}
  • 159. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . . M = {a | φ1,a = 0} a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M
  • 160. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . . M = {a | φ1,a = 0} a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a ∈ M
  • 162. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры.
  • 163. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
  • 164. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
  • 165. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
  • 166. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1
  • 167. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1
  • 168. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2
  • 169. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2
  • 170. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ...............................................
  • 171. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ............................................... Петр выбирает am
  • 172. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ............................................... Петр выбирает am Николай выбирает xm
  • 173. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ............................................... Петр выбирает am Николай выбирает xm Николай объявляется победителем в том и только том случае, когда значение многочлена оказывается равным нулю.
  • 174. Диофантовы игры Трудные ответы на простые вопросы Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре, задаваемой уравнением (x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?
  • 175. Диофантовы игры Трудные ответы на простые вопросы Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре, задаваемой уравнением (x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0? Подсказка. Победа гарантирована Петру в том и только том случае, когда количество простых чисел вида n2 + 1 бесконечно.
  • 176. Теорема (Jones[1982]) Николай имеет выигрышную стратегию, но не имеет вычислимой выигрышной стратегии в игре {a1 + a6 + 1 − x4 }2 · + (a6 + a7 )2 + 3a7 + a6 − 2x4 2 (x9 − a7 )2 + (x10 − a9 )2 (x9 − a6 )2 + (x10 − a8 )2 ((x4 − a1 )2 + (x10 − a9 − x1 )2 ) (x9 − 3x4 )2 + (x10 − a8 − a9 )2 (x9 − 3x4 − 1)2 + (x10 − a8 a9 )2 − a12 − 1 + [x5 + a13 − x9 a4 ]2 + 3x6 + x5 − 2a5 2 + 2 + [x10 + a12 + a12 x9 a4 − a3 ]2 − x13 − 1 {a1 + x5 + 1 − a5 } (x5 − x6 )2 (a10 − x6 )2 + (a11 − x8 )2 (a10 − x5 )2 + (a11 − x7 )2 ((a5 − a1 )2 + (a11 − x8 − a2 )2 ) (a10 − 3a5 )2 + (a11 − x7 − x8 )2 (a10 − 3a5 − 1)2 + (a11 − x7 x8 )2 − x11 − 1 + [a11 + x11 + x11 a10 x3 − x2 ]2 + [a11 + x12 − a10 x3 ]2 = 0. 2
  • 178. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
  • 179. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia:
  • 180. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
  • 181. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
  • 182. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13
  • 183. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
  • 184. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes Системы векторного сложения (systems of vector addition)
  • 185. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n
  • 186. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  • 187. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N δj,k ∈ Z
  • 188. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , α n δj,k ∈ Z
  • 189. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
  • 190. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
  • 191. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆ j1
  • 192. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
  • 193. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
  • 194. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
  • 196. Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B
  • 197. Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора A в этой системе?
  • 199. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
  • 200. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе?
  • 201. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  • 202. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  • 203. Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе?
  • 204. Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе? Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
  • 205. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  • 206. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  • 207. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
  • 208. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  • 209. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  • 210. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
  • 211. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  • 212. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
  • 213. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 214. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 215. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  • 216. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
  • 217. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb
  • 218. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
  • 220. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
  • 221. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
  • 222. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
  • 223. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны. Шахматная машина является недетерминированной!
  • 224. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb
  • 225. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
  • 226. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
  • 227. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. (∗)
  • 228. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
  • 229. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
  • 230. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
  • 231. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1. 3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций машины.
  • 232. Сложение чисел S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  • 233. Умножение чисел S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  • 234. Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  • 235. Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  • 236. Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  • 237. Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  • 239. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 240. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
  • 241. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
  • 242. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  • 243. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  • 244. Машина K A A(x1 , . . . , xm )
  • 245. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times
  • 246. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A .
  • 247. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
  • 248. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
  • 249. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние
  • 250. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9.
  • 251. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A
  • 252. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A , её начальным состоянием объявим Sm+2 .
  • 253. Машина K B B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ). w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K состоянием объявим Sm+2 . B, её начальным
  • 254. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции
  • 255. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St
  • 256. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj
  • 257. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk
  • 258. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk St Ss 4.
  • 259. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA .
  • 260. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 261. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 262. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 263. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 264. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 265. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  • 266. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  • 267. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
  • 268. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  • 269. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn ) K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  • 272. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+4 Rj1 . . . Rjb
  • 273. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+4 Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Rj1 . . . Rjb
  • 274. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Ri1 . . . Ria Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Rj1 . . . Rjb
  • 275. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2
  • 276. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2
  • 277. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7
  • 278. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7 K
  • 279. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7 K K
  • 280. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7 K K K ⊇K ⇐⇒ K = K
  • 281. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
  • 282. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима.
  • 283. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима.
  • 284. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений.
  • 285. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
  • 286. Как перемножать термы? Tn = F (F (. . . F (x) . . . )); n times
  • 287. Как перемножать термы? Tn = F (F (. . . F (x) . . . )); n times Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn
  • 288. Как перемножать термы? Tn = F (F (. . . F (x) . . . )); n times Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn Умножение n × m: ?
  • 290. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?