Aula1 controle avançado – 2011-i

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Aula1 controle avançado – 2011-i

  1. 1. Controle Avançado – 2011-I Prof. Marcos Cruz
  2. 2. Aula 1 – Realimentação de Estados <ul><li>Realimentação de estados x : as variáveis de estado do sistema precisam estar disponíveis para serem utilizadas pelo controlador; </li></ul><ul><li>Realimentação de saídas y : um conjunto de variáveis de saída relacionadas a variáveis de estado devem estar disponíveis, </li></ul><ul><li>y = Cx+Du; </li></ul>
  3. 3. Aula 1 – Realimentação de Estados
  4. 4. Aula 1 – Realimentação de Estados <ul><li>Planta: </li></ul><ul><li>Sistema Realimentado </li></ul><ul><li>Controle </li></ul>
  5. 5. Aula 1 – Realimentação de Estados <ul><li>Os pólos em malha fechada serão os autovalores de (A – BK) e podem ser posicionados arbitrariamente se e somente se o par (A,B) for controlável; </li></ul><ul><li>Obs: sI – (A – BK) = sI – A + BK </li></ul>
  6. 6. Exemplo
  7. 7. Exemplo - continuação
  8. 8. Vantagem da Forma Canônica Controlável <ul><li>A imposição de uma dinâmica modificada para o sistema (em outro termos, reposicionamento dos pólos da malha fechada em relação aos pólos da malha aberta) é simplificado pela representação do sistema na forma controlável, porque pode se escolher uma lei de controle u(t) que altere todos coeficientes da matriz dinâmica; </li></ul>
  9. 9. Exemplo no MatLab <ul><li>Os comandos ‘place’ e ‘acker’ retornam o vetor K, com os ganhos necessários para que os autovalores em malha fechada se posicionem onde especificado; </li></ul>
  10. 10. Exemplo – no MatLaB <ul><li>>> f=place(A,B,[-2+3.464j,-2-3.464j]) </li></ul><ul><li>f = 13.9993 1.0000 </li></ul><ul><li>>> f=acker(A,B,[-2+3.464j,-2-3.464j]) </li></ul><ul><li>f = 13.9993 1.0000 </li></ul>
  11. 11. Exemplo – quando não é possível reposicionar um dos autovalores <ul><li>O autovalor +2 não pode ser reposicionado porque o termo correspondente na matriz sI – (A-BK) não pode ser alterado por K 1 nem por K 2 ; </li></ul><ul><li>O termo ‘fixo’ é ‘s-2’; </li></ul>
  12. 12. Exemplo Anterior – identificando um modo não controlável <ul><li>>> [P,AV]=eig(A) </li></ul><ul><li>P = </li></ul><ul><li>1.0000 0.7071 </li></ul><ul><li>0 0.7071 </li></ul><ul><li>AV = </li></ul><ul><li>1 0 </li></ul><ul><li>0 2 </li></ul><ul><li>>> Pinv = inv(P) </li></ul><ul><li>Pinv = </li></ul><ul><li>1.0000 -1.0000 </li></ul><ul><li>0 1.4142 </li></ul><ul><li>>> Bstar = Pinv*B </li></ul><ul><li>Bstar = </li></ul><ul><li>1 </li></ul><ul><li>0 </li></ul>
  13. 13. Exemplo Anterior – identificando um modo não controlável <ul><li>O zero na matriz modal B mostra que o modo associado ao estado r 2 não é controlável; </li></ul>
  14. 14. Fórmula de Ackermann <ul><li>Para sistemas com ordem maior que 2, a fórmula de Ackermann provê uma maneira mais simples de determinar os valores de K; </li></ul><ul><li>Q = [A AB …A n-1 B] matriz de controlabilidade; </li></ul><ul><li>K = [0…1]Q -1  d (A) </li></ul><ul><li> d (s): polinômio definido pela localização dos novos pólos; </li></ul>
  15. 15. Fórmula de Ackermann – voltando ao exemplo
  16. 16. Ackermann – Função p/ evoluir polinômio c/ argumento matriz quadrada <ul><li>>> P=[1 4 16]; </li></ul><ul><li>>> A=[0 1;-2 -3]; </li></ul><ul><li>>> Y=POLYVALM(P,A) </li></ul><ul><li>Y = </li></ul><ul><li>14 1 </li></ul><ul><li>-2 11 </li></ul><ul><li>1,4,16 coeficientes de </li></ul><ul><li>s 2 +4s+16; </li></ul><ul><li>3 coeficientes porque grau máximo (no caso) é 2; </li></ul><ul><li>Atenção: POLYVAL ≠ POLYVAL M; </li></ul>
  17. 17. Restrições Numéricas ao comando ‘acker’ <ul><li>Note: This algorithm uses Ackermann's formula. This method is NOT numerically reliable and starts to break down rapidly for problems of order greater than 10, or for weakly controllable systems. A warning message is printed if the nonzero closed-loop poles are greater than 10% from the desired locations specified in P. </li></ul>
  18. 18. Realimentação de Estados – efeito sobre a observabilidade <ul><li>Realimentação de estados não modifica a controlabilidade, mas pode afetar a observabilidade, criando ou destruindo esta; </li></ul><ul><li>A destruição da observabilidade está associada ao deslocamento de um pólo que, em função disso, cancela um zero; </li></ul>
  19. 19. Exemplo – efeito sobre observabilidade <ul><li>O=OBSV(A,C) </li></ul><ul><li>O = </li></ul><ul><li>1 1 </li></ul><ul><li>4 -1 </li></ul><ul><li>>> rank(O) </li></ul><ul><li>ans = </li></ul><ul><li>2 </li></ul>
  20. 20. Exemplo – efeito sobre observabilidade <ul><li>Autovalores de A: 2.61 e 0.38 (instável); </li></ul><ul><li>Projeto de realimentação para posicionar os autovalores em -1 e -2; </li></ul><ul><li>O posicionamento em -1 deverá comprometer a observabilidade; </li></ul><ul><li>>> f=place(A,B,[-1,-2]) </li></ul><ul><li>f = 6.0000 1.0000; </li></ul><ul><li>Ã=(A-BK) </li></ul><ul><li>Ã = [-3 -2;1 0]; </li></ul>
  21. 21. Exemplo – efeito sobre observabilidade <ul><li>Autovalores de A: 2.61 e 0.38 (instável); </li></ul><ul><li>Projeto de realimentação para posicionar os autovalores em -1 e -2; </li></ul><ul><li>O posicionamento em -1 deverá comprometer a observabilidade; </li></ul><ul><li>>> Atil= [-3 -2;1 0]; </li></ul><ul><li>>> C=[1 1]; </li></ul><ul><li>>> O=OBSV(Atil,C) </li></ul><ul><li>O = </li></ul><ul><li>1 1 </li></ul><ul><li>-2 -2 </li></ul><ul><li>>> rank(O) </li></ul><ul><li>ans = 1 </li></ul>
  22. 22. Exercício <ul><li>A = (1 1;1 2) </li></ul><ul><li>B = (1;0) </li></ul><ul><li>Verificar estabilidade (instabilidade, no caso) </li></ul><ul><li>Projetar ganho de realimentação de estados que estabiliza o sistema; </li></ul><ul><li>Se novos autovalores em -5 e -6, K = [14 57]; </li></ul><ul><li>Verificar se a Observabilidade foi afetada; </li></ul>

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